工科数学基础(专)第4次形测作业

高等数学基础作业4答案一、单项选择题（每题3分，共18分）1. D2. D3. B4. B5. B6. D 二、填空题(每题3分,共21分)1. ⎰dx x f )( 2 . ）C X G X F 常数()()(=- 3. dx e x 24. c x +tan5. x cos 9-6. 3 7 . 1>p 三、计算题(每题6分,共48分)1 解: 凑微分法 C xx d x dx xx+-=-=⎰⎰1sin )1(1cos1cos22 解: 凑微分法 C e x d e dx x exxx+==⎰⎰2)(23 解: 凑微分法 C x x d xdx xx +==⎰⎰|ln |ln )(ln ln1ln 14 解: 用分部积分法 设xdx dv x u 2sin ,== 则 x v dx du 2cos 21,-== C x x x xdx x x xdx x ++-=---=⎰⎰2sin 412cos 212cos 212cos 212sin5 解: ⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+eeeeex xd dx xdx xx dx xdx xx11111)(ln ln 13ln 3ln 3 ))1(ln 211ln 3())(ln 21||ln 3(|))(ln 21||ln 3(2212+-+=+=e e x x e27)00()213(=+-+=6 解: 用分部积分法 设 dx e dv x u x2,-==，则 xev dx du 221,--==∵dx exedx xexxx2222121---⎰⎰---=)2(412122x d e xexx---=--⎰C exe xx+--=--224121 ∴=⎰-dx xex102)410()4121(|)4121(0221022e eeexexx----=------4312--=e7 解： 用分部积分法 设,,ln xdx dv x u == 则 221,1x v dx xdu ==∵C x x x xdx x x xdx x +-=-=⎰⎰22241ln 2121ln 21ln∴=⎰exdx x 1ln ex x x 122|)41ln 21(-)411ln 21()41ln 21(222---=e e e e)1(412+=e8 解 用分部积分法 设,1,ln 2dx xdv x u ==则 xv dx xdu 1,1-==∵ =⋅---=⎰⎰dx x x x x dx xx11ln 1ln 2C x x x +--1ln 1 ∴ =⎰dx x x e12ln （)10()1ln 1(|)1ln 11----=--e e e x x x e e 21-= 四、证明题1、证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为奇函数，则0)(⎰-=a adx x f （6分）证明 ：∵)(x f 在],[a a -上为奇函数，∴)()(x f x f -=-∵)(x f 在],[a a -上可积， ∴ ⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(∵ 用x -代x⎰⎰⎰⎰=--=--=-0)())(()()()(aaadx x f dx x f x d x f dx x f ⎰-=adx x f 0)(∴⎰⎰⎰+=--aaa adx x f dx x f dx x f 0)()()(0)()(0=+-=⎰⎰aadx x f dx x f2、证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为偶函数，则⎰⎰-=aa adx x f dx x f 0)(2)( （7分）证明 ：∵)(x f 在],[a a -上为偶函数，∴)()(x f x f =-∵)(x f 在],[a a -上可积， ∴ ⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(∵ 用x -代x⎰⎰⎰⎰-=-=--=-0)())(()()()(aaaa dx x f dx x f x d x f dx x f⎰=adx x f 0)(∴⎰⎰⎰+=--aa aadx x f dx x f dx x f 00)()()(=+=⎰⎰aadx x f dx x f 00)()(2⎰adx x f 0)(。

工程数学(本)形考作业4工程数学涉及多个数学领域的应用，包括微积分、线性代数、概率统计等。

在工程领域中，数学的应用非常广泛，可以帮助工程师解决实际问题。

在工程数学的形考作业4中，主要涉及了微积分中的极限、导数和积分等概念。

首先，极限是微积分的基础概念之一、在形考作业4中，我们需要求解一些函数的极限，通过分析函数的性质和极限定义，可以求得极限的值。

例如，在求解函数$lim\frac{某^2-1}{某-1}$的极限时，我们可以将其化简成$\frac{(某-1)(某+1)}{某-1}$，然后消去(某-1)，得到极限的值为2、通过这样的练习，我们可以加深对极限概念的理解，并掌握求解极限的技巧。

其次，导数也是工程数学中常用的概念。

在形考作业4中，我们需要求解一些函数的导数。

通过求解函数的导数，我们可以求得函数的变化率，并且可以确定函数的最大值、最小值等信息。

例如，在求解函数$f(某)=某^2+某$的导数时，我们可以使用求导法则，得到导数为$f'(某)=2某+1$。

掌握导数的计算方法，可以帮助我们更好地理解函数的变化规律，并且可以在工程实践中进行更精确的分析和计算。

最后，积分也是工程数学中重要的概念之一、在形考作业4中，我们需要求解一些函数的不定积分和定积分。

通过求解函数的积分，我们可以得到函数的原函数，并且可以计算函数所代表的面积或者体积。

例如，在求解函数$f(某)=2某$的不定积分时，我们可以得到原函数为$F(某)=某^2$，并且可以计算函数在某一区间上的定积分。

掌握积分的方法，可以帮助我们求解实际问题中的面积、体积等参数，并且可以进一步推导和分析函数的性质。

综上所述，工程数学形考作业4涉及的概念包括极限、导数和积分等，通过求解函数的极限、导数和积分，我们可以加深对这些概念的理解，并且可以掌握求解极限、导数和积分的方法和技巧。

这对于工程师来说，是非常重要的，因为数学在工程领域中的应用非常广泛，可以帮助我们解决各种实际问题。

四川省自贡市2013届高三第四次诊断性考试数学文试题（扫描版）新人教A版自贡市高2013届“四诊”数学参考答案及评分意见一、选择题文科 BABDA CDCDA二、填空题文科1一、 15 1二、30 13、36514、y=6x-5 1五、2 三、解答题（文科）1六、1sin 2ABC S ab C ∆==解：（Ⅰ）5sin83a a π∴⨯⨯==得 -----------------------------------3分2222cos ,c a b ab C c =+-=7== --------------------------6分sin ,sin sin sin a c a C A A C c II =∴===（）-------------8分 2222225781cos 22577b c a A bc+-+-===⨯⨯ --------------------10分1113sin()sin cos cos sin 6667214A A A πππ+=+=+⨯=-----------12分17、解：（Ⅰ）当1n =时，∵ 111b T =- ∴ 112b = ------------------------2分当2n ≥时，∵1n n T b =- ∴111n n T b --=- 两式相减得：1n n n b b b -=-，即： 112n n b b -= ------------------------4分故{}n b 为首项和公比均为12的等比数列，∴ 1()2n n b =------------------------6分 （Ⅱ）设{}n b 中第m 项m a 知足题意 即11()252n m a =+，即21252n m -+=------8分∴1212(,,5)n m m N n N n -++=-∈∈≥， （理） 则34212225n n n c a ++-==-……10分∴ 532(2)252253212n n n n s n n +-=-=--- ……12分 （文）（Ⅱ）取 5n = 则4m = ……10分 即 47a =（其它形如1212n m -=- 5n ≥， n N *∈的数都可以）……12分18、解：（Ⅰ）由已知可得AE =3，BF =4，则折叠完后EG =3，GF =4， 又∵EF =5，∴可得EG GF ⊥ …………2分又∵CF EGF ⊥底面,可得CF EG ⊥，即EG CFG ⊥面----------4分∴ 平面DEG ⊥平面CFG.---------------------------------6分理科（Ⅱ）成立如图所示的坐标系E- XYZ 则E(0,0,0) G （512，,590） F(0,5,0) C(0,5,4) D(0，0，4) 由题知DE =(0，0，4)为平面EFG 的法向量-----------------------8分设n =（x,y,z ）⊥平面DCG 由题知DC =(0，5，0) DG =(512，,59-4) n ·DC =5y=0 n ·DG =512x+59y-4z=0，不妨令x=5 则z=3 ∴n =（5,0,3）------10分 设所求角为θ 则cos θ=||DE n DE n⋅=34412⨯=343=34343------------12分（文科）(Ⅱ)过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，∴所求体积V= ×4 16------------------12分1九、（Ⅰ）由实验结果知，利用甲配方生产的产品的优质品率为p 1=5015=分 利用乙配方生产的产品的优质品率为p 1=5021= ----------------------6分 （理科）（Ⅱ）由2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，得随机变量利润X 的取值为－2，2，4-------8分用乙配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，120]的频率别离为， 054，，因此(2)0.04P X =-=，(2)0.54P X ==，(4)0.42P X ==，X－2 2 4 P-----------------------10分∴X 的数学期望20.0420.5440.42 2.68EX =-⨯+⨯+⨯=（元）.-----------------12分 （Ⅱ）（文科）利润大于零的概率P=96.05048=-------------------------------------------9分生产乙配方的产品一件的利润W=5021427222⨯+⨯+⨯-=（元）----------------12分（理科）20.解：（Ⅰ）∵函数图象的一条对称轴方程是6π=x ，∴对任意的实数x 都有)6()6(x f x f +=-ππ，取6π=x 得，)3()0(πf f =，整理得b a 3=，于是椭圆C 的离心率36==a c e ，………… 3分 由b a 3=知，椭圆C 的方程可化为22233b y x =+， ①又椭圆C 的右核心F 为)0,2(b ，直线AB 的方程为b x y 2-=， ②②代入①展开整理得：0326422=+-b bx x ， ③设1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点),(00y x N ，则21,x x 是方程③的两个不等的实数根，由韦达定理得，b b x y 42200-=-=，于是直线ON 的斜率3100-==x y k ON . 此问用点差法也可……7分（Ⅱ）OA 与OB 是平面内的两个不共线的向量，由平面向量坐标运算知),(),(),(2211y x y x y x μλ+=，2121,y y y x x x μλμλ+=+=∴，．．．．．．．．．．．．．． 8分又C M ∈，代入①式得：22212213)(3)(b y y x x =+++μλμλ，展开整理得：221212222221213)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分．．．．．．．．．．．．．．．．11分又A B 、两点在椭圆上，故有2212133b y x =+，2222233b y x =+代入⑤式化简得：122=+μλ．．．．．．．13分（文科）20、解：（Ⅰ）由题意，椭圆的长轴长24a =，得2a = ----------1分 ∵点3(1,)2在椭圆上，∴ 219144b+= 得 23b = -----3分 ∴ 椭圆的方程为 22143x y += ----------5分12212234x x x x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩121212122121222233()()4()63960x x y y x x x x x x x x b b b b +=+-=-++=-+=又因为，（Ⅱ）由直线l 与圆O 相切，得1=，即221m k =+设 31(,)A x y ，22(,)B x y由 22143x y y bx m ⎧+=⎪⎨⎪-+⎩消去y ，整理得22(34)8k x kmx ++ 214120m --=-----7分 由题意可知圆O 在椭圆内，∴直线必与椭圆相交，∴122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+ ----------8分 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++＝2241234m k -++28()34km km k++222231234m k m k -=+ ∴ 22222121222241231271212343434m m k m k x x y y k k k ----+=+=-+++ -----10分∵221m k =+ ∴2121225534k x x y y k--+=+ ----------11分 ∵32OA OB ⋅=-，∴ 22255313422k k k --=-⋅=+，得k的值为2± -----13分2一、（理）解：（Ⅰ）)0,0()(2)(2'>>-=a x exea x x F ---------------1分0()0,();()0,()).,()x F x F x x F x F x x F x '∴<<<'>>+∞∴=若则在上单调递减若则在上单调递增当有极小值,也是最小值,-----------2分即min ()2ln ,F x F a a a a ==-=- ∴当0,()a F x >时的单调递减区间为，单调递增区间为),ln a a +∞-最小值为无最大值，-----------------5分 （Ⅱ）当1,a =时由（1）可知,0)()(min ==e F x F 得1)()(==e g e f ，()()f x g x ∴是与图象的一个公共点。

高等数学基础（19秋）形考作业4
1、
A 1,2
B 1,-1
C
D
我的得分：10分
我的答案：C
2、
我的得分：10分
我的答案：C
3、
A
B
C
D
我的得分：10分我的答案：D
4、
A ∞
B -∞
C 0
D
我的得分：10分我的答案：D
5、
A
B
C
D
我的得分：10分
我的答案：A
6、下列命题正确的是（）
A 驻点一定是极值点
B 极值点一定是驻点
C 可导的极值点一定是驻点
D 不可导点一定不是极值点我的得分：10分
我的答案：C
7
A
B
C
D
我的得分：10分
我的答案：B
8、
A 与Δx 是等价的无穷小
B 与Δx 是同阶的无穷小
C 比Δx 低阶的无穷小
D 比Δx 高阶的无穷小
我的得分：10分
我的答案：C
9、
A 高阶无穷小
B 同阶无穷小，但不等价
C 低阶无穷小
D 等价无穷小
我的得分：10分我的答案：A
10、
A 1
B 2
C 3
D 4
我的得分：10分我的答案：C。

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————2019届高三第四次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则下列命题中错误的是（）A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面上对应点再第一象限【答案】C【解析】=故A对；故B对；的虚部为1，故C错；在复平面上对应点为在第一象限，故D对；故选C2. 集合，则的子集个数是（）个A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】集合A={x|x2-7x＜0，x∈N*}={1，2，3，4，5，6}， ={1，2，3，6}，故B有16个子集，故选 C．3. 设，则（）A. B. C. D.【答案】B.....................故选B4. 命题：“若，则且”的逆否命题是（）A. 若且，则B. 若且，则C. 若或，则D. 若或，则【答案】C【解析】根据逆否命题的写法可得命题：“若，则且”的逆否命题是若或，则故选C5. 已知向量，则是“与反向”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与反向则存在唯一的实数，使得，即所以是“与反向”的充要条件故选C6. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数），若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（）小时.A. B. C. D.【答案】D故选D7. 若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，解得或，因为所以，，所以=故选C8. 函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B。

当时，，所以，排除D。

选C。

9. 已知点的坐标满足不等式，为直线上任一点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】点M的坐标(x,y)满足不等式组的可行域如图：N为直线y=−2x+2上任一点,则|MN|的最小值,就是两条平行线y=−2x+2与2x+y−4=0之间的距离：故选B10. 若函数的图象关于直线对称，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】又且关于点对称，从而本题选择A选项.11. 已知双曲线右焦点为为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】曲线右焦点为，周长要使周长最小，只需最小，如图：当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.12. 已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当n=2时，的所有非空子集为：{, ∴和为S=当n=3时，∴和为S=当n≥4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n-1个元素，共有2n-1-1个非空子集，S1=当最小值为不含含共n-2个元素，有2n-2-1个非空子集，S2=∴=S1+S2+S3+…+S n=+则的最小正整数为13故选B点睛：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若，则的最大值为__________．【答案】-2【解析】当时取等号故答案为-214. 已知向量满足且，则的最小值为__________．【答案】【解析】=所以的最小值为故答案为15. 若，则的解集为__________．【答案】【解析】，令所以在递减，在递增，且即为,所以故解集为故答案为16. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点是抛物线焦点，点在抛物线上，且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___．【答案】【解析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,则，设PA的倾斜角为α,则sinα，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx−1,代入,可得=4(kx−1)，即−4kx+4=0，∴△=16−16=0，∴k=±1，∴P(2,1)，∴双曲线的实轴长为PA−PB=2所以双曲线的离心率为故答案为点睛：本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，考查数形结合思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在锐角中，.（1）求角；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和正弦函数加法定理推导出由此能求出角A．（2）由，利用余弦定理求出AB=3，由此能求出△ABC的面积．试题解析：（1）因为，所以，则，即，由为锐角三角形得.（2）在中，，即，化简得，解得（负根舍去），所以.18. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若在区间上的最大值为，求的值.【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）。

工程数学（本）形成性考核作业4综合练习书面作业（线性代数部分）一、解答题（每小题10分，共80分）1. 设矩阵1213A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，123110B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，已知XA B =，求X ． 解：[]121012101032 130101110111A I -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 13211A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦11232311110X BA --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦548532-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2. 设矩阵012213114,356211A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，解矩阵方程AX B '= 解：[]012100114010114010,114 010012100012100211001211001037021A I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦114010012100001321⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1101274010742001321-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦100532010742001321-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 1532742321A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1532237421532136X A B ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦131********-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3. 解矩阵方程AX X B -=，其中4559A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 解：AX IX B -=()A I X B -=[]3510,5801A I I ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦35101221⎡⎤→⎢⎥---⎣⎦12213510---⎡⎤→⎢⎥⎣⎦12210153---⎡⎤→⎢⎥--⎣⎦12210153-⎡⎤→⎢⎥-⎣⎦10850153-⎡⎤→⎢⎥-⎣⎦()18553A I --⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦()1X A I B -=-8553-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦7442⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦4. 求齐次线性方程组12341234134 30240 450x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪-+=⎩的通解.解：113111312114017610450176A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦104501760000-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦134234450760x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩方程组的一般解为1342344576x x x x x x =-⎧⎨=-⎩（其中34,x x 是自由未知量）令341,0x x ==，得14710X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦令330,1x x ==，得25601X -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组的通解为1122k X k X +（其中12,k k 为任意常数） 5．求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪的通解．解：13125123111253504A --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦13120143701437014310--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦13120143700000003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1312310114200010000--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦131030101400010000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5101430101400010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦13234501430140x x x x x ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩，一般解为132345143140x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩（其中3x 为自由未知量） 令314x =，得1245,3,0x x x =-==基础解系为153140X -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通解为1X kX =（k 为任意常数） 6. 当λ取何值时，齐次线性方程组123123123204503720x x x x x x x x x λ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？在有非零解的情况下求方程组的通解. 解：将齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形12112145034372011A λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦103011034λ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 103011007λ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故当7λ=时，方程组有非零解方程组的一般解为13233x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 是自由未知量）令31x =，得方程组的一个基础解系1312X -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组的通解为1kX （其中k 为任意常数） 7. 当λ取何值时，非齐次线性方程组123123123124225x x x x x x x x x λ++=⎧⎪-+-=⎨⎪+-=⎩ 有解？在有解的情况下求方程组的通解.解：11111242251A λ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦111103330332λ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦111103330005λ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦当5λ=时，方程组有解111103330000A ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦111101110000⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦102001110000⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦一般解为132321x x x x =-⎧⎨=+⎩（其中3x 是自由未知量）令30x =，得到方程组的一个特解为0010X ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦不计最后一列，令31x =，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系1211X -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，方程组的通解为01X X kX =+（其中k 为任意常数）8. 求线性方程组12312312312324523438213496x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩的通解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵12452314382134196A --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦124507714014142807714--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦1245011200000000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1021011200000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的一般解为1323212x x x x =--⎧⎨=+⎩（其中3x 是自由未知量）令30x =，得到方程组的一个特解为0120X -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦不计最后一列，令31x =，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系1211X -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，方程组的通解为01X X kX =+（其中k 为任意常数）二、证明题（每题10分，共20分） 1. 对任意方阵A ，试证A A +'是对称矩阵． 证明：()()A A A A A A ''''''+=+=+ 故A A '+是对称矩阵2. 设n 阶方阵A 满足2A A I O +-=，试证矩阵A 可逆. 证明：2A A I += A A A I I ⋅+⋅= ()A A I I += 所以矩阵A 可逆。

2021年高三下学期第四次诊断性检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.若集合，,则（ ）2. 是虚数单位，若复数满足，则复数的实部与虚部的和是（ ）3. 是的（ ）充分而不必要条件 必要而不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件4.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在（不含）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在（含）以上是，属醉酒驾车。

据《法制晚报》报道，2011年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）5.下列函数在处连续的是（ ）6.若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）若，则 若，则若，则 若，则7.设函数()sin()cos()(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为，且，则（ ） 在单调递减 在单调递减在单调递增 在单调递增8.有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，这9个点确定的直线至少有（ ）36条 30条 21条 18条9.已知向量，向量如图所示，则( )存在，使得向量与向量垂直存在，使得向量与向量夹角为存在，使得向量与向量夹角为存在，使得向量与向量共线反向10.设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为（ ）11.已知点为双曲线的右支上一点，为双曲线的左、右焦点，若(O为坐标原点)，且的面积为（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）12.在一次研究性学习中，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时给出命题：甲：函数的值域为；乙：若，则一定有；丙：若规定，则对任意恒成立。

你认为上述三个命题中正确的个数有3个2个1个0个第二部分（非选择题共90分）二、选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知圆C的圆心是直线与轴的交点，且圆C与直线相切，则圆C的方程为____________________14. ，则__________15.如图：已知四面体的外接球的球心O在线段上，且平面,，若四面体的体积为，则球O的表面积为__________16.考虑以下数列：（1）；（2）；（3）其中满足性质“对任意正整数，都成立”的数列有__________（写出满足条件的所有序号）；若数列满足上述性质，且，则的最小值为__________三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，角的对边分别为，且。

形成性考核作业专业名称机电一体化技术课程代码110032课程名称工科数学基础(专)学号姓名班级班评阅教师第 4 次作业共 4 次作业江苏开放大学作业内容： 《工科数学基础（专）》形成性测试题（四）一、单项选择题（每小题4分，共计20分）： 1．下列极限存在的是（ B ）A ．321lim 2-+∞→x x xB ．3212lim 22-+-∞→x x x x C ．x x cos lim ∞→ D ． 201sin lim xx →2．下列各式中极限值为e 的是（ B ）A ．x x x )11(lim -∞→B ．x x x )11(lim +∞→C ．x x x 10)21(lim +→ D ．xx x2)11(lim +∞→3．下列函数中是单调增函数的为（ Ｄ ） Ａ．232+-=x x y Ｂ．xx y 1+=， Ｃ．4x y = Ｄ．x x y cos -= 4．设x y 2sin =，则=dy （ Ｃ ）Ａ．xdx 2cos Ｂ．xdx cos 2 Ｃ．xdx 2cos 2 Ｄ．xdx 2cos 2- 5．函数xx F 1)(=是（ C ）的一个原函数。

A ．21)(x x f = B ．||ln )(x x f = C ．21)(xx f -= D ．21)(x x f =二、填空题（每小题4分，共计20分）：1．=→x xx 4sin 3sin lim0__43______________．2．设6)23(-=x y ，则='=1|x y 18．3．曲线x x y ln =在点（e e ,）处的切线斜率为2 ．4．设C x x dx x f ++=⎰12)(，则=)(x f __21)12(2112-+++x x x ________．5．函数26)(3+-=x x x f 三、计算题（每题10分，共计40分）1．12lim 221----→x x x x 2．已知x e x x y )3(2-=，求y '． 解：原式=)1)(1()1)(2(lim 1-++--→x x x x x 解：]')3[('2xe x x y -==12lim 1---→x x x =)')(3()'322x x e x x e x x -+-（=23=x x e x x e x )3()322-+-（=xx x x xe e x e xe 3322-+- =xe x x x )3322-+-（ =xe x x )32--（3．已知13+=x x y ，求dy ． 4．．dx e x x x)(22+⎰解：)'1('3+=x x y 解：原式=dx e dx x x x 22⎰+⎰ =233)1()'1()1()'++-+x x x x x （ =)2(21225x d e dx x x ⋅⎰+⎰ =232)1)1(3+-+x x x x （ =c e x x++++225121125 =2323)1(33+-+x x x x =c e x x++2272127=223)1(32++x x x =c e x x ++2217227 dx x x x dx y dy 223)1(32'++==四、应用题（每题10分，共计20分）1．（1）求由曲线22x y +=和直线0,1,3==-=y x x 所围成的平面图形的面积．解：A=352)96(312]312[)(2133132=---+=+=+--⎰x x dx x（2）求由曲线xy 1=与直线3,==x x y 所围成的平面图形的面积． 解：3ln 4213ln 29]ln 21[)131231-=--=-=-=⎰x x dx x x A （2．某农科所准备建一个面积为512平方米的矩形养鸡场，一边可以利用原有的围墙，其他三边需要砌新的围墙，那么应如何设计该矩形养鸡场的尺寸才能使用料最省？解：设矩形长为x 米,则宽为x512米。

1. 计算极限0tan lim2x x x→ 解：00tan 1sin 11lim lim 22cos 2x x x x x x x →→=⋅⋅=2.计算极限()23sin 3lim 56x x x x →--+ 解：()23sin 3lim 56x x x x →--+()()()3sin 3lim 23x x x x →-=--1=3.设22sin x y x =-，求y '解：()()222sin 2ln 22cos x x y x x x '''=-=-4.设2sin 3ln y x x =+，求y '解：()()cos332ln ln y x x x x ''=+2ln 3cos3x x x=+5.计算不定积分1ln dx x x ⎰ 解：11ln ln ln dx d x x x x =⎰⎰ln ln x C =+6.计算不定积分21sinx dx x ⎰ 解：21sin11sin x dx d x x x =-⎰⎰1cos C x =+ 7.计算定积分105x xe dx ⎰ 解：110055x x xe dx xde =⎰⎰()11005|x x xe e dx =-⎰()105|5x e e =-= 8. 计算定积分20cos x xdx π⎰ 解：20cos x xdx π⎰20sin xd x π=⎰2200sin |sin x x xdx ππ=-⎰20cos |2x ππ=+12π=-9.某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底面半径与高各为多少时用料最省？解：设底半径为x ，则高为2V xπ 表面积2222222V V y x x x x xππππ=+=+ 224V y x x π'=-令0y '=可得x =10. 用钢板焊接一个容积为62.5cm 3的底部为正方形的水箱（无盖），问水箱的尺寸如何选择，可使水箱的表面积最小？解：设底边的边长为x ，高为h 262.5x = 用料即表面积 222262.525044y x xh x xx x x =+=+=+ 22502y x x'=- 令0y '=解得5x =（唯一驻点）由实际问题知，当边长为5，高为2.5时用料最省11. 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设圆柱体高h 为x ，底半径r 满足222r l x =-体积为2y r h π=()()2223l x x l x x ππ=-=- ()223y l x π'=-令0y '=得x =（唯一驻点） x =-（舍掉）时，圆柱体体积最大。

辽宁省盘锦市2019-2020学年高考第四次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =U （ ） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞【答案】D 【解析】 【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210xB x x x =<=<A B =U (),1-∞故选：D 【点睛】考查集合的并集运算，基础题.2．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.3．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】联立方程解得M(3，，根据MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF 是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM 的方程是y －1)．由214y y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方得M(3，，由MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形点M 到直线NF 的距离为4=故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 4．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B= A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先解A 、B 集合，再取交集。