高中数学必修四学案：2.2.1向量加法运算及其几何意义Word版

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是从数学和物理学中引入的概念，具有大小和方向。

向量通常用字母表示，如\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 等，也可以用箭头表示。

1.2 向量的表示方法向量可以用坐标形式表示，如\(\vec{a} = (a_x, a_y)\)。

向量还可以用图形表示，在坐标系中表示向量的起点和终点。

第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义向量加法是将两个向量相加得到一个新的向量。

如果\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，它们的和\(\vec{c}\) 可以表示为\(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)\)。

2.2 向量加法的几何意义向量加法可以直观地理解为在坐标系中将两个向量的终点相连，得到一个新的向量。

几何上，向量加法表示的是两个向量的位移合成。

第三章：平行向量的加法3.1 平行向量的定义平行向量是指方向相同或相反的向量。

如果两个向量平行，它们的坐标成比例。

3.2 平行向量的加法规则平行向量相加时，可以直接将它们的大小相加，方向不变。

如果\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 是平行向量，\(\vec{a} + \vec{b} = (a + b, c)\)，其中\(a\) 和\(b\) 是向量的大小，\(c\) 是它们的方向。

第四章：向量的减法运算4.1 向量减法的定义向量减法是将一个向量从另一个向量中减去。

如果\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，它们的差\(\vec{d}\) 可以表示为\(\vec{d} = \vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y)\)。

4.2 向量减法的几何意义向量减法可以理解为从起点到终点的位移减去从起点到另一个终点的位移。

2.2.1 向量加法运算及其几何意义
教学教案
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。

1.力的合成？,.OB a b a b a b OA AB OB ++向量叫做和的和记作
即=+=
AC a b 就是与的和，这种方形法则。

练一练：
,a b 如图，已知向量，求作而用三角形法则作图则要
b a b
=+,--a b a b a b b a +=当共线且反向时，（或）
(3),a b b a b
+当不共线时，三角形中两边之和大于第三边，由向量加法的几何意义知：
若两向量互为相反向量,则它
们的和为什么?
O ABCDEF 1：已知为正六边形的中心，作出
/h 如图，一艘船从A 点出发以
的速度向垂直于对岸的抽象为向量问题吗？
()
AB BD CA DC +++=a b b a +=+()()
a b c a b c ++=++。

§2.2 平面向量的线性运算教材分析本节首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只能引入了运算，数的威力才得以充分展现。

类比数的运算，向量也能够进行运算，运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥。

教学中应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算。

平面向量的线性运算包括：向量加法、向量减法、向量数乘运算，以及它们之间的混合运算。

其中加法运算是最基本、最重要的运算，减法、数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算。

向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背景引入的，使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上。

由于向量有方向，在进行运算时，不但要考虑大小，而且要考虑方向，应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别，更好地把握向量加法的特点。

类比数的减法（减去一个数等于加上这个数的相反数），向量减法的实质是：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量；向量数乘运算则是相同向量的连加。

因此，与数的运算的类比，是学习向量的线性运算的重要方法。

向量的线性运算具有深刻的物理背景和几何意义，使得向量在解决物理和几何问题时可以发挥很好的作用。

2.2.1 向量加法运算及其几何意义一、教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.二、教学目标：1、知识与技能：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力。

2.2平面向量的线性运算2．2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．【预习案】1．(1)一条数轴不可表示一个向量；(2)一个点可表示一个向量．2．相等向量应满足大小相等，方向相同；所谓共线向量是指___________________的向量．3．实数的加法对于实数a、b、c其加法交换律为a＋b＝b＋a，其加法结合律为(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量的加法【探究案】问题探究1．三角形法则能求向量：AB→＋BC→＋CD→＋DE→＋EF→的和吗？2．对于非零向量AB→、CD→如何按平行四边形法则求其和？考点一：利用法则求作向量用有向线段表示向量，根据三角形法则作图时，使向量平移到“首尾相接”的位置，根据平行四边形法则作图时，使向量平移到“共起点”的位置，在图形中找到相应的有向线段例一如图，O为正六边形ABCDEF的中心，求作下列向量：(1)OA→＋OE→；(2)AO→＋AB→；(3)AE→＋AB→.互动探究1在本例图形中，求：(1)OE→＋AB→；(2)OE→＋DB→.考点二利用法则化简向量表达式利用向量的运算律，合理交换各向量的位置，使之符合三角形法则或平行四边形法则，从而将表达式化简例二：化简下列各式：(1)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→；(2)(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→.考点三：利用向量证明几何问题把平面几何问题看作向量的运算，利用向量关系证明.例三：在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F、E，使BE＝DF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．互动探究2在本例中证明△ADF≌△CBE.方法技巧1．化简含有向量的关系式一般有两种方法：(1)利用几何方法通过作图实现化简；(2)利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律求和，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．如例22．用向量证明几何问题的一般步骤：(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量．(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．(3)还原成几何问题．如例3失误防范1．化简向量表达式，要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.2．注意区分向量与线段的写法与符号．AB→表示向量，AB表示线段，二者勿混淆．如例3。