2-3 拉普拉斯方程

第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即（2-2-1）()H h k q ∇=式中：——为水势梯度；H ∇ k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。

Richards 方程垂向一维方程为)1)(()(±∂∂-=∂∂-=zhk z H k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。

由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。

若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。

一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。

但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。

在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。

因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。

一维Richards 方程的几种形式：根据（K=C ×D ）得：()()θθθD hk =∂∂x hk q x ∂∂-=)(θx D q x ∂∂-=θθ)( yhk q y ∂∂-=)(θyD q y ∂∂-=θθ)()1)((±∂∂-=zhk q z θ)]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。

土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。

如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为，由于该立方体很小，z y x ∆∆∆在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为，在t ～t+Δt 时段内，流入立方z y x v v v 、、体的质量为（3个面流入）：ty x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：tz y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出 （2-2-3）t y x z z v v t z x y y v v z z y y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ式中：ρ––––水的密度；––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；z y x ∆∆∆,,，，––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变x x v x ∆∂∂y y v y ∆∂∂z zvz ∆∂∂化值。

k1x −k1x X (x) = Ae + Be k2 y −k2 y Y( y) = Ce + De Z(z) = E sin kz + F cos kz
α + β +γ = 0
（2）若 ϕ = ϕ(x, y) d2 X +αX = 0 2 dx d 2Y + βY = 0 2 dy
α = −k2, β = k2 α + β = 0
2.3 拉普拉斯方程和分离变量法
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． ① 例如： 例如： 电容器内部的电场是由作为电极的两个 导体板上所带电荷决定的。 导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是由 电子光学系统的静电透镜内部， 分布于电极上的自由电荷决定的。 分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是： 这些问题的特点是： 自由电荷只出现在一些导体的表面上， 自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间 中没有其他自由电荷分布。 中没有其他自由电荷分布。
∂ϕ2 2 − ε0 ∫ R dΩ = Q 1ห้องสมุดไป่ตู้∂R R=R 1
求电势。 求电势。 的介质球置于均匀外电场 例3：电容率为 ε 的介质球置于均匀外电场E0中， ： 解： 以介质球的球心为坐标原点，以E0方向为极轴建立 以介质球的球心为坐标原点， 球坐标系。 球坐标系。 设球的半径为 R0 ，球外为真空。介质球的存在 球外为真空。 使空间分为两均匀区域—球外区域和球内区域。 使空间分为两均匀区域 球外区域和球内区域。 球外区域和球内区域 两区域内部都没有自由电荷，因此电势ϕ 均满 两区域内部都没有自由电荷， 足拉普拉斯方程。 足拉普拉斯方程。 ϕ代表球内的电势。 代表球外区域的电势， 代表球内的电势。 以 ϕ1 代表球外区域的电势， 2 两区域的通解为： 两区域的通解为： bn n ϕ1 = ∑(anR + n+1 )P (cosθ)， (R > R0 ) n R n

二维拉普拉斯在极坐标下的形式二维拉普拉斯方程简介什么是拉普拉斯方程拉普拉斯方程是一个偏微分方程，用于描述二维空间中的稳态分布。

它起源于数学物理领域，在各个科学领域都有广泛的应用，如电场、流体力学等领域。

拉普拉斯方程在二维空间中的一般形式为：∇2u=∂2u∂r2+1r∂u∂r+1r2∂2u∂θ2=0其中∇2=u rr+1r u r+1r2uθθ，u为待求函数，r为极径，θ为极角。

极坐标下的二维拉普拉斯方程拉普拉斯方程的形式取决于所选用的坐标系。

在极坐标下，二维拉普拉斯方程的形式可以简化为：1 r ∂u∂r+1r2∂2u∂θ2=0这个方程描述了在极坐标下的二维稳态分布。

其中第一项表示径向扩散，第二项表示角向扩散。

这两个项的和为零，表示在稳态下，没有外部源的情况下，物理量不随时间变化。

坐标变换与二维拉普拉斯方程的转换在某些情况下，为了简化问题求解，我们可以通过坐标变换将二维拉普拉斯方程转换到其他坐标系下。

比如，将二维拉普拉斯方程转换到极坐标系下，可以得到上述的极坐标下的二维拉普拉斯方程。

对于任意一个坐标系，我们可以利用链式法则将二维拉普拉斯算子在不同坐标系之间进行转换。

具体的变换公式如下：∇2u=1ℎ1ℎ2…ℎn(∂∂u1(ℎ2ℎ3…ℎnℎ1∂u∂u1)+∂∂u2(ℎ3ℎ4…ℎnℎ1ℎ2∂u∂u2)+⋯+∂∂u n(1ℎ1ℎ2…ℎn−1∂u∂u n))这里，u=u(u1,u2,…,u n)是一个变量的多元函数，ℎ1,ℎ2,…ℎn是坐标系的比例因子。

对于极坐标系，比例因子可以表示为ℎ1=1，ℎ2=r。

将这些值代入坐标变换公式中，即可得到极坐标下的二维拉普拉斯方程。

二维拉普拉斯方程的求解方法分离变量法二维拉普拉斯方程的求解方法非常丰富，其中一种常用的方法是分离变量法。

这种方法基于二维拉普拉斯方程的线性性质，将待求函数表示为一系列分离变量的乘积形式，然后将其代入方程，并使得方程两边的系数都等于常数，从而得到一个由常数所确定的一维方程。

r r = E0 (cos e R − sin θ eθ )
ε − ε0 3 r r r 1 R0 E0 3 3cosθ e R − ( cosθ e R − sin θ eθ ) + 2ε 0 + ε R
结束
第二章∶ 第二章∶静电场
r r r r r ε − ε 0 3 3 E0 ⋅ R R E0 R0 = E0 + − 3 R5 R 2ε 0 + ε r r r r r r 1 3( p ⋅ R ) R p r = E0 + − 3 = E0 + E ′ 5 4πε 0 R R
分析：这是全介质的第一类边值问题。 分析：这是全介质的第一类边值问题。球内外电 势分布具有轴对称性。整个区域分为两部分： 势分布具有轴对称性。整个区域分为两部分：介质 球内2，球外部真空1。两区域内部都没有自由电荷， 球内 ，球外部真空 。两区域内部都没有自由电荷， 因此电势均满足拉普拉斯方程。 因此电势均满足拉普拉斯方程。 微分方程及其通解：由于问题具有轴对称性， 微分方程及其通解：由于问题具有轴对称性，即 轴对称性 ϕ i 与 φ 无关，故: 无关， 代表球外区域的电势， 代表球内的电势。 以 ϕ 1代表球外区域的电势，ϕ 2代表球内的电势。
势，满足Laplace's equation。这种方法从数学上看， 满足 。这种方法从数学上看， 实质是当区域V中有电荷分布时，电势满足Poisson's 实质是当区域 中有电荷分布时，电势满足 equation，而Poisson's equation——非齐次微分方程的 ， 非齐次微分方程的 等于其特解（ 加上拉普拉斯方程—— 通解（φ），等于其特解（ϕ0）加上拉普拉斯方程 齐次方程的通解（ ） 齐次方程的通解（ϕ′）。 但注意，边值关系还要用 ϕ S 而不能用 ϕ ′ S 但注意，