2014人教A版数学必修一2.3《幂函数》教学设计

高中数学（幂函数）示范教案新人教A版必修一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解幂函数的定义和性质；（2）会求幂函数的导数；（3）能够运用幂函数解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳幂函数的性质，培养学生的逻辑思维能力；（2）利用信息技术手段，展示幂函数的图象，提高学生的直观认知能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。

二、教学重点与难点1. 重点：幂函数的定义和性质，幂函数的导数。

2. 难点：幂函数在实际问题中的应用。

三、教学过程1. 导入新课：（1）复习指数函数、对数函数的性质；（2）提问：幂函数是什么？它的图象和性质是怎样的？2. 自主学习：（1）学生自主探究幂函数的定义和性质；3. 课堂讲解：（1）讲解幂函数的定义和性质；（2）讲解幂函数的导数；（3）举例说明幂函数在实际问题中的应用。

4. 课堂练习：（1）学生独立完成练习题；（2）教师点评答案，解答疑问。

5. 课堂小结：（2）教师点评并补充。

四、课后作业1. 完成教材课后练习题；2. 选取两个不同的幂函数，分析它们的性质和图象；五、教学反思1. 反思教学目标是否达成，学生掌握情况如何；2. 反思教学过程中是否存在问题，如何改进；3. 针对学生的反馈，调整教学策略，为下一节课做好准备。

六、教学评价1. 评价内容：学生对幂函数的定义、性质和导数的掌握程度，以及运用幂函数解决实际问题的能力。

2. 评价方式：课堂练习、课后作业、课堂讨论、小组合作等。

3. 评价指标：准确性、逻辑性、创新性、合作精神等。

七、教学拓展1. 对比分析幂函数、指数函数和对数函数的性质及其应用；2. 探讨幂函数在其他学科领域的应用，如物理学、化学等；3. 引入复合幂函数的概念，引导学生进一步探究。

八、教学资源1. 教材：新人教A版高中数学必修教材；2. 课件：幂函数的定义、性质和导数的课件；3. 练习题：幂函数相关练习题及答案；4. 信息技术手段：多媒体投影、网络资源等。

幂函数
一、教材分析：
《幂函数》是普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修一第二章第三单元的内容从本单元所在教材中的地位来看，它起到了承上启下的作用承上：在本章前两单元学习的指数函数和对数函数为本单元学习铺设了研究方法：例如“数形结合”、“从特殊到一般”、“类比”；同时，初
中学习的正比例函数x y =、反比例函数x
y 1=和二次函数2x y =也为本单元的学习提供了基础启
下：幂函数为学生在选修中学习导数做了铺垫
通过对本单元的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待已经接触的函数，进一步熟悉研究一个函数的方法因而本单元是对学生研究函数的方法和能力的综合提升
本单元内容安排1课时 二、教学目标：
1通过具体实例，了解幂函数的概念，体会建立一个函数模型的过程
2通过数形结合的研究方法，掌握五个具体幂函数：,,,3
2
x y x y x y ===2
1
x y =，1-=x y 的图象及性质
3经历研究五个具体幂函数的图象及性质的过程，掌握研究一般幂函数的图象及性质的方法，进一步渗透从特殊到一般的思想，培养学生综合归纳、类比的能力 三、教学重点：
1幂函数的概念
2五个幂函数的图象及性质 四、教学难点：
归纳五个幂函数的图象的共同特征，并由此得到对一般幂函数的图象及性质的研究方法 五、教学手段和方式：
本节课主要采用“思考、探究”，问题教学的方式，老师设置问题进行引导，学生自主学习、思考进行概念学习，合作交流、综合归纳进行思想方法的掌握意在充分体现的学生主体地位，教师的主导地位，让学生充分享受学习的兴趣
六、教学过程：
七、板书设计。

幂 函 数一、课程标准要求1.了解幂函数的概念；2.结合函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解它们的变化情况.二、教材分析教材内容是高中数学人教A 版教材必修1课本§2.3幂函数.幂函数作为基本初等函数之一，之前学生已经系统的学习了函数的基本概念、性质，研究了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法．从教材的整体编排来看，环环紧扣，非常紧凑，充分体现了知识的发生、发展过程，编者想通过幂函数的教学主要是使学生进一步较系统的掌握幂函数的图象性质和研究函数的一般方法，为今后学习三角函数等其他函数打下一个良好的基础．教材将幂函数放在指数函数和对数函数的学习之后,原因有三：第一，幂函数中有一特殊函数21x y =，学生在没有学习分数指数幂之前，不能从根本上理解此式；第二，学生在初中已经学习了12,,-===x y x y x y 三个简单的幂函数，在第一章中也通过信息技术应用知晓了函数3x y =，对它们的图象和性质已经有了一定的直观认知，现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成系统的知识结构；第三，有了之前的铺垫，幂函数的学习过程可以类比二次函数、指数函数、对数函数的研究方法，渗透分类讨论、数形结合的数学思想，达到培养学生归纳、概括的能力的目的，使学生熟练的利用它们解决一些实际问题，体会从特殊到一般的研究过程，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性与单调性研究一个未知函数的意识，以便能为研究一般函数图象与性质提供一个可操作性步骤，从这个角度看，本节课的教学更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合评测，是对之前研究函数的一个升华.三、教学目标鉴于课程标准的要求以及上述对教材的分析，制定如下的教学目标：1.知识与技能目标了解幂函数的概念, 会画五个简单的幂函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，能根据图象概括出幂函数的一般性质，同时能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题； 2.过程与方法目标引导学生从具体幂函数的图象与性质中归纳出共性，培养学生的识图能力和抽象概括能力，培养学生数形结合的意识；通过对幂函数的学习，了解类比法在研究问题中的作用，使学生进一步熟练掌握研究一般函数的思想方法；3.情感、态度与价值观目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导学生主动参与作图、分析图象的特征，培养学生合作、交流、探究的意志品质，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美，同时信息技术的应用也会激发学生的求知欲望.四、教学重难点：重点：通过具体实例认识幂函数的概念，研究其性质，体会图象的变化规律． 难点：幂函数的图象与性质的简单应用 重、难点突破措施： 1.以情感人，以理醒人创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝丝入扣.2.数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示幂函数的指数与图象之间的关联，突破重难点.五、设计理念与任务分析本节课遵循教师为主导，以学生为主体的原则，采用学生自主探究式的教学方法，重视思维发生的过程，注重提高学生的数学思维能力，注重发展学生的创新意识，注重信息技术与数学课程的有效整合，充分体现数学的应用价值、思维价值.围绕本节课的教学重点，教学过程中以“问题串” 的形式展开教学，逐步引导学生观察、思考、归纳、总结。

人教版必修1幂函数的教学设计设计理念：新课程理念强调：倡导积极主动、勇于探索的学习方式。

本节课通过“欣赏建筑图片及几何图形中的几组关系”，从趣味性、探究性、科学性、教育性四个方面创设问题串，使学生类比指数函数获得幂函数这个概念，并通过五个幂函数图象概括其性质，体会数形结合的思想方法。

教材分析：《幂函数》位于人教版必修1第二章第三节，本节的教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的性质。

课标要求教学时只需对它们的图象与基本性质进行认识，不必在一般的幂函数上作引伸和过多的介绍。

为使学生更好地通过五个幂函数图象概括其性质，特将学习过程设计如下：1、欣赏建筑图片，体会数学美；2、设计问题串，获得幂函数概念；3、小组合作学习，概括幂函数性质；4、深化新知，在例题中引申拓展；5、课堂小结，知识系统化；6、巩固新知，作业分层次。

学情分析：我校是一所普通高级中学，学生基础普遍比较薄弱，注意力容易分散。

从建筑图片出发，可激发学生学习动力。

通过前几节课的学习，学生已理解指、对数函数的概念，初步掌握它们的图象及性质，在此基础上本节课类比指数函数中底数a与性质的关系概括幂函数的性质，实现知识的拓展和迁移。

教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的的概念,掌握五个幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。

过程与方法能够类比研究一般函数如指数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质，发展学生的抽象、概括能力。

情感、态度、价值观体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性,通过实例使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生学习数学的热情。

教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。

教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。

教学方法：探究性学习、小组合作学习。

课前准备：多媒体课件，幂函数学案（见附录1）。

教学过程：一、欣赏建筑图片，激发学习兴趣（PPT）展示建筑图片：国家大剧院、国家体育馆、杭州湾跨海大桥、2012伦敦奥运场馆。

2.3 幂函数一、教学目标：知识与能力1、通过实例，了解幂函数的概念；2、会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；3、能应用幂函数的图像和性质解决有关简单问题。

过程与方法培养学生数形结合能力，合作交流能力，以及应用数学的能力。

情感态度与价值观让学生感受到数学来源于生活，应用于生活，并认识到现代信息技术在人们认识世界过程中的作用,激发学生的学习动力。

二、重点难点重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．三、教学方法通过让学生作图，观察、思考、交流、讨论、发现幂函数的性质.。

四、教学过程（一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元P是W的函数（y=x）(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2S是a的函数（y=x2）(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3S是a的函数（y=x3）(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=12S a是S的函数（y=12 x）(5)如果某人t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 V是t的函数（y=x-1）问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义；一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量，ɑ为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y=xɑ的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.2.幂函数的图像与简单性质同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）不妨也找出典型的函数作为代表：y=x y=x2y=x3 y=12x y=x-1让学生自主动手，用计算器在同一坐标系中画出这5个函数的图像问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。

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幂函数整体设计教学分析幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α>0时,幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1),且在第一象限内函数单调递增;当幂指数α将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.三维目标1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.重点难点教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路11.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?根据函数的定义可知,这里p是w的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S 的函数.5.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(右边指数式,且底数都是变量).(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课,书写课题:幂函数).思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数--幂函数,教师板书课题:幂函数.推进新课新知探究提出问题问题①:给出下列函数:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数?问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.函数性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域值域奇偶性单调性特殊点图象分布问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断?问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义: 一般地,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.列表:x...-3-2-10123...y=x...-3-2-10123...y=x...011.411.73...y =x2...9410149...y=x3...-27-8-101827...y=x-1...--11...描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.图2-3-1让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.通过观察图象,完成表格.函数性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇奇奇非奇非偶奇单调性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减特殊点(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)图象分布第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ、Ⅱ象限第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ象限第Ⅰ、Ⅲ象限⑤第一象限一定有幂函数的图象;第四象限一定没有幂函数的图象;而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.⑥幂函数y=xα的性质.(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因：1x=1);(2)当α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升).特别地,当α>1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.当0 (3)当α在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y 轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.应用示例思路1例1判断下列函数哪些是幂函数.①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=x.活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.解：①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;④y=x的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.变式训练判别下列函数中有几个幂函数?①y=x;②y=2x2;③y=x;④y=x2+x;⑤y=-x3.解：①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.(1)y=x,(2)y=x,(3)y=x-2.活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.解：(1)要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R.所以函数y=x的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函数y=x是偶函数,它在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数.(2)要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R+,所以函数y=x 的定义域是R+,由于函数y=x的定义域不关于原点对称,所以函数y=x 是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数.(3)要使函数y=x-2有意义,只需y=有意义,即x≠0,所以函数y=x-2的定义域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函数y=x-2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据"偶次根号下非负"这一条件来求出对应函数的定义域;当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.例3证明幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数.活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.证明：任取x1,x2∈[0,+∞),且x1f(x1)-f(x2)===,因为x1-x20,所以所以f(x1)点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与f(x2)的符号要一致.思路2例1函数y=(x2-2x)的定义域是( )A.{x|x≠0或x≠2}B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.(0,2)分析：函数y=(x2-2x)化为y=,要使函数有意义需x2-2x>0,即x>2或x2或x 函数y=(1-x2)的值域是( )A.[0,+∞)B.(0,1]C.(0,1)D.[0,1]活动：学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导.函数的值域要根据函数的定义域来求.函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法.分析：令t=1-x2,则y=,因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.答案：D点评：注意换元法在解题中的应用.例2 比较下列各组数的大小：(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30 .2.活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.比较数的大小,常借助于函数的单调性.对(1)(2)可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.解：(1)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1 (2)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.240.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2 再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2 所以0.20.3 另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性;底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.知能训练1.下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x2.下列结论正确的是( )A.幂函数的图象一定过原点B.当αC.当α>0时,幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )A.y=x3B.y=x2C.y=D.y=x4.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为.答案：1.C 2.D 3.A 4.y=x拓展提升分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.①y=x-1,y=x-2,y=x-3;②y=x,y=x;③y=x,y=x2,y=x3;④y=x,y=x.活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.图2-3-2 图2-3-3图2-3-4 图2-3-5①观察图2-3-2得到:函数y=x-1、y=x-2、y=x-3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.②观察图2-3-3得到:函数y=x、y=x的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x 轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.③观察图2-3-4得到:函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间[0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离y轴近.④观察图2-3-5得到:函数y=x、y=x的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间[0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y轴近,在点(1,1)的右边离x轴近.根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.课堂小结1.幂函数的概念.2.幂函数的性质.3.幂函数的性质的应用.作业课本P87习题2.3 1、2、3.设计感想幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.习题详解(课本第79页习题2.3)1.函数y=是幂函数.2.解析:设幂函数的解析式为f(x)=xα,因为点(2,)在图象上,所以=2α.所以α=,即幂函数的解析式为f(x)=x,x≥0.3.(1)因为流量速率v与管道半径r的四次方成正比,所以v=k·r4;(2)把r=3,v=400代入v=k·r4中,得k==,即v=r4;(3)把r=5代入v=r4,得v=X54≈3 086(cm3/s),即r=5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm3/s.。

《幂函数》教学设计一、设计构思1、设计理念注重发展学生的创新意识。

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，倡导学生积极主动探索、动手实践与相互合作交流的数学学习方式。

这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。

注重提升学生数学思维水平。

课堂教学是促动学生数学思维水平发展的主阵地。

问题解决是培养学生思维水平的主要途径。

所设计的问题应有利于学生主动地实行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。

内容的表现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。

伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。

本节主要安排应用类比法实行探讨，加深学生对类比法的体会与应用。

注重学生多层次的发展。

在问题解决的探究过程中应表达“以人为本”，充分表达“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。

有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，而学生的基础知识和学习水平是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到发展。

注重信息技术与数学课程的整合。

高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，增强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生使用计算机、计算器等实行探索和发现。

另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。

2、教材分析幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第二章第四节的内容。

该教学内容在人教版试验修订本（必修）中已被删去。

标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。

故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。

《标准》将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来理解幂函数的性质。