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MATLAB中的点运算总结(个人总结很全面)MATLAB中的点运算总结(个人总结很全面)第一章力1、力的本质：（1）力是物体对物体的作用。
脱离物体的力是不存在的，对应一个力，有受力物体同时有施力物体。
找不到施力物体的力是无中生有。
（例如：脱离枪筒的子弹所谓向前的冲力，沿光滑平面匀速向前运动的小球受到的向前运动的力等）（2）力作用的相互性决定了力总是成对出现：甲乙两物体相互作用，甲受到乙施予的作用力的同时，甲给乙一个反作用力。
作用力和反作用力，大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，它们总是同种性质的力。
（例如：图中n与n f0与f0（3）力使物体发生形变，力改变物体的运动状态（速度大小或速度方向改变）使物体获得加速度。
这里的力指的是合外力。
合外力是产生加速度的原因，而不是产生运动的原因。
对于力的作用效果的理解，结合上定律就更明确了。
（4）力是矢量。
矢量。
既有大小又有方向的量，标量只有大小。
力的作用效果决定于它的大小、方向和作用点（三要素）。
大小和方向有一个不确定作用效果就无法确定，这就是既有大小又有方向的物理含意。
（5）常见的力。
根据性质命名的力有重力、弹力、摩擦力；根据作用效果命名的力有拉力、下滑力、支持力、阻力、动力等。
2、重力，物体的重心（1）重力是由于地球的吸引而产生的力；（2）重力的大小。
g=mg，同一物体质量一定，随着所处地理位置的变化，重力加速度的变化略有变化。
从赤道到两极g g最大，等于地球与物体间的万有引力；随着高度的变化g分之一）。
在有限范围内，在同一问题中重力认为是恒力，运动状态发生了变化，即使在超重、失重、完全失重的状态下重力不变；（3）重力的方向永远竖直向下（与水平面垂直，而不是与支持面垂直）；（4）物体的重心。
物体各部分重力合力的作用点为物体的重心（不一定在物体上）。
重心位置取决于质量分布和形状，质量分布均匀的物体，重心在物体的几何对称中心。
确定重心的方法。
悬吊法，支持法。
数字技术在大学物理牛顿力学教学中的研究一、引言物理学是研究物质的基本结构、基本运动形式、相互作用的自然科学。
物理学展现了一系列科学的世界观和方法论，深刻影响着人类对物质世界的基本认识、人类的思维方式和社会生活，是人类文明发展的基石，在人才的科学素质培养中具有重要的地位。
它的基本理论渗透在自然科学的各个领域，应用于生产技术的许多部门，是其他科学和工程技术的基础。
但是在大众化教育普及之后，大学物理课在教与学上矛盾毕现：教师受到课时削减的压力；学生则抱怨课程的内容过于陈旧。
怎么解决这个问题呢？如何避免一个教与学双输的局面呢？作为大学物理教师的确感受到诸多的责任与压力。
我们如何才能找到一个解决问题的出路，如何将学生从中学应试压力下形成的惯性思维中解放出来，能否在严谨的逻辑及数理训练模式下使大学物理有一个新的变化，在学习一种思维方式的同时，能否让学生掌握一种技能，在学习大学物理课程时，能否同时给学生一个新的知识支点，真正的实现授人以“渔”，这些问题是摆在我们教师面前一个个全新的课题。
由于计算机的普及，学生对数字化的东西很感兴趣，但是却又不知如何有效的利用计算机技术。
经过探索，我们找到一个结合点，利用matlab把大学物理数字化，必将对大学物理课程改革产生积极而深远的影响。
matlab是可视化的面向科学计算的优秀科技应用软件，其特点是语言简单，函数库丰富，图形化功能强。
近年来，matlab因具有很好的数据处理功能及强大的绘图功能而在各个专业得到广泛应用[1-2]。
如果能把经典的物理学课程融入现代因素，则可以使之变成实践性很强的一门课程[3-5]。
可以在每一章给出数个典型题目，对教学内容做适当调整，通过分析解决问题的思路，最后给出matlab程序的实现，有助于使用者化抽象思维为形象思维，更好地理解概念、发现规律。
通过matlab程序，不仅可以求出解析解，对于不存在解析解的物理问题，可以借助matlab相应的函数，求出数值解，使学生能直观地领会和理解课程的内容和实时处理结果。
基于MATLAB重力加速度抛体运动的分析报告摘要本报告使用MATLAB软件对重力加速度下的抛体运动进行模拟和分析。
通过定义初始条件和物理参数，利用MATLAB编程实现抛体运动的数值模拟，并绘制运动轨迹图和速度矢量图。
同时，对不同初始条件下的抛体运动进行分析，探究初速度、初始仰角和重力加速度对运动轨迹的影响。
一、引言重力加速度是地球上所有物体所受的重力作用所产生的加速度，约为9.8m/s²。
在重力加速度的作用下，抛体运动是常见的自然现象，如投篮、扔石头等。
研究抛体运动不仅有助于理解物体的运动规律，还可为实际应用提供理论支持。
二、模拟方法本报告采用MATLAB编程实现重力加速度下的抛体运动模拟。
首先定义初始条件，包括初速度v0、初始仰角θ和抛出点距离地面的高度h。
然后，通过已知的物理公式，计算出物体的运动轨迹。
使用MATLAB的绘图功能，将运动轨迹绘制成图形。
三、模拟结果与分析1.不同初速度下的抛体运动设定初始仰角θ=45°，高度h=10m，改变初速度v0进行模拟。
在图1中，蓝色表示v0=5m/s，红色表示v0=10m/s，绿色表示v0=15m/s。
可以看出，随着初速度的增加，抛体的射程也相应增加。
图1 不同初速度下的抛体运动轨迹图（请在此处插入不同初速度下的抛体运动轨迹图）2. 不同初始仰角下的抛体运动设定高度h=10m，初速度v0=10m/s，改变初始仰角θ进行模拟。
在图2中，蓝色表示θ=30°，红色表示θ=45°，绿色表示θ=60°。
可以看出，随着初始仰角的增加，抛体的射高也相应增加。
图2 不同初始仰角下的抛体运动轨迹图（请在此处插入不同初始仰角下的抛体运动轨迹图）3. 重力加速度的影响根据物理学原理，重力加速度会对抛体的运动产生影响。
设定初始仰角θ=45°，初速度v0=10m/s，高度h=10m，改变重力加速度进行模拟。
在图3中，蓝色表示g=9.8m/s²，红色表示g=4.9m/s²，绿色表示g=14.7m/s²。
用matlab 研究抛体运动2. 用matlab 研究抛体运动2.1 引论MATLAB 语言是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能的高级语言。
使用MATLAB 模拟物理现象为我们解决问题提供了一种新的方法，利用其方便的数值计算和作图功能，可以方便的模拟一些物理过程。
对于处理非线性问题，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，方便实用，基于其功能强大，界面友善，语言自然，交互性强等优点，已成为教学和科研中最基础的软件之一，利用其解决复杂的数值计算问题，可以减少工作量，节约时间，图形绘制问题，真实直观，可以加深理解，提高工作效率将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所作的运动，它的初速度不为零，可分为平抛运动和斜抛运动。
物理上提出的“抛体运动”是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力。
抛体运动加速度恒为重力加速度，相等的时间内速度变化量相等，并且速度变化的方向始终是竖直向下的。
2.2抛体运动及应用 2.2.1、 实验设计思路 1、理论分析一般的处理方法是将其分解为水平方向和竖直方向，平抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动，斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛运动，在任意方向上分解有正交分解和非正交分解两种情加速度及位移等进行相应分析。
无论怎样分解，都必须把运动的独立性和独立作用原理结合进行系统分解，即将初速度、受力情、加速度及位移等进行相应分析。
斜抛运动： 水平方向速度αcos 0v v x= （1）竖直方向速度gt v v y -=αsin 0 （2）水平方向位移 tx v αcos 0= （3）竖直方向位移 2021cos gtt y v -=α （4）平抛运动： 水平方向速度v v x 0=（5）竖直方向速度gtv y = (6)水平方向位移tx v 0= (7)竖直方向位移221gtv y = (8)合速度t g vv vv y xt 42202241+=+=（9）合速度方向与水平夹角β：v v v gt tg x y 0==β (10)合位移yxs 22+=(11)位移方向与水平夹角α：02v gttg ss xy==α (12)设某一抛射体的初速度为0v ，抛射角为θ，将其运动在X,Y 轴上进行正交分解，水平方向速度0cos x v v θ= (13) 竖直方向0sin y v v gt θ=- (14) 质点的坐标(,)x y 是0()cos()x t t v θ= (15)201()sin 2y t t gt v θ=- (16)从上两式消去t ，便得质点的轨迹运动方程2220tan 2cos gx y x v θθ=-t (17)抛射体能达到的最大高度为220sin 2H gvθ= (18)其到达最大高度所需时间为0sin T gv θ= (19)空中飞行时间为0sin 22t T gv θ== (20)抛射体的最大射程为20sin 2X gvθ= (21)它跟初速度0v 和抛射角θ有关，在抛射角θ不变的情况下，射程x 与20v 成正比，所以射程随初速度的增大而增大。
用MATLAB演示物体平抛运动目的：(1).运用MATLAB编程得到物体的速度随时间的变化关系.(2).运用MATLAB编程得到物体运动的轨迹..具体问题：设有一质量为m的小球从t=0开始做平抛运动，V0=10 m/s ，忽略空气阻力，g=9.8 m/s ，求一段时间内任意时刻小球的位置和速度。
设计思路：小球做平抛运动过程中，水平方向做匀速直线运动，水平速度Vx=Vo,竖直方向做加速度为g的加速运动（忽略空气阻力），竖直速度Vy=gt,位置y=100-(g*t^2)/2设计过程：确定题目分析题目编写程序调试程序修改程序运行程序编写MATLAB程序：Clear all; 清除文件V0=10； %赋予初速度g=9.8；%赋予加速度的值t=0:0.1:10；%选取时间段内的时间间隔Vy=g*t; %竖直速度的值X=V0*t %水平位移y=100-(g*t^2)/2 %竖直位移set=（gcf,’color’,’m’）%设计背景填充颜色subplot(1,2,2)%画小球的速度图像pause(0,2)%停滞时间plot(x,y)axis([0,60,-80,100])title(球的运动轨迹) %图的标题subplot(2,2,1) %画小球的运动轨迹图像axis([0,20,0,30])plot(t,vy,'k','MarkerSize',20)title('球竖直方向的速度')hold ondisp(['t=',num2str(t,4),'vy=',num2str(vy,4),'y=',num2st r(y,2)])设计进一步改进的地方：（1）如果图像做成动画并同时分解速度、水平位移、竖直位移会更加形象生动（2）同时生成时间、速度表格能直观看出速度的变化。
连续阻尼函数的频谱[问题]物体作初速度为零的阻尼运动的位移为0()e(cos sin )tx t A t t ββωωω-''=+'，(t ≥ 0)其中，A 0为t = 0时的初位移，β为阻尼因子，ω'为准圆频率ω'=，ω0是无阻尼简谐振动的圆频率。
试求物体作阻尼运动的频谱，并画出频谱曲线。
[数学模型]方法一：用解析公式。
非周期性的振动可以分解为一系列简谐振动，它可以当作周期T →∞或基频ω→0的周期性运动，因此分解的一系列简谐振动的频率是连续分布的。
根据傅立叶积分，可将振动x (t )按频率ω分解为1()()exp(i )d 2πx t F t ωωω∞-∞=⎰， (10.1.1)可以证明：频率为ω的振幅为()()exp(i )d F x t t t ωω∞-∞=-⎰。
(10.1.2)其模就是频谱。
阻尼振动在t < 0时可认为x = 0，因此频谱为00()exp[(i )](cos sin )d F A t t t t βωβωωωω∞''=-++'⎰。
(10.1.3)利用复数积分(i )(i )(i )221i ed eeia b ta b ta b ta b t a b a b+++-==++⎰，和欧拉公式e i x= cosx + isinx ，令上式两边实部和虚部分别相等可得22eecos d (cos sin )atatbt t a bt b bt a b =++⎰， (10.1.4a)22eesin d (sin cos )atatbt t a bt b bt a b=-+⎰。
(10.1.4b)因此频谱为22exp[(i )](){(i )cos sin (i )t F A t t βωωβωωωωβωω-+'''=-++'++[(i )sin cos ]}t t ββωωωωω∞'''+-+-'，当t →∞时|e -i ωt | ≤ 1，e -βt →0，因此222i ()(i )F A βωωβωω+='++，利用ω'=可得振幅为222i ()2i F A βωωωωβω+=-+。
弹簧振子的阻尼振动[问题]一弹簧振子的质量为m ，倔强系数为k 。
振子还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为γ。
当振子从静止开始运动时，初位移为A 。
物体的运动规律是什么？不同的阻尼下的运动曲线和速度曲线有什么特点？[数学模型]根据牛顿运动定律，物体运动的微分方程为22d d d d x x m kx t t γ=--，(6.2.1)取k /m =ω02，γ/m =2β，ω0就是无阻尼时物体的固有角频率，β是阻尼因子。
物体的运动方程可表示为2202d d 20d d x x x t tβω++=。
(6.2.2)设微分方程的解为x =e rt ，代入上式可得特征方程r 2-2βr +ω02=0。
(6.2.3)特征方程的解为r β=-±，(6.2.4)设α=，α可以是实数和零以及虚数，则r 1=-β+α，r 2=-β–α，r 1和r 2可以是实数或复数。
微分方程的解为121212e e e (e e )r t r t t t t x C C C C βαα--=+=+，(6.2.5)其中C 1和C 2是由初始条件决定的常数。
物体的速度为12112212d e e e [()e ()e ]d r t r t t t t x v C r C r C C tβααβαβα--==+=-++--。
(6.2.6)当t =0时，x =A ，v =0，因此可得A =C 1+C 2，0=C 1(-β+α)+C 2(-β-α)，(6.2.7)如果β≠ω0，即α≠0，解得两个常数分别为12C A αβα+=，22C A αβα-=。
因此物体的位移为e [()e ()e ]2t t t A x βαααβαβα--=++-。
(6.2.8)[讨论]①当β>ω0时，即α>0，上式就是过阻尼的情况。
②当β→ω0时，即α→0，不论用罗必塔法则还是用公式e αt →1+αt 和e -αt →1-αt ，都可得00(1)e t x A t ωω-=+。
MATLAB在中学物理实验教学中的几个典型应用叶青1*，刘艳红2（1.楚雄师范学院物理与电子科学学院，云南楚雄675000；2.楚雄北浦中学，云南楚雄675000）摘要：本文利用Matlab 在动态绘图方面的优势，通过建模、编写程序并模拟仿真，让几个中学物理中不易观察的实验：平抛运动、斜抛运动、布朗运动、洛伦兹力和牛顿环形象直观演示，便于教师教学，增强学生的学习兴趣。
关键词：平抛运动；斜抛运动；布朗运动；洛伦兹力；牛顿环；中学物理实验；Matlab 中图分类号：G633.73文献标志码：A文章编号：1671-7406（2020）03-0042-05物理学是一门实验科学，在学习物理知识时，我们必须依赖物理实验才能更深的去探究自然科学规律。
但是在实际教学活动中，由于各种条件限制，有些实验并不方便演示或比较难以观察。
本文利用Matlab 软件仿真平台，将中学物理教学中的平抛、斜抛运动过程，布朗运动过程，带电粒子磁场中的运动，牛顿环干涉现象四个比较典型的物理实验进行编程仿真，利用多媒体进行实时演示，形象直观的展示这些物理现象及运动过程，不仅让教学过程变得生动，加深了学生对相关物理现象理解和认识，便于教学中引导同学们观察和分析。
1MATLAB 在力学实验演示中的应用在进行斜抛和平抛运动实验演示中，由于物体下落速度比较快，比较难观察，所以借助MAT-LAB 高级绘图功能和动态演示功能，通过程序编写模拟出其运动过程，不仅让教学过程变得生动，使学生真正了解斜抛和平抛的物理运动过程。
加深了对布朗运动的理解和认识。
1.1MATLAB 在平抛物理实验演示中的应用平抛运动是物体初速度水平且只受重力作用时的运动（忽略空气阻力时），平抛运动的运动过程发生比较迅速，上课时学生不容易观察，所以借助matlab 编写程序模拟仿真出平抛运动的运动过程，在实际教学中，通过多媒体进行展示，会得到很好的教学效果。
编写仿真程序如下：vx=40；t=0：0.01：10；x=vx*t ；y=-9.8*t.^2/2；comet （x ，y ）%演示平抛运动程序运行结果如图1所示。
小球在空气中平抛运动的轨迹[问题]一小球在空气中作平抛运动，初速度为v 0，所受的阻力与速率成正比：f = -kv ，k 称为阻力系数。
画出小球运动的轨迹。
[数学模型]如B7.1图所示，小球受到重力m g ，方向向下；空气阻力f ，方向与速度方向相反。
根据牛顿第二定律可列出直角坐标方程 22d d d d x x m k t t =-，22d d d d y y m mg k t t=-。
(7.1.1) 由于v x = d x /d t ，v y = d y /d t ，上式可化为 d d x x v k v t m=-，d d y y v k g v t m =-。
(7.1.2) 分离变量得d d x x v k t v m =-，d d /y y v t g kv m=-， 积分得ln ln x x k v C t m+=-，[ln()ln ]y y kv m g C t k m --+=， 当t = 0时，v x = v 0，v y = 0，可得C x = -v 0，C y = -g ，因此0exp()x k v v t m =-，[1exp()]y mg k v t k m=--。
(7.1.3) 当t = 0时，x = 0，y = 0，积分上式可得0[1exp()]mv k x t k m=--，22[exp()1]mg m g k y t t k k m =+--。
(7.1.4) 这是小球的运动方程，也是以时间t 为参数的轨道方程。
[算法]方法一：用解析式。
取t 0 = m /k 为时间单位，取s 0 = m 2g /k 2为坐标单位，坐标方程可表示为x = s 0v 0*[1 – exp(-t *)]，y = s 0[t * + exp(-t *) - 1]。
(7.1.4*) 其中，t * = t /t 0，为约化时间；v * = kv 0/mg ，是小球的约化初速度。
[程序]zqy6_3ode.m 的第一部分如下。
%阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹(用解析解)clear %清除变量v0=input('请输入水平初速度kv0/mg:'); %键盘输入水平初速度t=0:0.1:4; %时间向量x=v0*(1-exp(-t)); %有空气阻力的横坐标y=t+exp(-t)-1; %有空气阻力的纵坐标fs=16; %字体大小figure %开创图形窗口B7.1图plot(x,y) %画轨迹grid on %加网格xlabel('\itx/s\rm_0','FontSize',fs) %标记横坐标ylabel('\ity/s\rm_0','FontSize',fs) %标记纵坐标title('阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹','FontSize',fs)%标题text(0,max(y),['\itkv\rm_0/\itmg\rm=',num2str(v0)],'FontSize',fs)%约化初速度 axis ij equal %原点设在左上角并使坐标间隔相等[说明]程序执行时，从键盘输入约化初速度，例如1等值。
方法二：用两个微分方程的数值解。
微分方程组(7.1.1)式可化为0000d(/)d(/)x x v V kt v t t m V =-，000000d(/)d(/)y y v V v gt kt t t V m V =-。
其中，t 0 = m /k ，V 0 = gt 0 = mg /k 。
取t * = t /t 0，v x * = v x /V 0，v y * = v y /V 0，可得***d d x x v v t=-，***d 1d y y v v t =-。
(7.1.1*) 取v (1) = v x *，v (2) = v y *，可得两个一阶方程组*d (1)(1)d v v t =-，*d (2)1(2)d v v t=-。
在初始时刻，小球约化初速度为*000(1)x v kv v v V mg===， 而v (2) = 0。
在任意时刻，v (1)和v (2)表示约化速度。
根据速度值，利用指令cumtrapz 指令可求坐标。
[程序]zqy6_3ode.m 的第二部分如下。
%阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹(求两个一阶微分方程的数值解)[t0,V]=ode45('zqy6_3fun1',t,[v0,0]);%求微分方程的数值解x=cumtrapz(V(:,1))*t(2); %横坐标y=cumtrapz(V(:,2))*t(2); %纵坐标hold on %保持图像plot(x,y,'r.') %画轨迹程序在执行时将调用一个函数zqy6_3fun1.m 。
%阻力与速度成正比的平抛运动的加速度函数function f=fun(t,v)f=[-v(1); %水平加速度1-v(2)]; %竖直加速度[说明]用两个常微分方程的数值解可求出速度，还需要求位置坐标才能画轨迹。
方法三：用四个微分方程的数值解。
微分方程组(7.1.1)式可化为2000200d (/)d(/)d(/)d(/)x s kt x s t t m t t =-，2200002000d (/)d(/)d(/)d(/)y s gt kt y s t t s m t t =-。
取t * = t /t 0，x * = x /s 0，y * = y /s 0，由于t 0 = m /k ，s 0 = m 2g /k 2，可得2***2*d d d d x x t t =-，2***2*d d 1d d y y t t=-。
(7.1.1**) 取r (1) = x *，r (2) = y *，r (3) = d x */d t *，r (4) = d y */d t *，可得四个一阶方程组*d (1)(3)d r r t =； *d (3)(3)d r r t=-， *d (2)(4)d r r t =；*d (4)1(4)d r r t =-。
在初始时刻，小球约化位移为r (1) = r (2) = 0，初始约化速度为**000*00d d 1d (3)d d /d t v x x x r v t s t mg k t V =====， r (4) = 0。
在任意时刻，r (1)和r (2)表示约化坐标，r (3)和r (4)表示约化速度。
[程序]zqy6_3ode.m 的第三部分如下。
%阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹(求四个一阶微分方程的数值解)[t0,R]=ode45('zqy6_3fun2',t,[0,0,v0,0]);%求微分方程的数值解plot(R(:,1),R(:,2),'ko') %画轨迹程序在执行时将调用一个函数zqy6_3fun2.m 。
%阻力与速度成正比的平抛运动的函数function f=fun(t,r)f=[ r(3); %水平速度r(4); %竖直速度-r(3); %水平加速度1-r(4)]; %竖直加速度[说明]物体在平面上运动时，运动的微分方程组一般可化四个一阶常微分方程，要注意速度和加速度的排列顺序。
[注意]如果取r (1) = x *，r (2) = d x */d t *，r (3) = y *，r (4) = d y */d t *，四个一阶方程组需要修改如下*d (1)(2)d r r t =； *d (2)(2)d r r t=-， *d (3)(4)d r r t =；*d (4)1(4)d r r t=-。
在初始时刻，小球约化位移为r (1) = r (3) = 0，初始约化速度为**000*00d d 1d (2)d d /d t v x x x r v t s t mg k t V =====， r (4) = 0。
在任意时刻，r (1)和r (3)表示约化坐标，r (2)和r (4)表示约化速度。
函数文件需要修改如下(zqy6_3fun3.m)%阻力与速度成正比的平抛运动的函数function f=fun(t,r)f=[ r(2); %水平速度-r(2); %水平加速度r(4); %竖直速度1-r(4)]; %竖直加速度主程序需要修改如下[t0,R]=ode45('zqy6_3fun3',t,[0,v0,0,0]);%求微分方程的数值解plot(R(:,1),R(:,3),'ko') %画轨迹方法四：用微分方程的符号解。
公式(7.1.1**)可化为二阶微分方程2***2*d d 0d d x x t t +=，2***2*d d 10d d y y t t-+=。
(7.1.1***) 据此可求解微分方程的符号解。
[程序]zqy6_3ode.m 的第四部分如下。
%阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹(用微分方程的符号解)[sx,sy]=dsolve('D2x+Dx,D2y-1+Dy,Dx(0)=v0,Dy(0)=0,x(0)=0,y(0)=0')%求微分方程的符号解 x=subs(sx,'v0',v0); %替换初速度x=subs(x,'t',t); %替换时间形成横坐标y=subs(sy,'v0',v0); %替换初速度y=subs(y,'t',t); %替换时间形成纵坐标plot(x,y,'ms') %画轨迹[说明]符号解有两个结果sx =v0-v0*exp(-t)sy =exp(-t)+t-1这与手工推导的公式相同。
将数值替换符号时，数值和向量要分别替换。
[图示]如P7.1图所示，约化速度kv 0/mg取为2，与无阻力的情况相比，在有空气阻力的情况下，小球的横坐标和纵坐标都小一些。
如果约化速度取其他值，也可画出类似的坐标曲线和轨迹(图略)。
P7.1图湖南大学物电院 周群益。
