当前位置：文档之家 › 递归法求原点矩

递归法求原点矩

  • 格式：pdf
  • 大小：99.39 KB
  • 文档页数：2

ｊ 一 注： 萎 】 意
， ｔ
注 ：用递归法还可 以得到其它一些 离散随 机变 量的高阶原点矩 的直接计算公式或递推公式 。
２ 几何分布的 原点 矩的递推公式
（ ）
＋。
ｋ ＋Ｐ。 Ｐ ＋
＝
蒌 ’ ｃ － ｃ ＋ ： ： 萎
艺： ＋ ｃ ～ ｃ 妻： ＋ ’ ～ ｋ
Ｐ ＝ ） 而・ ｏ１ … 。 （＝ 百 ≈ ＇．
Ｉ ｌ１－ ， 口
求 的ｎ 阶原点矩 ＝ 村 解 ：如果 用特 征函数法 ， 有 的特征 函数
川 ＝
＝砉 １ ＝１ 击［ ＝。 砑 爵 去
商
＋
南砉 南 ｌ ＋ ＋ ａ ａ
ｌ ＋“
ｗ ｏ
设随机变量 遵从几何分 布律 ： Ｐ ｐ ＝ ＝ ． （＋ ；． ＜．＝ … “ ＾ （ ） ｑ Ｐ Ｊ ｑ １ ｑ １ ０ ） ， ０ ｋ １ ２ 引文 （ ） １ 得到 了含导数形式 的高阶原点矩的递推公式 ：
＝ｑ
＝
。 ． ＋
＝
薹 ｌ ） …ｃ ＋ ＋ ：
＋） ． １ｐ
Ｉ＿ 』 ■ Ｔ ｕ ｙ
ｃ 一ｐ ＋＋ ： 七 。 ｌ ａ
Ｉ； ｎ … ’● ｎ
于 的 阶 点 是， 二 原 矩为ｒ： ： ； ＋ ） ￡ ＇ 』
当然可以继续求 下去，不过 ，求三阶 以后 的各 阶导数值 时 ，是 非常麻烦的。所 以 ，下面改 用递 归法求 的 ｎ 阶段原点矩 公式 。 首先 ，用数学 归纳法证明递归关 系
ｆＯ 得 ｉ（ 求 的 阶原 矩 ） Ｋ 点
丁
一
。
但 是 ，同予 计算中高阶 导数
＝
＋ ～ｋ ｌ Ｐ Ｉ￣ ｖ＋
值 ’ 很 网难 ，所 以 ，实际上计算高 阶原点矩时 ，往往需要 另寻 《 ０ ）
条比较好的方法。
＝
弘 ． Ｐ 注 ：＋：： ＋ ． 意 ｃ ｃｃ ＋ ． ＝ ＋。 Ｉ 一 ＝
则 的 阶原点矩为： ＾ ∑ ： Ｐ’ ｍ ｖ；， ． ， ： ＾
式中 。 面
Ｎ＝Ｉ ２． … 。 ．
＝ａ ｍ 而 ｃ
’ ＋
－ ｖ
．
ａ
＝
ｌ － ＋ａ ￣ ｚ ｔ
＋ｃ
）ａ ＋
（ ）
）
ａ＋２ａ
＝
南 ＋ ＝ ， ＋ ｌ ａ ＋ ｐ ｃ Ｐ
＝
＝
＋） ＝ｌ ｎ ２＋ ＋ （ ａ ａ＝－ ）
即命题对 ｎ １ ＝ 成立 ； ２ 。假 设命题对 自 然数ｎ 成立 ，ｉ 有 ！ ｐ
公式 ：
＋
于是 ，得到遵从 巴斯 尔布律 的随机变量 的高阶原点矩 的递 推
ｆ
： ＝
（ ＝ Ｐ ＾ 州 篓
式中组 合数 ｃ ：
证。 １当 ＝ 时 ，有 。 １
（ １ ）
１ ， ＝ 胪＋ ． ：
例 设 服 从 巴斯卡尔分布律 ，求 ＾ ， ＾ 解 ： 由公式 （ ），有 １
・
南 毫 ＋ 南 ＋＃ ＋ 南＝ ３Ｚ ＝ Ｍ＋ ）
ｎ ）口南 （ ＋ｌ …ｎ３＋
【 （ ）３ ＋１ ３１ ＋ 口 １ 口＋
ｌ Ｉ 一 ＿
１＋ｄ
萎 Ｐ
＝
则命题对 ｎ ｌ ＋ 也成立 。 事实 上，由归纳法假设及 １，有
－
Байду номын сангаас
上 ——————一
＝６ １ ｊ ａ ａ（ ＋口＋
维普资讯
５２ 南 缸 科 技 ２０ ０７
高 校 论 坛
递 归 法 求原 点 矩
傅 嗣 滇
（ 山师 范 学 院 ） 乐 摘 要 本文介绍 了计算 高阶原点矩的一种方法——递 归法及应 用 关键词 数学归纳法 原点矩 递归关 系 若随 机变量 的特征 为函数 ，ｒ，原则上 说 ，总可 以用 公式 （ ）
ｎＰ －。 ｒ＋ ＋ ｌ ＋
警 ｖ Ｉ ２
。
娄： ＋ ｎ ” ｃ ＋ Ｐ
如果采用本文 的方法 ． 以得 到使 用起 来较方便 的不含导数的 可 递推公式。仿一 ： 饥 ［ －）ｌ， ： １・ ＋ （ Ｉ ｉ ＋ 一） ． ｋ ＋ｐ ｑ口
：
＝ （－ ｑ ‘＋ 。 ｑ －） ｌ Ｐ ｑ Ｏ Ｐ Ｐ ＝ （ １ ＋ ‘ ｋ 一 ｋ ｐ
维普资讯
高 校 论 坛
缸．ＩＩ ２０年第５ ５ 署， ０７ ｌ： 宣 期 ３
一
ｌ
例 ：设 服从上述ｐ ｉ ｏ 分布 ．求Ｖ、 和Ｖ ｏ ｓｎ ｓ Ｖ 。
用数学归 纳法：ｋ 。 ９ ：一 ＂ ＝ ∑ｃ（ ｌ Ｊ ｐ ｐ 七 ’ ．
解： Ｖ ＝ ， ＝ ＝ ． ∑ｓ ’ ： Ｌ ． Ｖ＝ ｌ ＝ ＋ ＝ ＋ ∑ ｒ ¨ ； ２ － Ｖ＝ ∑ ３ ＝２ ＾＋； ２ ３ ＋３ ＾ ２ ｏ ｉ ＝ ＋／ ２： Ｆ
ｋ ， ｑ （－） ＋ ｐ ＝ ｋ Ｉ ｐｋ ∑
－
＾ ・ ｌ
Ｉ
ｔ＝ｌ
ｐ
南 一 Ｙ
设随机变理 ￣ Ａ－项分布律 ： ； ） ｑ ＋ ＝． ０… ） Ｉ － Ｉ ： Ｕ ＝ ｑ １： ， 女 １ ２
Ｊｌ，南 ＝ ｖ＾
Ｉ ｑ ＾ … ｑ ＝ Ｚ ，
，
１ 出斯 卡 尔 分 布 的 原 点 矩
令ｖｔＩ ｆ ，则 ｖＯ，ｔｌ － ＝ ＝ 如果注意到 ｃ。 ０ 则可 让ｔ 开始。 （ ＝ 从０ 注意 ：所取之和 与足 标记法无关。 ） 命题 得证。最后 ，求 的高阶原点矩 的递推公式。
Ｖ ． ＝ ） ｐ ＋ ・ ＋ ・
设随机变量 遵 从巴斯 尔 分布律 ：
于 ， Ｍ ＝． Ｐ＝ －；—～ Ｐ｝ 是 ＝ 足 。Ｉｑ Ｚ （１ ＝ ｌ 【 ｒ ｋ ） ， ｉ ｏ 加Ｐ Ｏ ｃ
＝∑ｃ ） ｐ－ 口 ： ∑（ ，＋ ｉ ＝ ∑ｃ ～＋ 口 口
３２ 二 项 分 布 的原 点 矩 公 式 ．
ｌ ・ ０
于是 ，有递公式

合集下载

递归算法

递归算法

一．递归算法概述程序调用自身的编程技巧称为递归（ recursion）。

一个过程或函数在其定义或说明中又直接或间接调用自身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。

递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。

用递归思想写出的程序往往十分简洁易懂。

二．递归算法的特点递归算法是一种直接或者间接地调用自身算法的过程。

在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。

递归算法解决问题的特点：(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。

(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。

(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。

所以一般不提倡用递归算法设计程序。

(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。

递归次数过多容易造成栈溢出等。

所以一般不提倡用递归算法设计程序。

三．递归算法要求递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。

四．例子（用从C＋＋描述）：行数程序#include <iostream>using namespace std;0 void p (int w){1 if(w>0){2 cout<<w<<" ";3 p(w-1);4 p(w-1);5 }6 }void main(){int a;cin>>a;p(a);}当输入a=4后的打印结果：当p（0）执行完了，就会执行p(1)中的语句5（所以在方格a中，填“5”）。

求解递归式的方法

求解递归式的方法

求解递归式的方法递归式是计算机科学中常见的数学表示方法，用于描述一个函数或算法在运行过程中自我调用的特性。

在求解递归式时，我们希望找到一个封闭的表达式，从而得到问题的解析解。

本文将介绍几种常见的求解递归式的方法。

一、递归展开法递归展开法是求解递归式的一种常用方法。

它的基本思想是将递归式进行展开，直到得到一个不再含有递归项的等式。

通过这种方式，我们可以得到递归式的解析解。

例如，考虑递归式T(n) = T(n-1) + n，其中T(1) = 1。

我们可以使用递归展开法来求解这个递归式。

将递归式展开一次，得到T(n) = T(n-2) + (n-1) + n。

接着，再次展开，得到T(n) = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n。

继续展开，我们可以得到T(n) = T(n-k) + (n-k+1) + (n-k+2) + ... + (n-1) + n。

当展开到T(n) = T(1) + 2 + 3 + ... + (n-1) + n时，我们可以发现这个式子等于等差数列的和，即T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n。

利用等差数列求和公式，我们可以得到T(n) = (n+1)*n/2。

因此，递归式T(n) = T(n-1) + n的解析解为T(n) = (n+1)*n/2。

二、主定理主定理是求解递归式的另一种常用方法。

它适用于一类常见的递归式，即形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归式。

其中，a是递归式中递归调用的次数，b是递归式中问题规模的缩小比例，f(n)是递归式中除了递归调用外的其他操作。

主定理的基本思想是通过比较递归式中不同部分的增长速度，判断递归式的解析解的形式。

主定理的具体表述如下：设递归式T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a≥1，b>1，f(n)是一个非负函数。

1. 如果存在一个常数ε>0，使得f(n) = O(n^log_b(a-ε))，则T(n) = Θ(n^log_b(a))。

递归算法详解

递归算法详解

递归冯文科一、递归的基本概念。

一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。

在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。

二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。

在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及a与前面临n近几项之间的关系。

要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。

比如阶乘数列1、2、6、24、120、720……如果用上面的方式来描述它，应该是：如果需要写一个函数来求a的值，那么可以很容易地写成这样：n这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。

递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。

以上面求阶乘数列的函数)f为例。

如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因(n此需要计算)2(*3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计算)1(2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直*接得出1)2(=2f，再返回上一步，得=f)1(*)1(=f，返回上一步，得23)3(=f，从而得最终解。

=f=*6)2(23*用图解来说明，就是下面再看一个稍复杂点的例子。

【例1】数列}{n a 的前几项为1、111+、11111++、1111111+++、……输入n ，编程求n a 的精确分数解。

分析：这个题目较易，发现11=a ，其它情况下有111-+=n n a a 。

递归算法实现

递归算法实现

递归算法实现递归算法是一种常用的问题求解方法，它将一个问题分解为相同类型的子问题，并通过解决这些子问题来解决原始问题。

递归算法的实现通常使用函数的递归调用来实现。

递归算法的实现可以分为两个步骤：基本情况和递归情况。

基本情况是指当问题达到某个简单的条件时，直接返回结果。

递归情况是指通过调用自身来解决规模较小的子问题，并将子问题的结果合并为原始问题的解。

在实现递归算法时，我们需要考虑以下几个方面：1. 确定基本情况：递归算法必须有一个或多个基本情况，即递归的终止条件。

在基本情况下，问题已经足够简单，可以直接返回结果，而不需要再进行递归调用。

2. 确定递归情况：递归算法必须能够将原始问题分解为规模更小的子问题，并通过递归调用来解决这些子问题。

递归情况的实现需要考虑如何将问题分解，以及如何将子问题的结果合并为原始问题的解。

3. 确定递归调用：递归算法的实现中，需要调用自身来解决子问题。

递归调用的位置和参数需要根据具体问题来确定。

递归调用的过程中，问题的规模应该不断减小，直到达到基本情况。

例如，我们可以使用递归算法来计算斐波那契数列。

斐波那契数列是一个数列，第一个和第二个数字都是1，从第三个数字开始，每个数字都是前两个数字之和。

在实现斐波那契数列的递归算法中，我们可以将问题分解为计算前两个数字的和。

如果要计算第n个斐波那契数，我们需要计算第n-1个和第n-2个斐波那契数的和。

这样，问题的规模不断减小，直到达到基本情况。

下面是一个用Python实现斐波那契数列的递归算法的例子：```pythondef fibonacci(n):if n <= 0:return "输入有误"elif n == 1 or n == 2:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```在这个例子中，我们首先判断输入是否合法，如果n小于等于0，则返回错误信息。