函数的连续性简介教学材料

《函数的连续性与导数性质教学设计与实验研究》教案设计第一章：函数的连续性1.1 连续性的概念引导学生理解连续性的直观含义通过具体例子讲解连续性的定义引导学生理解连续性与连续函数的关系1.2 连续函数的性质引导学生了解连续函数的基本性质通过例子讲解连续函数的单调性、周期性等性质引导学生理解连续函数的性质对于解决实际问题的意义第二章：导数的定义与性质2.1 导数的定义引导学生理解导数的定义通过具体例子讲解导数的计算方法引导学生理解导数与函数的连续性的关系2.2 导数的性质引导学生了解导数的基本性质通过例子讲解导数的单调性、周期性等性质引导学生理解导数的性质对于解决实际问题的意义第三章：导数的应用3.1 函数的单调性引导学生理解函数的单调性通过例子讲解如何利用导数判断函数的单调性引导学生理解函数的单调性对于解决实际问题的意义3.2 函数的极值与拐点引导学生理解函数的极值与拐点的概念通过例子讲解如何利用导数求函数的极值与拐点引导学生理解函数的极值与拐点对于解决实际问题的意义第四章：导数在实际问题中的应用4.1 优化问题引导学生理解优化问题的概念通过例子讲解如何利用导数解决优化问题引导学生理解优化问题在实际中的应用4.2 经济问题引导学生理解经济问题的概念通过例子讲解如何利用导数解决经济问题引导学生理解经济问题在实际中的应用第五章：实验与探究5.1 连续性与导数的实验引导学生进行实验，观察连续函数的性质通过实验引导学生理解连续性与导数的关系5.2 导数应用的实验引导学生进行实验，观察函数的单调性、极值等性质通过实验引导学生理解导数在实际问题中的应用第六章：高阶导数与微分中值定理6.1 高阶导数的定义与计算引导学生理解高阶导数的概念通过具体例子讲解高阶导数的计算方法引导学生理解高阶导数在研究函数性质中的应用6.2 微分中值定理引导学生理解微分中值定理的概念通过例子讲解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的应用引导学生理解微分中值定理在实际问题中的应用第七章：泰勒公式与导数的逼近7.1 泰勒公式的定义与计算引导学生理解泰勒公式的概念通过具体例子讲解泰勒公式的计算方法引导学生理解泰勒公式在逼近函数值中的应用7.2 导数的逼近方法引导学生了解导数逼近的概念通过例子讲解导数逼近的方法和应用引导学生理解导数逼近在实际问题中的应用第八章：函数的极限与连续性8.1 极限的概念与计算引导学生理解极限的概念通过具体例子讲解极限的计算方法引导学生理解极限在研究函数连续性中的应用8.2 函数的连续性与极限的关系引导学生了解函数连续性与极限的关系通过例子讲解函数连续性与极限的联系和区别引导学生理解函数连续性与极限在实际问题中的应用第九章：函数的导数与微分学的基本定理9.1 函数的导数与微分学的基本定理引导学生理解函数的导数与微分学的基本定理通过具体例子讲解微分学的基本定理的应用引导学生理解微分学的基本定理在实际问题中的应用9.2 微分学的应用引导学生了解微分学的应用通过例子讲解微分学在实际问题中的应用引导学生理解微分学在实际问题中的应用第十章：实验与探究10.1 导数与微分学的实验引导学生进行实验，观察导数与微分学的基本定理的性质通过实验引导学生理解导数与微分学的关系10.2 微分学应用的实验引导学生进行实验，观察微分学在实际问题中的应用通过实验引导学生理解微分学在实际问题中的应用重点和难点解析一、连续性的概念：理解连续性的定义和连续函数的关系是学习后续内容的基础。

函数的连续性教案⽰例函数的连续性·教案⽰例⽬的要求了解函数在⼀点处连续的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产⽣的函数在定义区间内每⼀点都连续，会从⼏何直观上理解闭区间上的连续函数有最⼤值和最⼩值．内容分析1．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数，⽽连续概念是建⽴在极限概念的基础上的．本节课介绍函数f(x)在点x ＝x 0处连续的概念时，除借助图形直观描述外，主要以函数值、极限值都存→f(x )lim f(x)0x x 0在且两者相等为定义⽅式，这种定义与极限关系密切，所以将连续作为本章的最后部分既是承上启下的，⼜是顺理成章的．2．⼈们对事物的认识是不断加深的，研究也是由浅⼊深的．对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等进⾏了研究，本课再⽤学过的极限概念对函数的连续性加以研究，使我们对函数的了解认识更进⼀步，更完善．3．本课时的重点是函数在x ＝x 0处连续的定义．定义包含三层意思：(1)f(x)在点x ＝x 0处及其附近有定义；(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 000→→存在；＝可结合图形说明，只要缺其中的任意⼀个条件，就说f(x)在点x 0处不连续．难点是对连续的理解，由于连续较抽象，故要对照图形讲解．4．函数在区间连续是建⽴在函数在⼀点连续的基础上的．如果函数f(x)在开区间(a ，b)内每⼀点都连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续；如果在开区间，内连续，在＝处有＝，在＝处有＝，就说在闭区间，上连续．这种环环相扣、→→f(x)(a b)x a lim f(x)f(a)x b lim f(x)f(b)f(x)[a b]x ax b +-层层推进的定义⽅式能很好地培养学⽣严谨的逻辑思维．5．指出已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产⽣的函数在其定义区间⾥每⼀点都是连续的．6．从⼏何直观上讲解函数的连续性和连续函数的性质．7．从连续函数的定义可知，所谓函数y ＝f(x)在它的定义域内某点x 0处连续，意思是说，当⾃变量x ⽆限接近x 0时，相应的函数值f(x)也就⽆限地接近函数值f(x 0)．也可⽤“增量”(改变量)来说明函数的连续性：设⾃变量x 的增量为Δx ＝x －x 0，则函数值的改变量为Δy ＝f(x ＋x 0)－f(x 0)．所谓f(x)在点x 0处连续，就是指当Δx →0时，相应的增量Δy也趋向零，即Δ＝．通过这些不同的说法，加深对极限概念的Δ→lim y 0x 0认识．教学过程1．实例引⼊概念，图形直观说明(1)⽔银柱⾼度随温度的改变⽽连续变化；(2)邮费随邮件重量的增加⽽作阶梯式的增加．函数值是否会因为⾃变量的细⼩变化⽽“⼤起⼤落”，这就是要研究的问题．引出课题：函数的连续性从下列图形中分析：问：(1)函数f(x)在点x ＝x 0是否有定义？(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 000→→是否存在？是否与相等？答：图(1)满⾜3条；图(2)不满⾜(1)；图(3)不满⾜条件(2)；图(4)不满⾜条件(3)．由此概括出函数在⼀点处连续的定义．2．函数在⼀点处连续的定义：如果函数＝在点＝处及其附近有定义，⽽且＝→y f(x)x x lim f(x)0x x 0f(x 0)，就说函数f(x)在点x 0处连续．指出＝包含两层意思：存在；极限值与函数值相等．→→→lim f(x)f(x )(1)lim f(x)(2)lim f(x)f(x )00x x x x x x 000提问：连续函数在图形上有何特点？3．举例应⽤例讨论下列函数在给定点处的连续性：(1)f(x)x 0＝，点＝；1x(2)g(x)＝sinx ，点x ＝0．解：画图．(1)f(x)x 0x 0函数＝在＝处没有定义，因⽽它在点＝处不连续．1x(2)lim sinx 0sin0g(x)sinx x 0因为＝＝，因此＝在点＝处是连续的．→x 0课堂练习：教科书第97页练习第1、2题(不连续的指出不满⾜定义中的哪⼀条)，第98页习题2．6第2、4题．4．函数在区间⾥连续(1)在开区间连续：如果函数在某⼀开区间(a ，b)内每⼀点处都连续，就说函数在开区间(a ，b)内连续，或说函数是开区间内的连续函数．(2)在闭区间连续：如果函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，在左端点x＝处有＝，在右端点处有＝，就说函数在闭→→a lim f(x)f(a)lim f(x)f(b)f(x)x a x b+- 区间[a ，b]上连续．5．闭区间上连续函数的性质性质(最⼤值最⼩值定理)：如果f(x)是闭区间[a ，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a ，b]上有最⼤值和最⼩值．6．归纳⼩结(1)函数在⼀点处连续的定义．(2)判定函数在⼀点处是否连续：⽅法1：由定义说明，⽅法2：由图象直观说明．(3)闭区间上连续函数的性质．想⼀想：函数在某⼀点的极限与连续有何关系？布置作业教科书第98页习题2．6第1、3题。

高等数学教案5函数的连续性教学目标：1.了解函数连续性的定义。

2.掌握连续函数的性质和常见类型。

3.能够通过定义验证函数的连续性。

4.能够利用连续性解决相关问题。

教学重点和难点：1.函数连续性的定义和性质。

2.连续函数的常见类型。

教学方法：1.讲授法：通过讲解、举例等方式，让学生理解函数连续性的定义和性质。

2.探究法：通过引导学生进行研究和探究，提高学生对连续函数的理解和应用能力。

3.解决问题法：通过解决一些实际问题，培养学生运用连续函数解决实际问题的能力。

教学过程：一、引入新知（5分钟）教师通过提问引入新知：“你们对函数连续性有什么了解？”学生回答后，教师解答并说明本节课的学习目标。

二、讲授函数连续性（20分钟）1.函数连续性的定义教师讲解函数连续性的定义，引导学生理解函数在其中一点连续的含义，并通过图像展示、数学表达进行说明。

2.连续函数的性质教师讲解连续函数的性质，如连续函数在闭区间上有界、有最大值和最小值等性质，并通过例题让学生理解和掌握这些性质。

三、练习和讨论（30分钟）1.基本例题教师出示一些基本的例题，让学生运用连续函数的定义和性质进行分析和解答。

鼓励学生积极思考，并进行课堂讨论和分享。

2.实际问题教师出示一些实际问题，让学生通过建立数学模型、运用连续函数解决实际问题。

引导学生思考如何将实际问题转化成数学问题，进而利用函数的连续性进行求解。

四、总结和延伸（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调函数连续性的重要性和应用，鼓励学生积极思考和延伸相关知识。

五、作业布置（5分钟）教师布置课后作业，让学生巩固和深化本节课的内容。

作业内容可以包括练习题、思考题等。

教学资源和评价方法：教学资源：投影仪、黑板、教材等。

评价方法：课堂参与、课后作业、小组讨论等。

教学反思：本节课通过引入新知、讲授函数连续性的定义和性质、练习和讨论以及总结和延伸等环节，全面培养了学生对函数连续性的理解和应用能力。

在教学过程中，考虑到学生的不同差异，通过多样化的教学方法和资源，提高了学生的学习兴趣和主动参与度。

函数的连续性与间断点教学备课函数的连续性和间断点是高中数学中重要的概念之一，它们在数学的各个分支中都有广泛的应用。

在这篇教学备课中，我们将重点介绍函数的连续性和间断点的定义、性质以及解决相关问题的方法。

通过清晰的讲解和实例演练，帮助学生深入理解这一概念，并培养他们的解决问题的能力。

一、函数的连续性的定义与性质连续函数是指在函数的定义域上不存在断裂或跳跃的点，数学上有严格的定义。

我们首先通过直观的例子引入连续性的概念，例如常见的多项式函数、三角函数等等。

然后，我们可以引入以下连续性的定义和性质：1. 函数f在点x=a处连续的三个条件：（1）f(a)存在，（2）f(x)在x=a处存在极限值，（2）函数f(x)在x=a附近的值趋近于f(a)，即左极限和右极限存在并相等。

2. 连续函数的加减乘除以及复合仍然是连续函数。

通过提供适当的例子和图表演示，让学生具体感受到连续性的概念和性质。

引导学生理解连续函数的代数性质和图像特点，以及连续函数与不连续函数之间的区别。

二、间断点的分类与解决方法间断点是函数定义域内的某个点，使得函数在该点不连续。

根据函数在间断点处的性质不同，间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

我们将重点讲解如下内容：1. 可去间断点：函数在该点处的极限存在，但函数值与极限值不相等。

通过分析函数在该点的数值和极限值的关系，以及图像的特点，引导学生掌握可去间断点的判断和求解方法。

2. 跳跃间断点：函数在该点的左右极限存在，但两个极限值不相等。

通过观察函数在该点附近的数值和极限值的关系，以及图像的跳跃性质，让学生理解跳跃间断点的概念和性质。

3. 无穷间断点：函数在该点的极限不存在，可能是正无穷或负无穷。

通过讨论函数在该点无极限的原因和特点，引导学生掌握无穷间断点的判断和解决方法。

在讲解每个类型的间断点时，可以用具体的例子和图表演示，让学生直观地感受函数在不同间断点处的行为模式。

三、函数连续性与间断点的应用函数的连续性和间断点的概念在实际问题中有广泛的应用。