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2011-2012学年第二学期高等数学试题 (A)一、填空题（共4小题，每题4分，共16分）1. 积分222y x dx e dy -⎰⎰的值等于 。
2. 若级数1n n u ∞=∑的部分和序列为21n nS n =+，则1n n u ∞=∑= 。
3. 设向量x 与向量23a i j k =-+ 平行，且满足方程7a x ⋅= ，则x= 。
4.2z ds Γ⎰= ，其中Γ是球面2222x y z R ++=与平面0x y z ++=的交线。
二、选择题（共4小题，每题4分，共16分）1. 设()()()(),x yx yu x y x y x y t dt ϕϕψ+-=++-+⎰，其中函数ϕ具有二阶连续导数，ψ具有一阶导数，则必有 。
(A) 2222u u x y ∂∂=∂∂； (B) 2222u ux y ∂∂=-∂∂； (C) 222u u x y y ∂∂=∂∂∂; (D)222u u x y x ∂∂=∂∂∂2. 曲面222x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程为 。
(A) 2230x y z +--=； (B) 30x y z +--=； (C)330x y z +--=； (D) 23230x y z +--=3. 设D 是由曲线sin y x =与x 轴上自0x =至2x π=的线段所围成的有界闭区域，(),f x y 在D 上连续，积分(),Df x y d σ⎰⎰与()()2sin 001,,xdx f x y dy π⎰⎰()()()sin 2sin 002,,,xx dx f x y dy dx f x y dy πππ-⎰⎰⎰⎰()()()1arcsin 02arcsin 0arcsin 1arcsin 3,,,yyyy dy f x y dx dy f x y dx πππ-+--+⎰⎰⎰⎰()()()1arcsin 02arcsin 0arcsin 1arcsin 4,,yyyydy f x y dx dy f x y dx πππ---++⎰⎰⎰⎰相等的是 。
2011-2012学年第 2 学期 大学数学Ⅱ 华南农业大学期末考试试卷（A 卷）-参考答案 一、1. 0.8； 2. 31e --； 3. 518； 4. 416 ； 5. )1(t ； 6. (4.412，5.588) 二、1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 三、1. 解 设A =“任取一产品，经检验认为是合格品” B =“任取一产品确是合格品” 依题意()0.9,()0.1,()0.95,()0.02P B P B P A B P A B ==== （2分） 则（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=（5分）（2） ()(|)0.90.95(|)0.9977()0.857P B P A B P B A P A ⨯===. （8分） 2. 解 (1) 由2114a a -+=得1231().22舍去或a a ==- (3分) (2) X 的分布律为 (5分) (3) X 的分布函数为 0,10,111,12,1244()113,23,234241111,3,3424x x x x F x x x x x <⎧<⎧⎪⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪⎪==⎨⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪⎪≥++≥⎩⎪⎩ (8分)3. 解（1）111011{1}{11}12x x P X P X e dx e dx e ---<=-<<===-⎰⎰. (3分)（2）当0y ≤时，()()()20F y P Y y P X y =<=<=； (5分) 当0y >时，()()(20x x F y P X y P X dx dx --=<=<== (8分)所以2Y X =的密度函数为0,0()()0y f y F y y ≤⎧⎪'==>. (10分)4. 解 （1）因为随机变量X 与Y 相互独立， ( 1分)所以它们的联合密度函数为：3,03,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他(3分)（2）{}(,)y x P Y X f x y dxdy <<=⎰⎰3300[]x y edy dx -=⎰⎰ (6分) 330(1)x e dx -=-⎰3390181()333xx e e --=+=+()9183e -=+ (8分)（3）解：由密度函数可知~(0,3),~(3)X U Y E (10分) 所以，22(30)311(),(),12439D X D Y -==== (12分) 由X 与Y 相互独立，得3131()()()4936D X Y D X D Y -=+=+= (14分) 四、1. 解 检验假设 20:0.0004H σ=，21:0.0004H σ≠. （1分） 依题意，取统计量：222(1)~(1)n S n χχσ-=-，15n =. （3分） 查表得临界值：220.0252(1)(14)26.1n αχχ-==，220.97512(1)(14) 5.63n αχχ--==, （5分） 计算统计量的观测值得： 22140.02521.8750.0004χ⨯==. （6分） 因2220.9750.025(14)(14)χχχ<<，故接受原假设0H ，即认为总体方差与规定的方差无显著差异. （8分） 2. 解 (1)(2) 解 因为F =5.6681>0.01(3,16) 5.29F =，所以拒绝0H ，即认为不同的贮藏方法对粮食含水率的影响在检验水平0.01α=下有统计意义. (8分)3. 解 2.10=x ，239=y (2分)6.252.10101066221012=⨯-=-=∑=x n x l i i xx (3分)6622392.101025040101=⨯⨯-=-=∑=y x n y x l i i i xy (4分)故1662ˆ25.8625.6xy xx l l β==≈；01ˆˆ23925.8610.224.77y x ββ=-=-⨯=- (6分) 因此所求回归直线方程为 ˆ24.7725.86y x =-+ (8分)。
上海大学数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. \( \sqrt{2} \)是有理数B. \( \sqrt{2} \)是无理数C. \( \sqrt{2} \)是整数D. \( \sqrt{2} \)是复数答案：B2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上是：A. 增函数B. 减函数C. 常函数D. 非单调函数答案：A3. 以下哪个数列是等差数列？A. \( 1, 2, 4, 8, \ldots \)B. \( 2, 4, 6, 8, \ldots \)C. \( 1, 1, 1, 1, \ldots \)D. \( 3, 5, 7, 9, \ldots \)答案：D4. 圆的面积公式是：A. \( \pi r^2 \)B. \( \frac{1}{2} \pi r^2 \)C. \( \pi r \)D. \( 2\pi r \)答案：A5. 以下哪个选项是矩阵？A. 一个二维数组B. 一个一维数组C. 一个三维数组D. 一个四维数组答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 圆周率 \( \pi \) 的近似值是 ________。
答案：3.141592. 函数 \( y = \sin(x) \) 的周期是 ________。
答案：\( 2\pi \)3. 矩阵 \( A \) 和 \( B \) 的乘积记作 ________。
答案：\( AB \)4. 欧拉公式 \( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \) 中的 \( i \) 代表 ________。
答案：虚数单位5. 勾股定理表明在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即 \( a^2 + b^2 = ________ \)。
答案：\( c^2 \)三、解答题（每题30分，共60分）1. 证明函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处取得极值，并求出该极值。
2011 - 2012学年第二学期期末考试《高等数学(下)》试卷(A)答卷说明：1、本试卷共6页，四个大题，满分 100分，120分钟完卷。
2、闭卷考试。
3、适用班级：11级通信系、电子系本科各班题号-一--二二三四总分分数评阅人： ____________ 总分人： __________________________、单项选择题(共 10小题，每小题3分，共30分)。
【A 】设有直线L ： 口 =丄二二2及平面二:2x y =1,则直线L1 -2 1(A)平行于二 (B) 在二内 (C)垂直于二 (D) 与二斜交【D 】2.锥面z立体在xoy 面的投影为[A l 4.函数z = f (x, y)在点(x 0, y 0)处可微分，则函数在该点1 1【C 】5.将二次积分pdx. f(x,y)dy 转化成先对x ,后对y 的二次积分为(A)必连续 (C)必有极值(D)(B)偏导数必存在且连续偏导数不一定存在(A) (x -1)2 y 2=1 (B) (x-1)2 y 2 乞 1(C)z= 0,(x -1)2y 2 -1(D)z =0,(x_1)2y 2 _1【C 3.设函数z 二z(x, y)由方程e z = e + xyz 确定，则一z的值为(1,0,1)(A) d(B)e (C)(D)11 1 x( A )°dy y f(x, y)dx(B)°dy 0f(x,y)dx( C )1 y0dy 0f(x,y)dx(D) 1 10dy 0f(x,y)dx【D] 6.设L为圆周x22y =1(逆时针方向),则口L(x y)dx (3y -2x)dy( A 3 二(B) 2 二(C) 4 二(D) -3'：【D】7.下列级数中，收敛的级数是001(A) ----------- (B)n4 . 2n 1f (3n4 2n(C)1 nn4 1 * n2(D)nm n ■ 1°°(x _1)n 【B] 8.幕级数a(x n丿■的收敛域为心n3n(A) ( -2, 4) (B)[-2,4)(C)[-2,4](D)(-2, 4]【C】9.微分方程y - y = 0满足初始条件y l x出=2的特解为(A) y =e x1( B)xy = e 2x x(C) y = 2e (D) y = e【B] 10.具有特解y1.x .x二e , y2 二xe的二阶常系数齐次线性微分方程是(A) y -2y y = 0(B)y 2y y = 0(C) y y - 2y = 0(D)y - y 2y = 0得分|二、填空题(共5小题，每小题3分,共15分)1. 设两点A(1,2,1)及B (2,1,3),则| AB | = | AB | = •、6 _；向量AB与z轴的夹角为，r则方向余弦COS ；* = ____ . COS f = ----32. 设z = y x,则dz=_dz = y x In yd^xy x^dy.3. 函数f(x, y) =x2y — y2在点P(1,1)处方向导数的最大值为_T5 _____________ .4. 设L是连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则[(x + y)ds=_J2 _______________ .15.函数 展开成X 的幕级数为3 x1.已知曲面Z =x 2 ・y 2-2上一点M (2,1,3)，⑴ 求曲面在M 点处的一个法向量；(2) 求曲面在M 点处的切平面及法线方程•2.求函数 f (x, y) = 2(x 「y)「x 2「y 2 的极值.2 2 2 23.平面薄片的面密度为」(x,y)=x y 1,所占的闭区域 D 为圆周x y =1及坐标轴所围成的第一象限部分，求该平面薄片的质量.4.利用高斯公式计算曲面积分(3z 2x)dydz - (y 3 -2xz)dxdz - (3x 2z)dxdy ,其中Z为上半球面z = a 2 -x 2 - y 2及平面z = 0所围立体的整个边界曲面的外侧5.设曲线通过原点，且曲线上任一点 M (x, y)处的切线斜率等于 x - y ,求该曲线的方程.6. 求微分方程y -3y ，2y =e x 的通解.3n7. 判断级数v (-1)n °半是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?心 4四、综合应用题(共2小题，共13分，其中第1题6分，第2题7分).1. (6分)要用钢板造一个体积为4( m 3)长方体无盖容器，应如何选择容器的尺寸，使n 1n z03nx , -3 ：：三、计算题(共7小题，每小题6分,共42分)得用料最省？》 2 * 》2. (7分)设在xoy平面有一变力F(x, y) =(x • y2) i (2x^8) j构成力场,(1)证明质点在此力场中移动时,场力所作的功与路径无关 ；(2)计算质点从点 A(1,0)移动到点《高等数学(下)》试卷(A) 第5页 共6页B(2,1)时场力所作的功(1)|ABH<6; COS 63x(2) dz = y Inydx xy x_l dy、2「¥x n ,—3»3n £3三.计算题(每小题6分,共42分).1.(6 分)(1)由 z = x 2y 2 -2 得，Z x =2x,Z y =2y ,曲面在点M (2,1,3)处的一个法n=(-4, -2,1))2分)⑵ 在点M (2,1,3)的切平面方程为4(x-2)，2(y-1)-(z-3) =04x 2y-z -7 -0选择题每小题3分共30分)..填空题(每小题3分,共15分).... (2 分) 法x y 42分)线z -3 -1A 二 f xx （1,—1） = —2,B 二 f xy （1,—1） = °,C 二 f yy （1, — 1） = -2,则2AC - B=4 ° , A ：： ° , .................................................................................. （2 分）所 以 （-1 为 极 大 值 点 ， 极 大 值f （1,—1） =2 ............................................................. （2 分） 3.（6分）平 面 薄 片的 质M 二 J（x, y ）dxdy 二（x 2 y 2 1）dxdy .......................... （ 2 分）DD1 o2dr C 1）Z ° - °v/【丄加丄詩彳二3二 ................................ （2分）2 4 2 84.（6 分）所围空间区域 门={（ x, y, z ） |0 _ z _ a 2-X 2 - y 2} 由高斯公式，有原式r "耳◎迅）dv0 ex oy cz!!! （3z 2 3y 2 3x 2）dv ............................. （ 2 分）Q2 a=3茁 2sin 「d 「r 2 r 2dr ................................. （ 2 分）0 - 0 02.（6 分）f x =2_2x, f y =-2—2yf x 二 0,占八（2 分）y=°,（2 分）（-1 xy丑1 6=3 2二[-cos J： [ r5]0 a5......................... ( 2 分)5 55.(6分)设所求曲线为y = y(x),由题意得，y = x- y , y(0) = 0,该方程为一阶线性微分方程y・y=x, 其中P( x) 1 Q, x ........................... x .......................... ( 2 分)_p(x)dx |P(x)dx _|dx f dx故通解为y = e [ e Q(x)dx C] =e [ xe dx C] [xe x dx C]二e ▲ (xe x _ e x C)二Ce」x -1(2 分)2分)从而Q(x)二-x,特解y - -xe x, (2 分)y(0)=0 从而所求曲线为6.(6 分)对应的齐次方程y”-3y、2y=0的特征方程为r2-3r•2=0，得特征根则对应的齐次方程的y =C1e x C2e2x2分)对于非齐次方程y ” -3y： 2y二e x, ' =1为r2-3r *2=0的单根，P(x) =1,设其* y特解为y -Q(x)e x,其中Q(x)=ax, a为待定系数，Q(x)满足Q (x) (2' p)Q(x)二P(x)0 (2 1 _3)(a) =17.(6分)由于》(一1)n 4 3n4ny 二C^x C2e2x_xe x.而|im 加=lim匸匕=丄 , 贝U (—2卑1 )收y u n F 4n 4 心4n 敛，................................... （ 3 分）3n从而'•（_ ni i3n ）也收敛，且为绝对收心4n敛. ....................................... （3分）四、综合应用题（共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分）.41.（6分）设该容器的长，宽，高为x, y,z,由题意知xyz=4,则z ,容器的表面积xy4 8 8A = xy 2yz 2xz = xy 2(x y) xy , x 0, y 0xy x y分）( 2 分)因实际问题存在最小值，且驻点唯一，所以当x二y = 2（ m）, z = 1（ m）时，容器的表面积最小，从而用料最省. .....................................................................（1分）2.（7 分）证明：（1）P（x, y）=x y2, Q（x, y） = 2xy-8,由于在xoy面内，—=2y Q恒成立，且P连续，® ex cy ex2分)故质点在该力场中移动时场力所作的功与路径无关. ................................... （4分）⑵质点从点A（1,0）移动到点B（2,1）时场力所作的功（与路径无关），路径L可取折线段A > C,C > B,其中点C(2,0),从而(2,1) * (2,1)W F dr Pdx Qdy%,。
上海海事大学2011---2012学年第 2 学期 研究生 数值分析 课程考试试卷A （答案）学生姓名： 学号： 专业：一．填空题（每小格2分共30分）1. 利用Jacobi 迭代法求解Ax=b 时，其迭代矩阵是)(1U L D B J +=-；当系数矩阵A 满足 严格对角占优 时，Jacobi 迭代法收敛 。
x 0 1 2 42. 已知函数)(x f 有数据f 1 9 23 3 则其3次Lagrange插值多式的基函数)(0x l 为147878123+-+-x x x 插值余项为 )4)(2)(1(!4)()4(---x x x x f ξ3. 求解常微分方程初值问题⎩⎨⎧=≤≤=η)(),,('a y bx a y x f y的Euler 公式为),(1i i i i y x hf y y +=+， 它是1 阶方法。
4. 设,1457)(348++-=x x x x f 则差商=]5,...,5,5[810f 7 =]2,...2,2[910f 05. 对于求解Ax=b ，如果右端有b δ的扰动存在而引起解的误差为x δ，则相对误差≤xxδ bbA C o n d δ)(6. Gauss 型数值求积公式)()(0i bani ix f Adx x f ⎰∑=≈的代数精度具有2n+1___次，求积系数的表达式为i A ＝⎰bai dx x l )(2,且=∑=ni iAb-ａ7. 幂法是求矩阵 按模最大 特征值和特征向量的计算方法．Jacobi 法是计算 实对称矩阵的所有 特征值和特征向量的计算方法8. 对于给定的正数k ，Newton 法解二次方程02=-k x 的迭代公式为)(21)()(1nn n n n n x kx x f x f x x +='-=+ 二．设函数42)(x x f =，已知188)(244+-=x x x T ，试利用切比雪夫多项式最小零偏差的性质，求函数)(x f 在区间[-1，1]上的次数低于4的最佳一致逼近。
2011-2012学年上海市某校高三（下）联考数学试卷（文科）一、填空题（本大题每题4分，满分56分）1. 平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A(1, 2)，B(−1, 3)，则OA →⋅AB →=________． 2. 复数2+i 1−i的虚部为________．3. 函数y =√3cos2x −sin2x 的最小正周期为________．4. 直线x −2y +1=0关于y 轴对称的直线方程为________．5. 定义集合运算：A ∗B ={z|z =xy, x ∈A, y ∈B}．设A ={1, 2}，B ={4, 6}，则集合A ∗B 的所有元素之和为________．6. 从集合{1, 2, 3, 4, 5}中任取两数，其乘积大于10的概率为________．7. 若实数a 、b 、m 满足2a =5b =m ，且2a +1b =2，则m 的值为________．8. 若对于任意实数x ，都有x 4＝a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2+a 3(x +2)3+a 4(x +2)4，则a 3的值为________．9. 设等差数列{a n }的公差d 为−2，前n 项和为S n ，则lim n →∞a n2−n 2S n=________．10. 函数y =arcsin 12(x 2+1)的值域为________．11. 与直线x +y −2=0和圆x 2+y 2−12x −12y +70=0都相切的半径最小的圆的标准方程为________．12. 已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝1，AB ＝BC ＝2，则球O 的表面积为________．13. 如果一个正四位数的千位数a 、百位数b 、十位数c 和个位数d 满足关系(a −b)(c −d)<0，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”．那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为________．（直接用数字作答）14. 某校数学课外小组在坐标纸上，为一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k (x k , y k )处，其中x 1=1，y 1=1，当k ≥2时，{x k =x k−1+1−4[T(k−14)−T(k−24)]y k =y k−1+T(k−14)−T(k−24)，T(a)表示非负实数a 的整数部分，例如T(3.7)=3，T(0.4)=0．按此方案，在第2012棵树的种植点坐标应为________．二、选择题（本大题每题5分，满分20分）15. “|x|>3成立”是“x(x −3)>0成立”的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 非充分非必要条件 16. 已知向量a →、b →满足|a →|=1，|b →|=2，a →与b →的夹角为120∘，则|a →−2b →|等于（ ） A 3 B √15 C √21 D 517. 函数y =f(x +1)为定义在R 上的偶函数，且当x ≥1时，f(x)=2x −1，则下列写法正确的是（ ）A f(13)<f(32)<f(23) B f(23)<f(13)<f(32) C f(23)<f(32)<f(13) D f(32)<f(23)<f(13)18. 椭圆x 24+y 23=1上有n 个不同的点：P 1，P 2，P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F|}是公差大于1100的等差数列，则n 的最大值为（ ） A 199 B 200 C 198 D 201三、解答题（本大题74分）19. 在△ABC 中，tanA =23，tanB =15．（1）求角C 的大小；（2）如果△ABC 的最大边长为√13，求最小的边长．20.如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，BC =2，CC 1=5，M 为棱CC 1上一点．（1）若C 1M =32，求异面直线A 1M 和C 1D 1所成角的正切值； （2）若C 1M =1，试证明：BM ⊥平面A 1B 1M ．21. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a ，a n+1=2S n +4n ，n ∈N ∗． （1）设b n =S n −4n ，求数列{b n }的通项公式；（2）若对于一切n ∈N ∗，都有a n+1≥a n 恒成立，求a 的取值范围．22. 若函数f(x)定义域为R ，满足对任意x 1，x 2∈R ，有f(x 1+x 2)≤f(x 1)+f(x 2)，则称f(x)为“V 形函数”．（1）当f(x)=x 2时，判断f(x)是否为V 形函数，并说明理由； （2）当f(x)=lg(x 2+2)时，证明：f(x)是V 形函数；（3）当f(x)=lg(2x +a)时，若f(x)为V 形函数，求实数a 的取值范围．23. 设C 1是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px(p >0)，C 2是以直线2x −√3y =0与2x +√3y =0为渐近线，以(0,√7)为一个焦点的双曲线．（1）求双曲线C 2的标准方程；（2）若C 1与C 2在第一象限内有两个公共点A 和B ，求p 的取值范围，并求FA →⋅FB →的最大值；（3）是否存在正数p，使得此时△FAB的重心G恰好在双曲线C2的渐近线上？如果存在，求出p的值；如果不存在，说明理由．2011-2012学年上海市某校高三（下）联考数学试卷（文科）答案1. 02. 323. π4. x+2y−1=05. 306. 7157. 2√5．8. −89. −310. [π6, π2 ]11. (x−3)2+(y−3)2=812. 9π13. 364514. (4, 503)15. A16. C17. C18. B19. 解：（1）∵ tanA=23，tanB=15，∴ tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=23+151−23×15=1，∵ C=π−(A+B)，∴ tanC=−tan(A+B)=−1．' 又∵ 0<C<π，∴ C=3π4．（2）∵ C=3π4>π2，∴ AB边最大，即AB=√13，又∵ tanA>tanB，A，B∈(0, π2)，所以B为最小角，AC边为最小边．∵ {tanB=sinBcosB=15cos2B+sin2B=1且B∈(0, π2)，∴ sinB=√2626（舍负）．由ABsinC =ACsinB，得AC=ABsinBsinC=√22˙=1．因此，最小的边AC=1．20. 解：（1）连接A1M、B1M∵ 长方体ABCD−A1B1C1D1中，A1B1 // C1D1，∴ ∠B1A1M或其补角即为异面直线A1M和C1D1所成角∵ A1B1⊥平面BB1C1C，B1M⊆平面BB1C1C，∴ A1B1⊥B1M Rt△B1C1M中，B1M=√B1C12+B1M2=52∴ Rt△A1B1M中，tan∠B1A1M=B1MA1B1=52即异面直线A1M和C1D1所成角的正切值等于52；（2）∵ Rt△B1C1M中，C1M=1，B1C1=2且Rt△BCM中，CM=4，BC=2∴ BCC1M =CMB1C1=2，结合∠MC1B1=∠BCM=90∘∴ Rt△B1C1M∽Rt△MCB，可得∠BMC=∠MB1C1=90∘−∠B1MC1．∴ ∠BMC+∠B1MC1=90∘，得BM⊥B1M又∵ A1B1⊥平面BB1C1C，BM⊆平面BB1C1C，∴ A1B1⊥BM∵ A1B1、B1M是平面A1B1M内的相交直线∴ BM⊥平面A1B1M．21. 解：（1）依题意，S n+1−S n=a n+1=2S n+4n，即S n+1=3S n+4n，设b n=S n−4n，则b n+1=S n+1−4n+1∴ b n+1=3b n，∵ b1=S1−4=a−4∴数列{b n}的通项公式为b n=(a−4)×3n−1，n∈N∗．①（2）由①知S n=4n+(a−4)×3n−1，于是，当n≥2时，a n=S n−S n−1=4n+(a−4)×3n−1−[4n−1+(a−4)×3n−2]=3×4n−1+2(a−4)3n−2，a n+1−a n=9×4n−1+4(a−4)×3n−2，当n≥2时，a n+1≥a n等价于9×4n−1+4(a−4)×3n−2≥0∴ 36×(43)n−2+4(a−4)≥0∴ a≥−5．由S n+1=3S n+4n，得S2=3S1+4=3a+4，即a2=2a+4故当n=1时，a2−a1=a+4≥0即a≥−4综上，所求的a的取值范围是[−4, +∞)．22. 解：（1）当f(x)=x2时，f(x1+x2)=x12+x22+2x1x2，f(x1)+f(x2)=x12+x22，当x 1，x 2同号时，f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)，不满足V 形函数的定义， 故当f(x)=x 2时，f(x)不是V 形函数；（2）当f(x)=lg(x 2+2)时f(x 1+x 2)=lg[(x 1+x 2)2+2]=lg(x 12+x 22+2x 1x 2+2)，f(x 1)+f(x 2)=lg(x 12+2)+lg(x 22+2)=lg[2(x 12+x 22)+x 12x 22+4]∴ 满足对任意x 1，x 2∈R ，有f(x 1+x 2)≤f(x 1)+f(x 2)，则f(x)=lg(x 2+2)为“V 形函数”．（3）当f(x)=lg(2x +a)时，若f(x)为V 形函数 则f(x 1+x 2)≤f(x 1)+f(x 2)，即lg(2x 1+x 2+a)≤lg(2x 1+a)+lg(2x 2+a)=lg[2x 1+x 2+a(2x 1+x 2)+a 2] ∴ a(2x 1+x 2)+a 2−a ≥0对任意x 1，x 2∈R 恒成立当a =0时，成立，当a <0时不成立，当a >0时，a ≥(1−2x 1+x 2)max ∴ a ≥1或a =023. 因为一个焦点是(0,√7)，故焦点在y 轴上，于是可设双曲线C 2的方程为y 2a 2−x 2b 2=1(a >0, b >0)∵ C 2是以直线2x −√3y =0与2x +√3y =0为渐近线， ∴ ab =√3∵ a 2+b 2＝7 ∴ a ＝2，b =√3 ∴ 双曲线方程为y 24−x 23=1；抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点F(p2, 0)，与双曲线方程联立消y 得：4x 2−6px +12＝0 ∵ C 1与C 2在第一象限内有两个公共点A 和B ，∴ △>0，∴ p >4√33设A(m, n)、B(e, f)，则FA →⋅FB →=(m −p 2, n)⋅(e −p 2, f)＝me −(m +e)×p 2+p 24+nf ＝me −(m +e)×p2+p 24+2p √me由方程知me ＝3，m +e =3p2代入得FA →⋅FB →=−p 22+2√3p +3=−12(p −2√3)2+9，函数的对称轴为p ＝2√3 ∵ p >4√33，∴ p ＝2√3时，FA →⋅FB →的最大值为9；由（2）知△FAB 的重心G(2p 3, n+f 3)∵ n +f =√2pm +√2pe =√3p 2+4√3p ∴ G(2p3, √3p 2+4√3p3)假设G 恰好在双曲线C 2的渐近线上，则2×2p 3−√3×√3p 2+4√3p3=0，∴ 7p 2=12√3p∴ p ＝0或p =12√37∵ p >4√33，∴ p =12√37∴ 存在正数p =12√37，使得此时△FAB 的重心G 恰好在双曲线C 2的渐近线上．。
数值分析历届考题03-04学年秋季学期一．简答题（每小题5分）1. 数值计算中要注意哪些问题。
答：第一、两个相近的数应避免相减。
第二、绝对值很小的数应避免作除数。
第三、注意选取适当的算法减少运算次数。
第四、两个绝对值相差很大的数运算时，注意“机器零”的问题。
第五、注意算法的收敛性和稳定性。
2. 用迭代法求解非线性方程0)(=x f 时，迭代收敛的条件是什么，可以用什么方法来确定初值0x 。
答：对于非线性方程0)(=x f （其迭代格式为)(x g x =），如果满足： （1） 当],[b a x ∈时，],[)(b a x g ∈；（2） )(x g '在],[b a 上连续，且对任意的],[b a x ∈都有1)(<≤L x g 。
则有结论：对任意给定的],[0b a x ∈，由迭代格式)(1k k x g x =+，k=0,1,2,…产生的序列{}k x 收敛于*x ，即迭代收敛。
可以用二分法来确定初值0x 。
3. 用消元法求解线性方程组时，为什么要选主元。
答： 因为用简单高斯消元法求得的近似解与精确解相差甚远，其主要原因是绝对值很小的数作除数，导致了误差的快速增长。
为了避免这种情况的发生，我们可以通过行交换，在需要消元的列中，取绝对值最大者作为主对角线元素（即主元），计算效果将得到改善。
4. 矩阵的条件数是什么，它对求解线性方程组有什么影响。
答：对于n 阶可逆方阵A ，正实数||A ||||1-A ||称为A 的条件数，记为cond(A)。
条件数对于线性方程组Ax=b 的影响如下：bb A cond xx∆≤∆)(，其中b ∆为A 精确时b 产生的误差；AAA cond x x ∆≤∆)( ，其中A ∆为b 精确时A 产生的误差。
5. 把下列二阶常微分方程的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='=-=-+'--''2)0(,1)0(1111y y x y x y x x y 化为一阶常微分方程组，并写出求解该方程的改进Euler 方法。
2011 —2012 学年第二学期考试统一用答题册考试课程复变函数与积分变换A 班级学号姓名成绩2012 年 6 月 7 日（试题共5页）一、选择题(每题3分，共27分) 1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．00)Re()Re(lim0z z z z z z --→（ ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 3．设C 为椭圆19422=+y x 正向，则积分⎰C z z d 1= （ ）（A ）i π2 （B ）π （C ）0 （D ）i π2-4. 设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰z z z z cd )1(21cos3 （ ）（A ）12-ie π （B ）0 （C ）ie π2 （D ）ie π2- 5．设0=z 为函数zz zz sin sin -的m 级极点，那么=m （ ）（A ）4 （B ）3 (C)2 （D ）1 6．设c 为正向圆周1=z ，则⎰Czdz=（ ） （A ）2i π （B ）2π （C ）-2i π （D ）-2π 7．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，该级数在i z +=2处的敛散性为（ ）（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定 8.在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）（A ） 21)(ze zf z -= （B ）z z z z f 1sin )(-= （C ）z z z z f cos sin )(+=(D) ze zf z111)(--= 9. 设,)(2itet f -= 则)(t f 的傅立叶变换为（A ）)(2ωπδ （B ）)2(2-ωπδ （C ）)2(2+ωπδ （D ）1 二、 填空题（每题3分，共27分）1．1Re ||<+z z 表示的点集是 区域（说明有界还是无界，单连通还是多连通）.2. 函数ix y i x z f 3)1()(33--+=在i z +=1处的导数为 .3. 复数=)3ln cos(i .4. 设c 为从0到i 的直线段，积分=⎰cz z z d sin .5. 已知,32)(23xy x x x,y u +-= 则由u 及其共轭调和函数构成的解析函数f (z ) = u + iv = . 6．级数42sin 2++z z z在0=z 处的泰勒展开式的收敛域是 . 7．函数11sin-z 在1=z 处的留数为 . 8. 函数241)(ωω+=F 的傅立叶逆变换为 .9．函数1)(22+=s s s F 的拉普拉斯逆变换为 .三、（12分）计算积分.d )(|3⎰-c zz z πz e四、（10分）将)1(1)(2+=z z f 在适当的圆环域内展成以i 为心的幂级数。
