求空间角的常用方法(两课时)

探索探索与与研研究究求空间角主要包括求异面直线所成的角，求直线与平面所成的角，求二面角等.这类问题侧重于考查同学们的逻辑推理、空间想象以及计算能力.求空间角问题的命题形式较多，其解法也各不相同.本文主要谈一谈求空间角的两种途径：利用向量法和平移法.一、构造向量向量法是根据已知条件建立空间直角坐标系，通过向量运算解题的方法.该方法的适用范围很广，一般只要能建立空间直角坐标系，就能用向量法求解.在建立空间坐标系后，需分别求得各个点的坐标，灵活运用空间向量的夹角公式、数量积公式等进行求解.运用此方法，能够大大降低解题的难度，简化解题的过程.例1.如图1所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA =PB =AD =CD =12BC =2，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，E 是PA 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD ，求直线CE 与平面PBC所成角的正弦值.图1解：如图1，以点A 为坐标原点、AB 所在的直线为x 轴、AC 所在的直线为y 轴、过点A 并且垂直于平面ABCD的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，可得B (22,0,0)，C (0,22,0)，P (2,0,2)，E(0)，则 CB =(22,-22,0),CP =(2,-22,2), CE=(,-22)，设平面PBC 的法向量为n=(x,y,z )，由于ìíîn ⋅CB =0,n ⋅ CP =0,所以ìíîïï22x -22y =0,2x -22y +2z =0,令x =1，则平面PBC 的一个法向量为n=(1,1,1)，所以cos<n, CE>=n ⋅CE ||n|| CE =所以直线CE 与平面PBC 通过建立合适的空间直角坐标系，能够将空间角问题转化为直线CE 的方向向量与平面PBC 的法向量的夹角问题，根据向量的数量积公式求得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值，即可解题.二、利用平移法运用平移法求空间角，需先选取合适的线段或直线进行平移，使其与某个平面、某条直线相交，从而得到空间角的平面角；然后根据平面角构造出三角形、平行四边形等，利用三角形、平行四边形的性质，正余弦定理、勾股定理求得平面角的大小，即可求得空间角的大小.例2.如图2所示，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，E ,F 分别是CC 1,AD 的中点，求异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值.解：取D 1C 1的中点M ，连接MO ,FO .因为点O 是底面ABCD 的中心，所以O 为BD 的中点，从而可知FO 为△DAB 的中位线.所以FO ∥AB ∥D 1M ，且FO =D 1M =12AB ，则四边形D 1FOM 为平行四边形，所以MO 平行且等于D 1F ，故∠MOE （或其补角）即为异面直线D 1F 和OE 所成的角.在△MOE 中，OM =D 1F =22+1=5，ME =2，OE =EC 2+OC 2=3，由余弦定理可得cos∠MOE =OM 2+OE 2-ME 22⋅OM ⋅OE=5+3-22×5×3要求异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值，就需根据异面直线所成角的定义以及平行四边形的性质，将D 1F 平移到MO ，找到异面直线OE 和FD 1所成角的平面角∠MOE，再在△MOE 中，根据余弦定理和勾股定理求解.上述两种方法都是求解空间角问题常用的方法.虽然运用向量法解题的运算量较大，但思路简单；虽然运用平移法解题的过程较为复杂，但比较容易想到.（作者单位：江苏省盐城市射阳县高级中学）图251Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

nPMdab2图npMdα1图MdP nβα4图MdP nα3图怎样求空间角、 空间距离求空间角、 空间距离高考的重点热点之一，属必考内容，同时也是最重要的得分点。

既是必考，就须反复操练，烂熟于心。

一、求空间距离方法方法一：用定义法做出相应的距离，转化为两点间的距离问题求解（通常转化为解三角形问题，有时也用等面积、等体积法求之）方法二： 向量坐标法 则d=||||n MP n ⋅（公式一）1、点P 到平面α的距离.如图1（M 为α内的点，n 为平面的法向量）2、异面直线a 与b 的距离如图2（P 为a 上一点，M 为b 上一点，n 为与两异面直线都垂直的向量）3、平行于平面α的直线l 到平面α的距离如图3（P 为线上一点，M 为面α内一点，n 为平面的法向量）4、平行平面α 、β间的距离如图4（P 为α内一点，M 为β内一点，n 为平面的法向量）二、求空间角的方法方法一：用定义法作角，转化为相交直线所成的角，然后求解. 1、异面直线a 与b 所成的角θ在一条直线上找一点作另一直线的平行线，构成三角形，或在具体图形中找另一点，过此点作两直线的平行线，构成三角形. 2、直线l 与平面α所成的角ϕ斜线上选点P ，过P 作PM ⊥α于M ，连 AM, ϕ=AMP ∠为所求;利用公式cos θb nam5图mαMPn6图=cos 1θ cos ϕ （θ为斜外角，1θ为面平角）3、二面角ϕ过二面角棱上一点分别在两个半平面内做垂线，从而得到所求的二面角（通常利用特殊图形法 、两垂一连法既三垂线定理去做）也可用射影面积公式求之 S ′=S cos ϕ方法二：向量法利用公式cos θ =||||||n m n m ⋅（公式二）求出θ= arccos||||||n m n m ⋅1、异面直线a 与b 所成的角θ如图5分别求出两条直线a 与b 的方向向量m 、n，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅2、直线l 与平面α所成的角ϕ如图6求与l 的方向向量m ,再求平面α的法向量n , m 与n 所在直线所成的角为θ，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅则ϕ＝2π－θ 3、求二面角ϕ如图7、8求两平面的法向量m 与n 或如图9、10找分别与两半平面平行且都垂直于棱的两向量m 与n .利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅，当ϕ为锐角时如图7、9ϕ=θ， 当ϕ为钝角时如图8、10 ϕ= π－θ三.、用向量求角，求距离典型例题分析（对我们而言，不能求出角和距离许多时候是因为我们不能找到或作出角和距离。

空间几何角度计算公式在空间几何中，角度是一个重要的概念，用于描述两条线、平面或多个向量之间的夹角。

计算空间几何角度的公式可以根据具体情况而变化，下面将介绍几种常见的计算公式。

1. 点和直线的夹角设直线L上有一点A，过点A引一直线与直线L相交于点B，计算点A和直线L之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |AB| / |OB|其中θ表示点A和直线L的夹角，|AB|表示线段AB的长度，|OB|表示向量OB的长度。

2. 直线与直线的夹角设两条直线L1和L2，如果它们的方向向量分别为a和b，计算直线L1和直线L2之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |a·b| / (|a| |b|)其中θ表示直线L1和直线L2的夹角，|a·b|表示向量a与向量b的点乘的绝对值，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。

3. 平面和平面的夹角设两个平面α和β，它们的法线向量分别为n1和n2，计算平面α和平面β之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |n1·n2| / (|n1| |n2|)其中θ表示平面α和平面β的夹角，|n1·n2|表示向量n1与向量n2的点乘的绝对值，|n1|和|n2|表示向量n1和向量n2的长度。

4. 空间向量的夹角设两个非零向量a和b，计算向量a和向量b之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中θ表示向量a和向量b的夹角，a·b表示向量a与向量b的点乘，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。

以上就是在空间几何中常用的几种角度计算公式。

根据具体情况，选择适合的公式进行计算，可以帮助我们解决空间几何问题。

空间角的求法一.空间角:1.异面直线所成的角: 0°<θ≤90°2.直线与平面所成的角: 0°≤θ≤90°3.二面角: 0°<θ≤180°二.空间角的求法：(计算思想主要是转化)：1.几何法：（1）把空间角转化为平面角，利用三角形的边角关系进行计算（余弦定理）,如图所示（2）计算步骤：一作、二证、三点、四算2.向量法：把空间角的计算转化为空间向量的坐标运算来求解（1）异面直线所成的角：把异面直线所成角化为向量的夹角。

一般地，异面直线l1、l2的方向向量夹角的余弦为：cosa ba bβ⋅=⋅，则所求异面直线所成角（范围）与其相等或互补。

（2）直线和平面所成的角:利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有2πϕθ=-或θπϕ+=2,所以sin cos n v n vθϕ⋅==特别地 0=ϕ时，2πθ=，α⊥l ；2πϕ=时，0=θ，α⊆l 或α//l 。

（3）二面角的求法：①从平面的法向量考虑，设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角β--αl 的大小为θ，向量21,n n 的夹角为ϕ，则有π=ϕ+θ或 ϕ=θ（图5）,所以1212cos n n n n ϕ⋅=⋅ 。

θωαlvnωθαvln因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。

所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的范围，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

②如果AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小为,AB CD 〈〉。

三.例题与练习：例1.如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =,E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB == ，求直线1EC 与1FD 所成的角。

求空间角的常用方法（两课时）张一生1.定义法————根据定义，把空间角转化为平面角求解.例1.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的正弦值大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．] 例2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，，60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值大小．2.选点平移法——选择适当的点，通过作平行线，构造出所要求的空间角.例3.如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱P A =PD＝，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点. （Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线PD 与CD 所成角的正切值；（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD的距离为AQQD的值；若不存在，请说明理由.3.垂线法————当已知条件中出现二面角中一个半平面内一点到另一个半平面垂线时（或虽未给出这样的垂线，但由已知条件能作出这样的线），可依据三垂线定理或其逆定理作出它的平面角，然后再求解.例4．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的正切．AC BDPACD PEAB CD E A 1 B 1C 1D 1FH G例5. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的正弦值.例6.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的正弦．4.垂面法————在求解二面角的问题中，若能找到或者作出棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角.例7. 如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD,32,2,3===AB AD PA ,BC =6.求二面角A BD P --的大小.例8.如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==，（1）求证：1,,,E B F D 四点共面；（2）若点G 在BC 上，23BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥面11BCC B ；（3）用θ表示截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角大小，求tan θ.1D1AABCD1C1BMEFHGAB C D1A 1C1BO FG。

立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的锐角（或直角）叫做。

2.范围： ⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ3.方法： 平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。

（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式ba b a b a ⋅=><=,cos cos θ求出来方法1：利用向量计算。

选取一组基向量，分别算出 b a ⋅，a ，b 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量),,(111z y x a =),,(222z y x b =222222212121212121cos z y x z y x z z y y x x ++++++=∴θ（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 21= 二、例题讲练例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。

方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） 方法二：过AC 的中点作BD1平行线方法三：（向量法）例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；例4、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =， E 为PD 的中点求直线AC 与PB 所成角的余弦值；AB1B 1A 1D 1CCDOBB1A1AC1D CD1ϕ2ϕ1c b aθPαO AB1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是。

空间角的求法一、异面直线所成的角：1、定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上2、异面直线所成的角的范围：2,0(π3、求异面直线所成的角的方法：（1）直接平移法：在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；例1、如图PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成的角正切值。

（2）中位线平移法：构造中位线，利用中位线性质，将异面直线所成角转化为平面角，解三角形求之例2、设S 是正三角形ABC 所在平面外一点，SA=SB=SC ，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值.（3）补形平移法：在已知图形外补作一个相 同的几何体，以利于找出平行线。

例3、已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长8，侧棱长为6，D 为AC 的中点。

求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值.(4).向量法： CDAB CD AB →→=.cos θ二、直线和平面所成的角1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2、范围：[0，2π]。

当直线垂直平面时，所成的角θ＝2π，当直线平行平面或在平面内，所成角为θ＝0。

3、求直线与平面所成的角的方法：（1）.直接法：斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

①经过斜线上一点作面的垂线；②找出斜线在平面内的射影，从而找出线面角；③解直角三角形。

例4、在四面体ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M 为AB 的中点，求：（1）BC 与平面SAB 所成的角；（60°） （2）SC 与平面ABC 所成的角。