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线性和非线性时间序列分析在金融领域的应用随着金融市场的飞速发展，人们越来越需要有效的金融预测方法，以实现高效的投资和风险控制。
时间序列分析的应用在这个过程中起着至关重要的作用。
时间序列分析是一种理解和预测时间序列数据的方法，经常用于分析经济、金融、天气和其他非静态系统。
时间序列分析包括线性时间序列分析和非线性时间序列分析两种方法。
这两种方法不同的是，线性时间序列假设之间的关系是线性的，而非线性时间序列需要考虑非线性关系。
线性时间序列分析线性时间序列分析是指用统计和数学技术分析时间序列。
基于这个模型，人们可以预测未来的趋势，帮助投资者制定更合理的投资策略。
线性时间序列分析使用的技术包括自回归模型（AR模型）、移动平均模型（MA模型）、ARMA模型和ARIMA模型等等。
自回归模型（AR模型）是一种广泛使用的线性时间序列分析工具。
该模型假设未来的值基于过去的一段时间内的数据。
它的核心思想是，一个序列的值是先前值与错误项的和。
因此，AR模型的核心公式是y(t)=c+φ1y(t-1)+φ2y(t-2)+...+φpy(t-p)+e(t)，其中y（t）表示时间‘t’的观测值，c是常数，φl表示‘l’时期后的自相关系数，‘p’是阶数，而‘e(t)’是时间‘t’的预测误差。
移动平均模型（MA模型）是另一种线性时间序列模型，旨在将时间序列中的噪声过滤掉。
MA模型建立在误差方程上，表示序列中不随时间变化的部分。
其核心公式是y(t)=θ1e(t-1)+θ2e(t-2)+...+θqe(t-q)，其中θi表示第‘i’个移动平均系数，‘q’是与移动平均级别相关的参数，而‘e(t)’表示预测误差。
ARMA模型是AR和MA模型的结合体。
该模型用于具有显着自相关和波动的时间序列数据。
ARMA模型由AR(p)模型和MA(q)模型构成。
该模型假设过去的观测值和误差序列都对当前观测值有影响。
ARMA模型的核心公式为：y(t)=c+φ1y(t-1)+φ2y(t-2)+...+φpy(t-p)+θ1e(t-1)+θ2e(t-2)+...+θqe(t-q)+e(t)在此公式中，首次出现了误差（e）项。
非线性时间序列分析方法研究与应用随着计算机技术的不断发展，人们对数据分析的需求不断增加。
而在众多分析方法中，非线性时间序列分析方法成为了热门话题，被应用到了诸多领域。
本文将重点探讨非线性时间序列分析方法的研究和应用。
一、非线性时间序列分析方法简介线性时间序列分析方法已经被广泛应用于数据分析领域。
但是，当数据具有非线性特征时，线性模型往往无法满足需求。
非线性时间序列分析方法则通过对非线性特征进行建模来更好地处理数据。
非线性时间序列分析方法主要包括两种方式：基于时间域的方法和基于频域的方法。
时间域的非线性时间序列分析方法主要包括：自回归移动平均模型（ARMA）、非线性自回归模型（NAR）、切换回归模型（SWITCHING REGRESSION MODEL，SRM）等。
这些方法主要基于时间变量的数学运算来分析数据。
频域的非线性时间序列分析方法主要包括：谱分析、小波分析和经验模态分解法（EMD）等。
这些方法主要基于变换、分解的方法来分析数据。
二、非线性时间序列分析方法的应用1.金融领域股票价格、汇率等金融数据常常具有非线性特征，非线性时间序列分析方法能够更好地处理这些数据。
例如，可以使用非线性自回归移动平均模型（NARMA）来预测股票价格，使用东京证券交易所股票指数和美元兑日元汇率等数据，可以获得较好的预测效果。
2.工业领域非线性时间序列分析方法也被广泛应用于工业领域的数据分析中。
例如，可以使用非线性自回归移动平均模型（NARMA）来分析机器的运行时间序列，以预测机器产生的故障。
同时，非线性时间序列分析方法还可以用于分析压力、温度、湿度等传感器信号，以检测异常。
3.医学领域非线性时间序列分析方法还被应用于医学领域，例如，通过分析心率变异性时间序列，可以对心血管系统进行评估。
非线性方法还可以用于分析脑电图（EEG）和电生理数据等医学信号，以检测疾病并进行治疗。
三、结语非线性时间序列分析方法作为一种新型的数据分析方法，已经被广泛应用于各种领域，如金融、工业和医学等。
报告撰写中如何合理应用线性和非线性模型什么是线性和非线性模型？为什么在报告撰写中需要应用这些模型？如何合理应用线性和非线性模型？这些问题在报告撰写中经常会遇到。
本文将以此为主题，详细论述报告撰写中如何合理应用线性和非线性模型。
一、线性模型的应用1. 线性模型的基本概念线性模型是指输入变量与输出变量之间呈线性关系的模型。
在报告撰写中，我们可以通过线性模型来分析和预测各种现象。
例如，市场调查报告中可以使用线性模型来分析销售额和广告投入之间的关系。
2. 线性模型的优势和限制线性模型的优势在于简单明了，易于解释和理解。
此外，线性模型可以通过回归分析来估计各个变量之间的关系。
然而，线性模型的限制在于无法捕捉到非线性关系，因此在某些情况下效果会受到限制。
3. 线性模型的应用技巧在报告撰写中，我们应该合理应用线性模型以实现更好的分析和预测效果。
一种方法是通过可变系数模型来捕捉输入变量与输出变量之间的非线性关系。
另一种方法是应用多项式回归模型，允许输入变量的高次项来解释输出变量的变化。
二、非线性模型的应用1. 非线性模型的基本概念非线性模型是指输入变量与输出变量之间呈非线性关系的模型。
在报告撰写中，非线性模型可以帮助我们更准确地分析和预测各种现象。
例如，在生物学研究中，非线性模型可以用来分析药物浓度和生物反应之间的关系。
2. 非线性模型的优势和限制非线性模型的优势在于能够捕捉到输入变量与输出变量之间的复杂关系。
此外，非线性模型还可以通过最小二乘法以及其他算法来估计各个参数。
然而，非线性模型的限制在于计算复杂度较高，并且对数据的要求较严苛。
3. 非线性模型的应用技巧在报告撰写中，我们需要根据具体情况合理应用非线性模型。
一种方法是通过拟合曲线来找到最佳的非线性关系。
另一种方法是使用非线性回归模型，例如指数回归模型、对数回归模型等，来更好地解释和预测数据。
三、线性模型与非线性模型的比较1. 模型的选择依据在线性模型和非线性模型之间进行选择时，我们需要根据具体情况来确定，包括数据的特征和问题的要求。
常见的统计模型及实际应用常见的统计模型有很多种，以下将介绍一些常见的统计模型及其实际应用。
1. 线性回归模型：线性回归模型是最简单的统计模型之一，用于建立自变量与因变量之间的线性关系。
实际应用中，线性回归模型可以用于预测房价、销售额、股票价格等。
例如，可以使用线性回归模型来建立房价与房屋面积、地理位置等因素之间的关系，从而预测房价。
2. 逻辑回归模型：逻辑回归模型用于建立因变量与自变量之间的非线性关系，主要用于二分类问题。
实际应用中，逻辑回归模型可以用于预测用户是否会购买某个产品、是否会违约等。
例如，在金融领域，可以使用逻辑回归模型来预测客户是否会违约，从而帮助银行制定风险控制策略。
3. 时间序列模型：时间序列模型用于分析时间序列数据，并预测未来的数值。
实际应用中，时间序列模型可以用于预测股票价格、气温、销售额等。
例如，可以使用时间序列模型来预测未来股票价格的走势，从而指导投资决策。
4. 聚类模型：聚类模型用于将观测数据划分为不同的类别或群组。
实际应用中，聚类模型可以用于市场细分、客户分群等。
例如，在市场营销中，可以使用聚类模型将顾客划分为不同的群组，从而针对不同的群组制定个性化的营销策略。
5. 决策树模型：决策树模型用于根据特征变量来预测目标变量的取值。
实际应用中，决策树模型可以用于医学诊断、金融风险评估等。
例如，在医学领域，可以使用决策树模型来根据患者的症状诊断疾病。
6. 隐马尔可夫模型：隐马尔可夫模型是一种描述状态之间转移以及状态与观测之间相关性的模型。
实际应用中，隐马尔可夫模型可以用于语音识别、自然语言处理等。
例如，在语音识别中，可以使用隐马尔可夫模型来对语音信号进行识别。
7. 神经网络模型：神经网络模型是一种模拟生物神经网络的数学模型，用于模拟复杂的非线性关系。
实际应用中，神经网络模型可以用于图像识别、预测股票价格等。
例如，在图像识别中，可以使用神经网络模型来识别图像中的目标物体。
以上介绍了一些常见的统计模型及其实际应用。
数据预测计算公式随着数据科学的迅猛发展，数据预测成为了许多领域中重要的研究和应用方向。
数据预测的目的是通过分析历史数据，建立数学模型和算法来预测未来的趋势和结果。
在这个过程中，数据预测计算公式扮演了重要的角色，它们通过数学表达式将输入的数据转化为预测的结果。
数据预测计算公式可以分为线性模型、非线性模型和机器学习模型等多种类型。
下面将介绍其中几种常见的数据预测计算公式。
1. 线性回归模型：线性回归是一种常见的数据预测方法，它假设输入变量和输出变量之间存在线性关系。
线性回归模型可以用以下公式表示：Y = a + bX其中，Y是输出变量，X是输入变量，a和b是回归系数。
通过拟合数据集，可以估计出a和b的值，从而进行预测。
2. 多项式回归模型：多项式回归是一种扩展的线性回归模型，它允许输入变量和输出变量之间存在非线性关系。
多项式回归模型可以用以下公式表示：Y = a + bX + cX^2 + ...其中，Y是输出变量，X是输入变量，a、b、c等是回归系数。
通过拟合数据集，可以估计出所有回归系数的值，从而进行预测。
3. 时间序列模型：时间序列模型适用于具有时间依赖性的数据。
它假设当前时刻的值受到前一时刻的值和随机扰动的影响。
时间序列模型可以用以下公式表示：X(t) = f(X(t-1), X(t-2), ...) + ε(t)其中，X(t)是当前时刻的值，f是一个函数，X(t-1)、X(t-2)等是前几个时刻的值，ε(t)是随机扰动。
通过估计函数f的参数，可以进行未来数值的预测。
4. 神经网络模型：神经网络模型是一种非常强大的数据预测模型，它模拟了人脑神经元之间的连接和信息传递过程。
神经网络模型可以用以下公式表示：Y = f(WX + b)其中，Y是输出变量，X是输入变量，W和b是神经网络的权重和偏置，f是激活函数。
通过训练神经网络，可以调整权重和偏置的值，从而进行预测。
除了以上几种常见的数据预测计算公式，还有许多其他类型的模型，如决策树、支持向量机等。
近代时间序列分析选讲:一. 非线性时间序列二. GARCH模型三. 多元时间序列四. 协整模型非线性时间序列第一章.非线性时间序列浅释1.从线性到非线性自回归模型2.线性时间序列定义的多样性第二章. 非线性时间序列模型1. 概述2. 非线性自回归模型3.带条件异方差的自回归模型4.两种可逆性5.时间序列与伪随机数第三章.马尔可夫链与AR模型1. 马尔可夫链2. AR模型所确定的马尔可夫链3. 若干例子第四章. 统计建模方法1. 概论2. 线性性检验3.AR模型参数估计4.AR模型阶数估计第五章. 实例和展望1. 实例2.展望第一章.非线性时间序列浅释1. 从线性到非线性自回归模型时间序列{x t}是一串随机变量序列, 它有广泛的实际背景, 特别是在经济与金融领域中尤其显著. 关于它们的从线性与非线性概念, 可从以下的例子入手作一浅释的说明.考查一阶线性自回归模型---LAR(1):x t=αx t-1+e t, t=1,2,…(1.1)其中{e t}为i.i.d.序列，且Ee t=0, Ee t=2<, 而且e t与{x t-1,x t-1,…}独立. 反复使用(1.1)式的递推关系, 就可得到x t=αx t-1+e t= e t + αx t-1= e t + α{ e t-1 + αx t-2}= e t + αe t-1 + α2 x t-2=…= e t + αe t-1 + α2e t-2+…+ αn-1e t-n+1 +αn x t-n. (1.2)如果当n时,αn x t-n0, (1.3){e t+αe t-1+α2e t-2+…+αn-1e t-n+1}αj e t-j . (1.4)虽然保证以上的收敛是有条件的, 而且要涉及到具体收敛的含义, 但是, 对以上的简单模型, 不难相信, 当|α|<1时, (1.3)(1.4)式成立. 于是, 当|α|<1时, 模型LAR(1)有平稳解, 且可表达为x t=j=0αj e t-j . (1.5)通过上面叙述可见求LAR(1)模型的解有简便之优点, 此其一. 还有第二点, 容易推广到LAR(p)模型. 为此考查如下的p阶线性自回归模型LAR(p):x t =α1x t-1+α2x t-2+...+αp x t-p +e t ,t=1,2,… (1.6)其中{e t }为i.i.d.序列，且Ee t =0, Ee t =2<, 而且e t 与{x t-1, x t-1,…}独立.虽然反复使用(1.6)式的递推式, 仍然可得到(1.2)式的类似结果, 但是,用扩张后的一阶多元AR 模型求解时, 可显示出与LAR(1)模型求解的神奇的相似. 为此记X t =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--11p t t t x x x , U=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 , A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000121 pααα, (1.7)于是(1.6)式可写成如下的等价形式:X t=A X t-1+ e t U. (1.8)反复使用此式的递推关系, 形式上仿照(1.2)式可得X t=AX t-1+e t U= e t U+e t-1AU+A2x t-2==e t U+e t-1AU+e t-2A2U+…+e t-n+1A n-1U+A n x t-n.如果矩阵A的谱半径(A的特征值的最大模) (A), 满足如下条件(A)<1, (1.10)由上式可猜想到(1.8)式有如下的解:X t=k=0A k Ue t-k. (1.11)其中向量X t的第一分量x t形成的序列{x t}, 就是模型(1.6)式的解. 由此不难看出, 它有以下表达方式x t=k=0k e t-k. (1.11)其中系数k由(1.6)式中的α1,α2, ... ,αp确定, 细节从略. 不过, (1.11)式给了我们重要启发, 即考虑形如=k=0k e t-k, k=0k2,x(1.12)的时间序列类(其中系数k能保证(1.12)式中的x t有定义). 在文献中, 这样的序列{x t}就被称为线性时间序列.虽然以上给出了线性时间序列的定义, 以下暂时不讨论什么是非线性时间序列, 代之先讨论一阶非线性自回归模型---NLAR(1), 以便与LAR(1)模型进行比较分析. 首先写出NLAR(1)模型如下x t=(x t-1)+e t,t=1,2,…(1.13)其中{e t}为i.i.d.序列，且Ee t=0, Ee t=2<, 而且e t与{x t-1,x t-2,…}独立, 这些假定与LAR(1)模型相同, 但是, (x t-1)不再是x t-1的线性函数, 代之为非线性函数, 比如(x t-1)=x t-1/{a+bx t-12}.此时虽然仍可反复使用(1.13)式进行迭代, 但是所得结果是x t=(x t-1) +e t= e t+ (x t-1)= e t+ ( e t-1+ (x t-2))= e t+ ( e t-1+ ( e t-2+ (x t-3)))=…=e t+( e t-1+ ( e t-2+ …+(x t-n))…).(1.14)根据此式, 我们既不能轻易判断(x t-1)函数满足怎样的条件时, 上式会有极限, 也不能猜测其极限有怎样的形式.对于p 阶非线性自回归模型x t =(x t-1,x t-2,…,x t-p )+e t ,t=1,2,… (1.15)仿照(1.6)至(1.9)式的扩张的方法, 我们引入如下记号( x t-1,x t-2,…,x t-p )⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----1121,...,,(p t t p t t t x x x x x ϕ, (1.16)我们得到与(1.15)式等价的模型X t =(X t-1) +e t U, t=1,2,… (1.17)但是, 我们再也得不出(1.9)至(1.14)式的结果,至此我们已将看出, 从线性到非线性自回归模型有实质性差异, 要说清楚它们,并不是很简单的事情. 从数学角度而言, 讨论线性自回归模型可借用泛函分析方法, 然而, 讨论非线性自回归模型, 则要借用马尔可夫链的理论和方法. 这也正是本讲座要介绍的主要内容.2. 线性时间序列定义的多样性现在简单叙述一下非线性时间序列定义的复杂性, 它与线性时间序列的定义有关. 前一小节中(1.12)式所显示的线性时间序列, 只是一种定义方式. 如果改变对系数k的限制条件, 就会给出不同的定义. 更为重要的是, 在近代研究中, 将(1.12)式中的i.i.d.序列{e t}放宽为平稳鞅差序列, 这在预报理论中很有意义.无论引用哪一种线性时间序列定义, 都对相应的序列的性质有所研究, 因为其研究成果可用于有关的线性时间序列模型解的特性研究. 事实上, 已经有丰富的成果被载入文献史册.依上所述可知, 由于线性时间序列定义的多样性, 必然带来非线性时间序列定义的复杂性. 这里需要强调指的是, 对于非线性时间序列, 几乎没有文章研究它们的一般性质, 这与线性时间序列情况不同. 于是人们要问, 我们用哪些工具来研究非线性时间序列模型解的特性呢? 这正是本次演讲要回答的问题. 确切地说, 我们将介绍马尔可夫链, 并借助于此来讨论非线性自回归模型解的问题.第二章. 非线性时间序列模型1. 概论从(1.12)式可见，一个线性时间序列{x t}, 被{e t}的分布和全部系数i 所决定. 在此有无穷多个自由参数，这对统计不方便，因此人们更关心只依赖有限个自由参数的线性时间序列，这就是线性时间序列的参数模型. 其中最常用的如ARMA模型. 对于非线性时间序列而言, 使用参数模型方法几乎是唯一的选择. 由于非线性函数的多样性, 带来了非线性时间序列模型的多样性. 但是,迄今为止被研究得较多, 又有应用价值的非线性时序模型, 为数极少, 而且主要是针对非线性自回归模型. 在介绍此类模型之前, 我们先对非线性时序模型的分类作一概述.通用假定: {t}为i.i.d.序列，且E t=0, 而且t与{x t-1, x t-2,…}独立.可加噪声模型:x t=(x t-1,x t-2,…)+t,t=1,2,…(2.1)其中(…)是自回归函数. 当它仅依赖于有限个未知参数时, 记此参数向量为, 其相应的(2.1)模型常写成x t=(x t-1,x t-2,…;)+t,t=1,2,…(2.2)否则, 称(2.1)式称为非参数模型.关于(2.1)(2.2)的模型的平稳性, 要在下一章讨论, 但是, 它有类似于线性AR模型的几个简单性质, 是重要的而且容易获得的, 它们是:E(x t|x t-1,x t-2,…)=E{(x t-1,x t-2,…)+t|x t-1,x t-2,…}=(x t-1,x t-2,…)+E(t|x t-1,x t-2,…)=(x t-1,x t-2,…) (2.3)var{x t|x t-1, x t-2 , …}E{[x t-(x t-1,…)]2|x t-1, x t-2 , …} = E{t2|x t-1, x t-2 , …}= E t2=2. (2.4)P{x t<x|x t-1,x t-2, …}= P{(x t-1,…)+t<x|x t-1,x t-2, …}= P{t<x-(x t-1,…)|x t-1,x t-2, …}=F(x-(x t-1,…)). (2.5)其中F是t的分布函数.带条件异方差的模型:x t=(x t-1,x t-2,…)+S(x t-1,x t-2,…)t,t=1,2,…(2.6)其中(…)和S(…)也有限参数与非参数型之分, 这都是不言自明的. 另外, (2.6)式显然不属于可加噪声模型. 但是, 它比下面的更一般的非可加噪声模型要简单得多. 这可通过推广(2.3)(2.4)(2.5)式看出, 即有,E(x t|x t-1,x t-2,…)=E{(x t-1,x t-2,…)+S(x t-1,x t-2,…)t|x t-1,x t-2,…}=(x t-1,x t-2,…)+S(x t-1,x t-2,…)E{t|x t-1,x t-2,…}=(x t-1,x t-2,…) . (2.3)’var{x t|x t-1, x t-2 , …}E{[x t-(x t-1,…)]2|x t-1, x t-2 , …} =E{S2(x t-1,x t-2,…)t2|x t-1, x t-2 , …}=S2(x t-1,x t-2,…)E{t2|x t-1, x t-2 , …}=S2(x t-1,x t-2,…)2. (2.4)’P{x t<x|x t-1,x t-2, …}=P{(x t-1,…)+S(x t-1,…)t<x|x t-1, x t-2 , …}= P{t<[x-(x t-1,…)]/S(x t-1,…)}=F([x-(x t-1,…)]/S(x t-1,…)).(2.5)’一般非线性时序模型:x t=(x t-1,x t-2,…; t, t-1,…)t=1,2,…(2.7)其中(…)也有参数与非参数型之区别, 这也是不言自明的. 显然, (2.7)式既不是可加噪声模型, 也不属于(2.6)式的带条件异方差的模型. 虽然, 它可能具有条件异方差性质. 相反, 后两者都是(2.7)式的特殊类型. 虽说(2.7)式是更广的模型形式, 在文献中却很少被研究. 只有双线性模型作为它的一种特殊情况, 在文献中有些应用和研究结果出现. 现写出其模型于后, 可供理解其双线性模型的含义x t=j=1p j x t-j+j=1q j t-j+i=1P j=1Q ij t-i x t-j.2. 非线性自回归模型在前一小节中的(2.1)和(2.2)式就是非线性自回归模型, 而且属于可加噪声模型类. 在这一小节里, 我们将介绍几种(2.2)式的常见的模型.函数后的线性自回归模型:f(x t)=α1f(x t-1)+α2f(x t-2)+...+αp f(x t-p)+εt,t=1,2,…(2.8)其中f(.)是一元函数, 它有已知和未知的不同情况, 不过总考虑单调增函数的情况, α=(α1,α2,…,αp)是未知参数. 在实际应用中, {x t}是可获得量测的序列.当f(.)是已知函数时, {f(x t)}也是可获得量测的序列, 于是只需考虑y t=f(x t)所满足的线性AR模型y t=α1y t-1+α2y t-2+...+αp y t-p+εt,t=1,2,…(2.9)此时可不涉及非线性自回归模型概念. 在宏观计量经济分析中, 常常对原始数据先取对数后, 再作线性自回归模型统计分析, 就属于此种情况. 这种先取对数的方法, 不仅简单, 而且有经济背景的合理解释,它反应了经济增长幅度的量化规律. 虽然在统计学中还有更多的变换可使用, 比如Box-Cox变换, 但是, 由于缺少经济背景的合理解释, 很少被使用. 由此看来, 当f(.)有实际背景依据时, 可以考虑使用(2.7)式的模型.当f(.)是未知函数时, {f(x t)}不是可量测的序列, 于是只能考虑(2.8)模型. 注意f(.)是单调函数, 可记它的逆变换函数为f-1(.), 于是由(2.8)模型可得x t= f-1(α1f(x t-1)+α2f(x t-2)+...+αp f(x t-p)+εt),t=1,2,…(2.9)’此式属于(2.7)式的特殊情况, 此类模型很少被使用. 取而代之是考虑如下的模型x t=α1f(x t-1)+α2f(x t-2)+...+αp f(x t-p)+εt,t=1,2,…(2.10)其中f(.)是一元函数, 也有已知和未知之分, 可不限于单调增函数. 此式属于(2.1)式的特殊情况, 有一定的使用价值.当(2.10)式中的f(.)函数是已知时, 此式还有更进一步的推广模型,x t=α1f1(x t-1,…,x t-s)+α2f2(x t-1,…,x t-s)+...+αp f p(x t-1,…,x t-s)+εt,t=1,2,…(2.11)其中f k(…)(k=1,2,…,p)是已知的s元函数. 例如, 以后将要多次提到的如下的模型:x t =α1I(x t-1<0)x t-1+α2I(x t-1≥0)x t-1+εt ,t=1,2,… (2.12)其中I(.)是示性函数. 此模型是分段线性的, 是著名的TAR 模型的特殊情况. 为了有助于理解它, 我们写出它的分段形式:x t =.0,0,,111211≥<⎩⎨⎧++--t t t t x x x x εαεα t=1,2,…请注意, (2.8)(2.10)和(2.11)式具有一个共同的特征, 就是未知参数都以线性形式出现在模型中. 这一特点在统计建模时带来极大的方便. 此类模型便于实际应用. 但是, 对于{x t }而言不具有线性特性, 所以, 讨论它们的平稳解的问题, 讨论它们的建模理论依据问题,都需要借助于马尔可夫链的工具.已知非线性自回归函数的模型:x t =(x t-1,x t-2,…,x t-p ;)+t ,t=1,2,… (2.13)其中(…)是p 元已知函数, 但是其中含有未知参数=(1,2,…,p ).一般说来, 在一定范围内取值.例如,x t =tt t x x εαα++--212111, t=1,2,… 其中=(1,2)是未知参数, 它们的取值范围是: -<<, 0<.这里需要指出, 使用上式的模型, 不仅要借助于马尔可夫链的工具, 而且在统计建模时遇到两种麻烦, 其一是参数估计的计算麻烦, 二是确定(…)函数的麻烦. 一般来说, 只有根据应用背景能确定(…)函数时, 才会考虑使用此类模型.广义线性模型(神经网络模型):x t=(1x t-1+2x t-2+…+p x t-p)+t,t=1,2,…(2.14)其中(.)是一元已知或未知函数, 参数=(1,2,…,p)总是未知的. 为保证模型的唯一确定性, 或者说是可识别性, 要对作些约定, 其一, ||||=1, 其二, =(,,…,p)中第一个非零分量为正的. 不难2理解, 若不加这两条约定, 模型(2.14)不能被唯一确定.当(.)是一元已知函数时, 与神经网络模型相通.当(.)是一元未知函数时, 与回归模型中的PP方法相通.除了以上两类模型外, 还有(2.1)式的非参数自回归模型, 以及从统计学中引入的半参数自回归模型. 对它们的统计建模更困难. 本讲座主旨在于介绍如何用马尔可夫链的工具, 描述非线性自回归模型的基本特性问题, 对这类模型不再仔细讨论.。
抄完温师兄的笔记,觉得蛮过瘾;于是继续抄抄抄...这两天终于抄累了,决定不再抄了.已经整理成电子版的,尽量发文发上来,就此作罢;天知道怎么会抄e版笔记也会抄上瘾?看来真有点控制不住自己,就跟小时候逃课去打街机一个德性...再不抄了,就此作罢.非线性时间序列的例子1.Logistic模型x n+1=Rx n(1-x n)R=1.5时,不管初始状态x0在何处,随时间的演化,系统都将单调地趋向于1/3,R=2.9时,不管初始状态x0在何处,随时间的演化,系统都将交替地趋向于19/29,Logistic模型R=3.3时, 不管初始状态x0在何处,随时间的演化,系统都将在0.48和0.82两个状态之间周期性地变化,R=4时,随时间的演化,系统将出现不规则的振荡,看起来好像是随机的-- ->表明系统对初值具有非常敏感的依赖性,也说明这样的系统只能进行短期预测,要进行较长时间的预测会变得不正确.2.弹簧振子受迫振动3.Lorenz系统dx/dt=sigma (y-z)dy/dt=x(r-z)-ydz/dt=xy-bz取sigma=10,r=28,b=8/3时,系统是混沌的.4.实际问题中的实测时间序列股票指数时间序列太阳黑子数时间序列Chapter 2:单变量非线性时间序列分析例2.1 Henon映射:x n+1=1-1.4x n2+y ny n+1=0.3x n该系统实际上只与状态变量x n的前两个时刻的状态有关.相空间重构的基本原理是F.Takens和R.Mane的延迟嵌入定量,它建立了观测信号系统时间波动和动力系统特征之间的桥梁.基本思想:通过观测或实验获得单变量时间序列{x n},做以下相空间重构:x n=(x n,x n-tao,…,x n-(m-1)*tao)从而形成m维状态空间,在重构的m维状态空间中可以建立数学模型:x n+1=G(x n)F.Takens和R.Mane证明了只要适当选取m和tao,原未知数学模型的混沌动力系统的几何特征与重构的m维状态空间的几何特征是等价的,它们具有相同的拓扑结构,这意味着原未知数学模型的混沌动力系统中的任何微分或拓扑不变量可以在重构的状态空间中计算,并且可以通过在重构的m维状态空间中建立数学模型对原未知数学模型的动力系统进行预测,进一步解释/分析/指导原未知数学模型的动力系统.相空间重构设动力系统是由非线性差分方程:z n+1=F(z n)表示的离散系统,或者是由微分方程d z(t)/dt = F(z(t))表示的连续系统,其中z n或z(t)是系统在时刻n或t的状态向量,F(.)是向量值函数.时间序列{x n}是观测到的系统某一维输出,即:x n=h(z n)+w n,或:x n=x(t0+nΔt)=h*z(t0+nΔt)++w n,式中,h(.)是多元数量值函数；w n为在观测或者测量过程中由于技术手段不完善或者精度不够引起的测量噪声.根据F.Takens的定理,当w n=0时,观察到的时间序列{x n}以向量:x n=(x n,x n-tao,…,x n-(m-1)*tao)形成m维空间,只要m>=2d+1,动力系统的几何结构可以完全打开,其中d是系统中吸引子的维数,tao是正整数,称为延迟时间间隔.条件m>=2d+1是动力系统重构的充分但不必要条件,获得动力系统重构的整数m叫做嵌入维数.状态空间中x n- ->x n+1的演化反映了未知动力系统z n- ->z n+1或z(t)- ->z(t+1)的演化,并且状态空间R m中吸引子的几何特征与原动力系统的几何特征等价,这意味着原动力系统中任何微分或拓扑不变量可以重构的状态空间中计算.F.Takens 的定理是在无噪声的情况下考虑的,w n=0,后来T.Sauer等把延迟嵌入定理推广到了具有噪声的情形.对一组长为N的实测时间序列{x n}n=1N,由x n=(x n,x n-tao,…,x n-(m-1)*tao)可构造出m维状态向量:x n=(x n,x n-tao,…,x n-(m-1)*tao) in R m, n=N0,N0+1,…,N其中N0=(m-1)*tao+1,tao是延迟时间间隔.在R m中在L2或L infinity范数定义x i到x j的距离.为了能在重构的R m空间中刻画原动力系统的性质,需正确地确定延迟时间间隔tao和嵌入维数m.延迟时间间隔的确定由延迟嵌入定理可知,在时间序列无限长,无噪声,无限精确的情况相,可以任意选择tao,但实测时间序列是有限长的,且一般都有噪声污染和测量误差,只能根据经验来选择tao.选择tao 的基本思想是使x n与x n+tao具有某种程度的独立但又不完全相关,以便它们能在重构的相空间中作为独立的坐标处理.如果tao太大,则x n与x n+tao的值充分靠近,以至于不能区分它们,从实际观点看不能提供两个独立的坐标,导致吸引子重构非常靠近相空间中的”对角线”,重构的相空间可能总是杂乱无规则的；如果tao太大, x n与x n+tao可能会不相关,吸引子轨道会投影在两个完全不相关的方向上,不能反映相空间中轨线的真实演化规则.鉴于此,需要选择一个比较合适的延迟时间间隔tao.目前,可以使用的方法有很多,但从计算复杂性和使用的简便性等角度看,比较常用的方法主要有自相关函数法和平均互信息法.1.自相关函数法基本思想是要考察观测量x n与x n+tao与平均观测量的差之间的线性相关性,即如果假设:x n+tao– x-bar = C L(tao) (x n– x-bar)其中:x-bar=1/N Σn=1N x n (算术平均),则使:Σn=1N [x n+tao– x-bar - C L(tao) (x n– x-bar)]2,最小的C L(tao)为:C L(tao)=A/B;A=1/N Σn=1N (x n+tao– x-bar)(x n– x-bar)B=1/N Σn=1N (x n– x-bar)2;称这样的C L(tao)为线性自相关函数.取C L(tao)第一次为零时的tao为延迟时间间隔,此时在平均意义下, x n与x n+tao是线性无关的.自相关函数法是比较简单的寻找时间延迟tao的一种方法,但这种方法只考虑到时间序列中线性关系,至于非线性关系并不清楚,所以并不适合所有情况.特别当自相关函数变化十分缓慢时,选择会非常困难.2.平均互信息法不同于自相关函数法,平均互信息法将非线性关系也考虑在内,这种方法的根据是可从事件b j 在B中发生的概率中得到关于a j在集A中发生概率的信息.I(tao)= 1/N Σn=1N P(x n, x n+tao) log2 [P(x n, x n+tao)/(p(x n)p(x n+tao))]式中,P(x n),P(x n+tao),P(x n,x n+tao)为概率.概率P(x n),P(x n+tao)可以通过计算时间序列的直方图获得,联合概率P(x n,x n+tao)可以通过计算时间序列的二维直方图获得,利用计算机可以很方便地计算观测时间序列的平均互信息.文献[5]建议选择I(tao)的第一个局部最小时的tao为延迟时间间隔,因为此时产生的冗余最小,产生了最大的独立性.与自相关函数法相比,平均互信息法考虑了非线性依赖性,但仍有其局限性,如有时可能无局部最小或对某些例子特别不合适.除此之外,选择tao的方法还有重构展开法,高阶关联法,通过分析整体和局部混沌吸引子行为获得优化延迟时间的填充因子法等多种方法,这些方法都有各自的特点,但实际应用中用得较多的还是自相关函数法和平均互信息法.嵌入维数的确定已从理论上证明m>=2d+1时可获得一个吸引子的嵌入,其中d是吸引子的分形维数,但这只是一个充分条件,对观测时间序列选择m没有帮助.如果仅仅是计算关联维数,已证明了对无噪声,无限长的时间序列,只要取m为大于关联维数d的最小整数即可,但对长度有限且具噪声的时间序列,m要比d大得多.如果m选得太小,则吸引子可能折叠以致在某些地方自相交,这样在相交区域的一个小领域内可能会饮食来自吸引子不同部分的点;如果m选得太大,理论上是可以的,但在实际应用中,随着m的增加会大大增加吸引子几何不变量(如关联维数,Lyapunov指数)的计算工作量,且噪声和舍入误差的影响会大大增加.1.试算法通过逐步增加计算过程中的嵌入维数,观察什么时候某些几何不变量(例如,关联积分/关联维数/Lyapunov指数等)停止变化的方法.从理论上来讲,由于这些几何不变量是吸引子的几何性质,当m大于最小嵌入维数时,几何结构被完全打开,因此这些不变量与嵌入维数无关,取吸引子的几何不变量停止变化时的m为最小维数.这种方法的缺点是对数据要求较高(无噪声),计算量大且比较主观.例如,P.Grassberger通过增加嵌入维数m,计算关联积分C N(r,m,tao),取当关联积分C N(r,m,tao)不再变化时的m为嵌入维数.2.虚假邻点法虚假邻点法建立在以下事实的基础上:选择太小的嵌入维数将导致那些在原相空间中离得比较远的点会在重构的相空间中靠近.其基本思想是当嵌入维数从m变化到m+1时,考察轨线x n邻点中哪些是真实的邻点,哪些是虚假的邻点,当没有虚假邻点时,可以认为几何结构被完全打开.设x n的最近邻点为x yita(n),当嵌入维数从m增加到m+1时,它们之间的距离从d(m)变为d(m+1),若d(m+1)比d(m)大很多,可以为是由于高维吸引子中两个不相邻的点在投影到低维轨线上时变成相邻的两点造成的,因此这样的邻点是虚假的.阈值R tol.观测时间序列通常具有噪声且长度有限,所以仅仅用上面的标准判别虚假最近邻点会不正确,为此M.B.Kennel等提出了增加以下标准,阈值A tol.让m从1开始增加,计算每个m时的虚假最近邻点的比例,直到虚假最近邻点的比例小于5%或虚假最近邻点不再随着m的增加而减少时,可以认为吸引子几何结构完全打开(???????是为何意???????),此时的m为嵌入维数.从几何的观点来看,这是一种较好的方法,但在判断虚假邻点时阈值的不同选取会导致不同的结果,因此具有较大的主观性.阈值应当由时间序列的方差确定,因此,不同的时间序列有不同有阈值,这意味洋着要给出一个合适和合理的阈值是非常困难的甚至是完全不可能的.3.改进的虚假邻点法,文献[15]类似虚假最近邻点法的思想,定义:a(n,m) = d(m+1)infinity / d(m)infinity, 采用L infinity范数记所有a(n,m)关于n的均值值为:E(m)=1/(N-N0+1) Σn=N0N a(n,m),式子x n=(x n,x n-tao,…,x n-(m-1)*tao) in R m, n=N0,N0+1,…,N 是向后重构,而文献[15]是向前重构,所以有所不同,但本质上是一样的.E(m)只依赖于嵌入维数m和延迟时间间隔tao,为了研究嵌入维数从m变为m+1时相空间的变化情况,定义:E1(m)=E(m+1)/E(m),如果当m大于某个m0时,E1(m)停止变化,则m0+1就是重构相空间的最小嵌入维数.对来自于随机系统的时间序列,原则上,随着m的增加,E1(m)将永远不会达到饱和值,但在实际计算中,当m充分大时,很难分辨E1(m)是在缓慢增加还是停止变化.事实上,由于获得的观测时间序列是有限长的,可能会出现虽然是随机时间序列,但E1(m)会在某一m处停止变化.为了解决这一问题,文献[15]定义了量E*(m):记E2(m)= E*(m+1)/E*(m),对随机时间序列,由于将来的值与过去的值独立,对任何m,E2(m)将等于1,而对确定性系统的观测时间序列,E2(m)显示与m有关,不可能为常数.因此,文献[15]建议可以通过同时计算E1(m)与E2(m)来确定时间序列相空间重构的最小嵌入维数,同时也区分了时间序列是来自于确定性系统还是随机系统.除上述方法外,确定嵌入维数的方法还有关联积分法,奇异值分解以及上述各种的改进方法.2.3几何不变量的计算分形维数的定义有很多种,从时间序列的角度看,关联维数是易于计算的一种分形维数(G-P算法以及Kolmogorov熵公式) .关联维数是系统复杂性程度的一种很好的度量.一般认为,大于关联维数的下一个整数是刻画系统所需的独立变量的个数,这为从时间序列恢复原复杂系统确定了一个框架.Lyapunov指数(轨线法)度量了复杂系统的预测性,定量地刻画了初始靠近的状态空间轨线的指数发散.在确定性系统中,关联维数就是生成相应复杂系统所必需的独立变量的个数,规则的确定性系统有整数关联维数,而混沌系统有非整数关联维数,大于此关联维数的下一个整数就是系统的独立变量的个数.但是某些关联的随机过程中也有非整数维数[24].文献[25]证明了非整数关联维数不能成为混沌判断的充分条件,因为分形的Browian运动,虽然不是混沌的,但也有非整数关联维数.关联维数G-P算法:(经典方法)关联积分:C N(r,τ,m)如果在r的某一区间段内,有C N(r,τ,m)∝r d,则称d是关联维数,这样定义的d就是近似刻产生时间序列的复杂系统复杂程度的某种维数.d就是双对数图ln C N(r,τ,m) – ln r图的线性部分的分辨率,由于连续采样点之间的相关性,会造成”肩峰”效应,为了消除这种效应,文献[27]对关联积分作了修改,忽略了嵌入空间中非常靠近的点对关联积分的贡献,只考虑满足|i-j|≥w的点,其中w>τ(2/N)2/m,特别取w=τ即可.实际应用中,关联维数的计算是非常耗费时间的,为了改善前面算法的计算效率,文献[35]提出了一种修改算法.在关联积分中,较短的距离起着更有意义的作用,因此选取r的截断距离r0,这样可以把计算时间从O(N2)减到O(Nlog2N).当关联维数的值较大时,所需的时间序列要求较长,而实际问题中,观测或实验获得的时间序列一般都比较短,为解决这一问题,文献[30]利用极大似然法估计关联维数的方法就有对数据要求相对较少的优点,这一方法的关键在于r0的选取,较小时,可计算的点减少,则估计变得不可靠；较大时,虽然可以产生较稳定的结果,但由于C(r)=(r/r0)d, (0<r≤r0)的距离分布方差使结果产生较大的偏差,文献[30]详细给出了利用χ2测试确定r0的一种方法.Kolmogorov熵K1和Renyi熵K q显然有:lim q->∞K q=K1K q是关于q单调减少的,特别q=2时,就是关联积分,因此可由关联积分计算K2.它可以作为K1的一个下界.Lyapunov指数混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性，两个相差无几的初值所产生的轨迹，随着时间的推移按指数方式分离，lyapunov指数就是定量的描述这一现象的.如果最大Lyapunov指数是正的,意味着相邻的轨线按指数发散,即系统是混沌的.对观测获得的混沌时间序列,最大Lyapunov指数可由A.Wolf等提出的轨线法计算[20],而[41,42]diverge参考资料:/2007/03/wolflyapunov.html/wiki/Lyapunov_exponent/LyapunovCharacteristicExponent.html2.4 观测时间序列平稳性的检验“弱平稳性”的概念2.5基于观测时间序列的系统非线性性检验2.6基于观测时间序列的系统确定性检验2.7观测时间序列噪声处理技术Chapter 3: 基于观测时间序列的系统非线性性检验Chapter 4: 多变量时间序列相空间重构Chapter 5: 多变量非线性时间序列预测方法Chapter 6: 非线性时间序列分析法在证券市场中的应用……。
非线性时间序列分析方法与模型时间序列分析是一种研究随时间变化的数据模式和趋势的统计方法。
在传统的时间序列分析中，线性模型被广泛应用，但是线性模型无法捕捉到一些复杂的非线性关系。
因此，非线性时间序列分析方法和模型的发展成为了研究的热点。
一、非线性时间序列分析方法的发展1.1 非线性时间序列分析的起源非线性时间序列分析方法的起源可以追溯到20世纪60年代。
当时，经济学家和统计学家开始发现一些经济和金融数据中存在着非线性关系，传统的线性模型无法很好地解释这些数据。
这引发了对非线性时间序列分析方法的研究兴趣。
1.2 常用的非线性时间序列分析方法随着研究的深入，许多非线性时间序列分析方法被提出和应用。
其中，最常用的方法包括：傅里叶变换、小波分析、自回归条件异方差模型（ARCH）、广义自回归条件异方差模型（GARCH）、支持向量机（SVM）等。
二、非线性时间序列模型的应用2.1 ARCH和GARCH模型ARCH和GARCH模型是用于建模金融时间序列数据的非线性模型。
ARCH模型通过引入条件异方差来捕捉金融数据中的波动性特征，而GARCH模型在ARCH 模型的基础上进一步考虑了波动性的长期记忆效应。
2.2 小波分析小波分析是一种将时间序列分解成不同频率的成分的方法。
通过小波分析，可以将时间序列的低频和高频成分分离出来，从而更好地理解时间序列的特征和趋势。
2.3 支持向量机支持向量机是一种机器学习方法，在非线性时间序列分析中得到了广泛应用。
支持向量机通过将时间序列映射到高维空间，并在该空间中构建超平面来进行分类和回归分析。
三、非线性时间序列分析方法的优势和局限性3.1 优势非线性时间序列分析方法能够更好地捕捉到数据中的非线性关系，提高模型的预测精度。
这对于金融市场的预测和风险管理具有重要意义。
3.2 局限性非线性时间序列分析方法的建模过程较为复杂，需要较大的计算量和数据量。
此外，非线性时间序列分析方法对初始条件较为敏感，对于数据的噪声和异常值较为敏感。
