非线性规划的MATLAB解法及其应用

matlab解决⾮线性规划问题（凸优化问题）当⽬标函数含有⾮线性函数或者含有⾮线性约束的时候该规划问题变为⾮线性规划问题，⾮线性规划问题的最优解不⼀定在定义域的边界，可能在定义域内部，这点与线性规划不同；例如：编写⽬标函数，定义放在⼀个m⽂件中；编写⾮线性约束条件函数矩阵，放在另⼀个m⽂件中；function f = optf(x);f = sum(x.^2)+8;function [g, h] = limf(x);g = [-x(1)^2+x(2)-x(3)^2x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; %⾮线性不等式约束h = [-x(1)-x(2)^2+2x(2)+2*x(3)^2-3]; %⾮线性等式约束options = optimset('largescale','off');[x y] = fmincon('optf',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],...'limf',options)输出为：最速下降法（求最⼩值）：代码如下：function [f df] = detaf(x);f = x(1)^2+25*x(2)^2;df = [2*x(1)50*x(2)];clc,clear;x = [2;2];[f0 g] = detaf(x);while norm(g)>1e-6 %收敛条件为⼀阶导数趋近于0p = -g/norm(g);t = 1.0; %设置初始步长为1个单位f = detaf(x+t*p);while f>f0t = t/2;f = detaf(x+t*p);end %这⼀步很重要，为了保证最后收敛，保持f序列为⼀个单调递减的序列，否则很有可能在极值点两端来回震荡，最后⽆法收敛到最优值。

x = x+t*p;[f0,g] = detaf(x);endx,f0所得到的最优值为近似解。

MATLAB优化应用非线性规划非线性规划是一类数学优化问题，其中目标函数和约束条件都是非线性的。

MATLAB作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的工具和函数，可以用于解决非线性规划问题。

本文将介绍如何使用MATLAB进行非线性规划的优化应用，并提供一个具体的案例来演示。

一、MATLAB中的非线性规划函数MATLAB提供了几个用于解决非线性规划问题的函数，其中最常用的是fmincon函数。

fmincon函数可以用于求解具有等式约束和不等式约束的非线性规划问题。

其基本语法如下：x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)其中，fun是目标函数，x0是变量的初始值，A和b是不等式约束的系数矩阵和右端向量，Aeq和beq是等式约束的系数矩阵和右端向量，lb和ub是变量的上下界，nonlcon是非线性约束函数，options是优化选项。

二、非线性规划的优化应用案例假设我们有一个工厂，需要生产两种产品A和B，目标是最大化利润。

产品A 和B的生产成本分别为c1和c2，售价分别为p1和p2。

同时，我们需要考虑两种资源的限制，分别是资源1和资源2。

资源1在生产产品A和B时的消耗分别为a11和a12，资源2的消耗分别为a21和a22。

此外，产品A和B的生产量有上下限限制。

我们可以建立以下数学模型来描述这个问题：目标函数：maximize profit = p1 * x1 + p2 * x2约束条件：c1 * x1 + c2 * x2 <= budgeta11 * x1 + a12 * x2 <= resource1a21 * x1 + a22 * x2 <= resource2x1 >= min_production_Ax2 >= min_production_Bx1 <= max_production_Ax2 <= max_production_B其中，x1和x2分别表示产品A和B的生产量，budget是预算，min_production_A和min_production_B是产品A和B的最小生产量，max_production_A和max_production_B是产品A和B的最大生产量。

题 目 非线性规划的MATLAB 解法及其应用（一） 问题描述非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。

非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。

70年代又得到进一步的发展。

非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。

在经营管理、工程设计、科学研究、军事指挥等方面普遍地存在着最优化问题。

例如：如何在现有人力、物力、财力条件下合理安排产品生产，以取得最高的利润；如何设计某种产品，在满足规格、性能要求的前提下，达到最低的成本；如何确定一个自动控制的某些参数，使系统的工作状态最佳；如何分配一个动力系统中各电站的负荷，在保证一定指标要求的前提下，使总耗费最小；如何安排库存储量，既能保证供应，又使储存 费用最低；如何组织货源，既能满足顾客需要，又使资金周转最快等。

对于静态的最优化 问题，当目标函数或约束条件出现未知量的非线性函数，且不便于线性化，或勉强线性化后会招致较大误差时，就可应用非线性规划的方法去处理。

具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。

非线性规划研究一个n 元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。

目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。

本实验就是用matlab 软件来解决非线性规划问题。

（二） 基本要求掌握非线性规划的MATLAB 解法,并且解决相关的实际问题。

题一 ：对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？题二： 某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.符号说明：z(x 1,x 2)表示总利润；p 1，q 1，x 1分别表示甲的价格、成本、销量； p 2，q 2，x 2分别表示乙的价格、成本、销量； a ij ，b i ，λi ,c i （i ，j =1，2）是待定系数.题三：设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x 万元, 则可得效益x 万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行, 年利率为10%. 试制定出资金的使用计划, 以使4年效益之和为最大.（三） 数据结构题一:设剪去的正方形的边长为x ，则水槽的容积为：x x )23(2-;建立无约束优化模型为：min y=-x x )23(2-， 0<x<1.5题二：总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,则问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使总利润z 最大.为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2的极值. 显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我们把它作为原问题的初始值.题三：设变量i x 表示第i 年所使用的资金数,则有 4,3,2,1,04.5321.121.1331.14841.121.14401.1400..max 43213212114321=≥≤+++≤++≤+≤+++=i x x x x x x x x x x x t s x x x x z i（四） 源程序题一：编写M 文件fun0.m:function f=fun0(x)f=-(3-2*x).^2*x;主程序为wliti2.m:[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);xmax=xfmax=-fval题二：建立M-文件fun.m:function f = fun(x)y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1); y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2); f=-y1-y2;输入命令:x0=[50,70];x=fminunc(‘fun ’,x0),z=fun(x)题三：建立M 文件 fun44.m,定义目标函数:function f=fun44(x)f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));建立M 文件mycon1.m 定义非线性约束：function [g,ceq]=mycon1(x)g(1)=x(1)-400;g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;ceq=0主程序youh4.m 为:x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];[x,fval]=fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1')（五） 运行结果题一:运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.题二：运行结果为:x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.题三：运行结果为：x1=86.2;x2=104.2;x3=126.2;x4=152.8;z=43.1（六） 相关知识用Matlab 解无约束优化问题一元函数无约束优化问题21),(m in x x x x f ≤≤常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)（3）[x ，fval]= fminbnd （...）（4）[x ，fval ，exitflag]= fminbnd （...）（5）[x ，fval ，exitflag ，output]= fminbnd （...）其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。

Matlab求解⾮线性规划，fmincon函数的⽤法总结Matlab求解⾮线性规划，fmincon函数的⽤法总结1.简介在matlab中，fmincon函数可以求解带约束的⾮线性多变量函数(Constrained nonlinear multivariable function)的最⼩值,即可以⽤来求解⾮线性规划问题matlab中，⾮线性规划模型的写法如下min\ f(x) \\ s.t. \begin{equation} \left\{ \begin{array}{**lr**} A \cdot x \leq b \\ Aeq\cdot x =beq\\ c(x)\leq0 \\ ceq(x)=0 \\ lb \leq x \leq ub\end{array} \right. \end{equation} \\ ~\\ f(x)是标量函数,x,b,beq是向量,A,Aeq是矩阵 \\ c(x)和ceq(x)是向量函数2.基本语法[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x的返回值是决策向量x的取值，fval的返回值是⽬标函数f(x)的取值fun是⽤M⽂件定义的函数f(x),代表了(⾮)线性⽬标函数x0是x的初始值A,b,Aeq,beq定义了线性约束 ,如果没有线性约束，则A=[],b=[],Aeq=[],beq=[]lb和ub是变量x的下界和上界，如果下界和上界没有约束，则lb=[],ub=[],也可以写成lb的各分量都为 -inf,ub的各分量都为infnonlcon是⽤M⽂件定义的⾮线性向量函数约束options定义了优化参数，不填写表⽰使⽤Matlab默认的参数设置3.实例⽰例,求下列⾮线性规划：min\ f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+8\\ s.t. \begin{equation} \left\{ \begin{array}{**lr**} x_1^2-x_2+x_3^2\geq0\\ x_1+x_2^2+x_3^2\leq20\\ -x_1-x_2^2+2=0\\ x_2+2x_3^2=3\\ x_1,x_2,x_3\geq0 \end{array} \right. \end{equation}(1)编写M函数fun1.m 定义⽬标函数：function f=fun1(x);f=x(1).^2+x(2).^2+x(3).^2+8;(2)编写M函数fun2.m定义⾮线性约束条件:function [g,h]=fun2(x);g=[-x(1).^2+x(2)-x(3).^2x(1)+x(2).^2+x(3).^3-20];h=[-x(1)-x(2).^2+2x(2)+2*x(3).^2-3];(3)编写主程序函数[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun2')所得结果为：x_1=0.5522,x_2=1.2033,x_3=0.9478\\ 最⼩值y=10.651Processing math: 0%。

Matlab中的数学优化与非线性规划方法数学优化和非线性规划是数学领域中的重要分支，广泛应用于各个科学领域和工程实践中。

Matlab作为一种常用的数学建模和计算软件，对于解决优化和非线性规划问题具有强大的功能和丰富的工具包。

本文将介绍Matlab中的数学优化和非线性规划方法，探讨其原理和应用。

一、Matlab中的数学优化方法数学优化方法旨在寻找一个函数的最大值或最小值，常用的方法包括线性规划、整数规划和非线性规划等。

在Matlab中，优化问题可以通过建立目标函数和约束条件的数学模型来求解。

1.1 线性规划线性规划是一种求解带有线性约束条件的优化问题的有效方法。

在Matlab中，可以使用linprog函数来求解线性规划问题。

该函数采用单纯形法或者内点法等算法，在给定线性约束条件下，寻找目标函数的最小值。

例如，我们考虑一个简单的线性规划问题：最小化目标函数 f = 3x1 + 4x2约束条件为：-5 <= x1 <= 5-3 <= x2 <= 32x1 + 3x2 >= 6首先，我们需要将目标函数和约束条件表示为Matlab中的向量和矩阵形式。

然后，使用linprog函数求解最小值。

1.2 整数规划整数规划是一种求解带有整数变量的优化问题的方法。

在Matlab中，可以使用intlinprog函数来求解整数规划问题。

该函数使用分支定界法或者割平面法等算法，在给定整数约束条件下，寻找目标函数的最小值。

例如，我们考虑一个简单的整数规划问题：最小化目标函数 f = 3x1 + 4x2约束条件为：0 <= x1 <= 50 <= x2 <= 5x1 + x2 = 5在Matlab中，我们可以定义目标函数和约束条件，并使用intlinprog函数求解最小值。

1.3 非线性规划非线性规划是一类求解带有非线性约束条件的优化问题的方法。

在Matlab中，可以使用fmincon函数来求解非线性规划问题。

遗传算法解决非线性规划问题的Matlab程序首先，让我们来了解一下什么是非线性规划问题。

非线性规划问题是指目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数的规划问题。

与线性规划问题不同，非线性规划问题的求解往往没有通用的解析方法，需要借助数值优化算法来找到最优解或近似最优解。

遗传算法是一种基于自然选择和遗传机制的随机搜索算法。

它模拟了生物进化的过程，通过对种群中个体的选择、交叉和变异操作，逐步优化个体，从而找到问题的最优解。

在解决非线性规划问题时，遗传算法将问题的解编码为染色体，通过适应度函数来评估染色体的优劣，然后通过遗传操作不断进化种群，直到找到满意的解。

接下来，我们开始介绍如何在 Matlab 中实现遗传算法来解决非线性规划问题。

首先，我们需要定义问题的目标函数和约束条件。

假设我们要解决的非线性规划问题是：＼＼begin{align}＆＼min f(x) ＝ x_1^2 ＋ x_2^2 2x_1x_2 ＋ 2x_1 4x_2 ＋ 5\＼＆＼text{st ｝ x_1 ＋ x_2 ＼leq 5\＼＆－2 ＼leq x_1 ＼leq 2\＼＆－3 ＼leq x_2 ＼leq 3＼end{align}＼在 Matlab 中，我们可以定义目标函数如下：｀｀｀matlabfunction f ＝ objective(x)f ＝ x(1)＾2 ＋ x(2)＾2 2x(1)x(2) ＋ 2x(1) 4x(2) ＋ 5; end｀｀｀约束条件可以通过定义一个函数来判断：｀｀｀matlabfunction c, ceq ＝ constraints(x)c ＝；ceq ＝；if x(1) ＋ x(2) ＞ 5c ＝ x(1) ＋ x(2) 5;endend｀｀｀然后，我们需要设置遗传算法的参数。

这些参数包括种群大小、最大迭代次数、交叉概率、变异概率等。

｀｀｀matlabpopSize ＝ 50; ％种群大小maxGen ＝ 100; ％最大迭代次数pc ＝ 08; ％交叉概率pm ＝ 01; ％变异概率｀｀｀接下来，我们需要对个体进行编码。

非线性整数规划的遗传算法Matlab程序（附图）通常，非线性整数规划是一个具有指数复杂度的NP问题，如果约束较为复杂，Matlab 优化工具箱和一些优化软件比如lingo等，常常无法应用，即使能应用也不能给出一个较为令人满意的解。

这时就需要针对问题设计专门的优化算法。

下面举一个遗传算法应用于非线性整数规划的编程实例，供大家参考！模型的形式和适应度函数定义如下：这是一个具有200个01决策变量的多目标非线性整数规划，编写优化的目标函数如下，其中将多目标转化为单目标采用简单的加权处理。

function Fitness=FITNESS(x,FARM,e,q,w)%% 适应度函数% 输入参数列表% x 决策变量构成的4×50的0-1矩阵% FARM 细胞结构存储的当前种群，它包含了个体x% e 4×50的系数矩阵% q 4×50的系数矩阵% w 1×50的系数矩阵%%gamma=0.98;N=length(FARM);%种群规模F1=zeros(1,N);F2=zeros(1,N);for i=1:Nxx=FARM{i};ppp=(1-xx)+(1-q).*xx;F1(i)=sum(w.*prod(ppp));F2(i)=sum(sum(e.*xx));endppp=(1-x)+(1-q).*x;f1=sum(w.*prod(ppp));f2=sum(sum(e.*x));Fitness=gamma*sum(min([sign(f1-F1);zeros(1,N)]))+(1-gamma)*sum(mi n([sign(f2-F2);zeros(1,N)]));针对问题设计的遗传算法如下，其中对模型约束的处理是重点考虑的地方function [Xp,LC1,LC2,LC3,LC4]=MYGA(M,N,Pm)%% 求解01整数规划的遗传算法%% 输入参数列表% M 遗传进化迭代次数% N 种群规模% Pm 变异概率%% 输出参数列表% Xp 最优个体% LC1 子目标1的收敛曲线% LC2 子目标2的收敛曲线% LC3 平均适应度函数的收敛曲线% LC4 最优适应度函数的收敛曲线%% 参考调用格式[Xp,LC1,LC2,LC3,LC4]=MYGA(50,40,0.3)%% 第一步：载入数据和变量初始化load eqw;%载入三个系数矩阵e,q,w%输出变量初始化Xp=zeros(4,50);LC1=zeros(1,M);LC2=zeros(1,M);LC3=zeros(1,M);LC4=zeros(1,M);Best=inf;%% 第二步：随机产生初始种群farm=cell(1,N);%用于存储种群的细胞结构k=0;while k %以下是一个合法个体的产生过程x=zeros(4,50);%x每一列的1的个数随机决定for i=1:50R=rand;Col=zeros(4,1);if R<0.7RP=randperm(4);%1的位置也是随机的Col(RP(1))=1;elseif R>0.9RP=randperm(4);Col(RP(1:2))=1;elseRP=randperm(4);Col(RP(1:3))=1;endx(:,i)=Col;end%下面是检查行和是否满足约束的过程，对于不满足约束的予以抛弃 Temp1=sum(x,2);Temp2=find(Temp1>20);if length(Temp2)==0k=k+1;farm{k}=x;endend%% 以下是进化迭代过程counter=0;%设置迭代计数器while counter%% 第三步：交叉%交叉采用双亲双子单点交叉newfarm=cell(1,2*N);%用于存储子代的细胞结构Ser=randperm(N);%两两随机配对的配对表A=farm{Ser(1)};%取出父代AB=farm{Ser(2)};%取出父代BP0=unidrnd(49);%随机选择交叉点a=[A(:,1:P0),B(:,(P0+1):end)];%产生子代ab=[B(:,1:P0),A(:,(P0+1):end)];%产生子代bnewfarm{2*N-1}=a;%加入子代种群newfarm{2*N}=b;%以下循环是重复上述过程for i=1:(N-1)A=farm{Ser(i)};B=farm{Ser(i+1)};P0=unidrnd(49);a=[A(:,1:P0),B(:,(P0+1):end)];b=[B(:,1:P0),A(:,(P0+1):end)];newfarm{2*i-1}=a;newfarm{2*i}=b;endFARM=[farm,newfarm];%新旧种群合并%% 第四步：选择复制FLAG=ones(1,3*N);%标志向量，对是否满足约束进行标记%以下过程是检测新个体是否满足约束for i=1:(3*N)x=FARM{i};sum1=sum(x,1);sum2=sum(x,2);flag1=find(sum1==0);flag2=find(sum1==4);flag3=find(sum2>20);if length(flag1)+length(flag2)+length(flag3)>0FLAG(i)=0;%如果不满足约束，用0加以标记endendNN=length(find(FLAG)==1);%满足约束的个体数目，它一定大于等于N NEWFARM=cell(1,NN);%以下过程是剔除不满主约束的个体kk=0;for i=1:(3*N)if FLAG(i)==1kk=kk+1;NEWFARM{kk}=FARM{i};endend%以下过程是计算并存储当前种群每个个体的适应值SYZ=zeros(1,NN);syz=zeros(1,N);for i=1:NNx=NEWFARM{i};SYZ(i)=FITNESS2(x,NEWFARM,e,q,w);%调用适应值子函数endk=0;%下面是选择复制，选择较优的N个个体复制到下一代while k minSYZ=min(SYZ);posSYZ=find(SYZ==minSYZ);POS=posSYZ(1);k=k+1;farm{k}=NEWFARM{POS};syz(k)=SYZ(POS);SYZ(POS)=inf;end%记录和更新，更新最优个体，记录收敛曲线的数据minsyz=min(syz);meansyz=mean(syz);pos=find(syz==minsyz);LC3(counter+1)=meansyz;if minsyz Best=minsyz;Xp=farm{pos(1)};endLC4(counter+1)=Best;ppp=(1-Xp)+(1-q).*Xp;LC1(counter+1)=sum(w.*prod(ppp));LC2(counter+1)=sum(sum(e.*Xp));%% 第五步：变异for i=1:Nif Pm>rand%是否变异由变异概率Pm控制AA=farm{i};%取出一个个体POS=unidrnd(50);%随机选择变异位R=rand;Col=zeros(4,1);if R<0.7RP=randperm(4);Col(RP(1))=1;elseif R>0.9RP=randperm(4);Col(RP(1:2))=1;elseRP=randperm(4);Col(RP(1:3))=1;end%下面是判断变异产生的新个体是否满足约束，如果不满足，此次变异无效 AA(:,POS)=Col;Temp1=sum(AA,2);Temp2=find(Temp1>20);if length(Temp2)==0farm{i}=AA;endendendcounter=counter+1end%第七步：绘收敛曲线图figure(1);plot(LC1);xlabel('迭代次数');ylabel('子目标1的值');title('子目标1的收敛曲线'); figure(2);plot(LC2);xlabel('迭代次数');ylabel('子目标2的值');title('子目标2的收敛曲线'); figure(3);plot(LC3);xlabel('迭代次数');ylabel('适应度函数的平均值');title('平均适应度函数的收敛曲线'); figure(4);plot(LC4);xlabel('迭代次数');ylabel('适应度函数的最优值');title('最优适应度函数的收敛曲线');贴出一幅运行得到的收敛曲线。

MATLAB求解非线性规划非线性规划是一类涉及非线性目标函数或非线性约束条件的数学规划问题。

MATLAB是一种强大的数学计算软件，可以用来求解非线性规划问题。

本文将介绍MATLAB中求解非线性规划问题的方法。

1. 目标函数和约束条件在MATLAB中，非线性规划问题可以表示为以下形式：minimize f(x)subject to c(x)≤0ceq(x)=0lb≤x≤ub其中f(x)是目标函数，c(x)和ceq(x)是不等式和等式约束条件，lb和ub是变量的下限和上限。

2. 求解器MATLAB提供了多种求解器可以用来求解非线性规划问题。

其中常用的有fmincon和lsqnonlin。

lsqnonlin可以用来求解非线性最小二乘问题。

它使用的是Levenberg-Marquardt算法，能够有效地求解非线性最小二乘问题，并且具有较好的收敛性。

3. 示例下面我们来看一个求解非线性规划问题的示例。

假设我们要求解以下非线性规划问题：首先，我们需要定义目标函数和约束条件。

在MATLAB中，我们可以使用anonymous function来定义目标函数和约束条件。

代码如下：f = @(x)x(1)^2+2*x(2)^2+3*x(3)^2;c = @(x)[x(1)+x(2)+x(3)-4, x(1)*x(2)+x(1)*x(3)+x(2)*x(3)-3];ceq = [];lb = [0,0,0];接下来，我们使用fmincon求解非线性规划问题。

代码如下：[x,fval,exitflag,output] = fmincon(f,[1,1,1],[],[],[],[],lb,[],@(x)c(x));其中，第一个参数是目标函数，第二个参数是变量的初值，第三个参数是不等式约束条件，第四个参数是等式约束条件，第五个参数是变量的下限，第六个参数是变量的上限，第七个参数是非线性约束条件，最后一个参数是opts，可以设置其他求解参数。

在matlab 中非线性规划的数学模型可写成一下形式：minf(X)s.t. Ax ≪B Aeq .x =Beq C (x )≪0Ceq x =0其中，f(x)是标量函数；A,B,Aeq,Beq 是相应维数的矩阵和向量；C(x),Ceq(x)是非线性向量函数。

Matlab 中的命令是X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)它的返回值是向量x 。

其中，FUN 是用M 文件定义的函数f(x)。

X0是X 的初始值。

A ，B ，Aeq ，Beq 定义了线性约束AX ≪B ，Aeq*X=Beq ，如果没有线性约束，则A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]。

LB 和UB 是变量x 的下界和上界，如果上界和下界没有约束，则LB=[],UB=[];如果X 无下界，则LB=-inf;如果X 无上界，则UB=inf 。

NONLCON 是用M 文件定义的非线性向量函数C(x),Ceq(x)。

OPTIONS 定义了优化函数，可以使用MATLAB 默认的参数设置。

例求解下列非线性规划问题：max z= X 1+ X 2+ X 3+ X 4 s.t.x 1≪4001.1x 1+x 2≪4401.21x 1+1.1x 2+x 3≪4841.331x 1+1.21x 2+1.1x 3+x 4≪532.4X i≫0,i =1,2,3,4(1)编写M 文件，定义目标函数：function f=fun44(x)f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)) );(2)编写M 文件，定义约束条件function[g,ceq]=mycon1(x)g(1)=x(1)-400;g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;ceq=0(3)编写主程序x0=[1;1;1;1];lb=[0;0;0;0];ub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];[x,fval] = fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'mycon1')输出结果x =86.1883104.2879 126.1883 152.6879fval =-43.0860。

非线性规划及matlab 应用目录1.概念 ............................................................................................................................................... 1 2.二次规划........................................................................................................................................ 1 3.一般非线性规划 ............................................................................................................................ 2 4. 案例：供应与选址 . (4)1.概念定义：如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题．其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．2.二次规划用MATLAB 软件求解,其输入格式如下: 1. x=quadprog(H,C,A,b); 2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); 5. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); 6. [x,fval]=quadprog(...); 7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...); 实例1：2212121122121212min (,)2622..2220,0=--+-++≤-+≤≥≥f x x x x x x x x s tx x x x x x写成标准形式标准型为： Min Z= 21X T HX+c T Xs.t. AX<=b beq X Aeq =⋅ VLB ≤X ≤VUB111222 1 -12min (,) 1 26Tx x z x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212 1 121 2200x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Matlab 命令H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6]; A=[1 1; -1 2]; b=[2;2]; Aeq=[]; beq=[]; VLB=[0;0]; VUB=[];[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)运算结果为：x =0.6667 1.3333 z = -8.22223.一般非线性规划标准型为：min ()..()0()0≤≤=≤≤F X s t AX bG X Ceq X VLB X VUB其中X 为n 维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下： ● x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)● x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)● x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)● x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)● x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options) ● [x,fval]= fmincon(...)● [x,fval,exitflag]= fmincon(...)● [x,fval,exitflag,output]= fmincon(...) 1.fun 为目标函数2.x0为初始值3.A 是不等式约束AX<=b 的系数矩阵4.b 是不等式约束AX<=b 的常数项4.Aeq 是等式约束AeqX=beq 的系数矩阵，5.beq 是等式约束AeqX=beq 的常数项，6.lb 是X 的下限，7.ub 是X 的上限，8.nonlcon 为非线性不等式约束 9.option 为设置fmincon 的参数 注意：fmincon 函数提供了大型优化算法和中型优化算法。

用MATLAB优化工具包解非线性规划2.8 用MATLAB优化工具包解非线性规划用MATLAB优化工具包求解非线性规划时必须先化为如下形式：(NLP)求解程序名为fmincon，其最简单的调用格式为：x = fmincon('fun',x0,A1,b1) （用于不含有等式约束和上下解约束的问题）其最复杂的调用格式为：[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] =fmincon('fun',x0,A1,b1,A2,b2,v1,v2,'nlcon',options,P1,P2, ...)2.8.1 程序fmincon输出变量其中输出变量的含义为：1）x ：最优解2）fval ：最优解处的函数值3）exitflag ：程序结束时的状态指示：>0：收敛0：函数调用次数或迭代次数达到最大值（该值在options中指定）<0：不收敛4) Output: 包含以下数据的一个结构变量funcCount 函数调用次数iterations 实际迭代次数cgiterations 实际PCG迭代次数（大规模计算用）algorithm 实际使用的算法stepsize 最后迭代步长（中等规模计算用）firstorderopt 一阶最优条件满足的情况（目标函数梯度的范数）5) lambda: 包含以下数据（LAGRANGE乘子）的一个结构变量,总维数等于约束条件的个数，其非零分量对应于起作用的约束条件：ineqlin 不等式约束的LAGRANGE乘子eqlin 等式约束的LAGRANGE乘子upper 上界约束的LAGRANGE乘子lower 下界约束的LAGRANGE乘子6) grad: 目标函数梯度7) hessian: 目标函数的hessian矩阵2.8.2 程序fmincon输入参数其中输入变量的含义为：x0为初始解（缺省时程序自动取x0=0）A1,b1,A2,b2,v1,v2：含义见模型（NLP）Fun.m给出目标函数，当GradObj='on'时必须给出其梯度，当Hessian='on'时还必须给出其Jacobi矩阵，一般形式为function [f,g,H] = fun(x)f = ... % objective function valueif nargout > 1g = ... % gradient of the functionif nargout > 2H = ... % Hessian of the functionendnlcon.m给出非线性约束,GradConstr='on'时还给出梯度,一般形式为function [c1,c2,GC1,GC2] = nlcon(x)c1 = ... % nonlinear inequalities at xc2 = ... % nonlinear equalities at xif nargout > 2GC1 = ... % gradients of c1GC2 = ... % gradients of c2endoptions：包含算法控制参数的结构设定（或显示）控制参数的命令为Optimset，有以下一些用法：Optimset //显示控制参数optimset optfun //显示程序'optfun'的控制参数opt=optimset //控制参数设为[]（即缺省值opt=optimset(optfun)// 设定为程序'optfun'的控制参数缺省值Opt=optimset('par1',val1,'par2',val2,...)Opt=optimset(oldopts,'par1',val1,...)opt=optimset(oldopts,newopts)可以设定的参数比较多，对fmincon，常用的有以下一些参数：Diagnostics 是否显示诊断信息（'on' 或'off'）Display 显示信息的级别（'off' ，'iter' ，'final'，'notify'）LargeScale 是否采用大规模算法（'on' 或'off'）MaxIter 最大迭代次数TolCon 约束的误差限TolFun 函数计算的误差限TolX 决策变量的误差限GradObj 目标函数是否采用分析梯度（'on' ，'off'）Jacobian 目标函数是否采用分析Jacob矩阵（'on' ，'off'）MaxFunEvals 目标函数最大调用次数GradConstr 非线性约束函数是否采用分析梯度（'on' ，'off'）2.8.3 注意事项fmincon中输出变量、输入参数不一定写全，可以缺省。

MATLAB⾮线性规划问题⼀．⾮线性规划课题实例1 表⾯积为36平⽅⽶的最⼤长⽅体体积。

建⽴数学模型：设x、y、z分别为长⽅体的三个棱长，f为长⽅体体积。

max f = x y (36-2 x y)/2 (x+y)实例2 投资决策问题某公司准备⽤5000万元⽤于A、B两个项⽬的投资，设x1、x2分别表⽰配给项⽬A、B的投资。

预计项⽬A、B的年收益分别为20%和16%。

同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加⽽增加，已知总的风险损失为2x12+x22+(x1+x2)2.问应如何分配资⾦，才能使期望的收益最⼤，同时使风险损失为最⼩。

建⽴数学模型：max f=20x1+16x2-λ[2x12+x22+(x1+x2)2]s.t x1+x2≤5000x 1≥0,x2≥0⽬标函数中的λ≥0是权重系数。

由以上实例去掉实际背景，其⽬标函数与约束条件⾄少有⼀处是⾮线性的，称其为⾮线性问题。

⾮线性规划问题可分为⽆约束问题和有约束问题。

实例1为⽆约束问题，实例2为有约束问题。

⼆．⽆约束⾮线性规划问题：求解⽆约束最优化问题的⽅法主要有两类：直接搜索法(Search method)和梯度法(Gradient method)，单变量⽤fminbnd,fminsearch,fminunc;多变量⽤fminsearch,fminnuc 1．fminunc函数调⽤格式：x=fminunc(fun,x0)x=fminunc(fun,x0,options)x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2)[x,fval]=fminunc(…)[x,fval, exitflag]=fminunc(…)[x,fval, exitflag,output]=fminunc(…)[x,fval, exitflag,output,grad]=fminunc(…)[x,fval, exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…)说明：fun为需最⼩化的⽬标函数，x0为给定的搜索的初始点。

MATLAB⾮线性规划MATLAB求解⾮线性规划可以使⽤ fmincon 函数，其数学模型可以写成如下形式：x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)其中，fun是⽬标函数，x0是初始值，A，b 规定线性不等式约束条件，Aeq，beq 规定线性等式约束条件，lb 规定可⾏解的数值下限，ub规定可⾏解的数值上限。

nonlcon是包含⾮线性约束条件（C(x)，Ceq(x)）的函数。

使⽤options所指定的优化选项执⾏最⼩化。

例如，使⽤MATLAB计算如下⾮线性规划。

x0 = [0.5,0];A = [1,-2];b = 1;Aeq = [2,1];beq = 1;x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)带有边界约束的，例如：fun = @(x)1+x(1)/(1+x(2)) - 3*x(1)*x(2) + x(2)*(1+x(1));lb = [0,0];ub = [1,2];% 没有线性约束，因此将这些参数设置为 []。

A = [];b = [];Aeq = [];beq = [];% 尝试使⽤⼀个位于区域中部的初始点。

x0 = (lb + ub)/2;x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)带有⾮线性约束的，例如：%% 主函数options=optimset('largescale','off');x = fmincon(@fun,rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[], @nonlcon, options)%% ⽬标函数function f=fun(x)f=sum(x.^2)+8;end%% ⾮线性约束条件function [c,ceq]=nonlcon(x)c=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; %⾮线性不等式约束ceq=[-x(1)-x(2)^2+2x(2)+2*x(3)^2-3]; %⾮线性等式约束end特别注意：⽬标函数为最⼩化函数，fun是⼀个函数，fun接受向量或数组 x，并返回实数标量 f，即在 x 处计算的⽬标函数值。

用Matlab 求解非线性规划1．无约束优化问题)(min x f n Rx ∈，其中向量x 的n 个分量i x 都是决策变量，称)(x f 目标函数。

用Matlab 求解：先建立函数文件mbhs.m ，内容是)(x f 的表达式；再回到Matlab 命令区输入决策变量初值数据x0，再命令[x,fmin]=fminunc(@mbhs,x0) 如：)32(m in 22212x x R x +∈的最优解是.)0,0(T x = 用Matlab 计算，函数文件为 function f=mbhs(x)f=2*x(1)^2+3*x(2)^2;再输入初值 x0=[1;1]; 并执行上述命令，结果输出为 x =？ fmin =？ 略。

2．约束优化问题.),,...,2,1(,0)(),,...,2,1(,0)(..)(min U x L m i x h p i x g t s x f i i Rx n ≤≤===≤∈其中：向量x 的n 个分量i x 都是决策变量，称)(x f 目标函数、)(x g i 等式约束函数、)(x h i 不等式约束函数、L 下界、U 上界。

用Matlab 求解：先把模型写成适用于Matlab 的标准形式.,0)(,0)(,,..)(min U x L x h x g beq x Aeq b Ax t s x f n Rx ≤≤=≤=≤∈ 约束条件中：把线性的式子提炼出来得前两个式子；后三个式子都是列向量。

（如：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===⨯⨯)()()([],[],,,11262x g x g x g beq Aeq b A p ）再建立两个函数文件：目标函数mbhs.m ；约束函数yshs.m再回到Matlab 命令区，输入各项数据及决策变量初值数据x0，执行命令[x,fmin]=fmincon(@mbhs,x0,A,b,Aeq,beq,L,U,@yshs)例：单位球1222≤++z y x 内，曲面xy y x z 1.05.022--+=的上方，平面008.0=-++z y x 之上（不是上面），满足上述三个条件的区域记为D ，求函数)1cos()sin(2-+-+-z e z y x e xy xyz 在D 上的最大值、最大值点。

Matlab ⽆约束⾮线性规划的求解标准形式：min f (X )没有任何的约束条件，在matlab 中，fminsearch() 和 fminunc() 可⽤于求解⾮线性规划。

fminsearch 是⽤单纯形法寻优fminunc 为⽆约束优化提供了⼤型优化和中型优化算法MATLAB 求解⽆约束⾮线性规划的步骤①⾸先建⽴⼀个函数M ⽂件, 如 fun.m ，⽤以储存⽬标函数。

②其次，调⽤格式[x.favl,exitflag,output]=fminunc('fun',X0,options) 或[x.favl,exitflag,output]=fminsearch('fun',X0,options)等号左侧：x:返回最优解。

favl ：返回⽬标函数在最优解 x 点的函数值。

exitflag ：返回算法的终⽌标志。

output ：返回优化算法信息的⼀个数据结构。

等号右侧：第⼀个参数是调⽤⽬标函数储存的⽂件第⼆个参数是决策变量的初始值第三个输⼊参数 options 为设置优化选项参数例：给定初始值为[-1,1],求minf (x )=(4x 21+2x 22+4x 1x 2+2x 2+1)ex 11.编写函数fun.m:function f=fun(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);end 2.输⼊如下：x0=[-1,1];[x,f]=fminunc('fun',x0)3.运⾏结果显⽰：x =0.5000 -1.0000f =3.6609e-16min f (X )min f (x )=(4+2+4+2+1)x 21x 22x 1x 2x 2ex 1。