23.3.2.3相似三角形的判定(三边)

相似三角形的判定条件在我们的数学世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。

它不仅在解决几何问题时经常出现，还与实际生活中的许多场景有着紧密的联系。

那什么是相似三角形呢？简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，它们就是相似三角形。

而要判断两个三角形是否相似，就需要依据一定的判定条件。

相似三角形的判定条件主要有以下几种：第一种判定条件是“两角分别相等的两个三角形相似”。

这是一个非常重要的判定方法，也比较容易理解。

比如说，有两个三角形，一个三角形的两个角分别是 30 度和 60 度，另一个三角形也有两个角分别是 30 度和 60 度。

因为三角形的内角和是 180 度，所以第三个角的度数也就确定了。

这样一来，这两个三角形的三个角都分别相等，它们的形状就相同，从而可以判定这两个三角形是相似的。

第二种判定条件是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。

假设我们有两个三角形，其中一个三角形的两条边的长度分别是 4 和 6，夹角是 60 度；另一个三角形对应的两条边的长度分别是 8 和 12，夹角也是 60 度。

我们可以计算出这两组对应边的比例，4∶8 ＝ 1∶2，6∶12 ＝ 1∶2，比例相等，而且夹角也相等，所以这两个三角形就是相似的。

第三种判定条件是“三边成比例的两个三角形相似”。

比如一个三角形的三条边分别是3、4、5，另一个三角形的三条边分别是6、8、10。

我们来计算一下它们对应边的比例，3∶6 ＝ 1∶2，4∶8 ＝ 1∶2，5∶10 ＝ 1∶2，三边的比例都相等，那么这两个三角形就是相似的。

为了更好地理解和运用这些判定条件，我们来看一些实际的例子。

假设在一个建筑工地上，有一个工人需要测量一个大型三角形广告牌的高度，但他无法直接测量。

不过，他在地面上立了一根已知长度的杆子，然后分别测量出杆子的影子长度和广告牌的影子长度。

通过这种方法，就可以利用相似三角形的知识来计算出广告牌的高度。

在这个例子中，杆子和它的影子以及广告牌和它的影子分别构成了两个直角三角形。

相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是大小不同。

在初中数学学习中，我们需要学会如何判定两个三角形是否相似，以及相似三角形具有哪些性质。

本文将对相似三角形的判定方法与性质进行详细介绍。

一、相似三角形的判定要判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AA判定法、SAS判定法和SSS判定法。

1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形中的两个角分别相等，即对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。

2. SAS判定法：如果两个三角形中，一个角相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形中，某个角相等，并且两边之比也相等，那么这两个三角形就是相似的。

3. SSS判定法：如果两个三角形的三边之比相等，则这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

以上三种判定法是判断相似三角形最常用的方法，通过使用其中的任意一种判定法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，包括比例关系、角度关系和面积关系。

1. 边的比例关系：相似三角形的对应边之比相等。

如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的。

例如，若两个相似三角形的两个边的比值分别为a:b，c:d，那么它们的第三边的比值也是相等的，即比值为a/c=b/d。

2. 角度关系：相似三角形的对应角相等。

如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。

具体而言，如果一个角分别相等，则这两个三角形的对应角也相等。

3. 面积关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。

如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。

具体而言，若两个相似三角形的对应边的长度比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。

相似三角形的性质在数学中应用广泛。

例如，在测量中，我们可以利用相似三角形的边长比关系求取难以测量的长度。

三角形相似的5个判定方法
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

下面是五个判定方法来判断三角形是否相似：
1. AAA判定法，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。

2. AA判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的两个角分别相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。

3. SSS判定法，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的三条边分别成比例，那么它们是相似的。

4. SAS判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。

5. 直角三角形的判定法，如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。

这意味着如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。

这些判定方法可以帮助我们确定三角形是否相似，从而在几何学中应用相似三角形的性质。

通过这些方法，我们可以更好地理解和解决与相似三角形相关的问题。

几何中的相似三角形相似三角形的判定条件相似三角形是几何学中的重要概念，判断两个三角形是否相似可以通过一系列的条件来确定。

本文将介绍几何中的相似三角形以及相似三角形的判定条件。

一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

它们的所有对应角度相等，对应边的长度成比例。

二、相似三角形的判定条件在几何学中，有三种主要的判定条件用于确定两个三角形是否相似，它们分别是AA相似定理、SAS相似定理和SSS相似定理。

1. AA相似定理（角-角相似定理）当两个三角形中有两个对应角度相等时，它们是相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的一个角度相等，而另一个角度也相等，那么这两个三角形是相似的。

2. SAS相似定理（边-角-边相似定理）当两个三角形的一个角度相等，并且两边成比例，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的一个角度相等，并且与这个角度对应的两边成比例，那么这两个三角形是相似的。

3. SSS相似定理（边-边-边相似定理）当两个三角形的三边成比例时，它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的三边长度成比例，那么这两个三角形是相似的。

三、相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质，可以应用于解决几何问题。

1. 对应角相等性质相似三角形的对应角相等，即它们的三个角度一一对应相等。

2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边长度成比例，即它们的三个边按比例相等。

3. 高度性质相似三角形的对应边上的高度成比例，即它们的高度按比例相等。

4. 重心性质相似三角形的重心重合，即它们的重心位置一致。

四、应用举例下面通过一个实例来演示相似三角形的判定过程。

例题：已知∠ABC = 60°，∠ACB = 40°，AB = 8 cm，BC = 6 cm，是否可以判定△ABC与△DEF相似？解答：根据角度相等的条件，我们可以得知∠ABC = ∠DEF = 60°以及∠ACB = ∠DFE = 40°。

23.3.2 相似三角形的判定第二课时教学目标：知识与技能： 会说出识别两个三角形相似的方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三条边对应成比例的两个三角形相似。

能依据条件，灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似。

过程与方法：在推理过程中学会灵活使用数学方法情感态度价值观：培养学生严谨的证明数学习惯和对数学的兴趣教学重点：相似三角形判定方法2、3的推导过程，掌握判定方法2、3并能灵活 运用．教学难点：判定方法的推导及运用教学准备：白卡纸、作图工具、ppt 课件、电子白板课 型：新授课教学过程：一、复习：1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法?有两种方法，(1)是根据定义；(2)是有两个角对应相等的两个三角形相似。

2．如图△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上三等分点(即AD ＝13 AB ，AE ＝13 AC)，那么△ADE 与△ABC 相似吗?你用的是哪一种方法?由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么东西后可以判断它们能否相似?(可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例)无论哪一种，都应肯定他们，是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的。

二、新课讲解同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE ∽△ABC 。

从已知条件看，△ADE 与△ABC 有一对应角相等，即∠A ＝∠A(是公共角)，而一个条件是AD ＝13AB ，AE ＝13AC ，即是AD AB ＝13，AE AC ＝13；因此AD AB ＝AE AC 。

△ADE 的两条边 AD 、AE 与△ABC 的两条边AB 、AC 会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗?我们再做一次实验。

观察图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢?图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为13，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝13AC时，△ADE与△ABC相似。

相似三角形判断条件相似三角形是指两个三角形，他们彼此的所有内角和外角都相等。

相似三角形的几何原理是三角形具有相似性的基本原理，它指的是两个三角形所有内角和外角都相等。

在几何原理中，最重要的一点是如何证明两个三角形是相似的。

下面我们就来详细看看相似三角形的判断条件。

首先，相似三角形的判断条件是：（1）两个三角形的外角是相等的。

（2）两个三角形的内角是相等的。

（3）两个三角形的边长比相等。

假设三角形ABC，DEF两者的所有角和边长都是已知的，那么在证明他们是否为相似三角形的时候，可以用到几何定理，如半周长定理：两个三角形的半周长比等于它们的定点外角的正弦值的乘积；三角形外角公式：所有三角形的外角之和是180°；三角形内角公式：任何三角形的内角之和是180°；三角形边长比公式：任意一条边的长度比等于两两比的其他两边的比值的乘积；以及内部三角形内外角公式：内部三角形的外角是内角的两倍。

由以上几何定理可以推出，相似三角形存在条件即：（1）两个三角形的外角都相等。

（2）两个三角形的内角都相等。

（3）两个三角形的边长比都相等。

另外，如果有一个相似三角形，它的定点坐标（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），可以用三个定点距离来证明它的相似性，即用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方；用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比。

总之，判断两个三角形是否为相似三角形的原则是：它们的所有外角和内角都相等，它们的边比都相等，或者可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。

综上所述，相似三角形的判断条件就包括了三角形的外角、内角和边比都相等，以及可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。

相似三角形是几何原理中的基本概念，在几何中有很多应用。

例如，它可以用于解决以下问题：（1）最小外接圆半径：给定三角形ABC，找出最小外接圆半径；（2）最大内接圆半径：给定三角形ABC，求出最大内接圆半径；（3）多边形面积计算：给定由三角形ABC的共同点组成的多边形，计算多边形的面积；（4）共轭多边形：给定三角形ABC，求出其共轭多边形；（5）三角形的中心：给定三角形ABC，找出它的中心点；（6）三角形的重心：给定三角形ABC，找出它的重心；以及（7）三角形的切线：给定三角形ABC，求出三条切线。

相似三角形的判定与性质相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。

在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它帮助我们理解和解决很多与三角形相关的问题。

本文将介绍相似三角形的判定方法以及它们的性质。

一、相似三角形的判定方法1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形相似。

即如果两个三角形的各个内角对应相等（即对应角相等），那么它们是相似的。

2. AA判定法：如果两个三角形的两个内角分别相等，并且它们的对应边成比例，则这两个三角形相似。

即如果两个三角形的两个角对应相等，并且对应边成比例，那么它们是相似的。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一组对边成比例，并且其中一组对边夹角相等，则这两个三角形相似。

即如果两个三角形的两组对边成比例，并且夹角对应相等，那么它们是相似的。

二、相似三角形的性质1. 边长比：在相似三角形中，任意两对对应边的比值相等。

换句话说，如果两个三角形相似，那么它们的三条边的比值是相等的。

2. 高度比：在相似三角形中，任意两对对应高度的比值相等。

两个相似三角形的高度比等于对应边长比的倒数。

3. 面积比：在相似三角形中，任意两对对应面积的比值等于边长比的平方。

4. 角度比：在相似三角形中，任意一对对应角的比值相等。

换句话说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角的比值是相等的。

5. 相似三角形的角平分线三等分：在相似三角形中，若一个角的两边与另一个角的两边成比例，则这两个角的角平分线相互平行。

6. 重心的性质：在相似三角形中，两个相似三角形的重心在同一直线上。

7. 相似三角形的垂心：在相似三角形中，两个相似三角形的垂心在同一直线上。

8. 相似三角形的外心：在相似三角形中，两个相似三角形的外心在同一直线上。

三、应用举例1. 比例问题：利用相似三角形的性质可以解决很多比例问题。

例如，已知一座塔的阴影与杆子的阴影的比值等于塔的高度与杆子高度的比值，通过相似三角形的比例关系可以求解塔的高度。

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。

判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。

本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。

一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。

原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。

三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。

图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。

例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。

判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。

二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。

这是基于比例关系的相似判定方法。

原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。

比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。

图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。

例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。

相似三角形的判定、性质及常见模型
1、相似三角形的定义与性质
(1)定义：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

(2)表示：在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。

(3)性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；推论：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.(4)相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比.设▲ABC 与▲A'B'C'的相似比为k，▲A'B'C'与▲ABC的相似比为k'，则k'=1/k.注意：①两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关;②当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形.反过来，两个全等三角形一定是相似三角形，它们的相似比等于1.因此全等三角形是相似三角形的特例.2、相似三角形的预备定理和判定定理
相似三角形的3条判定定理证明思路如下：
3、直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似，即：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.4、相似三角形的基本图形(1)平行线型：A型与X型.
(2)斜交型.
(3)共边共角型
(4)双垂型
(5)旋转型
5、判定三角形相似的思路
6、三角形相似的性质
相似三角形的性质定理1证明思路如下：。