上海市高二上学期期末考试数学试卷含答案(共3套)

一、填空题1．若（），则______．22311n n n C C C --=+*n ∈N n =【答案】5【分析】结合组合数的性质即可求解.【详解】由，所以，111m m m n n n C C C ---=+23n n C C =又因为，所以，所以，即，m n m n n C C -=22n n n C C -=23n -=5n =故答案为：5.2．总体是由编号为的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法01,02,,29,30 是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________.7816157208026315021643199714019832049234493682003623486969387181【答案】19【分析】根据随机数表选取编号的方法求解即可.【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，，故选出来的第5个个体的编号为19.08,02,16,19故答案为:19.3．已知所在平面外一点，且两两垂直，则点在平面内的射影应为ABC :P ,,PA PB PC P ABC 的___________心.ABC :【答案】垂【分析】设点在平面内的射影为，由已知可证明，，根据线面垂直的P ABC 1P 1PP BC ⊥PA BC ⊥判定以及性质可得.同理可得，，即可得出答案. 1BC AP ⊥1AC BP ⊥1AB CP ⊥【详解】设点在平面内的射影为，则平面. P ABC 1P 1PP ⊥ABC 又平面，所以.BC ⊂ABC 1PP BC ⊥因为，，，平面，平面， PA PB ⊥PA PC ⊥PB PC P ⋂=PB ⊂PBC PC ⊂PBC 所以平面.又平面，所以.PA ⊥PBC BC ⊂PBC PA BC ⊥因为，平面，平面，所以平面. 1PA PP P =I PA ⊂1PAP 1PP ⊂1PAP BC ⊥1PAP 又平面，所以. 1AP ⊂1PAP 1BC AP⊥同理可证，，，所以是的垂心. 1AC BP ⊥1AB CP ⊥1PABC :所以，点在平面内的射影应为的垂心. P ABC ABC :故答案为：垂.4．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性___________. 【答案】502023【分析】应用随机抽样定义,每各个体被抽到的概率相等求解即可.【详解】先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，每各个体被抽到的概率相等， 再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性为 502023故答案为:5020235．在的二项展开式中，项的系数是___________.92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 【答案】672-【分析】由二项式的通项公式即可求解.【详解】二项式的通项为，92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭9992192((C 2C )r r r r rr r T x x x --+-==-令，得，923r -=3r =所以项的系数是.3x 339(2)C 672-=-故答案为：.672-6．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________. 2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：. 1r =故答案为：17．如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面ABC 111ABC A B C -AB BC ⊥1AB BC BB ==11A B C 所成的二面角的大小为_____.【答案】4π【分析】通过题意易得直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半，直接得出答案． 【详解】根据题意，易得直三棱柱1即为正方体的一半，111ABC A B C -所求即为平面与平面所成的二面角，即为，∴11A B C 111A B C 11C B C ∠又△为等腰直角三角形，，11B C C 114C B C π∴∠=故答案为.4π【点睛】本题考查二面角的求法，发现“直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半”是解决本题的关键，属于中档题．8．有一道路网如图所示，通过这一路网从A 点出发不经过C 、D 点到达B 点的最短路径有___________种.【答案】24【分析】根据已知，要想避开C 、D 点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案.【详解】如图，由已知可得，应从点，先到点，再到点，最后经点到点即可.A E F GB 第一步：由点到点，最短路径为4步，最短路径方法种类为；A E 1343C C 4⋅=第二步：由点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为；E F 1232C C 3⋅=第三步：由点经点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为. F G B 111121C C C 2⋅⋅=根据分步计数原理可得，最短路径有种. 43224⨯⨯=故答案为：24.9．从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以，，，，为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100损，可见部分信息如图，则a 的值为___________.【答案】0.02【分析】根据频率分布图可得组内有2个数据.结合茎叶图和频率分布直方图可知样本容量[]90,100，即可得出组内的数据有4个，进而求出a 的值.20n =[)80,90【详解】由频率分布直方图可得，组内数据的频率等于组内数据的频率，所以[]90,100[)50,60组内有2个数据.[]90,100设样本容量为，则，所以. n 20.0110n=⨯20n =所以组内的数据有，所以组内数据的频率等于，所以[)80,902025724----=[)80,9040.220=. 0.20.0210a ==故答案为：.0.0210．如图，四边形为梯形，，，图中阴影部分绕旋转一周所形成的ABCD //AD BC 90ABC ∠=︒AB 几何体的体积为_________【答案】． 683π【分析】由题意知：旋转所得几何体为一个圆台，从上面挖去一个半球；利用球体、圆台的体积公式求几何体体积.【详解】由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球；圆台的上底面面积，14S π=下底面面积，216S π=∴圆台的体积为，()114163283V πππ=⨯⨯=又半球的体积为， 3214162233V ππ=⨯⨯⨯=故旋转体的体积为． 1216682833V V πππ-=-=故答案为：． 683π11．斐波那契数列是由13世纪意大利斐波那契提出的，它的通项公式为：，若，则数列通项公式为*,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦1212C C C nn n n n n S a a a =+++ {}n S ___________.*,N n nn ⎤⎥-∈⎥⎦【分析】根据已知数列的通项公式,结合二项式定理,计算可得.n S 【详解】因为, *,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦又因为22121212C C CC C Cnn n n n nn nnn n nS a a a=+++⎤⎤⎤⎥⎥--+-⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦212122C C C C Cnnn n n n n⎤⎤⎤⎤⎤⎥⎥⎥=+⎥⎥-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦⎦⎦121222C C C C C Cn nn nn n n n n n⎤⎤⎥⎥=++++⎥⎥+⎦+⎦0202 012012C+C C C C+C Cnnn n n n n n n⎤⎥=+++++⎥⎦11n n⎤⎤=++⎥⎥⎥⎥⎦⎦n n⎤⎥=-⎥⎦故答案为:n n⎤⎥⎥⎦-12．在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点11111ABCD A B C D-,F P1AC1111DCBA G为线段的中点，则周长的最小值为___________.1B C PGF:【答案】##43113【分析】若取得最小值，则在线段上，将平面绕旋转到与共面的情况，PF P11A C11AAC1AC1ABC可知过作于点，结合三角形三边关系可知的最小值为，可知所求三G11GP A C'⊥P'PF FG+P G'角形周长最小值为；利用二倍角公式可求得，在可求得，由此可得2P G'11sin AC B∠1Rt GP C':P G'结果.【详解】若取得最小值，则平面，又在平面上的投影为，PF PF ⊥1111D C B A 1AC 1111D C B A 11A C 在线段上，P ∴11A C 将平面绕旋转到与共面的情况，如图所示，11AAC 1AC 1ABC过作于点，交于点，G 11GP A C '⊥P '1AC F '（当且仅当重合，重合时取等号）， PF FG PG P G '∴+≥≥,F F ',P P '，， 1AB = 1BC =1AC =1GC =在中，∴1Rt ABC :1sin AC B ∠=1cos AC B ∠=11111sin sin 22sin cos A C B AC B AC B AC B ∴∠=∠=∠∠=则在中，， 1Rt GP C ':1112sin 3P G GC A C B '=∠==的周长.PGF ∴:423PG PF FG P G '++≥=故答案为：. 43【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是能够通过旋转平面将立体几何中距离之和的问题，转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况.二、单选题13．设M ，N 为两个随机事件，如果M ，N 为互斥事件，那么（ ） A ．是必然事件 B ．是必然事件 M N ⋃M N ⋃C ．与一定为互斥事件 D ．与一定不为互斥事件M N M N 【答案】A【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解. 【详解】因为M ，N 为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示（第一种情况）（第二种情况）无论哪种情况，均是必然事件．故A 正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故M N ⋃M N ⋃B 不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C 不正确，如果是第二种情况，M N M 与一定为互斥事件，故D 不正确. N 故选：A.14．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足αβγ、、a b c 、、,,a b c αβγ⊆⊆⊆a b c 、、以下哪种关系 A ．两两垂直 B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能//a b ,a b ,αβc 存在，可得正确结果.////a b c 【详解】设，且与均不重合l αβ= l ,a b假设：，由可得：， ////a b c //a b //a β//b α又，可知， l αβ= //a l //b l 又，可得：////a b c //c l 因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面 ,,αβγl γl c 若与或重合，同理可得与相交或异面 l a b l c 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B 【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.15．某种疾病可分为两种类型：第一类占70%，可由药物治疗，其每一次疗程的成功率为70%，A 且每一次疗程的成功与否相互独立；其余为第二类，药物治疗方式完全无效.在不知道患者所患A 此疾病的类型，且用药物第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率最接近下列哪一A 个选项（ ） A ．0.25 B ．0.3 C ．0.35 D ．0.4【答案】B【分析】分别写出两次疗程概率,再应用独立事件概率是概率的积, 计算即可. 【详解】用药物A 第一次疗程失败的概率为0.70.3+0.3=0.51⨯用药物A 第一次疗程失败第二次疗程成功的概率为 0.70.30.7=0.3×0.49⨯⨯所以药物A 第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率为，0.30.49490.30.290.5151⨯=⨯≈ 故选:B .16．已知随机变量，，，，记，其中，()2,B n p ξ:*n ∈N 2n ≥01p <<()()f t P t ξ==t ∈N 2t n ≤，现有如下命题：①；②若，则，下列判断正确的是011(2)(21)2nnt t f t f t ==<<-∑∑6np =()()12f t f ≤（ ）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】根据已知得出.取，根据二项式定理求出奇数项和偶数项()()22C 1n tt t n f t p p -=⋅⋅-12p =和，即可判断命题①真假；先利用分布列的表达式得出，判断()()()()()()1211111f t n p t f t t p ++-+=++-()f t的增减性.讨论是否为整数，得出最大项.最后根据已知，即可判断命题②真假. ()21n p +【详解】由已知可得，.()()()22C 1n tt t n f t P t p p ξ-===⋅⋅-对于命题①，当时，. 12p =()()2222111C 1C 222tn tnt t n n f t P t ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅⋅-=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为， ()()0221321222222C C C C C C n n n n n n n n -+++++++L L ()2012212222222C C C C C 112nn nn n n n n n -=+++++=+=L ()()221321222222CC C C C C n n nn n n n n -+++-+++L L ，所以()()()()()()0122122012212222221C 1C 1C 1C 1C 110n n nn nn n n n n --=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯+-⨯=-=L . 022132121222222C C C C C C 2n n n n n n n n n--+++=+++=L L 所以，所以，所以()222222221111(2)2222C C Cn nnnnn t nnf t -=+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⋅⋅∑ 101(21)(2)2n nt t f t f t ==-==∑∑①为假命题；对于命题②，若.()~2,B n p ξ()()()()21112221C 1C 1n t t t n n tt t n f t p p f t p p --++-+⋅⋅⋅⋅-=-()()()211n t p t p -=+-()()()()()()2111111n p t t p t p +-+++-=+-.()()()()211111n p t t p +-+=++-当时，，随着的增加而增加；当时，()121t n p +<+()()1f t f t +>()f t t ()121t n p +>+，随着的增加而减小.()()1f t f t +<()f t t 当为整数时，或时，有最大值；当不为整数()21n p +()21t n p =+()211t n p =+-()f t ()21n p +时，为的整数部分时，有最大值.因为，，所以当t ()21n p +()f t ()2112n p p +=+01p <<12t =时，最大，所以有，所以②为真命题. ()f t ()()12f t f ≤故选：D.三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，，交于点111ABC A B C -2AB AC ==14AA =AB AC ⊥1BE AB ⊥1AA E ，D 为的中点.1CC(1)求证：平面；BE ⊥1AB C (2)求直线与平面所成角的大小. 1B D 1AB C 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直1AA AC ⊥AC ⊥11AA B B AC BE ⊥的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可 1AB C 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 111ABC A B C -所以平面， 1AA ⊥ABC 又平面， AC ⊂ABC 所以.1AA AC ⊥因为，，，平面，平面， AC AB ⊥1AA AC ⊥1AB AA A ⋂=AB ⊂11AA B B 1AA ⊂11AA B B 所以平面. AC ⊥11AA B B 因为平面， BE ⊂11AA B B 所以.AC BE ⊥因为，，，平面，平面， 1BE AB ⊥AC BE ⊥1AC AB A ⋂=AC ⊂1AB C 1AB ⊂1AB C 所以平面.BE ⊥1AB C （2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系. AB AC 1AA A xyz -则，，，，，()0,0,0A ()12,0,4B ()0,2,0C ()2,0,0B ()0,2,2D 设，，，，()0,0,E a ()12,0,4AB = ()2,0,BE a =-()0,2,0AC =因为，所以，即，则， 1AB BE ⊥440a -=1a =()2,0,1BE =- 由（1）平面的一个法向量为.1AB C ()2,0,1BE =-又()12,2,2B D =--设直线与平面所成角的大小为，则1B D 1AB C π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭11πsin cos 2BE B DBE B D θθ⋅⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，直线与平面所成角的大小为. 1B D 1ABC18．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等.现将体积为1000的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸3cm 成长为的面条，……，小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过0.5cm ，求至少经过多少2100cm ⨯次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求？（单位：cm.每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）【答案】至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求7【分析】拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得解.【详解】经过次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， n 因而可知经过次对折拉伸之后面条的长度为， n 12100n -⨯设拉伸次后面条的截面半径为，由面团体积为可得 n r 31000cm ，121002π1000n r -⨯⨯⨯=又因为直径， 122d r =≤即得,,是单调递增的 2121012π4n r -=≤⨯5102πn -≤52n y -=且当时,,当时, , 6n =102π>7n =104π≤所以至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求719．一个随机变量的概率分布为：，其中A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个ζ()12cos2sin x x A B C ⎛⎫⎪+⎝⎭内角.(1)求A 的值；(2)若，求数学期望的取值范围. 12cos sin x B x C ==，E ζ【答案】(1)π6(2)34⎫⎪⎪⎭【分析】(1)根据概率分布的概率性质计算即可;(2)把转化为三角函数,根据角的范围确定三角函数的值域可解. E ζ【详解】（1）由已知可知: cos2sin 1A A +=,,212sin sin 1A A -+=()sin 12sin 0A A -=又因为为锐角, ,所以,即得. A sin 0A >1sin 2A =π6A =（2）因为 12cos sin xB xC ==，所以cos cos2sin sin 11cos sin 22E B A C A B C ζ=+=+ 11πcos sin 226B B ⎛⎫=++⎪⎝⎭111cos sin cos 22213sin cos 22B B B B B ⎛⎫=++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭1sin cos 2π3B B B =⨯+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为是锐角三角形,且,所以ABC :π6A =ππ32B <<, 2ππ5π336B <+<π1sin 32B ⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝π334B ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭34E ζ⎫∈⎪⎪⎭20．《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形n n n n A B C D ，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点1,2,3n =,n n P Q ，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃11,P Q 2222A B C D m E m F 1,2,3,4m =舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与11122A PE P E -22131A P E P F -(1)求异面直线与成角余弦值； 12P A 12Q B (2)求平面与平面的夹角正弦值； 111P A E 122A E P (3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 【答案】(1)；13；(3)表面积为，体积为. 2【分析】（1）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角O 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z 坐标系.写出点的坐标，求出，，根据向量即可结果；()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r（2）根据坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量法可以求出法向量夹角的余弦111P A E 122A E P 值，进而得出结果；（3）由已知可得，四边形为菱形.根据向量法求出四棱锥的体积以及表面积即1122PE P E 11122A PE P E -可得出结果.【详解】（1）解：由题意可知，两两垂直，且.以点为坐标原221,,OP OQ OP 2211OP OQ OP ===O 点，分别以的方向为轴的正方向，如图5，建立空间直角坐标系. 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z则由题意可得，，，，，，，()0,0,0O ()21,0,0P ()20,1,0Q ()10,0,1P ()21,1,0B ()11,0,1A ()21,1,0A -，.()10,0,1Q -又分别是的中点，所以，. 12,E E 1212,P A PB 1111,,222E ⎛⎫- ⎪⎝⎭2111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r 则，12121cos ,3P A Q B <=-u u u r u u u u ru u u r u u u u r 所以异面直线与成角余弦值为. 12P A 12Q B 13（2）解：由（1）可得，，，，.()111,0,0P A =u u u r11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ()210,0,1P A =u u u r 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 设是平面的一个法向量，()1111,,n x y z =111P A E 则， 1111110n P A n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即， 111101110222x x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩令，可得是平面的一个法向量. 11y =()10,1,1n =-111P A E 设是平面的一个法向量，()2222,,n x y z =122A E P 则， 22122200n P A n P E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即，取，可得是平面的一个法向量. 222201110222z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩21x =()21,1,0n = 122A E P 则，1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>===u r u u ru r u u r u r u u r所以平面与平面. 111P A E 122A E P =（3）解：由（1）（2）可得，，，，()121,0,1PP =-u u u r()120,1,0E E =u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，. 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 所以，2211P E PE =-u u u u r u u u r 所以∥且，所以四边形为平行四边形. 22P E 11PE 2211=P E PE 1122PE P E 又，()()12121,0,10,1,00PP E E ⋅=-⋅=u u u r u u u u r所以，即， 1212PP E E ⊥u u u r u u u u r1212PP E E ⊥所以四边形为菱形.1122PE P E ，， 121E E =u u u u r 所以. 112212112P E P E S PP E =⨯⨯u u u r u u u 设是平面的一个法向量，则，()3333,,n x y z = 1122PE P E 31231100n PP n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，取， 3333301110222x z x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩31x =则是平面的一个法向量.()31,0,1n =u r1122PE P E 又，所以点到平面的距离()111,0,0A P =-u u u r 1A 1122PE P Ed 所以四棱锥的体积. 11122A PE P E -11221111336P E P E V S d =⨯⨯==因为，，. ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r 所以在方向上的投影为 11A P u u u r 12PE u u u u r 111212AP PE PE ⋅==u u u r u u u u r u u u u r 所以点到直线的距离. 1A 12PE 1h 同理可得点到直线的距离1A 11PE 2h =所以四棱锥的侧面积11122A PE P E -1121114422S PE h =⨯⨯⨯==u u u u r 所以埃舍尔体的表面积为，体积为.112S =1122V =21．随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转A B A B 化率分别为对应区间的中点值.等级A B询单转化率70%%[90，） 50%%[70，）人数6 4(1)求该网店询单转化率的平均值；(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概70%率；(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A 等级客服接待的概率为a ，被任一位B 等级客服接待的概率为b ，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a 应该控制在什么范围？ 【答案】(1)； 72%(2)； 3742(3). 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由已知分别求出、等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可； A B （2）设A 等级客服的人数为，则的可能取值为，对应的询单转化率中位数分别为X X 0,1,2,3,4，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；60%,60%,70%,80%,80%（3）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出120006000a +a 的取值范围.【详解】（1）解：由已知可得，等级客服的询单转化率为，等级客服的询单转化率为A 80%B 60%，所以该网店询单转化率的平均值为.80%660%472%10⨯+⨯=（2）解：由（1）知：、等级客服的询单转化率分别为. A B 80%,60%设抽取4位客服中，等级客服的人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3,4. A 由题意可得，服从超几何分布.X 当时，4人转化率为，中位数为； X 0=60%,60%,60%,60%60%当时，4人转化率为，中位数为； 1X =60%,60%,60%,80%60%当时，4人转化率为，中位数为； 2X =60%,60%,80%,80%70%当时，4人转化率为，中位数为； 3X =60%,80%,80%,80%80%当时，4人转化率为，中位数为. 4X =80%,80%,80%,80%80%所以，当时，这4人的询单转化率的中位数不低于.2X ≥70%因为，服从超几何分布，所以的分布列为，. X X ()464410C C C k k P X k -⋅==0,1,2,3,4k =所以. ()()()2101P X P X P X ≥=-=-=04136464441010C C C C 371C C 42⋅⋅=--=（3）解：设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为. A ,Y Z 则改革前，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 163105P ==所以，则.310000,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()31000060005E Y =⨯=因为，等级客服的询单转化率分别为，A B 80%,60%所以改革前日均成交人数为； ()600080%10000600060%7200⨯+-⨯=改革后，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 26P a =所以，则，()10000,6Z B a ~()10000660000E Z a a =⨯=故改革后日均成交人数为. ()6000080%100006000060%120006000a a a ⨯+-⨯=+由得：，①1200060007200300a +≥+18a ≥因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，所以每位顾客被一位等级客服A a 641a b +=B 接待的概率为. 164ab -=又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以， 100001300161000013004a a≤⎧⎪⎨-⋅≤⎪⎩解得：，②13100225a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩由①②得：，所以应该控制在. 1138100a ≤≤a 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

一、填空题1．在等差数列中，已知，，则__．{}n a 12a =34a =-4a =【答案】7-【分析】利用通项公式的相关的性质即可求解.【详解】设公差为，则， d 3132a a d -==-所以.437a a d =+=-故答案为：7-2．等比数列中，若，，则_____． (){*}n a n ∈N 2116a =512a =8a =【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案．【详解】设等比数列的公比为，则，解得，即，所以(){*}n a n ∈N q 35212a a q ⨯==38q =2q =， 3581842a a q =⨯⨯==故答案为：．43．半径为2的球的表面积为________.【答案】16π【分析】代入球的表面积公式:即可求得.2=4S R π表【详解】， 2R = 由球的表面积公式可得,∴2=4S R π表,2=42=16S ππ⨯⨯球表故答案为:16π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.4．从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).【答案】 16【解析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.【详解】解：从4名同学中选2名同学共有种, 2443621C ⨯==⨯甲､乙两人都没有被选到有种，1甲､乙两人都没有被选到的概率为. ∴165．已知正项等差数列的前项和为，，则________．{}n a n n S 25760a a a +-=11S =【答案】22【分析】根据等差数列的性质可得，再根据求和公式即可求出．62a =【详解】正项等差数列的前项和为.{}n a n n S 由得，所以，（舍）25760a a a +-=26620a a -=62a =60a = 611111*********a a a S +=⨯=⨯=故答案为：22【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查了运算能力，属于基础题． 6．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建1111ABCD A B C D -D D 立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________1DB (4,3,2)1AC【答案】(4,3,2)-【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，1111ABCD A B C D -D 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，D 因为的坐标为，所以,1DB (4,3,2)(4,0,0),(0,3,2)A C 所以.1(4,3,2)AC =-7．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________.【答案】0.9## 910【分析】利用概率加法公式直接求解.【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：.0.50.70.30.9P =+-=故答案为：0.9.8．如图，点为矩形的边的中点，，，将矩形绕直线旋转所M ABCD BC 1AB =2BC =ABCD AD 得到的几何体体积记为，将绕直线旋转所得到的几何体体积记为，则的值为1V MCD △CD 2V 12V V ________【答案】6【分析】分析几何体的结构，计算出、，由此可得出结果.1V 2V 【详解】将矩形绕直线旋转所得到的几何体是以为底面圆的半径，母线长为的圆柱，ABCD AD 12所以，，21122V ππ=⨯⨯=将绕直线旋转所得到的几何体是以为底面圆的半径，高为的圆锥，MCD △CD 11所以，. 2211133V ππ=⨯⨯⨯=因此，. 126V V =故答案为：.69．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于．若该三棱柱的所有顶点都在球的表面上，()318cm O 则球的体积等于__． O ()3cm 【分析】先由题目条件可得三棱柱的棱长，后可结合图形确定球O 的球心，后可得答案.【详解】如图，三棱柱是直三棱柱，且所有棱长都相等，111ABC A B C -该三棱柱的顶点都在球的表面上，且三棱柱的体积为18，O 设三棱柱的棱长为，则， a 1sin 60182a a a ⨯⨯⨯︒⨯=解得，分别设上下底面中心为、，a =1O 2O 则的中点即为三棱柱外接球的球心，12O O O ，22O A ==所以球的半径，R ===则球的体积等于．O 34π3⨯=10．如图，一质点从原点出发沿向量到达点，再沿轴正方向从点前进AO )1OA = 1A y 1A 到达点，再沿的方向从点前进到达点，再沿轴正方向从点前进112OA 2A 1OA 2A 1212A A 3A y 3A 到达点，，这样无限前进下去，则质点最终到达的点的坐标为__．2312A A 4A L A【答案】 83【分析】根据已知前进规律,再应用无穷等比数列求和公式可得横纵坐标.【详解】等比数列前项和公式当, n ()11,1n n a q S q -=-,110n q q ∞→+-<<≠，1,1n a S q→-根据已知前进规律,探究轴正方向的规律，得， y 1111181121441616314++++++=⨯=-同理也可发现x==故质点最终到达的点的坐标为．A8)3故答案为:8)3二、单选题11．设“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的（）A B A BA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由对立事件及互斥事件的关系即可得出结论.【详解】由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的必要而不充分条件．A B A B故选：B．12．如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与1111A B C D ABCD-E F1A A BC11ADD A平面平行的直线（）DEFA．有一条B．有二条C．有无数条D．不存在【答案】C【分析】设平面，且，可证明平面，从而可得正确的选项.l⊂11ADD A//l DE//l DEF【详解】设平面，且，又平面，平面，l⊂11ADD A//l DE DE⊂DEF l⊂DEF平面，显然满足要求的直线l有无数条.//l∴DEF故选：C.【点睛】本题考查线面平行的判断，注意根据所求直线在定平面中去构造与平面平行的直线，本题属于容易题.13．实数a ，b 满足a •b ＞0且a ≠b ，由a 、b 、按一定顺序构成的数列（ ） 2a b +A ．可能是等差数列，也可能是等比数列B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列C ．不可能是等差数列，但可能是等比数列D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】B【分析】由实数a ，b 满足a•b ＞0且a≠b ，分a ，b ＞0和a ，b ＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a 、b 、2a b +件的a ，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】（1）若a ＞b ＞0则有a ＞ b 2a b +若能构成等差数列，则a+b= 2a b +2a b +解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=， 2a b +2a b +=解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列（2）若b ＜a ＜0，2a b a b +>>>，得2a b b a +=+于是b ＜3a4ab=9a 2-6ab+b 2得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列．于是b=9a ＜0，满足题意＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列 2a b +故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．14．已知正项等比数列满足，若存在两项，，则的{}n a 7652a a a =+m a n a 14a =14m n +最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．不存在3243256【答案】A【分析】根据求出公比得到，结合均为正整7652a a a =+2q =14a =6m n +=,m n 数，得到五组值，代入求出最小值.【详解】设正项等比数列的公比为，{}n a 0q >因为，所以，7652a a a =+25552a q a q a =+化为，，解得．220q q --=0q >2q =因为存在两项，,m n a a 14a =14a =化为．6m n +=则，；，；，；，；，．1m =5n =2m =4n =3m =3n =4m =2n =5m =1n =则当，时，， 1m =5n =1449155m n +=+=当，时，， 2m =4n =1413122m n +=+=当，时，， 3m =3n =14145333m n +=+=当，时，， 4m =2n =1419244m n +=+=当，时，， 5m =1n =14121455m n +=+=故最小值为. 32故选：A ．15．已知函数是定义在上的严格增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则()f x R {}n a 10110a >的值（ ） ()()()()()12320202021f a f a f a f a f a ++++ A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为D ．可正可负0【答案】A 【分析】根据函数的性质可判断函数值正负，从而结合等差数列性质推出()f x 12021()()0f a f a +>，进而将结合等差数列的性质即可判断答案.()()()()()12320202021f a f a f a f a f a ++++ 【详解】因为函数是上的奇函数且是严格增函数，()f x R 所以，且当时，； 当时，．(0)0f =0x >()0f x >0x <()0f x <因为数列是等差数列，，故．{}n a 10110a >1011()0f a >再根据，所以，则，12021101120a a a +=>12021a a ->120212021()()()f a f a f a >-=-所以．12021()()0f a f a +>同理可得，，，22020()()0f a f a +>32019()()0f a f a +>L 所以()()()()()12320202021f a f a f a f a f a +++++ ，1202122020101210101011[()()][()()][()()]()0f a f a f a f a f a f a f a =+++++++> 故选：．A三、解答题16．在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求：(1)甲乙同时射中目标的概率；(2)甲乙中至少有一人击中目标的概率.【答案】(1)0.12(2)0.58【分析】（1）设出相应的事件，找出对应事件的概率，利用相互独立事件的概率求解即可，（2）利用对立事件性质求解即可.【详解】（1）设“甲击中目标”为事件，“乙击中目标”为事件，A B 则，且事件，相互独立，()()0.4,0.3P A P B ==A B 所以甲乙同时射中目标的概率为.()()()0.40.30.12P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=（2）设“甲乙中至少有一人击中目标”为事件，C 则它的对立事件为“甲乙都没有击中目标”记为：，A B ⋅则. ()()()()()()11110.410.30.58P C P A B P A P B =-⋅=-⋅=---=17．如图，已知平面，，直线与平面所成的角为，且AB ⊥BCD BC BD ⊥AD BCD 30︒.2AB BC ==(1)求三棱锥的体积；A BCD -(2)设为的中点，求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）M BD AD CM【答案】(2)【分析】（1）由题目条件可得BD ，后可由三棱锥体积公式得答案； （2）取中点，连接，则，即为异面直线与所成角，后可AB N ，CN MN //MN AD CMN ∠AD CM 由余弦定理得答案.【详解】（1）因为平面，所以即为直线与平面所成的角， AB ⊥BCD ADB ∠AD BCD所以，所以 o 30ADB ∠=o tan 30AB BD ==所以三棱锥的体积 A BCD -1111223632A BCD BCD V S AB BC BD AB -=⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯A （2）取中点，连接，则，AB N ，CN MN //MN AD 所以即为异面直线与所成角，CMN ∠AD CM 又平面，平面，则，AB ⊥BCD BD ⊂BCD AB BD ⊥得. 1422，AD MN AD ====CN CM ====则在中，，CMN A 2，MN CN CM ===所以， 222cos 2CM MN CN CMN CM MN +-∠=⋅所以异面直线与所成角的大小为AD CM18．已知数列满足，且.{}n a 11a =123n n a a +=+(1)令，求证：是等比数列；3n n b a =+{}n b (2)求数列的通项公式及数列的前项和.{}n a n a {}n a n 【答案】(1)证明见解析(2)，数列的前项和为 123n n a +=-{}n a n 2234n n +--【分析】（1）根据题意结合等比数列定义运算分析；（2）根据题意结合等比数列的通项公式求得，再利用分组求和以及等比数列的求和公123n n a +=-式运算求解.【详解】（1）因为，所以， 123n n a a +=+()1323n n a a ++=+又∵，则，且，3n n b a =+12n n b b +=14b =所以是以首项，公比的等比数列.{}n b 14b =2q =（2）由（1）得，所以，11422n n n b -+=⋅=123n n a +=-所以 ()()()()23123412323...23222...23n n n S n ++=-+-++-=++++-. ()2412312324n n n n +-=-=---19．如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异1OO AB BC O A D 于、的点．B C(1)求证：平面；CD ⊥ABD (2)若，，，求圆柱的侧面积．2BD =4CD =6AC =1OO 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由圆柱的性质可得底面，即可得出，再由直线与平面垂直的判定AB ⊥BCD AB CD ⊥得出结论；（2）由已知解直角三角形求出圆柱的底面半径及母线长，即可求出答案.【详解】（1）证明：底面，且底面，AB ⊥Q BCD CD ⊂BCD ，AB CD ∴⊥又，且，平面，CD BD ⊥ AB BD B = AB 、BD ⊂ABD 平面；CD \^ABD （2）在中，，，Rt BCD ∆2BD =4CD =BC ∴==又在中，，Rt ABC ∆6AC =．4AB ∴==4，∴圆柱的侧面积为．∴1OO 24π=20．若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列{}n a i j i j ≠k k i j a a a =⋅具有“性质”.{}n a P （1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；a P （2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；2{}n a P 1a （3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.12a ={}n a P d【答案】（1）答案见解析；（2），且；（3）或.12ma =1m ≥-m Z ∈1d =2d =【分析】（1）根据性质计算，由解得或，可得结论； P 2i j k a a a a a ===0a =1a =（2）通项公式，然后由求出，由的范围可得的值的形式；112n n a a -=⋅k i j a a a =⋅1a 1m k i j =+--1a （3）由得，由对于任意的正整数，存在整数和，使得，1k n a a a =221d k n =-+n 1k 2k 11k n a a a =⋅，两式相减得.首先确定，得是整数，因此也是整数，22k n a a a =⋅21()n da k k d =-0d ≠21n a k k =-d 然后说明不合题意（取较大的，使得即可得），时只有或2，并说明符0d <m 11m m a a a +>0d >1d =合题意．【详解】解：（1）若数列具有“性质”，由已知对于任意正整数，，，都存在正整数{}n a P i j i j ≠，使得，所以，解得或.k k i j a a a =⋅2a a =0a =1a =所以当或时，常数数列满足“性质”的所有条件，数列具有“性质”；当且0a =1a =P P 0a ≠1a ≠时，数列不具有“性质”.{}n a P （2）对于任意正整数，，，存在正整数，使得，即，i j i j ≠k k i j a a a =⋅111111222k i j a a a ---⋅=⋅⋅⋅，令，则.112k i j a +--=1k i j m Z +--=∈12m a =当且时，则，对任意正整数，，，由得1m ≥-m Z ∈11122n m n n a a -+-=⋅=i j i j ≠k i j a a a =⋅，得，而是正整数，所以存在正整数使111222m k m i m j +-+-+-=⋅1k i j m =++-1i j m ++-1k i j m =++-得成立，数列具有“性质”.k i j a a a =⋅P 若，取，，，不是中的项，不合题意．2m ≤-1,2i j ==12112222m m m a a ++=⨯=21m m +<212m +{}n a 综上所述，且.12m a =1m ≥-m Z ∈（3）.对于任意的正整数，存在整数，使得得. 2(1)n a n d =+- n k 1k n a a a =⋅221d k n =-+对于任意的正整数，存在整数和，使得，，两式相减得. n 1k 2k 11k n a a a =⋅22k n a a a =⋅21()n da k k d =-当时，显然不合题意.0d =当时，得，是整数，从而得到公差也是整数.0d ≠21n a k k =-d 若时，此数列是递减的等差数列，取满足正整数，解得，0d <()2102m m a a a <⎧⎪⎨->=⎪⎩m 211m d m ⎧>-+⎪⎪⎨⎪>⎪⎩由，所以不存在正整数使得成立.从而时，不具有“性质”.211m m m a a a a +⋅>>k 1m m k a a a +⋅=0d <P 是正整数，都是正整数，因此或2． 221d k n =-+,k n 1d =当时，数列2，3，4，……，，……，对任意正整数，，，由得1d =1n +i j i j ≠k i j a a a =⋅，得，而是正整数，从而数列具有“性质”.1(1)(1)k i j +=+⋅+k i j i j =++⋅i j i j ++⋅P 当时，数列2，4，6，……，，……，对任意正整数，，，由得2d =2n i j i j ≠k i j a a a =⋅，得，而是正整数，从而数列具有“性质”.222k i j =⋅2k i j =⋅2i j ⋅P 综上所述或.1d =2d =【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查学生的创新意识，推理能力．解题关键是理解新定义并能运用新定义解题．性质，即对任意的，存在，使得，只要根据P ,*m n N ∈*k N ∈k m n a a a =这个恒成立式求得数列即可．。

一、填空题1．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______． 【答案】3π【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果．【详解】∵圆锥的轴截面是正三角形，边长等于2 ABC ∴圆锥的高，2AO ==底面半径.1212r =⨯=∴这个圆锥的表面积：.221213S rl r πππππ=+=⨯⨯+⨯=故答案为．3π【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知数列是等差数列，，，则这个数列的公差_________. {}n a 920a =209a =d =【答案】1-【分析】根据等差数列通项公式直接计算.【详解】由等差数列得，91201820199a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得，1281a d =⎧⎨=-⎩故答案为：.1-3．设，则方程的解集为______.()2xf x =()ln 4f x '=【答案】##{|1}x x ={1}【分析】解方程即得解.2ln 2ln 4x =【详解】解：由题得. 2ln 2ln 4,2ln 22ln 2,22,1x x x x =∴=∴=∴=所以方程的解集为. {|1}x x =故答案为：{|1}x x =4．的展开式中的系数为_______．252()x x+4x 【答案】40【分析】根据二项定理展开通项，求得的值，进而求得系数． 10352r r rC x -r 【详解】根据二项定理展开式的通项式得 2510355()()22r r r r r rC x C xx--=所以 ，解得1034r -=2r =所以系数225240C ⨯=故答案为：40【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．5．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________人． 【答案】12【分析】根据分层抽样的抽样原理即可求解．【详解】采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为．120301280100120⨯=++故答案为：12．6．从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排742人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）. 1【答案】420【分析】分别确定第一天、第二天、第三天值班的人，结合分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天742均安排人，且人员不重复，1由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为.211754C C C 2154420=⨯⨯=故答案为：.4207．已知随机事件和相互独立，若，（表示事件的对立事件），则A B ()0.36P AB =()0.6P A =A A __________()P B =【答案】0.9【分析】求出的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得的值. ()P A ()P B 【详解】由对立事件的概率公式可得， ()()10.6P A P A =-=由独立事件的概率乘法公式可得，因此，. ()()()P AB P A P B =()()()0.9P AB P B P A ==故答案为：.0.98．已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则______. {}n a n n S *N n ∈1n n S a +=-6a =【答案】 164-【分析】根据递推公式得到，所以数列是以为首项，以为公比的等比数112n n a a -={}n a 112a =-12列，利用等比数列的通项即可求解.【详解】因为对任意的，均有，则有， *N n ∈1n n S a +=-1n n S a =--当时，，所以；1n =1111a S a ==--112a =-当时，，也即， 2n ≥1111n n n n n a S S a a --=-=--++112n n a a -=因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，112a =-{}n a 112a =-12所以，则，1111((22n n n a a -=⋅=-6164a =-故答案为：. 164-9．由0、1、2、3、4、5六个数字组成无重复数字且数字2、3相邻的四位数共______个（结果用数字表示）． 【答案】60【分析】分两种情况：四位数有0和没有0时，然后求出数字2,3相邻的即可.【详解】四位数没有0时，数字2,3相邻看作一个数字，2,3需要排列，所以有种，23233236C A A =四位数有0时，求出数字2,3相邻，看作一个数，2,3排列，0只能在后两位置选一个，所以有种，故满足题意的共有60个；2211222324A A C C =故答案为：60.10．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，a ，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.b c 9a =a b c【答案】32【分析】先确定每档可取的整数，再根据公差分类讨论，最后根据分类计数原理得结果. 【详解】每档可取7到14中的每个整数， 若公差为0，共有8种； 若公差为±1，则共有12种； 若公差为±2，则共有8种； 若公差为±3，则共有4种；所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种， 故答案为32【点睛】本题考查分类计数原理，考查基本分析求解能力，属难题.11．已知矩形的周长为6，则将其绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为ABCD AB ______． 【答案】4π【分析】根据已知条件及圆柱的体积公式，再利用导数法求解最值即可. 【详解】设，则，()03BC x x =<<3AB x =-所以将周长为6的矩形绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积为 ABCD AB .则，()()()()223π3π3,03V x x x x x x =-=-<<()()2π63V x x x '=-令，即，解得（舍）或.()0V x '=()2π630x x-=0x =2x =当时，； 02x <<()0V x '>当时，.23x <<()0V x '<所以在上单调递增，在上单调递减； ()V x ()0,2()2,3所以当，即，时，取得最大值为2x =2BC =1AB =()V x()()()23max 2π3224πV x V ==⨯-=所以将其绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为. AB 4π故答案为：.4π12．已知，则723456701234567(21)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++______________.1234567234567a a a a a a a ++++++=【答案】10206【分析】对已知关系式两边同时求导，可得，再根据的展开式的各项126234534567614(21)234567x a a x a x a x a x a x a x -=++++++614(21)x +系数和与的展开式的各项系数和的绝对值相等求解即可. 614(21)x -【详解】对已知关系式两边同时求导，可得，126234534567614(21)234567x a a x a x a x a x a x a x -=++++++因为的展开式的各项系数和与的展开式的各项系数和的绝对值相等， 614(21)x +614(21)x -所以. ()612345672345671421110206a a a a a a a ++++++=⨯+=故答案为：10206.二、单选题13．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.A ．90B ．75C ．60D ．45【答案】A【详解】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36， ∴样本总数为.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75， ∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90. 【解析】频率分布直方图.14．函数可导，“函数在点处的导数值为0”是“函数在点()y f x =()y f x =()00,x y ()y f x =()00,x y 处取极值”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】举特例说明导数值为0，但不是极值点，即可得到结果. 【详解】导数值为0的点不一定是函数的极值点.对于函数，，虽然，但是由于无论还是，恒有，()3f x x =()23f x x '=()00f '=0x >0x <()0f x ¢>即函数是增函数，所以0不是函数的极值点.()3f x x =()3f x x =一般地，函数在一点处的导数值为0是函数在该点处取极值的必要条件，而非充()y f x =()y f x =分条件. 故选：B.15．的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ） 11(2)x y z ++A ．72项 B ．75项 C ．78项 D ．81项【答案】C【分析】由多项式展开式中的项为，即，将问题转化为将2个隔板a b c kx y z 11a b c ++=(,,0)a b c ≥和11个小球分成三组，应用组合数求项数即可.【详解】由题设，多项式展开式各项形式为且，a b c kx y z 11a b c ++=(,,0)a b c ≥故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即. 213C 78=故选：C16．为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓c t ()c f t =度随时间变化的关系如下图所示．t给出下列四个结论：① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； 1t ② 在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；2t ③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； 23[,]t t ④ 在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同. 1223[,],[,]t t t t 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．②③ D ．①③【答案】D【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的斜率，平均变化率是，再结合图象，逐一判断选项即可．()()f t t f t t+-A A 【详解】解：对于①，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正1t 确；对于②，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药2t 2()f t '物浓度的瞬时变化率不相同，即②错误；对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在，内，血管中药物浓度的平均变化率均为2[t 3]t ，即③正确； 3232()()f t f t t t --对于④，在，和，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和1[t 2]t 2[t 3]t 2121()()f t f t t t --，显然不相同，即④错误． 3232()()f t f t t t --故正确的只有①③； 故选：D ．三、解答题17．2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：(1)该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；(2)从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．【答案】(1)3位；第75百分位数是30 (2) 911920【分析】（1）根据茎叶图和百分位数公式，即可计算结果； （2）根据对立事件和组合数公式求概率.【详解】（1）由茎叶图可知，25岁的球员共有3位球员；因为，所以第75百分位数是第20位，由茎叶图可知，年龄从小到大排列，第20位2675%19.5⨯=球员的年龄是30；（2）11名球员没有年龄不小于30的概率, 11191126C 9C 920P ==所以这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率. 99111920920P =-=18．在直三棱柱中，，，，D 是AB 的中点．111ABC A B C -3AC =4BC =15AAAB ==(1)求三棱锥的体积； 1D BCB -(2)求证：∥平面；1AC 1CDB (3)求三棱柱的外接球的表面积． 111ABC A B C -【答案】(1)5；(2)详见解析； (3). 50π【分析】（1）由题可得，然后结合条件利用棱锥体积公式即得； AC BC ⊥（2）设与相交于点，可得，根据线面平行的判定定理，即得；1B C 1BC E 1//AC DE （3）由题可得三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，然后利用111ABC A B C -1,,CC CA CB 长方体的性质即得.【详解】（1）因为，，， 3AC =4BC =15AA AB ==所以，即，又D 是AB 的中点，222AC BC AB +=AC BC ⊥所以；111111134522325D BCB B DBC ABC B V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=（2）设与相交于点，连接，1B C 1BC E ED在中，为的中点，为的中点， 1C AB △D AB E 1C B 所以，1//AC DE 因为平面，平面， 1AC ⊄1CDB DE ⊂1CDB 所以平面；1//AC 1CDB （3）由题可知在直三棱柱中，两两垂直，111ABC A B C -1,,CC CA CB 所以直三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球， 111ABC A B C -1,,CC CA CB 设直三棱柱的外接球的半径为，则， 111ABC A B C -R ()2222234550R =++=即，2450R =所以三棱柱的外接球的表面积为. 111ABC A B C -24π50πR =19．已知数列满足，.{}n a 11a =134(2)n n a a n -=+≥(1)求证：数列是等比数列； {}2n a +(2)求数列的通项公式；{}n a (3)写出的具体展开式，并求其值.5211i i a -=∑【答案】(1)证明见解析；(2)；32nn a =-(3).1138388-【分析】（1）利用构造法，得到，可证明是等比数列； 123(2)n n a a -+=+{}2n a +（2）根据等比数列的通项公式，求出，进而可求的通项公式；23nn a +={}n a （3）直接写出的具体展开式，根据，利用等比数列的前项和公式，直接计算可5211i i a -=∑n a n 5211i i a -=∑得答案.【详解】（1），等式两边同时加上2， 134(2)n n a a n -=+≥得，又， 123(2)n n a a -+=+11a = 123a +=则为首项是3，公比的等比数列{}2n a +3q =（2）由（1）得，为首项是3，公比的等比数列， {}2n a +3q =，故.23n n a ∴+=32n n a =-（3）521135791i i a a a a a a -==++++∑35793333325=++++-⨯53(19)1019-=--1153383(91)10888=⨯--=-20．已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求： (1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率； (2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率； (3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率． 【答案】(1)0.21； (2)0.44； (3)0.94.【分析】（1）根据概率乘法得三人都命中概率为；0.60.70.50.21⨯⨯=（2）分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三种情况讨论，结合概率乘法和加法公式即可得到答案；（3）采取正难则反的原则，求出其对立事件即三人全未命中的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）设事件：甲投篮命中;A 事件：乙投篮命中;B 事件：丙投篮命中.C 甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率.()()()()0.60.70.50.21P ABC P A P B P C ==⨯⨯=所以甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率为0.21.（2）设事件:恰有两人命中.D 所以()(P D P ABC ABC ABC =++(()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++0.40.70.50.60.30.50.60.70.50.44=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以甲,乙,丙各投篮一次,恰有两人命中的概率为0.44.（3）设事件:至少有一人命中.E 所以()1(10.40.30.510.060.94P E P ABC =-=-⨯⨯=-=所以甲,乙,丙各投篮一次,至少有一人命中的概率为0.94.21．已知， 21()ln (1)()2f x x a x ax a =-++∈R (1)当时，求函数在点处的切线方程；0a =()y f x =(1,(1))f (2)当时，求函数的单调区间；(0,1]a ∈()y f x =(3)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．0a =()(2)f x m x =-21,e ⎡⎤⎣⎦m 【答案】(1)10y +=(2)答案见解析(3) 21211,1e e ⎧⎫⎡⎫++⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭U【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；（2）求导，分类讨论求单调区间；（3）根据题意整理可得在区间内有唯一实数解，构建，利用导数求ln 1x m x-=21,e ⎡⎤⎣⎦()ln x g x x =的单调性，数形结合分析运算.()g x 【详解】（1）当时，则，可得， 0a =()ln f x x x =-()11f x x '=-故，()()11,10f f '=-=即切点坐标为，切线斜率，()1,1-0k =故函数在点处的切线方程为．()y f x =()()1,1f 10y +=（2）由题意可知：函数定义域为，且， ()0,∞+()()()()1111ax x f x a ax x x -+'-=-+=注意到，令，解得或， (0,1]a ∈()0f x '=11x a =≥1x =①当，即时，与在上的变化情况如下 11a >01a <<()f x ()f x '()0,∞+ x()0,1 1 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x '+ 0 -0+ ()f x 单调递增 极大值 ()1f 单调递减 极小值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； ()y f x =()0,11,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当时，在定义域内恒成立， 1a =()2(1)0x f x x-'=≥所以函数的单调递增区间为；()y f x =()0,∞+综上所述：当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为01a <<()y f x =()0,11,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当时，函数的单调递增区间为．1a =()0,∞+（3）当时，则，0a =()ln f x x x =-因为方程在区间内有唯一实数解，()()2f x m x =-21,e ⎡⎤⎣⎦即，整理得， ()ln 2x x m x -=-ln 1x m x-=原题意等价于在区间内有唯一实数解， ln 1x m x-=21,e ⎡⎤⎣⎦设，则， ()ln x g x x =()221ln 1ln x x x x g x x x ⋅--=='注意到，21,e x ⎡⎤∈⎣⎦当时，；当时，；[]1,e x ∈()0g x '>(2e,e x ⎤∈⎦()0g x '<故在上单调递增，在上单调递减， ()g x []1,e (2e,e ⎤⎦且， ()()()221210,e ,e e e g g g ===则在上的图像如图所示， ()ln x g xx=21,e ⎡⎤⎣⎦若在区间内的唯一实数解，则或， ln 1x m x -=21,e ⎡⎤⎣⎦11e m -=2210,e m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭解得或， 11e m =+221,1e m ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭故实数的取值范围． m 21211,1e e ⎧⎫⎡⎫++⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭U 【点睛】方法定睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）画出函数草图，数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．。

第一学期高二数学期末考试试卷注意事项：1．考试时间：90分钟试卷满分：100分；2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题；3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆；一、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分）1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________．2、如图所示，下列空间图形中，①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台．上述说法正确的个数为________．3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________．4、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.若所有的棱长都是2，则异面直线AC1与BC所成的角的正弦值为5、如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________．6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过C 1，E ，F 的截面的周长为________．7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号)①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC .8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________．9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________． 10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________.二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分）11、下列命题中，正确的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦14、设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x 的最大值是( ) A ．12 B ．33 C ．32D ． 3三、解答题（本大题共有5题，满分50分）15、（本题8分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 上的一点，D ，E 分别是VB ，VC 的中点，求异面直线DE 与AC 所成的角的大小为________．16、（本题8分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ，D 为PB 的中点，则下列结论正确的序号是；并说明理由；A ．BC ⊥平面P ABB ．AD ⊥PCC ．AD ⊥平面PBCD ．PB ⊥平面ADC17、（本题10分）从2名男生（记为1A,2A）和2名女生（记为1B,2B）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间 ;（2）设事件M为“选到1名男生和1名女生”,求事件M发生的概率;（3）若2名男生1A,2A所处年级分别为高一、高二,2名女生1B,2B所处年级分别为高一、高二,设事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N发生的概率.18、（本题12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值：(2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）19、（本题12分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（3）若平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，求AB的长．参考答案注意事项：1．考试时间：90分钟试卷满分：100分；2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题；3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆；二、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分）1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________．【答案】240【详解】抽取比例为50160012=，设该年级的女生人数是x，则男生人数为600x-，因为女生比男生少抽了10人，所以11(600)101212x x=--，解得240x=，故答案为：240.2、如图所示，下列空间图形中，①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台．上述说法正确的个数为________．【答案】0；【解析】图(1)不是圆柱，因为从其轴截面可以看出，该空间图形不是由矩形绕其一边所在直线旋转一周得到的；图(2)不是圆锥，因为该空间图形不是由直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的；图(3)不是圆台，因为该空间图形的上、下底面所在的平面不平行，不是由平行于圆锥底面的平面截得的．3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________．【答案】3【解析】在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：PA ，PB ，PC 相交于一点P ，且PA ，PB ，PC 不共面，则PA ，PB 确定一个平面PAB ，PB ，PC 确定一个平面PBC ，PA ，PC 确定一个平面PAC .4、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC .若所有的棱长都是2，则异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为【答案】144； 【解析】如图，连接AB 1，∵BC ∥B 1C 1，∴∠AC 1B 1就是异面直线AC 1与BC 所成的角．在△AC 1B 1中，AC 1＝AB 1＝22，B 1C 1＝2，∴cos ∠AC 1B 1＝122＝24.∴sin ∠AC 1B 1＝144. ∴异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为144. 5、如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与直线A 1B 1交于点P ，则线段PB 1的长为________．【答案】34a 【解析】延长DM 交D 1A 1的延长线于点G ，连接GN 交A 1B 1于点P .由M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点知，P 在A 1B 1的14(靠近A 1)处，故线段PB 1的长为34a .6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过C 1，E ，F 的截面的周长为________．【答案】45＋62；【解析】 由EF ∥平面BCC 1B 1可知，平面BCC 1B 1与平面EFC 1的交线为BC 1，平面EFC 1与平面ABB 1A 1的交线为BF ，所以截面周长为EF ＋FB ＋BC 1＋C 1E ＝45＋6 2.7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号)①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC .【答案】③；【解析】由线面垂直的判定定理知OA 垂直于平面OBC ；8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________．【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0【解析】若直线在x 轴上的截距为0，可设直线方程为y ＝kx ，将A (1,1)代入，得k ＝1，∴直线方程为y ＝x .若直线在x 轴上的截距不为0，可设直线方程为x ＋y ＝a ，将A (1,1)代入，得a ＝2，∴直线方程为x ＋y ＝2.9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________．【答案】(－3，－3)【解析】如图所示，四边形PACB 的面积S ＝2S △PAC ＝|PA |·|AC |＝|PA |＝|PC |2－1，要使S 最小，需|PC |最小，当CP 与直线x ＋y ＋6＝0垂直时，|PC |取得最小值，此时直线PC 的方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0，与方程x ＋y ＋6＝0联立得P (－3，－3)．10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________.【答案】8【详解】因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6，去掉6后方差变为24，故得到()24121-=n n ，解得：8n =故答案为：8；二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分）11、下列命题中，正确的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高【答案】A【解析】用一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台，B 错误．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面，C 错误．立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，D 错误．12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE【答案】B【解析】∵在▱AA 1B 1B 中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，∴AM ∥BN ，且AM ＝BN ，∴四边形ABNM 是平行四边形，∴MN ∥AB .又MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ，∴MN ∥EF ，∴EF ∥AB ，显然在△ABC 中，EF ≠AB ，∴EF ≠MN ，∴四边形MNEF 为梯形．故选B. 13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【详解】随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-， ∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩，解得5443a <，即54,43a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：D ．14、设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A ．12 B ．33 C ．32D ． 3【答案】D【解析】令yx＝k，则y＝kx，∴kx－y＝0，问题转化为直线kx－y＝0与圆有关系，则|2k－0|1＋k2≤3，∴k2≤3，∴－3≤k≤3，故yx的最大值为3，故选D．三、解答题（本大题共有5题，满分50分）15、（本题8分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB上的一点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AC所成的角的大小为________．【答案】90°【解析】∵在△VBC中，E，D分别为VC，VB的中点，∴DE∥BC，∴异面直线DE与AC所成的角即为BC与AC所成的角，即为∠ACB＝90°.16、（本题8分）如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的序号是；并说明理由；A．BC⊥平面P ABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC【答案】ABC【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，故C正确；∴AD ⊥PC ，故B 正确． 17、（本题10分）从2名男生（记为1A ,2A ）和2名女生（记为1B ,2B ）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间Ω;（2）设事件M 为“选到1名男生和1名女生”,求事件M 发生的概率;（3）若2名男生1A ,2A 所处年级分别为高一、高二,2名女生1B ,2B 所处年级分别为高一、高二,设事件N 为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N 发生的概率.【答案】(1){}121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B B B ；(2)23；(3)12【详解】（1）解:由题知,样本空间Ω为{}121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B B B ;（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件M 得结果数有4个；故()4263M P ==; （3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件N 得结果数有3个；故()3162N P ==.18、（本题12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值： (2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）【答案】(1)0.006a =；(2)众数75；中位数76.4(1)由(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=,得0.006a =(2)50名学生竞赛成绩的众数为7080752+= 设中位数为m ,则0.040.060.22(70)0.0280.5m +++-⨯=，解得76.4m ≈ 所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.419、（本题12分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．（1）求证：B 1E ⊥AD 1；（2）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；（3）若平面AB 1E 与平面A 1B 1E 夹角的大小为30°，求AB 的长．【解析】（1）证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)． 故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E —→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0.∵AD 1→·B 1E —→＝－a 2·0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.（2）解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)(0≤z 0≤1)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0. 取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，即n ·DP →＝0，a 2－az 0＝0， 解得z 0＝12. 又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，使得DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. （3）连接A 1D ，B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ，又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，B 1C ，B 1E ⊂平面DCB 1A 1， ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴AD 1→是平面DCB 1A 1即平面A 1B 1E 的一个法向量，且AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n |·|AD 1→|＝－a 2－a 2×1＋a 24＋a 2. ∵平面AB 1E 与平面A 1B 1E 夹角的大小为30°，∴|cos θ|＝cos 30°，即3a22×1＋5a 24＝32. 解得a ＝2，即AB 的长为2.。

2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题一、填空题1．空间两点()1,1,2A 和()2,0,2B -间的距离为__．【分析】直接由空间中两点的距离公式得出.【详解】AB =故答案为2y 10-+=的倾斜角为______．【正确答案】3π【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．10y -+=的倾斜角为θ．10y -+=化为1y +，故tan θ=，又(]0,θπ∈，故3πθ=，故答案为3π．一般地，如果直线方程的一般式为()00Ax By C B ++=≠，那么直线的斜率为A k B =-，且tan θk =，其中θ为直线的倾斜角，注意它的范围是(]0,π．3．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为__________．【正确答案】1:8【详解】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8球体的表面积体积4．经过点(3,2)A -且斜率为2的直线l 的一般式方程为__．【正确答案】280x y --=【分析】根据点斜式公式直接求解即可.【详解】解：因为直线l 过点(3,2)A -且斜率为2，所以，直线l 的方程为22(3)y x +=-，即280x y --=．故280x y --=5．空间向量(1,0,),(2,,4)a m b n =-=- ，若//a b ，则m n +=__．【正确答案】2【分析】由向量平行的坐标运算求得,m n 即可求得m n +的值.【详解】若//a b ，则(2,,4)2(1,0,)n m -=--，则0,2n m ==，所以2m n +=．故26．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取_________名学生．【正确答案】40【详解】试题分析：该学院的C 专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C 专业应抽取学生数为400×1201200=40.本题主要考查分层抽样．点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比．7．若向量()()1,0,1,0,1,1a b ==- ，则向量,a b 的夹角为_____．【正确答案】23π【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解.【详解】根据题意，设向量,a b 的夹角为θ，向量()()1,0,1,0,1,1a b ==-则向量1a b a b =⋅=- 则1cos2θ=-又由0θπ≤≤，则23πθ=故23π．8．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．【正确答案】12π【分析】求出正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径，进而求出球的表面积.【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径等于其体对角线长度，所以外接球的直径=24122S ππ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭故12π9．已知圆锥的底面半径为1θ的大小为_________．【正确答案】π圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为12=，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知22πθ=，解得θπ=故π10．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，则xy =________.【正确答案】96【详解】9101150,20x y x y ++++=+=，2211(10)(10)10x y ++-+-=，22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=11．已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.【正确答案】,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将直线,a b 平移交于点P ，并作a Pb ''∠及其外角的角平分线；根据过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，可知1l 方向上有两条，2l 方向上不存在，由此可得范围.【详解】将直线,a b 平移交于点P ，设平移后的直线为,a b ''，过点P 作a Pb ''∠及其外角的角平分线12,l l ，则3a Pb π''∠=；在1l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线有两条，则6πθ>；在2l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线不存在，则3πθ<；综上所述.,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为.,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．【正确答案】5【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．详解：由题意知底面圆的直径AB ＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4π180n ，解得n ＝90，所以展开图中∠PSC ＝90°，根据勾股定理求得PC ＝所以小虫爬行的最短距离为故答案为点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是___________.【正确答案】124【分析】由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴ ∽1AD B ，112211PB PP P B AB AD BD ==，设1,(0,1)PB x x =∈，则12PP =，2P 到平面11AA B B 的距离为h ，则2111P B h A D BD =,所以h x =，所以四面体121PP AB 的体积为22111111(1)1()()3266224V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+，当12x =时，四面体121PP AB 的体积取得最大值：124．所以答案应填：124．1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴∽1AD B ，设出1,(0,1)PB x x =∈，则122PP ，2P 到平面11AA B B 的距离为x ，表示出四面体121PP AB 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．14．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当1λ=时，1AB P △的周长为定值②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值③当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【正确答案】②④【分析】①结合1λ=得到P 在线段1CC 上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有1A P BP ⊥，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BP BC BB λμ=+ ，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，所以P 为正方形11BCC B 内一点，①，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ=，[0,1]μ∈，所以P 在线段1CC 上，所以1AB P △周长为11AB AP B P ++，如图1所示，当点P 在12,P P 处时，111122B P AP B P AP +≠+，故①错误；②，如图2，当1μ=时，即1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ=，[0,1]λ∈，所以P 在11B C 上，1113P A BC A BC V S h -=⋅ ，因为11B C ∥BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以点P 到平面1A BC 距离不变，即h 不变，故②正确；③，当12λ=时，即112BP BC BB μ=+ ，如图3，M 为11B C 中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动点，易知当0μ=时，点P 与点N 重合时，由于△ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以AN ⊥BC ，又1AA ⊥BC ，1AA AN A = ，所以BN ⊥平面1ANMA ，因为1A P ⊂平面1ANMA ，则1BP A P ⊥，当1μ=时，点P 与点M 重合时，可证明出1A M ⊥平面11BCC B ，而BM ⊂平面11BCC B ，则1A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，故③错误；④，当12μ=时，即112BP BC BB λ=+ ，如图4所示，D 为1BB 的中点，E 为1CC 的中点，则P 为DE 上一动点，易知11A B AB ⊥，若1A B ⊥平面1AB P ，只需11A B B P ⊥即可，取11B C 的中点F ，连接1,A F BF ，又因为1A F ⊥平面11BCC B ，所以11A F B P ⊥，若11A B B P ⊥，只需1B P ⊥平面1A FB ，即1B P BF ⊥即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，1B P BF ⊥故只有一个点P 符合要求，使得1A B ⊥平面1AB P ，故④正确.故选：②④立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.二、单选题15．下列几何体中，多面体是（）【正确答案】B【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.16．类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【正确答案】B【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④．【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；故选：B本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题．17．“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【正确答案】C【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得．【详解】直线l 的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内的时候就不满足，当直线l 与平面α平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，∴前者不能推出后者，后者可以推出前者，∴前者是后者的必要不充分条件，即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.故选：C18．已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A ，B 的四个命题：①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件；②若任取x A ∉，则x B ∈是不可能事件；③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件；④若任取x B ∉，则x A ∉是必然事件．其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】C【分析】、由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x A ∈，则x B ∈是必然事件，故①正确；对于②：任取x A ∉，则x B ∈是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，集合B 中也存在集合A 中的元素，所以任取x B ∈，则x A ∈是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x B ∉，则x A ∉是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．故选：C ．19．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是A ．若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的变长，则h d的取值范围为(,23C ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为(3D ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为)+∞【正确答案】C【详解】设侧棱长是b ，底面的变长是a ，点1B 到对角线1BD 的距离h 即为直角三角形11B BD 斜边1BD上的高，111,,B D B B b h ===1B 到平面11A BCD 的距离分别d 即为直角三角形1B BA 斜边1B A上的高，111,,B A a B B b h h d ==∴=若侧棱的长小于底面的边长，即b a <22222142,111231a a b b ><+<⇒<+A,B 错误；若侧棱的长大于底面的边长，即b a >222221402,21231a a b b <<>+>+选C20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段11B C 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（）A．B．[3C．D．3【正确答案】C【分析】设出正方体棱长，表达出sin α=判断出sin y α=在[0,2]a ∈是严格减函数，从而求出最值，得到取值范围.【详解】设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,2),(2,2,0),(0,0,0),(1,1,0),(,2,2)A B D O P a ，02a ≤≤，1(2,0,2),(2,2,0),(1,1,2)DA DB OP a ===-，设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z = ，则1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n =--，所以3sin cos ,3||||OP n n OP n α⋅===⋅⋅=3=因为02a≤≤，所以14ya=-在[0,2]a∈上单调递减，且1113,,42414a⎡⎤⎛⎫∈--⊆-∞-⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，由复合函数单调性可知21351441414ya⎛⎫=++⎪-⎝⎭单调递增，所以sinyα=在[0,2]a∈是严格减函数，所以2a=时，sinα取最小值min(sin)α==，a=时，sinα取最大值max(sin)33α==．所以sinα的取值范围是．故选：C．方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；三、解答题21．甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为45，乙及格概率为35，求：(1)求甲、乙两人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．【正确答案】(1)1225(2)2325(3)1125【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；（2）先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可；【详解】（1）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，甲、乙两人都及格的概率143125525P =⨯=.（2）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，两人都不及格的概率为432(15525--=，所以，至少有一人及格的概率222312525P =-=；（3）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，恰有一人及格的概率3434311(1)(1)555525P =⨯-+-⨯=．22．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，L ，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；(3)从评分在[40,60)的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50,60)的概率．【正确答案】(1)0.006a =(2)80(3)310【分析】（1）根据频率和为1求解即可；（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；【详解】（1）解：因为(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =；所以0.006a =（2）解：可估算样本平均数为450.04550.06650.22750.28850.22950.1880x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）解：由题知，500.004102⨯⨯=人，500.006103⨯⨯=，所以，评分在[40,50)的职工有2人，记为,A B ，评分在[50,60)的职工有3人，记为,,a b c ，所以，从中随机抽取2人，所有的情况为：()()()(),,,,,,,A B A a A b A c ，()()(),,,,,B a B b B c ，()()(),,,,,a b a c b c ，共10种，其中，此2人评分都在[50,60)的有()()(),,,,,a b a c b c ，3种，所以，此2人评分都在[50,60)的概率310P =．23．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为1BB CD 、的中点，求：(1)异面直线AF 与1D E 所成的角；(2)求点F 到平面11A D E 的距离．【正确答案】(1)(2)5【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；（2）根据空间距离的向量方法求解即可.【详解】（1）以1D 为原点，11111,,D A D C D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,1,2),(0,0,0),(2,0,(20),0,2),(2,,2,1)A A F D E ，1(2,1,0),(2,2,1)AF D E =-=，11111cos ,15||||A F D E AF D E A F D E ⋅==-，所以异面直线AF 与1D E所成的角为arccos15；（2）111(2,0,0),(2,2,1)D A D E ==，设(,,)n x y z =是平面11A D E 的法向量，则11120220n D A x n D E x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =-，得(0,1,2)n =- ，又1(0,1,2)D F =，所以点F 到平面11A D E 的距离1||355||n D F d n ⋅==．24．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上（点E 异于A 、B 两点），点F 在DE 上，且AF D E ⊥，若圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π．(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.【详解】（1）根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ．因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥．因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，又AE AD A ⋂=，故EB ⊥平面DAE ．因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥．又AF D E ⊥，且EB DE E =I ，故AF ⊥平面DEB ．因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以过E 作EH AB ⊥，由平面ABCD ⋂平面ABE AB =，则EH ⊥平面ABCD ，即EDH ∠为DE 与平面ABCD 所成角，设圆柱的底半径为r ，因为圆柱的轴截面ABCD 是正方形，ABE 的面积为12S AB EH r EH =⋅⋅=⋅．圆柱的底面积2S r π=，因为圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π，所以2r EH r ππ⋅⋅=，解得EH r =，所以点H 为圆柱底面圆的圆心，则tan EH EDH DH ∠====即直线DE 与平面ABCD 25．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是P 为侧棱SD 上的点．(1)求正四棱锥S ABCD -的体积；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的大小；(3)在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【正确答案】(1)463(2)30︒(3)当:2:1SE EC =时，//BE 平面PAC ．【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；（3）在第二问的基础上，设CE tCS = ，通过BE BC tCS =+ 得到BE的坐标，结合0BE DS ⋅= 求出t 的值，求出答案.【详解】（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连接SO ，因为正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是22所以SO ⊥平面ABCD ，2AO BO CO DO ====即SO 为正四棱锥的高，故正四棱锥的高22(22)(2)6h -正方形ABCD 的面积为224=，所以正四棱锥S ABCD -的体积143V =⨯（2）以O 为坐标原点，,,O OC O B S分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．由（1）知高SO =于是(S D C ，(OC SD ==，0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥，从而AC SD ⊥，所以平面PAC 的一个法向量DS =，平面DAC 的一个法向量OS =．由图可知二面角P AC D --为锐角，设所求二面角为θ，则cos ||||OS DS OS DS θ⋅== 所求二面角的大小为30︒；（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE 平面PAC ．由（2）得DS是平面PAC 的一个法向量，且(0,DS CS == ，设CE tCS = ，则()BE BC CE BC tCS =+=+=，而103BE DS t ⋅=⇔= ，即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥ ，而BE 不在平面PAC 内，故//BE 平面PAC ．。

a4
a6
a8
a10
1 25 1 2
25
1，
∴ S10 (a1 a3 a5 a7 a9 ) (a2 a4 a6 a8 a10 ) 61.
故选：B. 8、A 【解题分析】由方程确定曲线的形状，然后转化为求圆上的点到直线距离的最大值
【题目详解】由曲线方程为 x2 y2 x y 知曲线关于 x, y 轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，
15．若 an (1)n (2n 1) ，则数列an 的前 21 项和 S21 ___________.
16．如图三角形数阵：
1
23
பைடு நூலகம்
456
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照自上而下，自左而右的顺序，2021 位于第 i 行的第 j 列，则 i j ______
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个
3m
令 k 5 3 3n ，则 3mk 3n 5 3 0 它对应直线 3kx 3y 5 3 0 3m
3kx 3y 5 3 0
由
x
2
4
y2 3
1
整理得 (9 12k 2 )x2 40 3kx 64 0
由判别式 40
3k
2
4 64(9 12k 2 ) 0 解得
0 3 0
1
x0 2
3
5
，解得
x0 y0
5 8
，即
A
5,8
.
根据椭圆的定义可知， 2a AP BP AP BP AB 5 32 82 2 17 ，

一、填空题1．从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是______． {}1,2,3,4a {}1,2,3b b a >【答案】##0.25 14【分析】首先根据题意用列举法写出全部基本事件，再利用古典概型公式求解即可. 【详解】从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为， {}1,2,3,4a {}1,2,3b 共有：，，，，，，，，，()1,1()1,2()1,3()2,1()2,2()2,3()3,1()3,2()3,3，，，共12个基本事件，()4,1()4,2()4,3则有，，，共有3个基本事件， b a >()1,2()1,3()2,3所以的概率为. b a >31124=故答案为：142．正方体中，分别为的中点，则与面所成的角是：_____ 1111ABCD A B C D -,E F 1,AA AB EF 11A C CA 【答案】30°【分析】作出线面角，根据等比三角形的性质求出线面角的大小.【详解】由于分别是的中点，所以，直线和平面所成的角的大小,E F 1,AA AB 1//EF A B EF 11A C CA 等于直线和平面所成的角.根据正方体的几何性质可知平面，所以1A B 11A C CA BD ⊥11A C CA 1OA B∠即直线和平面所成的角.在等边三角形中，是的中点，故，所以1A B 11A C CA 1A BD O BD 1AO BD ⊥.1160302OA B ∠=⨯=【点睛】本小题主要考查线面角的大小的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.3．已知三角棱O -ABC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MN ＝2GN ，设OA＝，＝，＝，则＝__________________（用基底（，，）表示）a OBb OC cOG a b c 【答案】1()4a b c ++【分析】画出几何体图形，根据条件知G 为MN 的中点，连接ON ，从而可得，1()2OG OM ON =+根据M ，N 是OA ，BC 的中点即可用表示出．,,a b c OG【详解】∵如上图，点G 在MN 上，且MN ＝2GN ，∴G 为MN 的中点，连接ON ，且M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，则：.1()2OG OM ON =+ 1()4OA OB OC =++1()4a b c =++ 故答案为：.1()4a b c ++4．如图,在正方体中,M 是的中点,O 是底面ABCD 的中心,P 是上的任意点,1111ABCD A B C D -1C C 11A B 则直线BM 与OP 所成的角为__________ .【答案】90︒【分析】本题考查异面直线所成的角,涉及线面垂直的判定与性质,关键是找到OP 所在的某个平面,利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线BM 与此平面垂直. 【详解】如图,取AD ,BC 的中点分别为E ,F ,连接EF ,FB 1,EA 1, 易得,∴BM ⊥B 1F ,1Rt BFB Rt CMB ≅A A 又∵AB ‖EF ,AB ⊥平面BCC 1B 1,∴EF ⊥平面BCC 1B 1, ∵BM ⊂平面BCC 1B 1,∴EF ⊥BM , 又∵EF ∩B 1F =F ,∴BM ⊥平面A 1B 1FE , 又∵OP ⊂平面A 1B 1FE , ∴BM ⊥OP ,∴BM 与OP 所成的角为90°, 故答案为：90°.5．已知一组数据4，，，5，7的平均数为4，则这组数的方差是________． 2a 3a -【答案】3.6【分析】先根据这组数据的平均数为4，求得a ，再利用方差公式求解.【详解】因为一组数据4，，，5，7的平均数为4， 2a 3a -所以， ()14235745a a ++-++=解得，1a =所以这组数据为，4,2,2,5,7所以这组数据的方差为 ()()()()()22222214424245474 3.65S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦故答案为：3.66．已知数列中，，则__．{}n a 111,n n a a a n +==+n a =【答案】222n n -+【分析】利用累加法求解即可． 【详解】当时，，2n ≥11n n n a a -=--所以，121321()()()112(1)n n n a a a a a a a a n -=+-+-++-=++++- 222n n -+=又，符合，所以．11a =222n n n a -+=7．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中使三条直线共面的充分条件有 ．【答案】①④【分析】利用三棱柱与三棱锥，可得判定②、③错误，利用平面的基本性质与推理证明正确结论①、④正确，即可求解.【详解】由三棱柱的三条侧棱两两平行，可得②错误； 由三棱锥的三条侧棱，两两相交于一点，可得③错误；选项①中，如图①所示，由题意可设直线m 与点A 所确定的平面为， α则再由平面的基本性质，可得直线、也在内．l n α选项④中，如图④所示，由题意可设直线m 与直线n 所确定的平面为， α则点A 与点B 均在平面内，则再由平面基本性质，可得直线也在平面内， αl α综合可得，①④正确； 故答案为：①④．8．某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升米，以后每分钟上30升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到米至少要经过__分钟． 2370【答案】4【分析】设热气球在第分钟上升的高度为米，分析可知数列为等比数列，确定该()n n *∈N n a {}n a 数列的首项和公比，求出数列的前项和，利用数列的单调性可得出，由此可{}n a n {}n S 3470S S <<得出结果.【详解】设热气球在第分钟上升的高度为米，()n n *∈N n a 则数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 3023经过分钟，热气球上升的总高度米，n 2301329012313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎡⎤⎝⎭⎛⎫⎣⎦==⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-则数列单调递增，{}n S 因为，， 3321909017033S ⎡⎤⎛⎫=⨯-=<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦4426509017039S ⎡⎤⎛⎫=⨯-=>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以该气球至少要经过分钟才能上升到米． 470故答案为：.49．棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别是棱，a 1111ABCD A B C D -O E F 1AA 1DD 的中点，则直线被球截得的线段长为__．EF O【分析】先求正方体外接球的半径R ，再根据过球心和点,的大圆的截面图，可得直线被O E F EF 球截得的线段为，进而可求解．QR 【详解】因为正方体内接于球，所以， 2R=R =过球心和点,的大圆的截面图如图所示，O E F则直线被球截得的线段为，过点作于点， QR O OP QR ⊥P 所以在中，． QPOA 2QR QP ===10．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________. 【答案】0.21##21100【分析】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，利用互斥事件加法列出方程组即可,,A B C 求解.【详解】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A ，B ，C则，则 ()()0.86()()0.35()()()1P A P B P B P C P A P B P C +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩()0.21P B =故答案为：0.2111．设数列的前n 项之积为，且．则数列的前n 项和{}n a n T *2(1)log ,2n n n T n N -=∈{}n a n S =_______． 【答案】21n -【分析】由的定义求得，然后由等比数列的前项和公式计算． n T n a n 【详解】因为，所以，2(1)log 2n n n T -=(1)22n n n T -=则，1121a T ===时，，也适合． 2n ≥()()()1212112222n n n n n n n n T a T -----===11a =所以，为等比数列，．12n n a -=122112nn n S -==--故答案为：．21n -12．已知数列满足，若不等式 恒成立，则实{}n a *111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++2410n ta n n ++≥数的取值范围是__________ t 【答案】[9,)-+∞【分析】根据题意化简得到，利用等差数列的通项公式化简得，把1111(1)n n n a na +-=+1(1)n a n n =+不等式，转化恒成立，结合基本不等式，即可求解. 2410nta n n++≥(4)(1)n n t n ++≥-【详解】由数列满足， {}n a *111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++可得，且，1111(1)n n n a na +-=+112a =所以数列表示首项为，公差为的等差数列，1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭21所以，所以， 111=+(1)1n n n na a -=+1(1)n a n n =+又由恒成立，即对恒成立，2410n ta n n++≥(4)(1)n n t n ++≥-n N *∈因为，(4)(1)4(5)5)9n n n n n ++-=-++≤-=-当且仅当时取等号，所以， 2n =9t ≥-即实数的取值范围是.t [9,)-+∞二、单选题13．已知、是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列说法： m l αβ①若垂直于内两条相交直线，则； l αl α⊥②若且，则； ,m l αβ⊂⊂l m ⊥αβ⊥③若，则； ,l l βα⊂⊥αβ⊥④若且，则． ,m l αβ⊂⊂//αβ//l m 其中正确的序号是（ ） A ．①③ B ．①②③ C ．①③④ D ．②④【答案】A【分析】根据线面垂直的判定定理，面面的位置关系，面面垂直的判定定理及面面平行的性质逐项分析即得.【详解】①若垂直于内两条相交直线，根据线面垂直的判定易知，正确；l αl α⊥②若且，则可能相交或平行，错误 ,m l αβ⊂⊂l m ⊥,αβ③由，，根据面面垂直的判定有，正确； l β⊂l α⊥αβ⊥④若且，则或异面都有可能，错误； ,m l αβ⊂⊂//αβ//l m ,l m 因此正确命题的序号为①③. 故选：A ．14．已知正数数列为等比数列，公比为，又为任意正整数，且数列严格递{}n a q 2log ,n n b a n ={}n b 减，则的取值范围是（ ） q A ． B ． (0,1)(0,2)C ． D ．(0,1)(1,2) (1,)+∞【答案】A【分析】利用数列的单调性及等比数列的定义，结合对数的运算及对数不等式的解法即可求解. 【详解】因为数列严格递减，所以，即，即， {}n b 1n n b b +<212log log n n a a +<12log 0n na a +<即，解得, 22log 0log 1q <=01q <<所以的取值范围为. q (0,1)故选: A.15．在无穷等比数列中，，则的取值范围是（ ） {}n a 121lim()2n n a a a →∞+++=1a A ．B ．1(0,)211(0,)(,1)22C ．D ．(1,1)-(1,0)(0,1)- 【答案】B【分析】根据无穷等比数列的极限存在条件及不等式的性质即可求解. 【详解】在无穷等比数列中，，得，，且， {}n a 121lim()2n n a a a →∞+++=1112a q =-||1q <0q ≠即，，且， ()1112a q =-11q -<<0q ≠因为，且，所以，且， 11q -<<0q ≠101a <<112a ≠所以的取值范围是.1a 11(0,(,1)22故选：B.16．已知正方体的棱长为M ，N 为体对角线的三等分点，动点P 在三角1111ABCD A B CD -1BD 形内，且三角形的面积P 的轨迹长度为（ ） 1ACB PMN PMN S =△A B C D 【答案】B【分析】先通过位置关系的证明说明在平面内，然后根据已知条件求解出的长度，根据N 1ACB PN 的长度确定出在平面内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度.PN P 1ACB 【详解】如图所示：连接，因为四边形是正方形，所以， 11BC B C O = 11BCC B 11BC B C ⊥因为平面，平面，所以， 11D C ⊥11BCC B 1B C ⊂11BCC B 11D C ⊥1B C 又平面，平面， 11111,BC D C C BC =⊂ 11BC D 11D C ⊂11BC D 所以平面，所以， 1B C ⊥11BC D 11B C D B ⊥同理可知：，11B A D B ⊥又因为平面，平面，， 1B C ⊂1ACB 1B A ⊂1ACB 111B C B A B = 所以平面，1D B ⊥1ACB根据题意可知：为正三角形，所以1116,D B AB B C AC =====1ACB A ，160∠=︒B AC所以，设到平面的距离为，112ACB S =⨯=A B 1ACB h 因为，所以，所以，11B ACB B ABC V V --=111133ACB ACB S h S BB ⋅⋅=⋅⋅A A 11ACB ACB S h S BB ⋅=⋅A A，所以，(2h ⨯=1123h D B ==h BN =所以即为与平面的交点，由题意可知：平面，所以， N 1D B 1ACB 1D B ⊥1ACB MN PN ⊥所以 11222PMN S MN PN PN PN =⋅=⋅⋅==A在正三角形中，高 1ACB sin 60AO AC =︒==所以内切圆的半径，13r AO ==<AN <=取的两个三等分点，连接，所以，1B C ,E F ,EN FN 1//,//NE AB NF AC所以是以长度为边长的正三角形，所以的轨迹是以的圆，圆NEF A PN P N， 在内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为，所以对应的轨迹长度是圆周长的一1ACB A 60︒， 故选：B.【点睛】思路点睛：空间中轨迹问题的解答思路： （1）根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直关系； （2）通过数量关系定量分析待求点的轨迹的形状； （3）根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其他量.三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD M N ，的中点．AB PD(1)求证：平面；MN ∥PBC (2)若，求直线与平面所成角． PA AD =MN PCD 【答案】(1)证明过程见详解(2)【分析】（1）取中点，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理证明即可； PC （2）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值，进而可求得线面角． 【详解】（1）取中点为，连接，， PC E BE NE 因为，分别为，的中点， E N PC PD 所以，．EN CD ∥12EN CD =又四边形为正方形，所以，， ABCD CD AB ∥CD AB =又因为为的中点，所以，， M AB EN BM ∥EN BM =所以四边形为平行四边形，所以，BMNE MN BE ∥又平面，平面，所以平面．BE ⊂PBC MN ⊂PBC MN ∥PBC （2）以点A 为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．AB AD AP x y z设，则，||||2PA AD ==(0,2,0),(2,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(0,1,1)D C P M N ，，，(1,1,1)MN =- (2,2,2)PC =- (0,2,2)PD =-u u u r设平面的法向量为，PCD (,,)m x y z =则，即，令，则，00m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩1y =(0,1,1)m = 设直线与平面所成角为， MN PCD θ则||sin ||||MN m MN m θ⋅===⋅所以直线与平面所成角为． MNPCD 18．在某市高三教学质量检测中，全市共有名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考5000试学生人数为人，非示范性高中参加考试学生人数为人.现从所有参加考试的学生中随机20003000抽取人，作检测成绩数据分析.100（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成100绩的平均分；【答案】（1）见解析；（2）92.4【分析】（1）根据总体的差异性选择分层抽样，再结合抽样比计算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人数；（2）将每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积所得结果，再全部相加可得出本次测验全市学生数学成绩的平均分．【详解】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样， 由题意，从示范性高中抽取人， 2000100405000⨯=从非师范性高中抽取人； 3000100605000⨯=（2）由频率分布直方图估算样本平均分为(600.005800.0181000.021200.0051400.002)2092.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=推测估计本次检测全市学生数学平均分为92.4【点睛】本题考查分层抽样以及计算频率分布直方图中的平均数，着重考查学生对几种抽样方法的理解，以及频率分布直方图中几个样本数字的计算方法，属于基础题．19．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年.突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩(2500)t t …n 余资金为万元n a （1）判断是否为等比数列？并说明理由； {}2n a t -（2）若企业每年年底上缴资金，第年年底企业的剩余资金超过万元，求1500t =()m m N*∈21000的最小值.m (lg 20.3010;lg 30.4771)≈≈【答案】（1）答案见解析；（2）6.【解析】（1）由题意得，从而得15000(150%)7500,a t t =+-=-13(150%)2n n n a a t a t +=+-=-，而当，即时，所以不是等比数列；133232222n n n n a t a t a t a t +--==--2500t =120a t -={}2n a t -（2）由（1）可知， ，由可得，13300030002n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭133000()3000210002m m a -=+>1362m -⎛⎫> ⎪⎝⎭然后利用单调递增，可得答案32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】解：（1）由题意得， 15000(150%)7500,a t t =+-=-. 13(150%)2n n n a a t a t +=+-=-当时，即时，2500t <12750030a t t -=->133232222n n n n a ta t a t a t +--∴==--是以为首项，为公比的等比数列.{}2n a t ∴-1275003a t t -=-32当，即时， 不是等比数列2500t =120a t -={}2n a t -（2）当时，由（1）知，1500t =13300030002n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，即，133000()3000210002m m a -∴=+>1362m -⎛⎫> ⎪⎝⎭法一：易知单调递增，32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭又，， 4381()6216=< 53243()6232=>，，15m ∴-≥6m ≥的最小值为6 m ∴法二：， 32lg 6lg 2lg 30.30100.47710.77811log 6 4.423lg 3lg 20.47710.30100.1761lg 2m ++∴->==≈=≈--，的最小值为6.6m ≥m ∴【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合应用问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.20.解：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体11ACB D .11111111111133B ACB A AB DC B CD D ACD ACB D V V V V V V V ----=----==四面体正方体正方体（1）类似此解法，如图2，求此四面体的体积；（2）对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个ABCD AB CD =AC BD =AD BC =面都是锐角三角形；（3）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，m m 构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？m [及变形，当且仅(),,03a b c a b c ++≤>()3,,03a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭当时取得等号]a b c ==【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）时,. m =【分析】（1）类比已知条件中的解法，构造一个长方体，求出长方体的棱长，在由长方体的体积减去四个三棱锥体积即可得到答案；（2）在四面体ABCD 中，由已知可得四面体ABCD 的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，证明△ABC 为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形； （3）当2条长为m的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积的表达式，利用基本不等式求最值.【详解】（1）类似地，构造一个长方体，1111-ABCD A B C D设从同一个顶点出发的三条棱的棱长分别为，则有：1AB x AD y AA z ===、、，解得： 22222251013x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以1111111111B ACB A AB D C B CD D ACD ACB D V V V V V V ----=----四面体长方体11111111123123123123123232323232=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=即此四面体的体积为2. （2）证明：在四面体中，因为，，，ABCD AB CD =AC BD =AD BC =所以四面体的四个面都是全等的三角形，只需证明一个面为锐角三角形即可. ABCD 设长方体的长、宽、高分别为abc ，则，，， 222AB a c =+222BC b c =+222AC a b =+所以， 222222222AB BC b c a c AC a b +=+++>=+即，所以B 为锐角；222AB BC AC +>同理可证：A 为锐角，C 为锐角，所以△ABC 为锐角三角形. 所以这个四面体的四个面都是锐角三角形.（3）因为长度为的线段不相邻，所以2条长为m 的线段不在同一个三角形中，如图，m不妨设AD = BC = m ，AB =BD =CD =AC =2，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，而AE ∩DE =E ，∴BC ⊥平面AED ，则三棱锥的体积，1·3AED V S BC =A 在△AED 中,AD =m ，AE DE==所以1122AEDS m m ==A所以11·36AED V S BC m m ====A， ≤当且仅当，即时等号成立. 22=162m m-m 即时,. m 【点睛】（1）求几何体体积的常用的方法有：①直接法；②等体积法；③补形法；④向量法； （2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”① “一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．21．设数列的前n 项和为，已知，（）． {}n a n S 11a =121n n S S +-=*n ∈N （1）求证：数列为等比数列； {}n a （2）若数列满足：，． {}n b 11b =1112n n n b b a ++=+① 求数列的通项公式；{}n b ② 是否存在正整数n ，使得成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理14ni i b n ==-∑由．【答案】（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2）， {}n a 12n n nb -=2n =【分析】（1）由题设的递推关系式，得到（），即可证得数列为等比数列． 12n na a +=2n ≥{}n a （2）① 由（1）知，，化简得，则数列是首项为1，公差为1的12n n a -=11221n n n n b b -+-={}12n n b -等差数列，即可求得． 12n n nb -=②利用乘公比错位相减法，求得，进而得到，显然当 14(24)(2nn T n =-+⨯122n n n-+=2n =时，上式成立，设，由，所以数列单调递减，进而得到结12()2n n f n n-+=-(1)()0f n f n +-<{}()f n 论.【详解】（1）解：由，得（）， 121n n S S +-=121n n S S --=2n ≥两式相减，得，即（）． 120n n a a +-=12n na a +=2n ≥因为，由，得，所以， 11a =()12121a a a +-=22a =212a a =所以对任意都成立， 12n na a +=*n N ∈所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．{}n a （2）① 由（1）知，，12n n a -=由，得， 1112n n n b b a ++=+1122n n n b b +=+即，即， 11221n n n n b b -+=+11221n n n n b b -+-=因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．11b ={}12n n b -所以，()12111n n b n n -=+-⨯=所以． 12n n nb -=② 设，1n n i i T b ==∑则，12111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1231111112322222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减，得 ，0121111111222222n n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11121212nnn ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯ ⎪⎝⎭-()1222n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭所以．()14242nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭由，得，即． 14ni i b n ==-∑()142442nn n ⎛⎫-+⨯=- ⎪⎝⎭122n n n -+=显然当时，上式成立， 2n =设（），即． ()122n n f n n-+=-*n N ∈()20f =因为， ()()()113221222011n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤++⎛⎫⎛⎫+-=---=-+<⎢⎥⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以数列单调递减， (){}f n 所以只有唯一解，()0f n =2n =所以存在唯一正整数，使得成立．2n =14ni i b n ==-∑【点睛】点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.。

一、填空题1．已知点在幂函数的图像上，则幂函数__．1,93⎛⎫⎪⎝⎭()f x =【答案】2x -【分析】设幂函数的解析式，将点坐标代入，得函数解析式. 【详解】设，则，所以，所以.()f x x α=193α⎛⎫= ⎪⎝⎭2α=-2()f x x -=故答案为：.2x -2．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________． a R ∈(1)()i a i ++=a 【答案】.1-【详解】试题分析：由题意得. (1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-【解析】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.3．直线与直线的夹角为__（用反三角表示）． 10x y +-=320x y --=【答案】3arctan 2【分析】确定斜率，，根据夹角公式计算得到答案. 1k =-3k '=【详解】因为直线的斜率为， 10x y +-=1tan 1k θ==-直线的斜率为， 320x y --=2tan 3k θ'==设两条直线的夹角为，则， θ()1212tan tan 11(1)323k k kk θθθ-'--=-===+'+-⋅因为，所以．π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3arctan 2θ=故答案为：3arctan 24．以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是________．221916x y -=【答案】()22254x y -+=【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程.【详解】依题意，所以渐近线为，右焦点，3,4,5a b c ===43y x =±()5,0右焦点到渐近线.44303y x x y =⇒-=4=所求圆的方程为. ()22254x y -+=故答案为：()22254x y -+=5．已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围为__．22302 x x x a ⎧--≤⎪⎨-≤⎪⎩a 【答案】或.5a >3a <-【分析】分别解不等式得到，，根据题意得到或，解得13x -≤≤22a x a -≤≤+23a ->21a +<-答案.【详解】由得，由得， 2230x x --≤13x -≤≤||2x a -≤22a x a -≤≤+由题意得或，所以或. 23a ->21a +<-5a >3a <-故答案为：或.5a >3a <-6．已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为__． O (4)y k x =-P ||2OP =k【答案】k ≤≤【分析】解不等式即得解. 2d =≤【详解】由题得直线的方程为， 40kx y k --=所以原点到直线的距离，2d =≤所以，213k ≤解得k ≤≤故答案为：k ≤≤7．将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，ABCD AB 3AB =2BC =O EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值是_______. O EFG -【答案】4【分析】三棱锥O ﹣EFG 的高为圆柱的高，即高为ABC ，当三棱锥O ﹣EFG 体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF 为直径，且G 在EF 的垂直平分线上时，（S △EFG ）max =，由14242⨯⨯=此能求出三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值．【详解】∵将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形， ∴三棱锥O ﹣EFG 的高为圆柱的高，即高为ABC ， ∴当三棱锥O ﹣EFG 体积取最大值时，△EFG 的面积最大， 当EF 为直径，且G 在EF 的垂直平分线上时， （S △EFG ）max =，14242⨯⨯=∴三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值V max ==．1()3EFG max S AB ⨯⨯A 14343⨯⨯=故答案为4．【点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 8．直线m 和平面所成角为，则直线m 和平面内任意直线所成角的取值范围是_____α6πα【答案】,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据直线与平面所成角的定义得到所成角的最小值为，由三垂线定理可得当该平面内的6π直线与已知直线在平面内的射影垂直时，所成角为，达到最大值．由此即可得到本题答案．2π【详解】直线为，平面为，为内的任意一条直线．m αl α根据直线与平面所成角的定义，可得与平面所成的角是与平面内所有直线所成角中最小的角，m αm α直线与平面内的直线所成角的最小值为，∴m α6π当平面内的直线与直线在平面内的射影垂直时，，与也垂直， αl m n l m 此时，所成的角，达到所成角中的最大值．l m 2π因此，此直线与该平面内任意一条直线所成角的取值范围是.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为： .,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．棱长为1的正方体的8个顶点都在球面O 的表面上，E 、F 分别是棱1111ABCD A B C D -、的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________ 1AA 1DD. 【详解】分析：详解：正方体的外接球球心为O 2和线段EF 相较于HG 两点，连接OG ，取GH 的中点为D 连接OD ，则ODG 为直角三角形，OD=，根据勾股定理得到12，故.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.10．已知双曲线的渐近线方程为，抛物线：的焦点与双222:1y E x b-=y =C 22(0)y px p =>F 曲线的右焦点重合，过的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若向量与的E F l C ,M N O OM ON夹角为，则的面积为_____. 120 MON ∆【答案】【分析】根据双曲线的几何性质，求得抛物线的方程为，设直线的斜率为，则直线的28y x =l k l 方程为，代入抛物线的方程，由根与系数的关系，求得， (2)y k x =-121216,4y y x x =-=设，根据向量的数量积的运算，求得，即可求解的面积．,OM m ON n ==24mn =OMN ∆【详解】由题意，双曲线，可得双曲线的焦点在轴上，且，222:1y E x b -=x 1a =又由渐近线方程为，所以， y =b a =b =2213y x -=所以双曲线的右焦点，(2,0)又因为抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，即， C 22(0)y px p =>F E 22p=解得，所以抛物线的方程为， 4p =28y x =设直线的斜率为，则直线的方程为，l k l (2)y k x =-代入抛物线的方程消去，可得， x 28160y y k--=设，由根与系数的关系，求得， 1122(,),(,)M x y N x y 121216,4y y x x =-=设，则，,OM m ON n ==1cos1202OA OB mn mn ⋅==-又因为， 121241612OA OB x x y y ⋅=+=-=- 则，解得，1122mn -=-24mn =所以的面积为 OMN ∆11sin1202422S mn ==⨯=【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质求得抛物线的方程，再根据直线抛物线的位置关系，利用根与系数的关系，利用向量的数量积求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．mn 11．在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为不全为，类似地，在空间直角0(,ax by c a b ++=0)坐标系中，平面的一般式方程为不全为，则以坐标原点为球心，且与平面0(,,ax by cz d a b c +++=0)相切的球的表面积为__．2360x y z ++-=【答案】727π【分析】利用球心到平面的距离公式以及球的表面积公式，计算可得答案.【详解】球心到平面的距离，d ==故所求球的表面积为. 27247ππ⋅=故答案为：727π12．已知P 为抛物线上的动点，点B 、C 在y 轴上，是△PBC 的内切圆.则22y x =()2211x y -+=最小值为_______.PBC S ∆【答案】8【详解】设、、， ()00,P x y ()0,B b ()0,C c 不妨设，，即． b c >00:PB y bl y b x x --=()0000y b x x y x b --+=又圆心到的距离为1．()1,0PB 1=故． ()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+易知，上式化简得．02x >()2000220x b y b x -+-=同理，．()2000220x c y c x -+-=所以，，．则． 0022y b c x -+=-002x bc x -=-()()222000204482x y x b c x +--=-因为是抛物线上的点，所以，．则． ()00,P x y 202y x =()()222004222x x b c b c x x -=⇒-=--故． ()()000000142448222PBC x S b c x x x x x =-=⋅=-++≥=--A 当时，上式取等号，此时，，． ()2024x -=04x =0y =±因此，的最小值为8．PBC S A二、单选题13．平面外的两条直线、，且，则是的（ ） αa b //a α//a b //b αA ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用线面的平行关系及充分必要条件的定义即可判断 【详解】，，且，故，充分； //a α//a b b α⊄//b α，，则，或相交，或异面，不必要.//a α//b α//a b ,a b ,a b 故为充分不必要条件， 故选：A14．设函数，则的最小正周期 2()sin sin f x x b x c =++()f x A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B【详解】试题分析：，其中21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222x x f x x b x c b x c b x c -=++=++=-+++当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故0b =cos 21()22x f x c =-++π0b ≠2πc 选B ．【解析】降幂公式，三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数()f x b c 的最小正周期．()f x15．已知，，为坐标原点，动点满足，其中、，且(2,1)A -(1,1)B -O P OP mOA nOB =+m R n ∈，则动点的轨迹是（ ）2222m n -=PA B ．焦距为C D ．焦距为【答案】D【分析】动点，由得到，，进而得到(,)P x y OP mOA nOB =+m x y =+2n x y =+，化简可得答案.222()(2)2x y x y +-+=【详解】设动点，因为点满足，其中、， (,)P x y P OP mOA nOB =+m R n ∈且，所以，所以，，2222m n -=(,)(2,)x y m n n m =--2x m n =-y n m =-所以，，所以，m x y =+2n x y =+222()(2)2x y x y +-+=即，表示焦距为. 2212x y -=故选：D16．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点ABC A 为，，，且欧拉线方程为，则的重心到垂心的距离为(0,0)A (,0)B m (2,)C n 250x y +-=ABC A （ ）A B C D 【答案】D【分析】确定重心为，代入方程得到，确定垂心，代入方程得到,332G m n ⎛⎫⎪⎝⎭+213m n +=(2,)H a ，根据，解得，得到答案.32a =1HB AC k k ⋅=-45n m =⎧⎨=⎩【详解】的顶点为，，，所以重心， ABC A (0,0)A (,0)B m (2,)C n ,332G m n ⎛⎫⎪⎝⎭+代入欧拉线方程，得，即， 225033m n++-=213m n +=因为，都在轴，，故可设垂心， (0,0)A (,0)B m x (2,)C n (2,)H a 代入欧拉线方程，得，，垂心， 2250a +-=32a =32,2H ⎛⎫⎪⎝⎭，整理得到，13222HB ACk k n m =⋅-⋅=-438m n =+，解得，故重心为 213438m n m n +=⎧⎨=+⎩45n m =⎧⎨=⎩74,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭=故选：D三、解答题17．将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，111AAO O 1OO A AC 23π长为，其中与在平面的同侧.A 11AB 3π1B C 11AAO O(1)求三棱锥的体积；111C O A B -(2)求异面直线与所成的角的大小. 1B C 1AA【答案】(1). 4π【详解】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径，，再由三角1h =1r =1113π∠A O B =形面积公式计算后即得.111S O A B A （2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与1B B 11//BB AA 1C ∠B B 1C B 1AA 所成的角，再结合题设条件确定，．得出即可． π3C ∠OB =1C B =1π4C ∠B B =试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径． 1h =1r =由的长为，可知． A 11A B π31113π∠A O B =11111111111sin 2S A O A B =O A ⋅O B ⋅∠O B =A1111111V 3C O A B S h -O A B =⋅=A （2）设过点的母线与下底面交于点，则， 1B B 11//BB AA 所以或其补角为直线与所成的角． 1C ∠B B 1C B 1AA 由长为，可知，A AC 2π32π3C ∠AO =又，所以， 111π3∠AOB =∠A O B =π3C ∠OB =从而为等边三角形，得． C OB A 1C B =因为平面，所以． 1B B ⊥C AO 1C B B ⊥B 在中，因为，，，所以， 1C B B A 1π2C ∠B B =1C B =11B B =1π4C ∠B B =从而直线与所成的角的大小为． 1C B 1AA π4【解析】几何体的体积、空间角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.18．在△ABC 中，(1)求B 的大小；222a c b +=(2)cos A ＋cos C 的最大值． 【答案】（1）（2）1 π4【详解】试题分析：（1）由余弦定理及题设得；（2）222cos 2a c b B ac +-===⇒4B π∠=由（1）知当时，34A C π∠+∠=⇒3cos cos()4A C A A π+=+-cos()4A π=-⇒4A π∠=取得最大值．cos A C +1试题解析： （1）由余弦定理及题设得 222cos 2a c b B ac +-==又∵，∴；（2）由（1）知，0B π<∠<4B π∠=34A C π∠+∠=3cos cos()4A C A A π+=+-A A A =，因为，所以当取得最大cos()4A A A π==-304A π<∠<4A π∠=cos A C +值．1【解析】1、解三角形；2、函数的最值.19．已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且E 22221x y a b+=0a b >>(3,1)P 12, F F . 126F P F P ⋅=-(1)求椭圆的方程；E (2)若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明,M N 5x =12F M F N ⊥MN C 理由．【答案】(1) (2) 圆必过定点和 221182x y +=(8,0)(2,0)【详解】试题分析：解：（1）设点的坐标分别为，则12,F F (,0),(,0)(0)c c c ->，故，可得，12(3,1),(3,1)F P c F P c =+=- 212(3)(3)1106F P F P c c c ⋅=+-+=-=- 4c =所以，122a PF PF =+==a =∴，所以椭圆的方程为． 22218162b a c =-=-=E 221182x y +=（2）设的坐标分别为，则，. 由，可得,M N (5,),(5,)m n 1(9,)F M m = 2(1,)F N n = 12F M F N ⊥ ，即，1290F M F N mn ⋅=+= 9mn =-又圆的圆心为半径为，故圆的方程为，即C (5,),2m n +2m n -C 222(5)(()22m n m n x y -+-+-=，也就是，令，可得或， 22(5)()0x y m n y mn -+-++=22(5)()90x y m n y -+-+-=0y =8x =2故圆必过定点和．C (8,0)(2,0)【解析】椭圆的定义，直线与圆的位置关系点评：主要是考查了直线与圆的位置关系，以及椭圆的定义的运用属于九重天。

上海市高二第一学期数学期末考试试卷注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.2. 本试卷共有21道试题，满分100分，练习时间90分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_ _．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____ __人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 ．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为 ． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ．9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为 ．10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采AB 用 .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1.则以上结论中，正确结论是 . （请填写序号）二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（ ） A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1） 求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆锥底面圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1） 求a 的值；（2） 根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3） 为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥；（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC 与面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最小长度；（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小.【教师版】高二数学练习卷答案一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 1 个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_“实验数据”_．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 0.614 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 36π ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的600名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____68___人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 0.7 ．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为2 ． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 3 ． 9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为 56． 10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = 45 . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，AB 每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用 “三局两胜制” .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1. 则以上结论中，正确结论是 ① ② ③ . （请填写序号） 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ C ）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（ B ）A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ D ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ C ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1） 求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.解 （1）因为11//BB CC ，所以11B BD ∠就是异面直线1BD 与1CC所成的角或其补角. ……………………………………………………………………2分设1BB a =，则112B D a =，13BD a =，所以11tan 2B BD ∠.……………1分所以异面直线1BD 与1CC 所成的角为arc 263arcsinarccos 33=）……1分 （2）连接BD ，交AC 于O ，在1BDD 中，O 、E 分别为BD 、1DD 中点，OE 为1BDD 的中位线，所以1//OE BD .……………………………………………………………2分因为OE 在平面AEC 上，而1BD 不在平面AEC 上，…………………………1分由直线与平面平行的判定定理得，1BD //平面AEC .18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.解 （1）甲摸出的球编号为奇数的概率是12,…………………………………2分乙摸出的球编号为奇数的概率是12,……………………………………………2分 所以两球编号均为奇数的概率是14.………………………………………1分 （2）()3616P m n +==,………………………………………………………1分 ()2716P m n +==,………………………………………………………………1分 ()1816P m n +==………………………………………………………………1分 所以甲赢的概率为32131616168++=，乙赢的概率为58.……………………1分 所以这种游戏规则不公平. ……………………………………………………1分（也可直接写出样本空间，写出答案，酌情给分）19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将锥底面圆直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.解 （1）由题，4,3OB OA ==1分 所以圆锥的体积为221164ππ4433π333V OB OA =⋅⋅=⋅⋅=.……………………2分 圆锥的侧面积为32πS rl π==侧.……………………………………………………2分（2）取BO 中点BH ，在AOB 中，中位线//DH AO ，可得DH ⊥平面BOC ，所以DCH ∠即直线CD 与平面BOC 所成的角. …………………………………2分222315tan 542DH DCH HC ∠===+.……………………………………………2分 所以直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值为155.……………………………1分 20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1） 求a 的值；（2） 根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3） 为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率． 解 （1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，……………………………2分得0.02a =，…………………………………………………………………2分（2） 各区间的中点值为55、65、75、85、95 ……………………………1分对应的频数分别为10、20、45、20、5…………………………………………1分这100名大一新生每天阅读时间的平均数为551065207545852095574.0100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………1分所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟. …………………1分（3）由题意，阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生数分别为10人、20人、20人，因此每组中抽取的人数分别为1人、2人、2人. ………………2分因此，再从中任选2人进行调查，其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率为323P=105⨯=.………………………………………………………………………2分21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉与臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC小面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最长度.（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小（1）证明 因为AB BCD ⊥面，所以AB CD ⊥，…………………………………1分又BC CD ⊥，所以CD ABC ⊥面………………………………………………………2分所以AC CD ⊥……………………………………………………………………………1分（2）将面ABC 与面ACD 沿AC 展开成如图所示的平 面图形，由题，3π4BCD ∠=，……………………1分 所以彩带的最小长度为此平面图中BD 长. 又22311211cos π224BD =+-⨯⨯⨯=+…………2分 22+…………………………1分（3） 由题，151153P ==…………………………1分 23162P ==……………………………………………1分 321126P ==……………………………………………1分 所以312P P P <<.………………………………………1分【附加题】单选题1．过坐标原点O 作直线:(2)(1)60l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，则22m n +的取值范围是（ ）A ．0,⎡⎣B ．(0,C ．[]0,8D ．(]0,8 【提示】求出直线直线()():2160l a x a y -+++=过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径的圆上，由此可利用22m n +的几何意义求得答案；【答案】D【解析】直线()():2160l a x a y -+++=，即()260a x y x y +-++= ， 令0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩ ，解得22x y =⎧⎨=-⎩ ， 即直线()():2160l a x a y -+++=过定点(2,2)A - ,由过坐标原点O 作直线()():2160l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，可知：(,)H m n 落在以OA 为直径的圆上，而以OA 为直径的圆为22(1)(1)2x y ++-= ，如图示：故22m n +可看作是圆上的点(,)H m n 到原点距离的平方， 而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为||22OA = ，但将原点坐标代入直线:(2)(1)60l a x a y -+++=中，60= 不成立，即直线l 不过原点，所以(,)H m n 不可能和原点重合，故22(0,8]m n +∈，故选：D2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 为平面上两点，且0OA OB ⋅=，M 为线段AB 中点，其坐标为(),a b 524a b =+-，则OM 的最小值为（ ） A 5 B 25 C ．33D 5【提示】由已知可得以AB 为直径的圆过点O ，对条件变形得到245a b OM +-=圆M 与直线240x y +-=相切，从而得到圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.【答案】B【解析】因为0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，即以AB 为直径的圆过点O ，因为M 为线段AB 中点，坐标为(),a b 524a b =+-， 则245a b OM +-=几何意义为圆M 的半径与点M 到直线240x y +-=的距离相等， 即圆M 与直线240x y +-=相切，则圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，125=.故选：B。

2023-2024学年上海市浦东区高二上册期末数学试题一、填空题1．已知无穷等比数列{}n a的首项为1，公比为13，则{}na各项的和为__．【正确答案】32##1.5【分析】根据等比数列的求和公式即可得到n S，从而得到结果.【详解】由于无穷等比数列{}n a的首项为1，公比为13，所以1(1133lim1121133nn nS→∞-===--．故3 22．一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为______．【正确答案】18【分析】画出满足题意的三棱锥P ABC-图形，根据题意，画出高，利用直角三角形，求出此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积．【详解】由题意画出图形，如图所示：因为三棱锥P ABC-是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，在三角形PDF中：因为三角形PDF三边长1PD=，DF，所以2PF=，则这个棱锥的侧面积1S361182=⨯⨯⨯=．故答案为18．本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积和棱锥的结构特征，考查数形结合思想，还考查计算能力，是基础题，棱锥的侧面积是每一个侧面的面积之和．3．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为______．【正确答案】【详解】试题分析：设圆锥母线为，底面圆的半径，圆锥侧面积，所以，又半圆面积，所以，，故，所以答案应填：．1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中随机选取一个数，它是奇数或3的倍数的概率是__．【正确答案】35##0.6【分析】利用列举法及古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】这10个数中满足“是奇数或3的倍数”的有1，3，5，6，7，9共6个，所以从中随机抽取一个是奇数或3的倍数的概率是63105=．故答案为.355．棱长为a 的正四面体对棱之间的距离为______.【正确答案】2a 【分析】连接对棱中点，是相对两条棱间的距离，然后解三角形即可得出结果.【详解】如图，连接AB 、CD 的中点E 、F ，可得12AE a =，2AF =，EF 是AB 、CD 的公垂线，.6．6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有________种（用数字表示）【正确答案】240【分析】利用捆绑法可得排法总数.【详解】解：6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻，用捆绑法可得排法数有5252240A A =种.故240.本题考查捆绑法解决排列问题，是基础题.7．在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若2*1,n S n n N =+∈，则n a =___________【正确答案】2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩利用数列前n 项和与n a 的关系求通项公式.【详解】当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩故2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩8．有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有________不同的报名方法．【正确答案】36【分析】将4个运动员分成三组，再每个项目安排一组人，即可求出不同的报名方法数.【详解】1、将4人分成三组：任选其中两人为一组24C 种，2、每组选一个比赛项目：三组人员全排列有33A 种，∴共有234336C A =种.故369．已知数列{}n a 是等差数列，若9120a a +>，10110a a <，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么当0n S >时，n 的最大值为__．【正确答案】20【分析】根据等差数列的性质得出100a >，110a <，再结合等差数列前n 项和与等差中项求解即可.【详解】因为10110a a <，所以10a 和11a 异号，又数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，所以数列{}n a 是递减的等差数列，所以100a >，110a <，又9120a a +>，所以1910190S a =>，2012091210()10()0S a a a a =+=+>，所以n 的最大值为20．故20.10．已知正四棱柱中11A C 、11B D 的交点为1O ，AC 、BD 的交点为2O ，连接12O O ，点O 为12O O 的中点.过点O 且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为______________.【正确答案】3【分析】当截面平行于平面ABCD 时，截面面积最小；当截面为平面11A B CD 时，截面面积最大，根据题设条件列出方程，然后求出正四棱柱的底面边长和高，即可求出四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积．【详解】设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，由题知当截面平行于平面ABCD 时，截面面积最小；当截面为平面11A B CD 时，截面面积最大，因为过点O 且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1所以222110a a a h ⎧=⎪⎨+=⎪⎩13a h =⎧⎨=⎩，于是正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为23a h =.故3.二、单选题11．“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.【详解】若直线l 与平面α没有公共点，那直线l 与平面α只能平行，故充分条件成立；若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的充分必要条件.故选：C12．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为A ．35B ．50C ．70D ．100【正确答案】B【详解】分析：排列组合题目，先分配：（42，33），再选排，最后根据加法原理求结果.详解：若两辆汽车人数分别为4人与2人，则排列数为14226230,C C C ⋅=若两辆汽车人数分别为3人与3人，则排列数为326220,C C ⋅=因此不同的乘车方法数为20+30=50，选B.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.13．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（）A ．7B ．8C ．7或8D ．9【正确答案】C215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|，所以当7,8n =时，n S 有最小值．故选：C14．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30 ，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（）A ．()0,6B ．()6,+∞C ．(D ．()+∞【正确答案】C【分析】画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出.【详解】如下图所示：AO α⊥ ，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO .OC ⊂Q 平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO = ∠，63tan 30AOOB ∴==o.在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即063BC <<，因此，线段BC 长的取值范围是(0,63.故选C.本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题15．求153x x 二项展开式中的常数项.【正确答案】5005【分析】根据二项式展开式的通项即可得出其常数项.【详解】展开式的通项为：(()515536115151CC 1rrr r rrr T x x x --+⎛==- ⎝，令5506r -=，得6r =，所以常数项为.()6615C 15005-=16．已知数列{an }满足a 1＝1，an ＋1＝2an ＋1.（1）求证：数列{an ＋1}是等比数列；（2）求数列{an }的通项公式.【正确答案】（1）证明见解析；（2）an ＝2n －1.（1）利用等比数列的定义可证明数列{an ＋1}是等比数列；（2）求出数列{an ＋1}的通项公式，进而可得数列{an }的通项公式．【详解】（1）∵an ＋1＝2an ＋1，∴an ＋1＋1＝2(an ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，∴an ＋1≠0.∴111n n a a +++＝2(n ∈N ＋)．∴数列{an ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知an ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2·2n －1＝2n ，∴an ＝2n －1.17．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm．(1)这种“浮球”的体积是多少3cm ？(结果精确到0.1)(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）【正确答案】(1)3169.6cm (2)1200π（克）【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.【详解】（1）该半球的直径6cm d =，所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm ，得半径3cm R =，所以两个半球的体积之和为3344ππ2736πcm 33球==⋅=V R ，而23ππ9218πcm 圆柱=⋅=⨯⨯=V R h ，该“浮球”的体积是336π18π54π169.6cm 球圆柱=+=+=≈V V V ；（2）上下两个半球的表面积是224π4π936πcm 球表==⨯⨯=S R ，而“浮球”的圆柱筒侧面积为22π2π3212πcm 圆柱侧==⨯⨯⨯=S Rh ，所以1个“浮球”的表面积为24436π12π48πm 1010+==S ，因此，2500个“浮球”的表面积的和为244825002500π12πm 10=⨯=S ，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：10012π1200π⨯=（克）．18．设四边形ABCD 为矩形，点P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，若1==PA AB ，2BC =．(1)求PC 与平面PAD 所成角的大小；(2)在BC 边上是否存在一点G ，使得点D 到平面PAG若存在，求出BG 的值，若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)(2)存在，当1BG =时，使得点D 到平面PAG【分析】（1）根据线面垂直的性质定理及矩形的性质，利用线面垂直的判定定理及线面角的定义，结合勾股定理及锐角三角函数即可求解；（2）根据已知条件做出图形，利用线面垂直的判定定理及点到面的距离的定义即可求解.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥，又因为底面ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥，又AD PA A ⋂=，,AD PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，直线PC 在平面PAD 的射影为直线PD ，所以CPD ∠是直线PC 与平面PAD 所成的角，因为1==PA AB ，2AD BC ==,所以1PD AB ===，在Rt PAD △中，tan 5CD CPD PD ∠==，故直线PC 与平面PAD 所成角的大小为（2）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，作DQ AG ⊥，如图所示因为PA ⊥平面ABCD ，DQ ⊂平面ABCD ，所以DQ PA ⊥，又AG PA A ⋂=，,AG PA ⊂平面PAG ，所以DQ ⊥平面PAG ，故DQ =DQA ∽△ABG ，所以12BG =<，故存在点G ，当1BG =时，使得点D 到平面PAG ；19．已知数列{}n a 和{}n b 满足()*12N n b n a a a n =∈ .若{}n a 为等比数列，且12a =，326b b =+.(1)求{}n a 与{}n b ；(2)设()*11N n n nc n a b =-∈.记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S .【正确答案】(1)2(N )n n a n *=∈，()1(N )n b n n n *=+∈(2)11(N )12n n S n n *=-∈+【分析】（1）由已知可求出38a =，再由12a =，可求出公比2q =，从而可求出n a ，再由()*12N n b n a a a n =∈ 可求出n b ，（2）由（1）得11111(N )21n n n n c n a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭，然后利用分组求和，裂项相消求和法可求得nS【详解】（1）由题意，()12N n b n a a a n *=∈ ，326b b -=，知3238b b a -==，0n a >，又有12a =，得公比2q =或2q =-（舍去），所以数列{}n a 的通项公式为2(N )n n a n *=∈，所以()()1121232n n n n n a a a a ++== ，故数列{}n b 的通项公式为，()1(N )n b n n n *=+∈；（2）由（1）知，11111(N )21n n n n c n a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭，所以21111111112222231n n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1111221112n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-- ⎪+⎝⎭11(N )12n n n *=-∈+。

上海市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.椭圆2214y x +=的焦距为__________．2.表面积为4π的球的体积为__________.3.已知数列{}n a 是各项为正的等比数列，11a =，51a =，则其前10项和10S =__________．4.已知事件A 与事件B 互斥，且()0.3P A =，()0.4P B =，则()P A B =________．5.若抛物线2x my =的顶点到它的准线距离为12，则正实数m =______.6.某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为__．7.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为___________.8.若双曲线22116x y m -=经过点()，则此双曲线的渐近线夹角的为______．9.若数列{}n a 满足()1112,21,n n a a a n n n +==+≥∈N ，则{}n a 的通项公式是______．10.在体积为9的斜三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S—ABC 的体积为2，则三棱锥S—A 1B 1C 1的体积为___．11.已知无穷等比数列{}n a 满足：21193,2i i i i a a +∞+∞====∑∑，则{}n a 的通项公式是______．12.已知直线1:20l y -=和直线2:10l x +=，则曲线()2211x y -+=上一动点P 到直线1l 和直线2l的距离之和的最小值是____________．二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13~14题每题3分，第15~16题每题4分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分．13.直线倾斜角的取值范围为（）A.π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[0,π)D.[]0,π14.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）A.720 B.710C.310D.3516.关于曲线1122:1M x y +=，有下述两个结论：①曲线M 上的点到坐标原点的距离最小值是22；②曲线M 与坐标轴围成的图形的面积不大于12，则下列说法正确的是（）A.①、②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①、②都错误三、解答题（本大题共有5题，满分44分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17.随机抽取某校甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据如下：甲班：170179162168158182179168163171乙班：159173179178162181176168170165（1）计算甲班的样本方差；（2）求乙班数据的25%分位数．18.在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），2AB =，11AD AA ==，点E 是棱AB 的中点.（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.19.已知数列{}n a 的前n 项和为2,n n S S n n =+，其中N,1n n ∈≥．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H ．20.如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，.=CP m （1）试确定m 的值，使直线AP 与平面11BDD B 所成角为60︒；（2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，有1D Q AP ⊥？证明你的结论．21.已知椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的一个焦点为)3,0，离心率为32，椭圆的左右焦点分别为12F F 、，直角坐标原点记为O ．设点()0,P t ，过点P 作倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于不同的两点B C 、．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆上有一动点T ，求()12PT TF TF ⋅-的取值范围；（3）设线段BC 的中点为M ，当2t ≥Q ，使得非零向量OM与向量PQ平行，请说明理由．上海市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题答案1.【分析】利用椭圆方程求出a ，b ，然后求解c ，即可得到结果．【详解】解：椭圆2214y x +=，2a =，1b =，则c ==．椭圆2214y x +=的焦距为：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．2.【分析】先求出半径，再利用公式可求体积.【详解】2344441,33S R R V R ππππ==⇒===，故答案为：43π.3.【分析】根据题意，由条件可得数列{}n a 的公比为1，则10110S a =，即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 是各项为正的等比数列，则其公比0q >，又11a =，51a =，则4511a q a ==，即1q =，所以数列{}n a 为常数数列，且11n a a ==，所以1011010S a ==.故答案为：104.【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】因为随机事件A 与B 互斥，且()0.3P A =，()0.4P B =，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B =+=+= .故答案：0.75.【分析】根据顶点到它的准线距离为4m即可得到方程，解出即可.【详解】222m x my y ==⋅，因为m 为正实数，则142m =，则2m =，故答案为：2.6.【分析】先利用频率分布直方图求得成绩低于60分的频率，进而求得该校成绩低于60分的学生人数.【详解】图中成绩低于60分的频率为20(0.010.005)0.3+=，则该校成绩低于60分的学生人数为10000.3300⨯=（人）故答案为：3007.【分析】根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式可求出结果.【详解】设圆锥的母线长为l ，因为圆锥的底面半径3r =，所以圆锥的侧面积S 3rl l ππ==，依题意可得315l ππ=，解得5l =，所以圆锥的高4h ===，所以该圆锥的体积221113412333V Sh r h πππ==⋅=⨯⨯⨯=.故答案为：12π.8.【分析】将点代入双曲线，求出m ，然后求出渐近线方程，根据渐近线的斜率判断【详解】将点()代入双曲线得329116m-=，解得9m =，所以双曲线221169x y -=，所以双曲线的渐近线为34y x =±，设34y x =的倾斜角为α且3tan 4α=，则045α︒︒<<，0290α︒︒<<，所以两条渐近线的夹角为2α，所以232tan 2tan 291tan 116ααα===--247，所以由22sin 2cos 21sin 224tan 2cos 27ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩得7cos 225α=.故答案为：7acccos259.【分析】利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解.【详解】因为()1112,21,n n a a a n n n +==+≥∈N ，所以212a a -=，324a a -=，…，12(1)n n a a n --=-，2n ≥，所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++ 2(1)12242(1)122122n n n n n -=++++-=+⨯=-+ ，2n ≥，又112a =也满足上式，所以212n a n n =-+.故答案为：212n a n n =-+.10.【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．【详解】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ，则9'9'S h S h==，，再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h ⨯⨯=，所以'23h h =，则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⨯=⨯=．故答案为1．【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为13V S h =⋅底，本题是中档题．11.【分析】根据题意得到1q <，再利用无穷等比数列和的公式得到131a q =-与212912a q =-，解方程组即可得解.【详解】因为无穷等比数列{}n a ，13i i a +∞==∑，则1q <，131a q =-①，所以{}2n a 是首项为21a ，公比为21q <的等比数列，又2192ii a +∞==∑，则212912a q =-②，由①②可得，1312a q =+③，由②③可得，12a =，13q =,故{}n a 的通项公式为1123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：1123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.12.【分析】先设出点P 的坐标，表示出点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和12003d d x y +=-+；再利用几何意义求解得出答案.【详解】设点P 的坐标为()00,x y 则动点P 到直线1l 的距离为10022d y y =-=-；动点P 直线2l 的距离为()20011d x x =--=+.所以曲线()2211x y -+=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为120000213d d y x x y +=-++=-+令003t x y -=-，即003y x t=+-则3t -的几何意义是过点P 的直线3y x t =+-在y 轴上的截距.因为点P 在曲线()2211x y -+=上.所以当直线3y x t =+-与曲线()2211x y -+=相切时t 有最值.因为曲线()2211x y -+=是以()1,0圆心，1为半径的圆.1=，解得4t =-或4t =+所以曲线()2211x y -+=上一动点P 到直线1l 和直线2l的距离之和的最小值为4-故答案为：413.【分析】根据直线倾斜角的定义进行判断即可.【详解】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是0，因此直线倾斜角的取值范围为[0,π)，故选：C14.【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．15.【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率计算即得.【详解】记3名男同学为,,a b c ，2名女同学为,E F ，从5名同学中任选2名的结果有：,,,,,,,,,ab ac aE aF bc bE bF cE cF EF ，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学的事件含有的结果有,,,,,,aE aF bE bF cE cF EF ，共7个，所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710.故选：B16.【分析】利用基本不等式判断①的正确性，利用不等式的性质判断②的正确性.【详解】对于①，由11221x y +=平方可得，1x y ++=．因为x y +≥所以12x y +≥()2224x y ≥+≥，当且仅当14x y ==时等号成立，故①错误；对于②，由11221x y +=知，[],0,1x y ∈，11221y x =-，两边平方可得1y x =+-．因为x ≤，所以1121y x x x x =+-+-=-，即曲线C 在直线1y x =-的下方，因此所围图形的面积不大于12，故②正确.故选：C【点睛】用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.17.【分析】（1）利用平均数与方差的计算公式即可得解；（2）利用百分位数的定义求解即可.【小问1详解】依题意，设甲班的样本平均数为x ，方差为2s ，则()117017916216815818217916816317117010x =⨯+++++++++=，所以()()()()()22222222222109821212927157.210s ⎡⎤=⨯++-+-+-+++-+-+=⎣⎦【小问2详解】将乙班数据从小到大重新排列得：159，162，165，168，170，173，176，178，179，181，又1025% 2.5⨯=，所以乙班数据的25%分位数为第3位数，即165cm .18.【分析】（1）作//AE CE '交CD 于E '，联结1D E '，即可得到1D AE '∠为异面直线1AD 与EC 所成角，再根据三角形的性质求出1D AE '∠，即可得解；（2）首先可得90DEC ∠=︒，即可得到DEC 为直角三角形，在由线面垂直、面面垂直的性质得到CE ⊥平面1DD E ，即可得到1CE D E ⊥，即1D EC △为直角三角形，即可判断；【小问1详解】解：作//AE CE '交CD 于E '，联结1D E '，因为E 是棱AB 的中点.所以E '为CD 的中点，则1D AE '∠为异面直线1AD 与EC 所成角，因为11AD AA DE '===，所以11AE D E AD ''===因为1AD E '△为正三角形，即160D AE '∠=︒，异面直线1AD 与EC 所成角为60︒.【小问2详解】解：E 是棱AB 上的中点，则ADE V ､CBE △均为等腰直角三角形，故90DEC ∠=︒，所以DEC 为直角三角形，由1DD ⊥平面ABCD ，1DD ⊂面1DD E ，所以平面1DD E ⊥平面ABCD ，又DE CE ⊥，平面1DD E 平面ABCD DE =，CE ⊂平面ABCD ，所以CE ⊥平面1DD E ，1D E ⊂平面1DD E ，所以1CE D E ⊥，所以1D EC △为直角三角形，因为1DD ⊥平面ABCD ，,DE DC ⊂平面ABCD ，所以1DD DE ⊥，1DD DC ⊥，所以1DD E △､1DD C △均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形为鳖臑.19.【分析】（1）利用,n n S a 之间的关系进行求解即可；（2）利用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】因为当N,1n n ∈≥时，有2n S n n =+，所以当N,2n n ∈≥时，有()2111n S n n -=-+-，两式相减，得2n a n =，当1n =时，由212n S n n a =+⇒=，适合2n a n =，所以2n a n =，*N n ∈；【小问2详解】因为2n a n =，N n ∈；所以()()111111112224141n n a a n n n n n n +⎛⎫==⋅=- ⎪+++⎝⎭，因此()11111114223141n n H n n n ⎛⎫=-+-++-= ++⎝⎭ .20.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的公式求出m 的值；（2）假设在线段11A C 上存在这样的点Q ，设点Q 的横坐标为x ，则(,1,2)-Q x x ，由1⊥D Q AP ，即10AP D Q ⋅=，求出x ，即可得出答案．【小问1详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则点(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,)P m ，(0,1,0)C ，(0,0,0)D ，1(1,1,2)B ，1(0,0,2)D ，(1,1,0)∴=-- BD ，1(0,0,2)BB = ，(1,1,)=- AP m ，(1,1,0).=- AC 由0AC BD ⋅= ，10⋅= AC BB ,1BD BB B ⋂=知，AC 为平面11BB D D 的一个法向量．设AP 与平面11BB D D 所成的角为θ，则2||3sin 2||||22AP AC AP AC m θ⋅==⨯+ ，解得63=m 故当63m =时，直线AP 与平面11BDD B 所成角为60︒．【小问2详解】假设在线段11A C 上存在这样的点Q ，设点Q 的横坐标为x ，则(,1,2)-Q x x ，1(,1,0)D Q x x =- ，依题意，得1⊥ D Q AP ，即10AP D Q ⋅= ，(1)0∴-+-=x x ，解得12x =，当Q 为11A C 的中点时，满足题设的要求．21.【分析】（1）求出,a b 可得答案；（2）设动点(),T x y ，求出()122123PT TF TF PT F F x ⋅-=⋅=- ，根据x 的取值范围可得答案；（3）设直线:l y kx t =+与椭圆方程联立，可得其判别式1Δ0>，化简得2214t k ->①，利用韦达定理求出M 点坐标可得14OM k k =-，利用//OM PQ 得PQ OM k k =，设直线PQ 方程为14y x t k =-+与椭圆方程联立，要使得存在点Q 可得其判别式2Δ0≥，化简得22144k t ≤-②，由①②式求出t 的范围可得答案.【小问1详解】由题意，得2c a ==，所以1b ==，则椭圆的标准方程为2214x y +=；【小问2详解】设动点()()21,,T x y F F =- ，(),=- PT x y t ，()1221PT TF TF PT F F ⋅-=⋅=- ，[]2,2x ∈- 所以()12PT TF TF ⋅-的取值范围为-⎡⎣；【小问3详解】显然直线的斜率存在，所以可以设直线:l y kx t =+，联立得到2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理，得()()222148440k x ktx t +++-=，则2121222844,1414kt t x x x x k k-+=-⋅=++，则222244,,,14141414M M M kt t kt t x y kx t M k k k k ⎛⎫=-=+=∴- ⎪++++⎝⎭，又 直线l 与椭圆交于两点：()()22221Δ64414440k t k t =-+->，化简得226416160k t +->，则2214t k ->①，14OM k k∴=-，如果//OM PQ ，则14PQ OM k k k ==-，设直线PQ 为22114,414y x t k y x t k x y ⎧=-+⎪⎪=-+⎨⎪+=⎪⎩，整理得2221214404t x x k k k⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，要使得存在点Q ，则()2222241Δ414404t t k k ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭，整理得22224116160,44+-≥∴≤-t k k t ②，由①②式得，22211444-∴<≤-t k t ，则2211444t t -<-，解得t <<，所以当t ≥Q ，使得//OM PQ .【点睛】关键点点睛：第三问的解题关键点是分别设直线l 、直线PQ 方程与椭圆方程联立，利用其判别式化简t 求出t 的范围.。

①前 4 天的极差大于后 4 天的极差；②前 4 天的方差小于后 4 天的方差；③这组数据的
中位数为 31 或 33；④这组数据的第 60 百分位数与众数相同.
A．0
B．1
C．2
D．3
15．已知等差数列an的公差为
2 3
，集合 S
cosan n N*
，若 S a,b ，则 ab （
）
A．－1
试卷第 2页，共 5页
(2)当 n 为何值时， Sn 最大，并求出 Sn 的最大值.
18．用数学归纳法证明：对于任意正整数 n 都有：12 22 32 …+n2= n n 12n 1 .
6
19．设 Sn 为数列an的前 n 项和，已知 a2 1, 2Sn nan ．
(1)求 an 的通项公式；
事件 B：至少收到两个 0，是否互相独立，并给出证明.
21．已知数表
A2n
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
中的项
aij
(i
1,
2;
j
1,
2,,
n)
互不相同，且满足
下列条件：
① aij 1, 2,, 2n ；
② (1)m1 a1m a2m 0(m 1, 2,, n) .
则称这样的数表 A2n 具有性质 P .
名，然后在此基础上进行简单随机抽样.ห้องสมุดไป่ตู้
5．已知无穷等比数列
an
，
i 1
ai
3，
i 1
ai2
9 2
，则公比 q
．
6．某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图
如图所示，数据的分组依次为20，40，40，60 ，60，80 ，80 ，100 ，若该校的学生总人数为

1长宁区2023学年第一学期高二年级数学期末区统考2024.01一、填空题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.答案填在答题纸相应位置）.1.“平面α经过直线AB ”用集合符号语言可表示为________;2.已知1AO B ∠和21,50CO D AO B ∠∠= 且1212//,//O A O C O B O D ,则2CO D ∠=________; 3.若一个球的体积为43π,则这个球的表面积为________; 4.从总体容量为N 的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本,若每个电子元件被抽到的可能性为15%，则总体容量N =________;5.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示,若他们的平均数相等,则图中x 的值是________;6.在正方体1111ABCD A B C D −中,点M 是棱11C D 的中点,则直线AM 与直线1CC 的位置关系是________;7.一次考试,小明数学超过90分的概率是0.8,物理超过90分的概率是0.7,两门都超过90分的概率是0.6,则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是________;8.已知ABC ∆中,,,126C A BC ππ∠∠,将ABC ∆绕AC 所在的直线旋转一周,则所得旋转体的表面积是________;9.若正四棱锥的底面边长是2,棱锥被平行于底面的平面所截,已知所截得的棱台的上、下底面边长之比为1:2,则该棱台的体积是________;10.已知斜三棱柱111ABC A B C −的底面是正三角形,1A 与底面中心的连线垂直于底面,侧棱14AA =,1AA BC ⊥,且1AA 与底面所成角的大小是6π,则此三棱柱的底面边长是________; 11.已知圆锥的底面直径为8,母线长为5,过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截,则截面面积的最大值是________;12.已知长方体1111ABCD A B C D −中,13,4,5AB AD AA ===,点E 在线段BC 上,过点1A C 、、E 三点的平面截长方体，则所得截面面积的取值范围是________;2二、选择题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.13.①:植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类,某植物园需要对其园中的不同植物的干重(烘干后测定的质量)进行测量;②:检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）.A.(1)用简单随机抽样,(2)用分层随机抽样;B.(1)用简单随机抽样,(2)用简单随机抽样;C.(1)用分层随机抽样，(2)用简单随机抽样;D.(1)用分层随机抽样,(2)用分层随机抽样.14.已知直线a b 、和平面αβ、,则下列命题中,真命题是（ ）.A.若//,a b a α⊥，则b ⊥α;B.若//,a αα⊥β,则a ⊥β;C.若//,a b b ⊂α,则//a α;D.若//,a αβ⊥α,则a ⊥β.15.掷一枚骰子,设事件A :落地时向上的点数是奇数;B :落地时向上的点数是3的倍数;C :落地时向上的点数是是2;D ：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（ ）.A.A 和B 有可能同时发生;B.A 和D 是对立事件;C.B 和C 是对立事件;D.A 和C 是互斥事件.16.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场比赛轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都是12,则甲最终获胜的概率是（ ）. A.1;16 B.716; C.38; D.932; 三、解答题（本大题共5小题,共52分.解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.(本题满分8分,共有2小题,第（1）小题4分,第（2）小题4分).3如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D −,(1)求证:AC ⊥平面11BDD B ;(2)求证:平面11//AB D 平面1BDC18.(本题满分8分,共有2小题,第(1)小题4分,第（2）小题4分).掷黑、白两枚质地均匀的骰子,(1)写出事件A :“点数都是偶数”所对应的子集并求其概率;(2)验证事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的.19.(本题满分10分,共有2小题,第(1)小题5分,第(2)小题5分).如图,已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 的圆周上,AB 为圆O 的直径,6,120AB BOP =∠= ,1AA 和1BB 是圆柱1OO 的母线,且圆柱的侧面积为24π;(1)求三棱锥1A ABP −的体积;(2)求异面直线1A P 与AB 所成角的大小.420.(本题满分12分,共有2小题,第（1）小题6分,第（2）小题6分）.如图,平行四边形ABCD 中,4,2AB AD ==,将ABD ∆沿BD 翻折,得到四面体PBCD .(1)若4BD PC ==,作出二面角P BC D −−的平面角,说明作图理由并求其大小;(2)若60PC A =∠= ,求点D 到平面PBC 的距离.21.(本题满分14分,共有3小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第（3）小题4分). 某市采用“33+”高考模式.其中第一个“3”指“语、数、外”三个必选学科,第二个“3”指选考学科,学生可在“物理、化学、政治、生物、地理、历史”这六门学科中选三科参加高考.选考学科通过等级赋分的方式计入总成绩.按等级赋分是将学生每门的原始成绩从高到低按所占比例划定为11个等级，每个等级所占比例和换算分值如下表所示. 评价等级 A + A B + B B − C +C C −D + D E所占比例 5% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 5%换算分值 70 67 64 61 58 55 52 49 46 43 402023年,某市约有50000名学生参加高考。

上海市高二第一学期期末考试数学时间90分钟，满分100分，(2023年1月)一、选择题:共20题，1－10题每题3分，11－20题每题4分，总计70分。

1、过点P(－5，7)，倾斜角为135°的直线方程为( )A.120x y -+=B.20x y +-=C.120x y +-=D.20x y -+=2、已知曲线经过点P(1，2)，根据该点坐标可以确定标准方程的曲线是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不可能3、已知直线1l ：()310a x y -+-=和2l ：()41030ax a y +-+=，则“2a =”是“直线1l 与直线2l 垂直”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4、已知方程2220x y x my m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是( )A.(2，+∞)B.(－∞，2)C.[2，+∞)D.()(),22,-∞+∞5、若双曲线C ：221824x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.66、如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AD=2，AA 1=3，P 是线段A 1C 1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是( )A.DD 1B.B 1CC.D 1CD.AC 7、已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为( )2 2π 2π 28、方程222143x y λλ+=--表示焦距为25λ的值为( ) A.1 B.－4或1 C.－2或－4或 D.－2或119、已知抛物线C ：212y x =，点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )是经过抛物线C 焦点F 的直线与抛物线的焦点点，且125x x +=，则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在 10、已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1=2，AB=BC=1，E 为BC 的中点，则异面直线A 1E 与D 1A 所成角的正切值为( )A.2B.2147C.172D.17711、当点A 在椭圆2214x y +=上运动时，连接点A 与定点B(2022，0)，则AB 的中点P 的轨迹方程为( ) A.()2220221164x y -+= B.()2220221164x y ++= C.()22101114x y -+= D.()22101141x y -+=12、已知圆的方程为2212160x y x y +--=，该圆过点(3，4)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) 3 3 3 313、已知直线l 经过抛物线232x y =的焦点为F ，交抛物线于M ，N 两点，若在y 轴负半轴上存在一点T(0，t)，使得∠MTN 为钝角，则t 的取值范围为( )A.(－8，0)B.(－∞，－8)C.(－4，0)D.(－∞，－4)14、已知直线l ：2x ty =+和双曲线C ：228y x -=，若l 与C 的上支交于不同的两点，则t 的取值范围是( )A.,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B.2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C.0,2⎛ ⎝⎭ D.12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭15、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与椭圆交于M 、N 两点，若2MNF ∆的周长为16，离心率12e =，则△2MNF 面积的最大值为( )A.1216、已知双曲线Γ：2212425x y -=，点P 为曲线Γ在第三象限一个动点，以下两个命题，则( ) ①点P 到双曲线两条渐近线的距离为1d ，2d ，则12d d ⋅为定值。

2022-2023学年上海中学高二（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共4小题，共16.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )A. ①用简单随机抽样法；②用系统抽样法B. ①用分层抽样法；②用简单随机抽样法C. ①用系统抽样法；②用分层抽样法D. ①用分层抽样法；②用系统抽样法2. 已知数据x1，x2，⋯，x n(n≥3,n∈N∗)是上海普通职工n个人的年收入，这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果加上世界首富的年收入x n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是( )A. 年收入平均数增加，中位数一定变大，方差可能不变B. 年收入平均数增加，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数增加，中位数可能不变，方差可能不变D. 年收入平均数增加，中位数可能变大，方差不变3. 对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是( )A. a1，a3，a9成等比数列B. a2，a3，a6成等比数列C. a2，a4，a8成等比数列D. a3，a6，a9成等比数列4. 已知数列{a n}，{b n}满足a1=2，b1=，，n∈N∗，则下列选项错误的是( )A. B. a50b50<112 C. a50+b50= D. |a50−b50|≤15二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 小陈掷两次骰子都出现6的概率为______．6. 从{1,2,3,4,5}中随机取两个元素(可相同)，则这两个元素的积不是6的倍数的概率为______．7. 若等比数列的前n项和S n=4n−1+a，则a=______．8. 若数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2023=______．9. 为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下(按从小到大的顺序排列，单位：kg)5656575859596163646566686970737483据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg．10. 已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前项和，则使得S n达到最大值的n是______．11. 已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为______ 万元．家庭年收入(万元)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,9)[9,10)频率f0.20.20.20.260.070.07 12. 第14届国际数学教育大会(ICME−14)于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______．13. S1=1+2+⋯+n，S2=12+22+⋯+n2，S3=13+23+⋯+n3，使S1，S2，S3成等差数列的自然数n的所有可能的值为______．14. 已知a n={2n+3,n为奇数4n,n为偶数(n∈N∗)，则数列{a n}前2m项之和为______．15. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=(a n)2+m(n∈N∗)，若对任意的正整数n均有a n<4，则实数m的最大值是______．16. 设数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+，记T n=(1−a1)(1−a2)⋯(1−a n)，则使得T n<0成立的最小正整数n是______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分。

沪教版高二（上）期末数学试卷一.填空题1．（3分）一个方向向量为的直线的倾斜角的大小是．2．（3分）抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是．3．（3分）已知复数z＝1+i，则＝．4．（3分）已知复数（a+3i）（1+2i）是纯虚数，则实数a的值为．5．（3分）若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个根，则b＝．6．（3分）曲线（θ为参数，θ∈[0，2π））的焦距等于．7．（3分）直线y＝2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y＝0所截得的弦长等于．8．（3分）如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，，以A、B为焦点的椭圆经过点C，若该椭圆的焦距为4，则其短轴的长为．9．（3分）已知双曲线x2﹣＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则•最小值为．10．（3分）若复数z满足|z﹣z0|+|z﹣3i|＝4，且复数z对应的点的轨迹是椭圆，则复数z0的模的取值范围是．11．（3分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，若，则抛物线的方程是．12．（3分）已知点P（0，2），椭圆+＝1上两点A（x1，y1），B（x2，y2）满足＝λ（λ∈R），则|2x1+3y1﹣12|+|2x2+3y2﹣12|的最大值为．二.选择题13．（3分）双曲线的两条渐近线的夹角的大小为（）A．B．C．D．14．（3分）在复数范围内，下列命题中为假命题的是（）A．复数z∈R的充要条件是B．若|z|＝﹣z，则z∈RC．若，则z＝±1或z＝±iD．对任意z∈C都成立15．（3分）已知集合，B＝{z||z|＝1，z∈C}，若A∩B＝∅，则a、b之间的关系是（）A．a2+b2＞1B．a2+b2＜1C．a+b＞1D．a+b＜116．（3分）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当时，△ABC 有（）A．2个B．4个C．有限个，但多于4个D．无限多个三.解答题17．已知关于x的一元二次方程x2+2kx﹣3k＝0（k∈R）的虚根为x1、x2．（1）求k的取值范围，并解该方程；（2）若，求k的值．18．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？19．设z是虚数，是实数，且﹣1＜w＜2（1）求|z|的值及Rez的取值范围；（2）若为纯虚数，求z．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴长是短轴长的2倍，在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若过椭圆的左焦点的直线l与椭圆C相交所得弦长为2，求直线l的斜率；（3）过点P（1，0）的任意直线与椭圆C交于A、B两点，设点A、B到直线l0：x＝x0（x0＞2）的距离分别为d A、d B，若，求x0的值．21．已知动圆P过点F2（2，0），并且与圆相外切，设动圆的圆心P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）过动点P作直线与曲线3x2﹣y2＝0交于A、B两点，当P为AB的中点时，求|OA|•|OB|的值；（3）过点F2的直线l1与曲线C交于E、F两点，设直线，点D（﹣1，0），直线ED交l于点M，求证：直线FM经过定点，并求出该定点的坐标．沪教版高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）一个方向向量为的直线的倾斜角的大小是．【解答】解：设一个方向向量为的直线的倾斜角的大小为θ，则tanθ＝＝．再根据θ∈[0，π），∴θ＝，故答案为：．2．（3分）抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是2．【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x＝﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1＝2故答案为2．3．（3分）已知复数z＝1+i，则＝﹣i．【解答】解：复数z＝1+i，则＝＝＝＝﹣i．故答案为：﹣i．4．（3分）已知复数（a+3i）（1+2i）是纯虚数，则实数a的值为6．【解答】解：复数（a+3i）（1+2i）＝a﹣6+（3+2a）i是纯虚数，则a﹣6＝0，3+2a≠0，解得a＝6．故答案为：6．5．（3分）若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个根，则b＝﹣2．【解答】解：1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个根，可知1﹣2i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个根，所以1+2i+1﹣2i＝﹣b，所以b＝﹣2．故答案为：﹣2．6．（3分）曲线（θ为参数，θ∈[0，2π））的焦距等于．【解答】解：由（θ为参数，θ∈[0，2π）），得曲线的普通方程为，∴焦距．故答案为：．7．（3分）直线y＝2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y＝0所截得的弦长等于4．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y＝0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y＝2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y＝0所截得的弦长为：2×＝4．故答案为：4．8．（3分）如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，，以A、B为焦点的椭圆经过点C，若该椭圆的焦距为4，则其短轴的长为．【解答】解：椭圆的焦距为4，∠A＝90°，，则AC＝3，BC＝5则c＝2，∴a＝4，∴b＝＝2．所以椭圆的短轴长为4故答案为：4．9．（3分）已知双曲线x2﹣＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则•最小值为﹣2．【解答】解：根据题意，设P（x，y）（x≥1），易得A1（﹣1，0），F2（2，0），•＝（﹣1﹣x，y）•（2﹣x，y）＝x2﹣x﹣2+y2，又x2﹣＝1，故y2＝3（x2﹣1），于是•＝4x2﹣x﹣5＝4﹣5﹣，当x＝1时，取到最小值﹣2；故答案为：﹣2．10．（3分）若复数z满足|z﹣z0|+|z﹣3i|＝4，且复数z对应的点的轨迹是椭圆，则复数z0的模的取值范围是[0，7）．【解答】解：如图：满足|z﹣3i|+|z﹣z0|＝4的复数z对应的点的轨迹是椭圆，由椭圆的定义可知，z0到（0，3）的距离小于4，则z0的轨迹是以（0，3）为圆心，4为半径的圆的内部部分，∴|z0|的取值范围是[0，7）．故答案为：[0，7）．11．（3分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，若，则抛物线的方程是．【解答】解：联立，可得由题可知，x M＝p（即上述方程中较大的根）．∴M（，p），则有N（﹣，p），∴l NF：y＝﹣（x﹣），从而可求出点D的坐标为（0，），又∵，则有＝，可得p＝．∴y2＝2x．故答案为：y2＝2x．12．（3分）已知点P（0，2），椭圆+＝1上两点A（x1，y1），B（x2，y2）满足＝λ（λ∈R），则|2x1+3y1﹣12|+|2x2+3y2﹣12|的最大值为2（9+）．【解答】解：如图所示，满足＝λ（λ∈R），直线l的方程为：2x+3y﹣12＝0．点A，B到直线l的距离分别为：d1＝，d2＝．设线段AB的中点为P0（x0，y0），点P0到直线l点距离为d0．则d1+d2＝2d0．d0＝．∴|2x1+3y1﹣12|+|2x2+3y2﹣12|＝（d1+d2）＝2|2x0+3y0﹣12|．∵+＝1，+＝1，相减可得：+＝0，k＝k AB＝．可得：+＝1，即+（y﹣1）2＝1．设直线2x+3y+m＝0与上述椭圆相切，化为：17y2+（6m﹣16）y+m2＝0，令△＝（6m﹣16）2﹣68m2＝0，化为：m2+6m﹣8＝0，解得m＝﹣3±，取m＝﹣3+，∴d0的最大值为：＝．∴|2x1+3y1﹣12|+|2x2+3y2﹣12|的最大值为：2×，即2（9+）．故答案为：2（9+）．二.选择题13．（3分）双曲线的两条渐近线的夹角的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线，得a＝，b＝2．∴双曲线的渐近线方程为y＝，则一条渐近线与x轴的夹角为arctan＞，则两条渐近线的夹角的大小为π﹣2arctan2．故选：D．14．（3分）在复数范围内，下列命题中为假命题的是（）A．复数z∈R的充要条件是B．若|z|＝﹣z，则z∈RC．若，则z＝±1或z＝±iD．对任意z∈C都成立【解答】解：设复数z＝a+bi，a、b∈R，对于A，，若z∈R，则b＝0，显然成立，是充分条件；若，则a+bi＝a﹣bi，所以b ＝0，z∈R，是必要条件，即A正确；对于B，，﹣z＝﹣a﹣bi，若|z|＝﹣z，则，所以，所以b＝0，a≤0，因此z＝a∈R，即B正确；对于C，，若，则a+bi＝，化简得（a2﹣b2）+2abi＝1，所以a2﹣b2＝1且2ab＝0，则z＝±1，即C错误；对于D，|z|2＝a2+b2，，所以，即D正确．故选：C．15．（3分）已知集合，B＝{z||z|＝1，z∈C}，若A∩B＝∅，则a、b之间的关系是（）A．a2+b2＞1B．a2+b2＜1C．a+b＞1D．a+b＜1【解答】解：设z＝x+yi，则（a+bi）（x﹣yi）+（a﹣bi）（x+yi）+2＝0化简整理得，ax+by+1＝0即，集合A可看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆的点集，若A∩B＝∅即直线与圆没有交点，d＝，即a2+b2＜1故选：B．16．（3分）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当时，△ABC 有（）A．2个B．4个C．有限个，但多于4个D．无限多个【解答】解：抛物线焦点坐标F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）∵，∴点F是△ABC重心，∴x1+x2+x3＝3，y1+y2+y3＝0，∴△ABC有无限多个，故选：D．三.解答题17．已知关于x的一元二次方程x2+2kx﹣3k＝0（k∈R）的虚根为x1、x2．（1）求k的取值范围，并解该方程；（2）若，求k的值．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2+2kx﹣3k＝0（k∈R）的虚根为x1、x2．可得△＝4k2+12k＜0，解得：﹣3＜k＜0，由求根公式可得；（2），；可得3＝2+，＝，解得．18．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解答】解：（1）设曲线方程为，由题意可知，．∴．∴曲线方程为．（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知得4y2﹣7y﹣36＝0，y＝4或（不合题意，舍去）．∴y＝4．得x＝6或x＝﹣6（不合题意，舍去）．∴C点的坐标为（6，4），．答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为时，应向航天器发出变轨指令．19．设z是虚数，是实数，且﹣1＜w＜2（1）求|z|的值及Rez的取值范围；（2）若为纯虚数，求z．【解答】解：（1）设z＝a+bi，a，b∈R且b≠0，则ω＝z+＝a+bi+＝（a+）+（b﹣）i，∵ω＝z+是实数，∴b﹣＝0，得1﹣＝0，即a2+b2＝1，即|z|＝1，则ω＝z+＝2a∈（﹣1，2），∴a∈（﹣，1）；（2）∵＝＝为纯虚数；∴a2﹣b2+a＝0 ①且2ab+b≠0 ②；∵a2+b2＝1，③联立①②③解得a＝（﹣1舍），b＝±；∴．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴长是短轴长的2倍，在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若过椭圆的左焦点的直线l与椭圆C相交所得弦长为2，求直线l的斜率；（3）过点P（1，0）的任意直线与椭圆C交于A、B两点，设点A、B到直线l0：x＝x0（x0＞2）的距离分别为d A、d B，若，求x0的值．【解答】解：（1）由题意，2a＝4b，即a＝2b，由在椭圆C上，，联立解得a＝2，b＝1，故椭圆的方程为；（2）根据题意，左焦点F（﹣，设直线l为y＝k（x+），由．消去y，得（1+4k2）x2+8，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以|EF|＝＝，得；（3）当直线l与x轴重合时，设A（2，0），B（﹣2，0），所以，＝，得x0＝4，同理A（﹣2，0），B（2，0），x0＝4，当直线l不与x轴重合时，设l：x＝my+1，，消去x整理可得（m2+4）y2+2my﹣3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣，，由，得，整理得+1＝4，综上，当时，x0＝4．21．已知动圆P过点F2（2，0），并且与圆相外切，设动圆的圆心P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）过动点P作直线与曲线3x2﹣y2＝0交于A、B两点，当P为AB的中点时，求|OA|•|OB|的值；（3）过点F2的直线l1与曲线C交于E、F两点，设直线，点D（﹣1，0），直线ED交l于点M，求证：直线FM经过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）设P（x，y），动圆的半径为r，圆的圆心F2（﹣2，0），半径为2，由题意可得|PF1|＝r+2，|PF2|＝r，即有|PF1|﹣|PF2|＝2+r﹣r＝2＜|F1F2|，可得P的轨迹为以F1，F2为焦点的双曲线的右支，可得a＝1，c＝2，b＝，即曲线C的方程为（x≥1）；（2）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣＝1，曲线3x2﹣y2＝0即为y＝x和y＝﹣x，设A（m，m），B（n，﹣n），由P为AB的中点，可得m+n＝2x0，m﹣n＝2y0，解得m＝x0+y0，n＝x0﹣y0，则|OA|•|OB|＝2|m|•2|n|＝4|mn|＝4|（x0+y0）（x0﹣y0）|＝4|x02﹣y02|＝4为定值．|OA|•|OB|＝4；（3）①当斜率不存在时，l1：x＝2 可知E（2，3），F（2，﹣3），∵D（﹣1，0），所以直线ED：，M（），所以直线FM：即y＝﹣3（x﹣1）所以直线恒过（1，0）；②当斜率存在时，l1：y＝k（x﹣2），联立双曲线方程，消去y，可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k3﹣3＝0，设E（x1，y1），F（x2，y2）根据韦达定理可得，则直线ED的方程为，当x＝时，y＝，M（）设点N（1，0），若FM过定点N，则两直线斜率相等．即k FN＝k MN，，，所以FM恒过定点N（1，0），∴综上所述，直线FM恒过定点（1，0）．。