6.8余角和补角课件ppt

15o
24o 46o
66o
75o
44o
截图一
截图二
请你为互为补角的两个角配对
练习三
∠α
20° 35° 60° 48°
∠α的余角
70° 55° 30° 42° 90°
∠α的补角
160° 145° 120° 132° 180°
课堂小结
用几何语言怎 叙述呢？
必选作业
D
如图，点A，O，B 在同一直线上，
遮罩
班优
播放视频
倒计时 拍照上传
放大镜 截图 在线画板
课堂活动 知识配对
遮罩 画笔
思维导图
超链接
课前复习
我们之前学过那些角？
新课导入
1.视频中涉及的是几个角之间的关系？ 2.具有什么关系的角叫做互为余角（或补角）？
其中的“互为”是什么意思？ 3.900和1800分别与谁有关？你是怎样区分记忆的？
4.2 余 角 和 补 角
教材分析
这是在学生学习了角的大小 比较的基础上，对角之间关系的 进一步深入和拓展；同时又为今 后证明角的相等提供了一种依据 和方法，起着承前启后的作用。
教学过程
一
二
三
四
五
六
课课前前复复习习 新课导入 讲授新课 课堂练习 归归归纳纳纳总总总结结结 作作作业业业布布布置置置
射线 OD 和射线 OE 分别平分
∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为
余角？
AO
C E
B
哪些角互为 补角呢？
自选作业Eຫໍສະໝຸດ C如图所示，直线AB,CD相交于点 O,∠BOE=90°，若∠COE=55°，求∠BOD的 度数 ？
A
B

光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就 是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是 伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何 必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己 经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的 鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来， 我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！ 为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友 情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离 开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白 云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可 取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起 的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每 刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里， 故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的《童年》，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没 有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动， 日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青 蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生 路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，

2.已 知 ： 一 个 角 的 补 角 加 上 20后 等 于 这 个 角 余 角 的 3 倍 。
求 ：这 个 角
设这个角的度数为x度 (1 8 0 -x ) 2 0 3 (9 0 x )
(1) 动手画一画： 已知∠α(如图)，请利用三角板 画的∠α的余角
A C
1α
O2
B
1α
2
β
(2)图中∠D α的余角∠1，∠2的大小有什么关系？
那 么 与 互 余
如果两个角的和等于180° (平角)，就说这 两个角 互为补角 (supplementary angle) 简称“互 补”
如 果 180
那 么 与 互 补
看谁答得快
∠α 30° 42° 54°
62°23′
x
∠α 的余角
60 ° 48 °
36 °
作业
配套作业
再见
谢谢！
xiexie!
A
D
A
B E
F 如图1 C
B E (C)
F
D G
如图2
2、如图2所示折叠，已知∠EFG= 7 5 ，
求: ∠BFE的度数
. 理一理 .
今天学习的知识
互为余角
互为补角
对应图形
1 2
21
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
性 质 同角或等角的
余角相等
同角或等角的 补角相等
为什么？ 因 因 为 为 1 = 1 9 = 0 9 0 - - ； ； 2 = 2 9 = 0 9 - 0 -
所 又因以 为∠ α=1 ∠= β 2 所以1=2
(3) 这一结论用文字怎么叙述？

3 (中考·厦门)如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，点 D，E分别在边AC，AB上．若∠B＝∠ADE，则下列 结论正确的是( ) A．∠A和∠B互为补角 B．∠B和∠ADE互为补角 C．∠A和∠ADE互为余角 D．∠AED和∠DEB互为余角
4 (中考·绥化)将一副三角尺按下列方式进行摆放，∠1， ∠2不一定互补的是( )
总结
“同角(或等角)的余角相等”“同角(或 等角)的补角相等”的实质是等量代换，只不 过在特定的背景下使用起来更便利罢了．
1 如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的 ∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在 墙外，请问该如何测量？
中∠1与∠2的 关系是( ) A．互补 B．互余 C．相等 D．无法确定
导引：因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°， 所以∠3＝∠1＝50°.故选A.
总结
由∠1、∠3都与∠2互补，应想到用补角 的性质，即同角的补角相等来解题．
1 若∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，则∠α与∠γ的关 系是( )
A．互余 B．互补 C．相等 D．∠α＝90°＋∠γ 2 如图，直线AB，CD交于点O，因为
1.余角的性质：同角的余角相等，即：若∠A＋∠B＝ 90°，∠A＋∠C＝90°，则∠B＝∠C.等角的余角相 等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠D＋∠C＝90°，∠A ＝∠D，则∠B＝∠C.
知识点
2．补角的性质：同角的补角相等，即：若∠A＋∠B＝ 180°，∠A＋∠C＝180°，则∠B＝∠C.等角的补角 相等，即：若∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝ 180°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.
∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°， 所以∠1＝∠2的根据是( ) A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等

4.书本探究活动
∵∠2=∠3 ∴∠α=∠β
一 写 补 角
等角的余角相等.
例题讲解
例 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这 个角的度数。
利用方程来解决几何问题
完成课内练习3，作业题3
归纳小结
定义
互为余角(互余)
互为补角(互补)
如果两个锐角的和是一个直角， 如果两个角的和是一个平角，
我们就说这两个角互为余角，简 我们就说这两个角互为补角，
数学语言表示 ：若 ∠3+∠4=180°，则∠3和∠4互为补角。
互余是指数量关系，与位置无关。
1.∵∠1＋∠2＝90° ∴∠1与∠2互为余角
2.∵∠1与∠2互为余角 ∴∠1＋∠2＝90°
模仿着写写互补
21
1
21
想一想
1、如果∠1+∠2+∠3=90°，那么∠1，∠2，∠3互为余 角对吗？ 2、互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？ 3、钝角有余角吗？ 一定有补角对吗?
互余、互补指的是2个角之间的

找朋友
图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
10°
80° ° 150
30° ° 100
60° ° 120
° 170
试一试
∠α 5° 32° 45° 77° 62°23′
x 90°-β
∠α的余角 ∠α的补角
85°
175°
58°
148°
45°
135°
13°
103°
27°37′ 117°37′
90°-x 180°-x
β
β+90°
思考：60°的余角的补角是__1_5_0_°_。
完成P164 做一做2

补角和余角
练习
若∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，则
∠α与∠γ的关系是( C )
A．互余 B．互补 C．相等 D．∠α＝90°＋∠γ
补角和余角
练习
如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1 ＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以 ∠1＝∠2的依据是( C ) A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
补角和余角
二、互角为余角
1、定义： 如果两个角的和等于一个_直__角__，就说 这两个角互为余角，简称互余，其中一 个角是另一个角的余角．
补角和余角
一、互角为补角
2、数学1= _9_0_°_-_∠__2___ ∠2= _9_0_°_-_∠__1___
补角和余角
回顾
上节课学习了哪些知识？ 一、角的大小比较 二、角的和与差 三、角的平分线
补角和余角
一、互角为补角
1、定义： 如果两个角的和等于一个_平__角__，就说 这两个角互为补角，简称互补，其中一 个角是另一个角的补角．
补角和余角
一、互角为补角
2、数学符号语言表达： ∵∠1与∠2互补 ∴ ∠1+ ∠2=180°
补角和余角
课时小结
这节课学习了哪些知识？ 一、互为补角的定义 二、互为余角的定义 三、补角和余角的性质
解：∵∠1与∠2互补，∴∠2 = 180°- _∠__1_. ∵∠3与∠4互补，∴∠4 = 180 ° -_∠__3_ . 又因为∠ 1= ∠ 3,所以∠___2_=_∠__4_.
补角和余角
三、补角和角余角的性质
如图,∠1=∠3,∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,那 么∠2与∠4有什么关系?
解：∵∠1与∠2互补，∴∠2 = 180°- _∠__1_. ∵∠3与∠4互补，∴∠4 = 180 ° -_∠__3_ . 又因为∠ 1= ∠ 3,所以∠___2_=_∠__4_.

什么是补角？
补角也是角度的一种重要概念。它指的是两角相交时，其中一个角与另一个 角相加等于90°的角。 举例说明：角C和角D相交，角C的补角是90°减去角D的度数。
余角与补角的性质和关系
性质
余角与原角相加等于180° 补角与原角相加等于90°
关系
一个角的余角与补角的差是90° 一个角的余角与另一个角的补角互为对角
《余角与补角》PPT课件
欢迎来到《余角与补角》PPT课件！在本课程中，我们将探讨余角与补角的概 念、性质和应用，并深入探究它们之间的关系。
什么是余角？
余角是角度的一种重要概念。它指的是两角相交时，其中一个角与另一个角相加等于180°的角。 举例说明：角A和角B相交，角A的余角是180°减去角B的度数。
余角与补角的应用
在解题中，我们可以利用余角与补角的概念和性质来简化问题并找到解题的思路。 举例说明：通过确定角的余角或补角，我们可以推导出其他角度的关系，从而解决复杂的几何问题。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结
1 概念和性质
余角与补角的定义和计算 方法
2 关系
余角与补角的关系及其重 要性
3 应用
在解题中如何利用余角与 补角简化问题

∴ ∠1 + ∠2 =90 °. ( 互余定义)
3
∵∠3 + ∠4 =180 °, ( 已知 )
∴ ∠3和∠4互补 . (互补定义 )
∵ ∠3和∠4互补, ( 已知 )
4
∴ ∠3 + ∠4 =180 ° .(互补定义 )
考考你
1. 图中给出的各角，哪些互为余角？
10° 25°
44° 65° 46°
拓展提升
如图，是O直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°, OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？
与∠DOE互补的角有哪些？
祝同学们 学习进步
29
试一试
1、填空 （1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 则__∠__1_＝_∠__3___，根据是＿同＿角＿的余＿角＿相＿等.
(2)若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补， 且∠3＝∠6, 则_∠_4___＝__∠__5__，根据是 ＿等＿角＿的＿补角＿相＿等＿.
试一试
2、如图，直线a、b相交于一点，∠1和∠2 互补，∠1和∠4互补，则∠2=∠4的依据是 （ B ）. A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等
A
C
D
1. 下列四个角中,最有可能与70°角互补的角是( D )
2.已知∠α=26°,则∠α的补角是_1_5_4_°_ 度. 3.一个角的补角是36°35′,这个角是 _1_4_3_°__2_5.′ 4.一个角的补角是150°，则这个角的余角是_____. 5.一个角是70°，则它的余角的补角是_______. 6.一个角的补角是它的3倍，则这个角是_______.
900
1350
100035'

13
14
15
16
17
9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________.
24°28′
解析 设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°，根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)，解得x＝40，40°－15°32′＝24°28′.
14
15
16
17
解析 ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，故选A.
14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________.
解 如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求；
(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程).
解 ∵∠AON＝45°，∠BON＝30°，∴∠AOB＝75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC＝15°，∴∠AOC＝90°或60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP＝45°或30°.
解 当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°.
解
归纳总结 本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键.
例2 (教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________.

的余角是，这个角是 ，这个角的补角是 。
1.余角的性质：同角或等角的余角相等。
2.补角的性质：同角或等角的补角相等。
典例2 （1）如图（1）所示， ， 与 相等吗？为什么？
解：相等。因为 ，所以 。因为 ,所以 ，所以 。
（2）如图（2）所示，直线与直线相交于点， 与 相等吗？为什么？
方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东 ”一般不写成“东偏北 ”。
典例3 (绍兴柯桥区期末)如图，甲从点 出发沿北偏东 方向走到点，乙从点 出发沿南偏西 方向走到点，则 的度数是( )
D
A. B. C. D.
解析：由题意知， , ，所以 。
若， 则与互余，是 的余角，也是 的余角。
_
名称
概念
数学语言
图示
互为补角
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。
若， 则与互补，是 的补角，也是 的补角。
_
（1）两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。（2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。
第6章 图形的初步知识
6.8 余角和补角
七上数学 ZJ
1.了解互为余角、互为补角的概念，会求一个角的余角或补角。2.掌握同角或等角的余角（补角）相等，并能说明两角相等，培养推理能力。3.会用方向角表示方向，发展几何直观。
名称
概念
数学语言
图示
互为余角
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
解：相等。因为点，，在同一条直线上，所以 ，即 。因为点，，在同一条直线上，所以 ，即 ，所以 。

综合素养训练
(2)若∠ AOE 与∠ DOB 互补，求∠ DOE的度数.
解：因为∠AOE＋∠AOC＝180°，
∠AOE＋∠DOB＝180°，所以∠AOC＝∠BOD.
因为∠BOC＋∠AOC＝90°，
所以∠BOC＋∠BOD＝90°.
所以∠EOD＝180°－(∠BOC＋∠BOD)＝90°.
④，∠α ＋ ∠β =180 °，则∠α和∠β 互补．答案：A
综合素养训练
1.[中考·武威] 若∠α =70 °，则∠α的补角的度数是( B )
A.13 0 °
B.110 °
C.30 °
D. 20 °
综合素养训练
2. 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α
与∠β 一定相等的图形个数共有( B )
∠2＋


(∠1 － ∠2)=


∠1＋


∠2 的余角.D 选项是∠2 的余角.
∠2 =9 0 °，故C 选项不是
答案：D
综合应用创新
方法点拨
识别两个角是否互余，只需要计算两个
角的和是否等于90°即可.
综合应用创新
题型
2 利用角平分线的定义探究互余、互补
例 6 [新视角 操作探究题]如图6.3－26，把一张长方形纸片
FG 是∠CFC′的平分线，
所以∠EFB′=


∠BFB′，∠GFC′= ∠CFC′.


因为∠BFC=180°，所以∠GFC′＋∠EFB′=

(∠CFC′＋





∠BFB′)= ∠CFB= ×180°=90°.
所以∠GFC′与∠EFB′互为余角.

∠AOD和∠BOE也互为余角.
巩固练习
1.如果 1与2互余,1=(6x 8) , 2 (4x 8) ,
则1 __6_2_°_,2 __2_8_°_ .
2.如图, ∠COD= ∠EOD=90°, C、O、E在一条直 线上, 且∠2= ∠4, 请说出∠1与∠3之间的关系?并试着 说明理由?
解：∠1与∠3相等(等角的余角相等).
O
课堂小结
两角间的 数量关系
互余
1 2 90
(1 90 2)
对应图形
性质
同角或等角的 余角相等
互补
1 2 180 (1 180 2)
同角或等角的 补角相等
E
和∠BOC，图中哪些角互为余角？
A
O
B
解：因为点A，O，B在同一直线上，
所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= =
121∠(∠AOAOCC+ +12∠∠BBOOCC)=90°.
2
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，
典例精析
例1 若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求 这个角的度数.
解：设这个角是x°，则它的补角是(180° －x°),余角是(90°－x°) .
根据题意，得 180°－x°= 4 (90°－x°) 解得
x=60 答：这个角的度数是60 °.
例2 如图，点A，O，B在同一直线 D
C
上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC
6.8 余角和补角
教学目标
1.掌握余角、补角的定义. 2.理解并运用等角(同角)的余角(补角)相等.

第六章 几何图形初步
6.3 角
余角和补角
1.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质， 并能利用余角、补角的知识解决相关问题. 2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些 简单的实际问题.
如图坝底是由石块堆积而 成，要测出∠1的度数，你有 什么简单的方法吗？
要解决这问题，我们先来学习余角和补角.
A．30° B．45° C．60° 2.下列说法正确的是（ D ）
D．75°
A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
3.如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式 中∠α与∠β互余的是 （ A ）
A．图①
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，
ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求
∠AOC与∠AOB的度数．
M C
B
N
DO
A
解：设∠AOB=x， 因为∠AOC与∠AOB互补，
M C
B
N
则∠AOC=180°–x．
DO
A
因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
图中哪些角互为余角？
AO
C E
B
C D
E
解：因为点A，O，B在同一直线上，
所以∠AOC和∠BOC 互为补角.
AO
B
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE
=
1 2
∠AOC+
1 2
∠BOC
=
1 2
(∠AOC+∠BOC