【北师大版】七年级数学下册《活用乘法公式进行计算的六种技巧》专题试题(附答案)

专题06乘法公式压轴五大类型题型一：展开式是完全平方问题题型二：利用乘法公式化简求值问题题型三：利用完全平方配方法求最值值问题题型四：平方差公式在几何图形中的应用题型五：完全平方公式在几何图形中的应用题型一：展开式是完全平方问题【典例1】（2023秋•宁强县期末）已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（）A．6B．±6C．12D．±12【答案】D【解答】解：∵（3x+a）2＝9x2+bx+4，∴9x2+6ax+a2＝9x2+bx+4，∴，∴．故选：D．【变式1-1】（2023秋•望城区期末）若（x﹣3）2＝x2+kx+9，那么k的值是（）A．﹣6B．﹣3C．6D．﹣9【答案】A【解答】解：（x﹣3）2＝x2﹣6x+9＝x2+kx+9，可得k＝﹣6．故选：A．【变式1-2】（2023•任丘市模拟）小刚把（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，把（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（）A．1B．﹣1C．4043D．﹣4043【答案】C【解答】解：∵（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，∴a＝20222，∵（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，∴m＝20212，∴a﹣m＝20222﹣20212＝（2022+2021）（2022﹣2021）＝4043，故选：C．【变式1-3】（2023秋•松江区月考）若（x+m）2＝x2﹣6x+n，则m+n＝6．【答案】6．【解答】解：已知等式整理得：x2+2mx+m2＝x2﹣6x+n，可得2m＝﹣6，m2＝n，解得：m＝﹣3，n＝9，m+n＝﹣3+9＝6．故答案为：6．题型二：利用乘法公式化简求值问题【典例2】（2023秋•衡阳期末）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1）＝x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x＝x2+3，当x＝时，原式＝2+3＝5．【变式2-1】（2023春•道县期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x﹣2）2﹣3x2，其中x＝﹣．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝4x2﹣1﹣x2+4x﹣4﹣3x2＝4x﹣5，当x＝﹣时，原式＝﹣1﹣5＝﹣6．【变式2-2】（2022秋•东莞市期末）先化简，再求值：（2x﹣3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣，y＝﹣2．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝4x2﹣12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）＝4x2﹣12xy+9y2﹣4x2+y2＝10y2﹣12xy，当x＝﹣，y＝﹣2时，原式＝10×（﹣2）2﹣12×（﹣）×（﹣2）＝36．【变式2-3】（2022秋•郸城县期中）先化简，再求值：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x ﹣y）2]÷（2y），其中x＝1，y＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y）＝[x2﹣y2+2xy﹣2y2﹣x2+2xy﹣y2]÷（2y）＝[﹣4y2+4xy]÷（2y）＝﹣2y+2x，当x＝1，y＝2时，原式＝﹣2×2+2×1＝﹣2．题型三：利用完全平方配方法求最值问题【典例3】（2022秋•偃师市期末）（1）用等号或“＞”、“＜”填空，探究规律并解决问题：比较a2+b2与2ab的大小．①当a＝3，b＝3时，a2+b2＝2ab；②当a＝2，时，a2+b2＞2ab；③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2＞2ab．（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为S1，S2．若△BCG 的面积为2保持不变，请直接写出S1+S2的最小值．【答案】（1）＝，＞，＞；（2）a2+b2≥2ab；证明见解答；（3）8．【解答】解：（1）①把a＝3，b＝3代入，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，所以a2+b2＝2ab；②把a＝2，b＝代入，a2+b2＝4+＝，2ab＝2×2×＝2，所以a2+b2＞2ab；③把a＝﹣2，b＝3代入，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×（﹣2）×3＝﹣12，所以a2+b2＞2ab；故答案为：＝，＞，＞：（2）由（1）可得，a2+b2≥2ab，理由如下：∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（3）由题意可知S1＝a2，S2＝b2，∵△BCG的面积为2，即ab＝2，∴ab＝4，∵S1+S2＝a2+b2≥2ab，∴S1+S2＝a2+b2≥8，因此S1+S2的最小值为8．【变式3-1】（2022秋•硚口区期末）a、b为实数，整式a2+b2﹣4a+6b的最小值是（）A．﹣13B．﹣4C．﹣9D．﹣5【答案】A【解答】解：a2+b2﹣4a+6b＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）﹣13＝（a﹣2）2+（b+3）2﹣13，∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0，∴（a﹣2）2+（b+3）2﹣13的最小值为﹣13，即a2+b2﹣4a+6b的最小值为﹣13．故选：A．【变式3-2】（2022春•庐阳区校级期中）用四个长为m，宽为n的相同长方形按如图方式拼成一个正方形．（1）根据图形写出一个代数恒等式：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）已知3m+n＝9，mn＝6，试求3m﹣n的值；（3）若m+n＝1，求m2+n2的最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵直接用阴影正方形边长的平方可求阴影面积＝（m﹣n）2，用大正方形面积减四个小长方形的面积可求阴影面积＝（m+n）2﹣4mn，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）∵（3m﹣n）2＝（3m+n）2﹣12mn，∴（3m﹣n）2＝81﹣72＝9，∴3m﹣n＝±3；（3）∵m+n＝1，∴m＝1﹣n，∴m2+n2＝（1﹣n）2+n2＝1+2n2﹣2n＝2（n﹣）2+≥，∴m2+n2的最小值为．【变式3-3】（2023春•龙岗区校级期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，换句话说，“算两次”的思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．理解：（1）如图2，四个完全一样的长方形摆成一个大的正方形，长方形的长和宽分别为a和b，运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab（用a、b表示）应用：（2）利用（1）中的结论解决问题：若x+y＝8，xy＝4，则（x﹣y）2＝48；拓展：（3）如图3，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB 上一动点．求CD的最小值．【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）48；（3）．【解答】解：（1）图2中正方形ABCD的面积＝（a+b）2，图2中正方形ABCD的面积＝（a﹣b）2+4ab，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）∵x+y＝8，xy＝4，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝64﹣16＝48，故答案为：48；（3）当CD⊥AB时，CD取得最小值，设CD的最小值为h，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴△ABC的面积＝，△ABC的面积＝，∴＝，解得h＝＝，∴CD的最小值为．题型四：平方差公式在几何图形中的应用【典例4】（2022秋•任泽区期末）乘法公式的探究及应用．【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：①若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；②计算：102×98．【拓展】（3）计算：．【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①3；②9996；（3）．【解答】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2，∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，∴图1阴影部分面积＝a2﹣b2，图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），∵图1的阴影部分与图2面积相等，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，x+3y＝4，即：4×（x﹣3y）＝12，∴x﹣3y＝3；②102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996；（3）＝＝＝＝．【变式4-1】（2023春•高密市月考）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是B；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a+ab2＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（22+42+62+82+102+122+…1002）﹣（12+32+52+72+92+112+…992）．【答案】（1）B；（2）①3；②5050．【解答】解：（1）左图中，阴影部分为正方形，面积为：a2﹣b2，右图阴影是拼成的长方形，长是：a+b，宽是：a﹣b，所以右图阴影部分面积为：（a+b）（a﹣b），由于左右两图面积相等，所以有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：B．（2）①由（1）中规律，利用平方差公式可得：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），∵x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，∴x﹣2y＝12÷4＝3．故答案为：3．②通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律将原式写成：（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+（82﹣72）+……+（1002﹣992），＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+（6+5）（6﹣5）+（8+7）（8﹣7）+……+（100+99）（100﹣99），＝3+7+11+15+……+199＝（3+199）×[（199﹣3）÷4+1]÷2＝202×50÷2＝5050．故答案为：5050．【变式4-2】（2023秋•林州市期末）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用式子表达）．（2）运用你所得到的公式，计算（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c），＝[（a﹣c）+2b][（a﹣c）﹣2b]，＝（a﹣c）2﹣（2b）2，＝a2﹣2ac+c2﹣4b2．【变式4-3】（2022秋•杜尔伯特县月考）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）试利用这个公式计算：①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）②③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原阴影面积＝a2﹣b2，拼剪后的阴影面积＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）验证的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p），＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]，＝（2m）2﹣（n﹣p）2，＝4m2﹣n2+2np﹣p2；②＝＝＝＝5；③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1，＝（232﹣1）（232+1）+1，＝264﹣1+1，＝264．题型五：完全平方公式在几何图形中的应用【典例5】（2023秋•清原县期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．（1）【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2；（2）【得出结论】根据（1）中的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系为（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）【知识迁移】根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b＝8，ab＝7，求a﹣b的值．【答案】（1）方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）﹣6或6．【解答】解：（1）方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2（2）代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2（3）由（2）可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝82﹣4×7＝36．∴a﹣b＝6或a﹣b＝﹣6．【变式5-1】（2023秋•大安市期末）完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝4；（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积．【答案】（1）xy＝4；（2）5．【解答】解：（1）∵x+y＝6，x2+y2＝28，∴（x+y）2＝36，则x2+y2+2xy＝36，∴2xy＝36﹣28＝8，则xy＝4；故答案为：4；（2）设AC＝x，BC＝y，∵AB＝8，∴x+y＝8，则（x+y）2＝64，∵S1+S2＝44，∴x2+y2＝44，∴x2+y2+2xy＝44+2xy＝64，∵xy＝10，∴【变式5-2】（2022秋•宁乡市期末）【阅读理解】若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值．解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，a+b＝（32﹣x）+（x ﹣12）＝20，（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×100＝200，我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．【解决问题】（1）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝15；（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2000）2＝229，求（2023﹣x）（x﹣2000）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝24cm，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝12cm，且BE＝DF＝xcm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为320cm2，求图中阴影部分的面积和．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据阅读材料的方法，设100﹣x＝a，x﹣95＝b，则ab＝5，而a+b＝5，∴（100﹣x）2+（x﹣95）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×5＝15；故答案为：15；（2）设2023﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝229，而a+b＝23，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝232﹣229＝529﹣229＝300，∴ab＝150，即（2023﹣x）（x﹣2000）＝150；（3）由题意得：CF＝CD﹣DF＝24﹣x，BC＝CE+BE＝x+12，设CF＝a，BC＝b，∴a+b＝24﹣x+x+12＝36，∵长方形CBQF的面积为320cm2，∴（24﹣x）（12+x）＝ab＝320，∴图中阴影部分的面积和＝（24﹣x）2+（x+12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝362﹣2×320＝656（cm2）．【变式5-3】（2023春•揭阳期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2．（2）若a+b＝9，ab＝21，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab．（2）∵a+b＝9，ab＝21∴S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝81﹣3×21＝18∴S1+S2的值为18．（3）由图可得：S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣＝（a2+b2﹣ab）∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30∴S3＝×30＝15∴图3中阴影部分的面积S3为15一．选择题（共2小题）1．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（）A．10B．20C．30D．40【答案】C【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①则S△BDOS△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2；②S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2；③∴阴影部分面积＝①+②+③＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2＝{a2+2b2﹣（ab+b2）+（ab﹣b2）+b2}÷2＝（a2+b2）÷2，④由已知a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：（a+b）2＝102，解得a2+b2+2ab＝100，a2+b2＝100﹣2•20，化简＝60代入④式，得60÷2＝30，∴S＝30．阴影部分故选：C．2．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（）A．5B．9C．13D．17【答案】C【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34，解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13．故选：C．二．填空题（共6小题）3．若规定符号的意义是：＝ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得，＝m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）＝m3﹣7m+3，∵m2﹣2m﹣3＝0，∴m2＝2m+3，m2﹣2m＝3∴m3﹣7m+3＝m（m2）﹣7m+3＝m（2m+3）﹣7m+3＝2m2﹣4m+3＝2（m2﹣2m）+3＝2×3+3＝9，所以当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．故答案为：9．4．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为10．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3，∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3＝4，∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10．故答案为：10．5．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如3＝22﹣12，7＝42﹣32，16＝52﹣32，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是2699．【答案】见试题解答内容【解答】解：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．设两个数分别为k+1，k﹣1，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k ﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，k＝2时，4k＝8，∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数；除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2＝m2﹣n2，∴4k+2＝2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n）①，∵m+n和m﹣n这两个数的奇偶性相同，∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，又∵（2022﹣1）÷3＝673••••••2，∴第2022个智慧数在1+673+1＝675（组），并且是第三个数，即675×4﹣1＝2699，是个奇数，∴2k+1＝2699，解得k＝1349，k+1＝1350，即第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解．故答案为：2699．6．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+2b）20的展开式中第二项的系数为40．【答案】40．【解答】解：根据“杨辉三角“，可知，（a+2b）0的第二项系数为0×2，（a+2b）1的第二项系数为1×2，（a+2b）2的第二项系数为2×2，（a+2b）3的第二项系数为3×2，……（a+2b）20的第二项系数为20×2＝40，故答案为：40．7．已知m2+2km+16是完全平方式，则k＝±4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵m2+2km+16是完全平方式，∴2km＝±8m，解得k＝±4．8．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，＝（532﹣1）+，＝．三．解答题（共11小题）9．先化简，后求值：[（2a﹣b）2﹣（b+2a）（b﹣2a）]÷（4a），其中．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝[4a2﹣4ab+b2﹣（b2﹣4a2）]÷（4a）＝（4a2﹣4ab+b2﹣b2+4a2）÷（4a）＝（8a2﹣4ab）÷（4a）＝2a﹣b，当时，原式＝．10．阅读材料：若x满足（x﹣3）（x﹣5）＝16，求（x﹣3）2+（x﹣5）2的值．解：设x﹣3＝a，x﹣5＝b，则ab＝（x﹣3）（x﹣5）＝16，a﹣b＝（x﹣3）﹣（x﹣5）＝2，∴（x﹣3）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝22+2×16＝36．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（x﹣2）（x﹣5）＝10，求（x﹣2）2+（x﹣5）2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形DFGH．①MF＝x﹣1，DF＝x﹣3；（用含x的代数式表示）②若长方形EMFD的面积为24，则阴影部分的面积为20．【答案】（1）29；（2）①x﹣1，x﹣3；②20．【解答】解：（1）设x﹣2＝a，x﹣5＝b，∴a﹣b＝x﹣2﹣（x﹣5）＝3，∵（x﹣2）（x﹣5）＝10，∴ab＝10，∴（x﹣2）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×10＝9+20＝29，∴（x﹣2）2+（x﹣5）2的值为29；（2）①由题意得：MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，故答案为：x﹣1；x﹣3；②由题意得MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，则（x﹣1）（x﹣3）＝24，设x﹣1＝a，x﹣3＝b．则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝24，a﹣b＝x﹣1﹣x+3＝2，∴（x﹣1+x﹣3）2＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×24＝100，∵a≥0，b≥0，∴x﹣1+x﹣3＝a+b＝＝10，∴阴影部分面积为（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝10×2＝20．11．有一系列等式：1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）22×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）23×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）24×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果892（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1＝（82+3×8+1）2＝892；故答案为：892；（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2，理由如下：等式左边＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝n4+6n3+9n2+2n2+6n+1＝n4+6n3+11n2+6n+1，等式右边＝（n2+3n+1）2＝（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2＝n4+2n2+1+6n3+6n+9n2＝n4+6n3+11n2+6n+1，左边＝右边．12．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE 和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是a2﹣b2（写成平方差的形式）（2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE 的面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式相乘的形式）（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（4）利用所得公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2；（2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；（3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）原式＝4（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝4（1﹣））（1+）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）+＝4（1﹣）+＝4﹣+＝4．故答案为：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b213．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为＝﹣2，恰好为x ＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为；（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求（m+n）（m﹣n）的值；（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n和﹣3x＝mn+m都是“恰解方程”，求代数式4（mn+n）2﹣6（mn+m）﹣（m﹣n）的值．【答案】（1）（2）（3）【解答】解：（1）3x+k＝0，3x＝﹣k，，∵关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，∴x＝3﹣k，∴，﹣k＝9﹣3k，﹣k+3k＝9，2k＝9，，故答案为：；（2）把x＝n代入关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n，∴﹣2n＝mn+n，∴mn＝﹣3n，∴m＝﹣3，∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，即方程为﹣2x﹣mn﹣n＝0，∴x＝﹣2﹣（﹣mn﹣n）＝﹣2+mn+n，∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n解为x＝n（n≠0），∴﹣2+mn+n＝n，∴mn＝2，∴﹣3n＝2，解得：，∴（m+n）（m﹣n）．＝＝＝＝；（3）解3x＝mn+n得：，∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝3+mn+n，∴，∴mn+n＝，解﹣3x＝mn+m得：，∵方程﹣3x＝mn+m是“恰解方程”，∴x＝﹣3+mn+m．∴，∴mn+m＝，∴解得m﹣n＝，4（mn+n）2﹣6（mn+m）﹣（m﹣n）．＝4×﹣6×﹣＝4×﹣6×﹣＝．14．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n＝4，mn＝12，求m+n的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）方法一：∵大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，∴中间阴影部分的面积为S＝（m+n）2﹣4mn．方法二：∵中间小正方形的边长为m﹣n，∴其面积为（m﹣n）2．（4分）（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2或（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn）．（6分）（3）由（2）得（m+n）2﹣4×12＝42，即（m+n）2＝64，∴m+n＝±8．又m、n非负，∴m+n＝8．（8分）15．阅读理解：①32+42＞2×3×4②32+32＝2×3×3；③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×（﹣5）（1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有a、b的式子表示上述规律；（2）运用你所学的知识证明你发现的规律；（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）规律是：如果a、b是两个实数，则有a2+b2≥2ab；（2）∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（3）∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2﹣2ab≥2ab，（a+b）2≥4ab，ab≤（a+b）2＝×16＝4．故ab的最大值是4．16．已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求x2+y2与xy的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝1①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49②，∴①+②得：2（x2+y2）＝50，即x2+y2＝25；①﹣②得：4xy＝﹣48，即xy＝﹣12．17．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4＝x2﹣2xy+y2+y2+4y+4＝（x﹣y）2+（y+2）2＝0，∴x﹣y＝0，y+2＝0，解得x＝﹣2，y＝﹣2，∴x y＝（﹣2）﹣2＝；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，即（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，a﹣5＝0，b﹣4＝0，解得a＝5，b＝4，∵c是△ABC中最长的边，∴5＜c＜9．18．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足a＝2b时，S为定值，且定值为a2．（用含a或b的代数式表示）【答案】a＝2b，a2．【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）如图，（3）设DG长为x．∵S1＝a[x﹣（a+2b）]＝ax﹣a2﹣2ab，S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab，∴S＝S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣a2﹣2ab）＝（2b﹣a）x+a2，由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，可知当2b﹣a＝0时，即a＝2b时，S＝a2为定值，故答案为：a＝2b，a2．19．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（只要写出一个即可）；（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝，x2+4y2+9z2＝44，求2xy﹣3xz﹣6yz的值．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）①45；②﹣20．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）＝112﹣2×38＝45；②∵2x×4y÷8z＝，∴2x×22y÷23z＝，∴2x+2y﹣3z＝2﹣2，∴x+2y﹣3z＝﹣2，∵（x+2y﹣3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy﹣3xz﹣6yz），x2+4y2+9z2＝44，∴（﹣2）2＝44+2（2xy﹣3xz﹣6yz），∴2xy﹣3xz﹣6yz＝﹣20．。

第一章 整式的乘除一、 同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=⋅(m,n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是 一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n ma a a a ++=⋅⋅（其中m 、n 、p 均为正数）；⑤公式还可以逆用：n m nm a a a ⋅=+（m 、n 均为正整数）二．幂的乘方与积的乘方1. 幂的乘方法则：mn nm a a =)((m,n 都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.2.),()()(都为正数n m a a a mn m n n m ==.3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a ）3化成-a 3⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n4．底数有时形式不同，但可以化成相同。

5．要注意区别（ab ）n 与（a+b ）n 意义是不同的，不要误以为（a+b ）n =a n +b n （a 、b 均不为零）。

6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即n n nb a ab =)(（n为正整数）。

7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

三. 同底数幂的除法1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n m n ma a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数,且m>n).2. 在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0. ②任何不等于0的数的0次幂等于1,即)0(10≠=a a,如1100=,(-2.50=1),则00无意义.③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即ppa a 1=-( a ≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a -p 的值一定是正的; 当a<0时,a -p 的值可能是正也可能是负的,如41(-2)2-=,81)2(3-=-- ④运算要注意运算顺序.四. 整式的乘法1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

北师版七年级下册第一章整式的乘除难题辅导【专题一】幂为11．若（x﹣1）x+1=1，则x=．2．已知：（x+2）x+5=1，则x=．3．若（2x﹣3）x+3=1，则x=．【专题二】幂的形式转化4．（1）已知2x+2=a，用含a的代数式表示2x；（2）已知x=3m+2，y=9m+3m，试用含x的代数式表示y．5．图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下面的问题：（1）计算：①82008×（﹣0.125）2008；②（）11×（﹣）13×（）12．（2）若2•4n•16n=219，求n的值．6．（1）已知2x=3，2y=5，求2x+y的值；（2）x﹣2y+1=0，求：2x÷4y×8的值．7．已知常数a、b满足3a×32b=27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，求a2+4b2的值．8．根据已知求值：（1）已知a m=2，a n=5，求a3m+2n的值；（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．9．（1）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．（2）若26=a2=4b，求a+b值．10．已知a x=﹣2，a y=3．求：（1）a x+y的值；（2）a3x的值；（3）a3x+2y的值．11．已知2x+3y﹣2=0，求9x•27y的值．12．（1）已知10m=2，10n=3，求103m+2n的值；（2）已知9•32x•27x=317，求x的值．13．计算：（1）﹣82015×（﹣0.125）2016（2）若2•8n•16n=222，求n的值．14．（1）已知x2n=2，求（2x3n）2﹣（3x n）2的值（2）已知x3•x a•x2a+1=x31，求a的值．15．若2×4m×8m=211，求m的值．【专题三】乘法公式的探究与应用16．观察下列各式：（x﹣1）÷（x﹣1）=1；（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1；（1）根据上面各式的规律可得（x n+1﹣1）÷（x﹣1）=；（2）利用（1）的结论求22015+22014+…+2+1的值；（3）若1+x+x2+…+x2015=0，求x2016的值．17．观察下列式子：（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1（1）根据以上式子，请直接写出（x n﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数）；（2）计算：1+2+22+23+24+ (22015)18．观察下列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，…（1）计算一下这里任一个单项式与前面相连的单项式的商是多少？据此规律请你写第n个单项式；（2）根据你发现的规律写出第10个单项式．19．观察下列各式：（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1（1）则（x6﹣1）÷（x﹣1）=（2）则1+x2+x3+x4+ (x11)（3）求：1+2+22+23+ (22010)20．观察下列各式：（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1…（1）写出（x6﹣1）÷（x﹣1）的结果；（2）将x6﹣1表示成两个多项式乘积的形式．【专题四】整体思想的应用21．在求1+2+22+23+24+25+26的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：S=1+2+22+23+24+25+26①然后在①式的两边都乘以2，得：2S=2+22+23+24+25+26+27 ②；②﹣①得2S﹣S=27﹣1，S=27﹣1，即1+2+22+23+24+25+26=27﹣1．（1）求1+3+32+33+34+35+36的值；（2）求1+a+a2+a3+…+a2013（a≠0且a≠1）的值．22．已知a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，设：M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），试着比较M，N的大小．23．计算（1+2+…+n﹣1）（2+3+…+n）﹣（2+3+…n﹣1）•（1+2+…+n）24．对于一些计算量特别大，或用常规方法解不出来的问题，可考虑设参数的方法，例如在计算20163﹣2015×2016×2017时，设m=2016，则原式可化为m3﹣（m﹣1）m（m+1），化简结果为m，即原式等于2016．请你用这种方法计算：（1）；（2）已知（2017﹣a）（2015﹣a）=2016．求（2017﹣a）2+（2015﹣a）2的值．25．阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较x、y的大小．解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a﹣2）=a2﹣a﹣2，y=a（a﹣1）=a2﹣a∵x=y=（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）=﹣2＜0∴x＜y看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！问题：（1）x=98760×98765﹣98761×98764，y=98761×98764﹣98762×98763，试比较x、y的大小；（2）计算：1.345×0.345×2.69﹣1.3453﹣1.345×0.3452．26．数学课上老师出了一道题计算：小明看后说：“太繁琐了，我是做不出来”；小亮思考后说：“若设=x，先运用整体思想将原式代换，再进行整式的运算，就简单了”．小明采用小亮的思路，很快就计算出了结果，请你根据小亮的思路完成计算．27．化简×+1．28．设a=（++…+）（1+++…+）﹣（1+++…+）（++…+），求2004a﹣1的值．29．计算：（++…+）（1+++…+）﹣（1+++…+）（++…）．30．化简：（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）﹣（x2﹣5x）2﹣10（x2﹣5x）【专题五】数形结合思想的应用31．如图，已知大正方形的边长为a+b+c，利用图形的面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．当大正方形的边长为a+b+c+d时，利用图形的面积关系可得：（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．根据以上结论解决下列问题：（1）若a+b+c=6，a2+b2+c2=14，则ab+bc+ac=；（2）从﹣4，﹣2，﹣1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．32．问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2∴（a+b）2 =a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．类比解决：（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23=（1+2）2=32尝试解决：（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33=．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．（3）问题拓广：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3=．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）33．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=．（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z=．34．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c 的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？35．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到（a+b）2=a2+2ab+b2．（1）写出由图2所表示的数学等式：；写出由图3所表示的数学等式：；（2）利用上述结论，解决下面问题：已知a+b+c=11，bc+ac+ab=38，求a2+b2+c2的值．36．把四块长为a，宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题：（1）按要求用含、的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简保留原式）：①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：S=；②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：S=；（2）由①、②可得等式；（3）试证明（2）中的等式成立．37．如图①是一个长2m，宽2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）用两种方法表示图②中阴影部分的面积；（2）观察图②，请你写出代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系式；（3）根据（2）中的结论，若x+y=﹣6，xy=2.75．求x﹣y的值．38．【知识生成】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．（1）如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：；（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b3的值．39．现有若干张如图1所示的正方形纸片A，B和长方形纸片C．（1）小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形，通过用两种不同的方法计算新正方形面积，由此，他得到了一个等式：；（2）小王再取其中的若干张纸片（三种纸片都要取到）拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形，则n可取的正整数值是，并请你在图3位置画出拼成的长方形；（3）根据拼图经验，请将多项式a2+5ab+4b2分解因式．40．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．北师版七年级下册第一章整式的乘除难题辅导（针对期末考试）参考答案一．填空题（共3小题）1．﹣1或2；2．﹣5或﹣1或﹣3；3．﹣3或2或1；二．解答题（共37小题）4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．x n+x n﹣1+…+x+1；17．；18．；19．x5+x4+x3+x2+x+1；；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；31．11；32．62；[n（n+1）]2；33．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；30；156；34．；35．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（a﹣b﹣c）2=a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac；36．（a+b）2﹣4ab；（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2；37．；38．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；39．a2+2ab+b2=（a+b）2；2；40．；。

第07讲解题技巧专题：乘法公式的灵活运用(5类热点题型讲练)目录【考点一项的位置变换】 (1)【考点二项数的变换】 (1)【考点三简便运算变换】 (2)【考点四连续相乘应用】 (3)【考点五整体代换应用】 (4)【考点一项的位置变换】【考点二项数的变换】例题：（2023上·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考阶段练习）用乘法公式计算：()()33x y x y +++-．【变式训练】1．（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)2()x y z ++(2)()()2323x y x y -+-+2．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）运用乘法公式计算：(1)()(1)1x y x y +++-(2)2(21)a b +-3．（2023上·全国·八年级专题练习）计算题：(1)2(23)a b c --；(2)2()())2(2x y z x y z x y z +----+-．【考点三简便运算变换】例题：（2023上·全国·八年级专题练习）用简便方法计算下列各题．(1)197203⨯；(2)2998．【变式训练】【考点四连续相乘应用】(1)上述操作能验证的等式是：______(2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题：①已知2293639a b a b -=+=，，则②计算：22111111234⎛⎫⎛⎫⎛-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝（1）()()11x x -+=____________；（2）()()211x x x -++=____________；（3）()()3211x x x x -+++=____________；【复杂问题】化简（4）()()20232022202111x xx x x -+++++= ____________；【总结规律】（5）观察以上各式，可以得到：()()1211n n x x x x ---++++=L ____________；【方法应用】（6）利用上述规律，计算20232022202122221+++++ ，并求出该结果个位上的数字．【考点五整体代换应用】例题：（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）阅读理解：已知5a b +=，3ab =，求22a b +的值．解：∵5a b +=，∴()225a b +=，即22225a ab b ++=，∵3ab =，∴222()219a b a b ab +=+-=，参考上述过程解答：(1)若3x y -=-，2xy =-．①22x y +=___________；②求()2x y +的值；(2)已知7x y +=，2225x y +=，求()2x y -的值．【变式训练】1．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知5a b +=，3ab =，求22a b +的值．【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法：。

专题1.3 乘法公式【十大题型】【北师大版】【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】 (1)【题型2 利用完全平方式确定系数】 (3)【题型3 乘法公式的计算】 (5)【题型4 利用乘法公式求值】 (8)【题型5 利用面积法验证乘法公式】 (10)【题型6 乘法公式的应用】 (13)【题型7 平方差公式的几何背景】 (17)【题型8 完全平方公式的几何背景】 (22)【题型9 乘法公式中的新定义问题】 (28)【题型10 乘法公式的规律探究】 (31)【知识点乘法公式】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

这个公式叫做平方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。

这两个公式叫做完全平方公式。

【题型1判断运用乘法公式计算的正误】【例1】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）计算(x−y+3)(x+y−3)时，下列变形正确的是（）A．[(x−y)+3][(x+y)−3]B．[(x+3)−y][(x−3)+y]C．[x−(y+3)][x+(y−3)]D．[x−(y−3)][x+(y−3)]【答案】D【分析】将(y−3)看做一个整体，则x是相同项，互为相反项的是(y−3)，对照平方差公式变形即可求解．【详解】解：(x−y+3)(x+y−3)=[x−(y−3)][x+(y−3)]，故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是找出相同项和相反项．【变式1-1】（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）下列运算正确的是（）A ．(x +y )(−y +x )=x 2−y 2B ．(−x +y )2=−x 2+2xy +y 2C ．(−x−y )2=−x 2−2xy−y 2D ．(x +y )(y−x )=x 2−y 2【答案】A【分析】根据平方差公式和完全平方公式，逐个进行判断即可．【详解】解：A 、(x +y )(−y +x )=x 2−y 2，故A 正确，符合题意；B 、(−x +y )2=x 2−2xy +y 2，故B 不正确，不符合题意；C 、(−x−y )2=x 2+2xy +y 2，故C 不正确，不符合题意；D 、(x +y )(y−x )=y 2−x 2，故D 不正确，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查根据平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式(a +b )(a−b )=a 2−b 2和完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2．【变式1-2】（2023春·天津滨海新·七年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（ ）A ．(x +y)(x−y)B ．(−x +y)(x +y)C ．(−x−y)(−x +y)D ．(x−y)(−x +y)【答案】D【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．【详解】A 、B 、C 选项都是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式，D 选项变形后为−(x−y)2，不能使用平方差公式；故选：D ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【变式1-3】（2023春·广东茂名·七年级统考期中）下列多项式不是完全平方式的是( )．A ．x 2−4x−4B ．14+m 2+mC ．a 2+2ab +b 2D ．t 2+4t +4【答案】A【分析】根据a 2±2ab +b 2的形式判断即可；【详解】x 2−4x−4不是完全平方公式，故A 符合题意；14+m 2+m =+m 2，故B 不符合题意；a 2+2ab +b 2=(a +b )2，故C 不符合题意；t2+4t+4=(t+2)2，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的判断，准确分析是解题的关键．【题型2利用完全平方式确定系数】【例2】（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）若将多项式4a2−2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是．（只要写出符合条件的一个）【答案】−2a，6a，−34，−3a2．【分析】根据完全平方公式的特点分情况讨论：若把4a2和1看成两个平方项，则该完全平方式可以；是(2a−1)2或(2a+1)2；②若把4a2看成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(2a−12)2；③若把1看成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(a−1)2．分别算出所需添加的单项式即可．【详解】①若把4a2和1看成两个平方项，则该完全平方式可以是(2a−1)2或(2a+1)2，∵(2a−1)2=4a2−4a+1=4a2−2a+1+(−2a)，∴这个单项式可以是−2a；∵(2a+1)2=4a2+4a+1=4a2−2a+1+6a，∴这个单项式可以是6a；②若把4a2成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(2a−12)2，∵(2a−12)2=4a2−2a+14=4a2−2a+1+(−34)，∴这个单项式可以是−34；③若把1成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(a−1)2，∵(a−1)2=a2−2a+1=4a2−2a+1+(−3a2)，∴这个单项式可以是−3a2．综上，添加的这个单项式可以是−2a，6a，−34，−3a2．故答案为：−2a，6a，−34，−3a2．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点，进行分类讨论是解题的关键．【变式2-1】（2023春·四川达州·七年级校考期中）若x2+2(m−3)x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则n m的值为．【答案】4或16【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m 与n 的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：∵x 2+2(m−3)x +1是完全平方式，∴m−3=±1，∴m =4或m =2，∵x +n 与x +2的乘积中不含x 的一次项，(x +n )(x +2)=x 2+(n +2)x +2n ，∴n +2=0，∴n =−2，当m =4，n =−2时，n m =(−2)4=16；当m =2，n =−2时，n m =(−2)2=4，则n m =4或16，故答案为：4或16．【点睛】本题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．【变式2-2】（2023春·七年级课时练习）若9x 2−(k−1)xy +25y 2是关于x 的完全平方式，则k =．【答案】31或−29/−29或31【分析】由9x 2−(k−1)xy +25y 2是关于x 的完全平方式，得出9x 2−(k−1)xy +25y 2=(3x ±5y )2，进而得出−(k−1)=±30，即可求出k 的值．【详解】解：∵9x 2−(k−1)xy +25y 2是关于x 的完全平方式，∴9x 2−(k−1)xy +25y 2=(3x ±5y )2，∴−(k−1)=±30，解得：k =31或−29，故答案为：31或−29【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点，考虑两种情况是解决问题的关键．【变式2-3】（2023春·福建泉州·七年级晋江市季延中学校考期中）已知B 是含字母x 的单项式，要使x 2+B +14是完全平方式，那么B = ．【答案】±x 或x 4．【分析】分类讨论：①当x 2+B +14是完全平方式时和当B +x 2+14是完全平方式时，再根据完全平方式的特点即可得出答案．【详解】解：分类讨论：①当x 2+B +14是完全平方式时．∵x 2+B +14=x 2+B +，∴B =±2×x ×12=±x ；②当B +x 2+14是完全平方式时．∵B +x 2+14=B +2×x 2×12+，∴B =x 4．综上可知，B =±x 或x 4．故答案为：±x 或x 4．【点睛】本题考查完全平方式．掌握完全平方式的结构特征和利用分类讨论的思想是解题关键．【题型3 乘法公式的计算】【例3】（2023春·云南昭通·七年级校考期末）计算：(1)(2m−n +3p)(2m +3p +n)；(2)化简求值：(x−3)(x +3)−(x 2−2x +1)，其中x =12．【答案】(1)4m 2+12mp +9p 2−n 2(2)2x−10，−9【分析】（1）先把原式化为[(2m +3p)−n ][(2m +3p)+n ]，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可；（2）先利用平方差公式和去括号法则展开，再合并同类项，最后求值即可．【详解】（1）解：原式=[(2m +3p)−n ][(2m +3p)+n ]=(2m +3p)2−n 2=4m 2+12mp +9p 2−n 2；（2）原式=x 2−9−x 2+2x−1=2x−10，当x =12时，原式=1−10=−9．【点睛】本题考查了整式的混合运算以及平方差公式，熟练掌握整式的混合运算法则是解本题的关键．【变式3-1】（2023春·山东东营·六年级统考期末）利用整式乘法公式计算．(1)1002−98×102；(2)(a+b+3)(a+b−3)；(3)(−2m+3)(−2m−3)；x−2y 2．【答案】(1)4(2)a2+2ab+b2−9(3)4m2−9(4)14x2−2xy+4y2【分析】（1）首先把98×102转化为(100−2)×(100+2)，然后再根据平方差公式计算即可；（2）利用平方差公式变形，然后再根据完全平方公式计算即可；（3）根据平方差公式计算即可；（4）根据完全平方公式计算即可．【详解】（1）解：1002−98×102=1002−(100−2)×(100+2)=1002−(1002−22)=1002−1002+22=4；（2）解：(a+b+3)(a+b−3)=[(a+b)+3][(a+b)−3]=(a+b)2−32=a2+2ab+b2−9；（3）解：(−2m+3)(−2m−3)=(−2m)2−32=4m2−9；（4x−2y2=14x2−2xy+4y2．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握整式的乘法公式进行计算．【变式3-2】（2023春·湖南永州·七年级校联考期中）1−1−=．【答案】1528【分析】根据平方差公式得，1−=1−+...1−+=12×32×23×43×34×54...×1314×1514，然后计算求解即可．【详解】解：1−==12×32×23×43×34×54...×1314×1514=12×1514=1528，故答案为：1528．【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式3-3】（2023春·江西抚州·七年级校联考期中）运用乘法公式计算：(1)(2m−3n)(−2m−3n)−(2m−3n)2(2)1002−992+982−972+…+22−12．【答案】(1)−8m2+12mn(2)5050【分析】(1)原式第一项利用平方差是化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；(2)原式结合后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．【详解】（1）原式=9n2−4m2−4m2+12mn−9n2=−8m2+12mn；（2）原式=(100+99)×(100−99)+(98+97)×(98−97)+…+(2+1)×(2−1)=100+99+98+97+96+……+1=5050．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．【题型4利用乘法公式求值】【例4】（2023春·山东济南·七年级统考期末）设a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023．若a2+b2=16，则c2的值是( )A．5B．6C．7D．8【答案】C【分析】根据完全平方公式得出ab=6，a−b=2，进而根据已知条件得出c2=(a−1)(b+1)，进而即可求解．【详解】∵a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023，∴a−1=x−2023=c=b+1，a−b=2，∵a2+b2=16，∴(a−b)2+2ab=16，∴ab=6，∴c2=(a−1)(b+1)=ab+a−b−1=6+2−1=7，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出c2=(a−1)(b+1)是解题的关键．【变式4-1】（2023春·广西贵港·七年级校考期末）若x−y−7=0，则代数式x2−y2−14y的值为．【答案】49【分析】先计算x−y的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将x−y的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解．【详解】解：∵x−y−7=0，∴x−y=7，∴x2−y2−14y=(x+y)(x−y)−14y=7(x+y)−14y=7x +7y−14y =7(x−y )=49．故答案为：49．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．【变式4-2】（2023春·湖南永州·七年级校考期中）（1）已知a +1a =3，求a 2+1a 2的值；（2）已知(a−b )2=9，ab =18，求a 2+b 2的值．【答案】（1）7；（2）45【分析】（1）根据完全平方和公式恒等变形后，代值求解即可得到答案；（2）根据完全平方差公式，代值求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵ a 2+1a 2=a−2，a +1a =3，∴原式=32−2=9−2=7；（2）∵(a−b )2=a 2−2ab +b 2，(a−b )2=9，ab =18，∴ 9=a 2−2×18+b 2，解得a 2+b 2=9+2×18=45．【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方和与完全平方差公式是解决问题的关键．【变式4-3】（2023春·陕西西安·七年级校考期中）已知m 满足(3m−2015)2+(2014−3m )2=5．(1)求(2015−3m )(2014−3m )的值．(2)求6m−4029的值．【答案】(1)−2(2)±3【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，计算即可确定出原式的值；（2）原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．【详解】（1）解：设a =3m−2015，b =2014−3m ，可得a +b =−1，a 2+b 2=5，∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴1=5+2ab，即ab=−2，则(2015−3m)(2014−3m)=(3m−2015)(2014−3m)=−ab=2；（2）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，可得6m−4029=(3m−2015)−(2014−3m)=a−b，∵(a−b)2=a2+b2−2ab，∴(6m−4029)2=(a−b)2=a2+b2−2ab=5+4=9，则6m−4029=±3．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．【题型5利用面积法验证乘法公式】【例5】（2023春·七年级课时练习）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（）A．①B．②C．①②D．①②都不能【答案】C【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式，即可得到答案．【详解】解：在图①中，左边的图形中阴影部分的面积为：a2−b2，右边图形中的阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，故可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可验证平方差公式，符合题意；在图②中，左边的图形中阴影部分的面积为：a2−b2，右边图形中的阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，故可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可验证平方差公式，符合题意；故能够验证平方差公式的是：①②，故选：C．【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键．【变式5-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证(a+b)2=(a−b)2 +4ab的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】用面积公式和作差法求小正方形、长方形的面积，令其与大正方形相等．【详解】A、不能验证公式，该选项不符合题意；B、可以验证(a+b)2=a2+2ab+b2，该选项不符合题意；C、可以验证(a+b)2=(a−b)2+4ab，该选项符合题意；D、可以验证a2=(a−b)2+2ab−b2，即(a−b)2=a2−2ab+b2，该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何验证，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式5-2】（2023春·福建宁德·七年级校联考期中）下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（）A．(a+b)2=a2+2ab+b2B．(a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bcC．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bcD．(a+b)(a−b)=a2−b2【答案】D【分析】利用图形面积直接得出等式，从而可选择．【详解】解：等式(a+b)2=a2+2ab+b2是由边长为(a+b)的正方形推导而出，故A可验证，不符合题意；等式(a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bc是由长为(b+c)，宽为(a+b)的长方形推导而出，故B可验证，不符合题意；等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc是由边长为(a+b+c)的正方形推导而出，故C可验证，不符合题意；等式(a+b)(a−b)=a2−b2，图中找不到有关于a−b的面积，故D不可验证，符合题意．故选D．【点睛】本题考查多项式的乘法与图形面积．利用数形结合的思想是解题关键．【变式5-3】（2023春·江西抚州·七年级统考期末）（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______；（2）应用公式计算：①已知x+y=5，xy=−1，求x2+y2的值；②求20222−2021×2023的值．【答案】（1）(a+b)2=a2+b2+2ab，a2−b2=(a+b)(a−b)；（2）①27；②1【分析】（1）根据图1中大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和得到完全平方公式，根据图2中左右两边阴影部分的面积相等得到平方差公式；（2）①利用x2+y2=(x+y)2−2xy进行计算即可；②利用平方差公式将2021×2023=(2022−1) (2022+1)=20222−1化简即可．【详解】解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为a2，边长为b的正方形的面积为b2，长为a宽为b的长方形的面积为ab，大正方形的边长为(a+b)，面积为(a+b)2，∵大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和，∴(a+b)2=a2+b2+2ab图2中，左边阴影部分的面积为：a2−b2，右边阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，∵左右两边的阴影部分面积相等，∴a2−b2=(a+b)(a−b)，故答案为：(a+b)2=a2+b2+2ab，a2−b2=(a+b)(a−b)；（2）①∵x+y=5，xy=−1，∴x2+y2=(x+y)2−2xy=52−2×(−1)=27；②20222−2021×2023=20222−(2022−1)(2022+1)=20222−(20222−1)=1．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握(a+b)2=a2+b2+2ab，a2−b2=(a+b) (a−b)是解题的关键．【题型6乘法公式的应用】【例6】（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为30平方米长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和HKCS 总周长为14米，则m-n的值为（）A．4米B．7米C．5米D．3.5米【答案】B【分析】根据长方形的周长及面积计算公式，可找出关于m，n的方程组，变形后可得出(m−n)2=49，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意得：2(m−3)+2(n−3)=14①mn=30②，由①可得：m+n=13，∵(m−n)2=(m+n)2−4mn，∴(m−n)2=49，∴m−n=7或m−n=−7(不合题意，舍去)．故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，牢记(a±b)2=a2±2ab+b2是解题的关键．【变式6-1】（2023春·陕西西安·七年级校考期中）我们知道，将完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多数学问题．请你观察、思考，并解决以下问题：(1)若m+n=9，mn=10，求m2+n2的值；(2)如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子，再以AD、CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积．【答案】(1)61(2)800m2【分析】(1)利用完全平方公式代入计算即可；(2)设CD=x m，AD=y m,由周长可得x+y=60, 由两块正方形的面积和为2000平方米，x²+y²=2000,求xy即可.【详解】（1）∵(m+n)²=m²+n²+2mn,m+n=9，mn=10,∴m²+n²=(m+n)²−2mn=92−2×10=61,（2）设CD=x m，AD=y m,∵长方形ABCD的周长是120米,∴2(x+y)=120,即x+y=60,又∵两块正方形的面积和为2000平方米，∴x²+y²=2000,=800，∴xy=602−20002答: 长方形ABCD的面积为800平方米.【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，适当的等式变形是解决问题的的关键.【变式6-2】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）如图，某校一块边长为2a m的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为(a−2b)m的正方形．(0<2b<a)(1)分别求出七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积．(2)七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多多少？【答案】(1)七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积均为(a+2b)(a−2b)=(a2−4b2)(m2)(2)多8ab m2【分析】（1）根据图形可知：七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区为长方形，通过2a−(a−2b)=(a+2b) (m)，可求出对应的长，(a+2b)(a−2b)=(a2−4b2)(m2)，即可解答此题．（2）由正方形的面积公式可得到：(a+2b)2−(a−2b)2=a2+4ab+4b2−(a2−4ab+4b2)=8ab(m2)，从而解答此题．【详解】（1）解：（1）因为2a−(a−2b)=(a+2b)(m)，所以七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积均为(a+2b)(a−2b)=(a2−4b2)(m2)．（2）因为(a+2b)2−(a−2b)2=a2+4ab+4b2−(a2−4ab+4b2)=8ab(m2)，所以七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多8ab m2．【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．【变式6-3】（2023春·浙江温州·七年级期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地ABCD上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a 米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；(2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且a+b=20米，求“红”字正方形边长b的值．【答案】(1)2a2+4ab(2)16【分析】（1）根据题意，分别表示出正方形空地ABCD的面积和“红五月”三个正方形平台的面积，相减即为阴影部分的面积；（2）根据阴影部分的面积求出a2+2ab=144，再根据a+b=20，得到a2+2ab+b2=400，进而求得b2 =256，即可求出正方形边长b的值．【详解】（1）解：由题意可知，正方形空地ABCD的边长为2a+b，∴正方形空地ABCD的面积为(2a+b)2，∵“红五月”三个正方形平台的面积为a2+b2+a2=2a2+b2，∴阴影部分的面积为(2a+b)2−(2a2+b2)=4a2+4ab+b2−2a2−b2=2a2+4ab；（2）解：阴影部分的面积为288平方米，∴2a2+4ab=288，∴a2+2ab=144，∵a+b=20，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=400，∴b2=400−144=256，∵b>0,∴b=16．【点睛】本题考查了正方形的面积公式，列代数式，完全平方公式，平方根知识，根据题意正确得出阴影部分的面积是解题关键．【题型7平方差公式的几何背景】【例7】（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形(如图2)，解答下列问题：(1)设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1=______ ，S2=______ ；(不必化简)(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______ ；(3)利用（2）中得到的公式，计算：20232−2022×2024．【答案】(1)a2−b2，(a+b)(a−b)(2)(a+b)(a−b)=a2−b2(3)1【分析】（1）根据图形的和差关系表示出S1，根据长方形的面积公式表示出S2；（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式是(a+b)(a−b)=a2−b2；（3）由（2）中所得公式，可得2022×2024=(2023+1)(2023−1)=20232−1，从而简便计算出该题结果．【详解】（1）解：由题意得，S1=a2−b2，S2=(a+b)(a−b)．故答案为：a2−b2，(a+b)(a−b)；（2）解：由（1）中的结果可验证的乘法公式为(a+b)(a−b)=a2−b2．故答案为：(a+b)(a−b)=a2−b2；（3）解：由（2）中所得乘法公式(a+b)(a−b)=a2−b2可得，20232−2021×2023=20232−(2023+1)×(2023−1)=20232−(20232−1)=20232−20232+1=1．【点睛】本题考查了平方差公式几何背景的应用能力，掌握图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题是关键．【变式7-1】（2023春·全国·七年级期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．(1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为；（写成两数平方差的形式）；(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2(3)请利用所得等式解决下面的问题：①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，则2m﹣n＝；②计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．【答案】(1)（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；(2)B(3)①3，②264，6【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式即可求解即可；（2）根据两个阴影部分的面积相等由（1）的结果即可解答.（3）①利用（2）得到的等式求解即可；②可以先把原式乘上一个（2﹣1），这样可以和（2+1）凑成平方差公式，以此逐步解答即可．【详解】（1）解：图2中长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2．故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2．（2）解：由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故选B．（3）解：①因为4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，又因为2m+n＝4，所以2m﹣n＝12÷4＝3．故答案为：3；②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝……＝264﹣1+1＝264，而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其个位数字2，4，8，6，重复出现，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”经过16次循环，因此264的个位数字为6．答：其结果的个位数字为6．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用和数字类规律，灵活应用平方差公式成为解答本题的关键．【变式7-2】（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）【知识生成】（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；【知识应用】（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=(a+2m)(a−2m)，Q=(a+m) (a−m)，比较P、Q大小；【知识迁移】（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．【答案】（1）−3m2；（2）P<Q；（3）x(x+1)(x−1)=x3−x．【分析】（1）分别用代数式表示图1，图2的面积即可；（2）利用（1）中得到的等式计算P−Q的值即可；（3）分别用代数式表示图3中左图和右图的体积即可．【详解】解：（1）图1中剩余部分的面积为a2−b2，图2的面积为(a+b)(a−b)，所以代数恒等式为(a+b)(a−b)=a2−b2；（2）∵P=(a+2m)(a−2m)，Q=(a+m)(a−m)，∴P−Q=(a+2m)(a−2m)−(a+m)(a−m)=a2−4m2−(a2−m2)=−3m2因为m是不为0的有理数，所以−3m2<0，即P−Q<0，所以P<Q；（3）图3中左图的体积为x⋅x⋅x−1×1×x=x3−x，图3中右图是长为x+1，宽为x，高为x−1的长方体，因此体积为(x+1)⋅x⋅(x−1)，所以有x(x+1)(x−1)=x3−x．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示图形的面积和体积是正确解答的关键．【变式7-3】（2023春·山西大同·七年级统考期中）【实践操作】（1）如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把图①中L形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③，请求出图③中大长方形的面积；（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：．【应用探究】（3）利用（2）中验证的公式简便计算：499×501+1；（4）计算：1−×1−×1−×…×1−×1−【知识迁移】（5）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为a的正方体中去掉一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：a3−b3=．（结果不需要化简）；(5)(a−b)a2+(a−b)b2+(a−b)ab或【答案】(1)a2−b2；(2)(a−b)(a+b)=a2−b2；(3)250000；(4)20234044(a−b)(a2+b2+ab)【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘以宽即可．（2）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积，分别计算即可得出：(a−b)(a+b)=a2−b2（3）观察（2）的的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将499拆成500−1，将501拆成500+1即可．（4）利用a2−b2=(a+b)(a−b)将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为0，故答案为第一个因式乘以最后一个因式．（5）将立体图形分割成三部分，分别为：a2(a−b)、b2(a−b)、ab(a−b)，其和为a2(a−b)+b2(a−b)+ab (a−b)，恰等于a3−b3．【详解】解：（1）长方形的面积为：2(a−b)(a−b2+b)=(a−b)(a−b+2b)=(a−b)(a+b)=a2−b2；（2）图③整个大长方形的面积等于图①阴影部分的面积：∴(a−b)(a+b)=a2−b2；（3）原式=(500−1)×(500+1)+1=5002-12+1=250000；（4）原式=1−1−=12×32×23×43×34×45×⋯×20202021×20222021×20212022×20232022=12×20232022=20234044；（5）将立体图形分割成三部分，分别为：a2(a−b)、b2(a−b)、ab(a−b)，其和为a2(a−b)+b2(a−b)+ab(a−b)=a3−b3．故答案为：a2(a−b)+b2(a−b)+ab(a−b)．【点睛】本题考查了“数形结合”中的乘法公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律．【题型8完全平方公式的几何背景】【例8】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的面积为；(2)观察图2，三个代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系是；(3)若x+y=−6，xy=11，则x−y=；（直接写出答案）4【答案】(1)(m−n)2(2)(m+n)2−4mn=(m−n)2(3)±5【分析】（1）根据阴影部分的面积等于右边大正方形的面积减去左边矩形的面积进而得出答案；（2）由（1）中计算过程可得答案；（3）根据（2）中的等式可得答案．【详解】（1）解：图2中的阴影部分为正方形，边长为(m−n)，则面积为(m−n)2．故答案为：(m−n)2；（2）解：左边图形的面积=2m×2n=4mn，右边的大正方形面积=(m+n)2，则阴影部分的面积=(m+n)2−4mn，因此三个代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系为：(m+n)2−4mn=(m−n)2；故答案为：(m+n)2−4mn=(m−n)2；（3）解：由（2）得(x+y)2−4xy=(x−y)2，=25，∴(x−y)2=(−6)2−4×114∴x−y=±=±5，故答案为：±5．【点睛】本题考查了完全平方公式的背景知识以及完全平方公式的变形，解题的关键是认真观察图形，用不同的形式表示图形的面积．【变式8-1】（2023春·七年级课时练习）完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．解：因为a+b=3，所以(a+b)2=9，即：a2+2ab+b2=9，又因ab=1，所以a2+b2=7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy的值为______；(2)拓展：若(4−x)x=3，则(4−x)2+x2=______．(3)应用：如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为160，求图中阴影部分的面积和．【答案】(1)12(2)10(3)384【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；（2）设4−x=a，x=b，则a+b=4，ab=3，然后完全平方公式进行计算，即可解答；（3）根据题意可得FC=20−x，CE=12−x，然后设FC=20−x=a，CE=12−x=b，则a−b=8，ab=160，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．【详解】（1）解：∵x+y=8，x2+y2=40，∴2xy=(x+y)2−(x2+y2)=82−40=64−40=24，∴xy=12．（2）解：设4−x=a，x=b，∴a+b=4−x+x=4，∵(4−x)x=3，∴ab=3，∴(4−x)2+x2=a2+b2=(a+b)2−2ab=42−2×3=16−6=10．（3）解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=CD=20，AD=BC=12，∵BE=DF=x，∴FC=DC−DF=20−x，CE=BC−BE=12−x，设FC=20−x=a，CE=12−x=b，∴a−b=20−x−(12−x)=8，∵长方形CEPF的面积为160，∴FC⋅CE=(20−x)(12−x)=ab=160，∴正方形CFGH的面积+正方形CEMN的面积=CF2+CE2=(20−x)2+(12−x)2=a2+b2=(a−b)2+2ab=82+2×160=64+320=384，∴图中阴影部分的面积和为384．【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式变形的计算是解题的关键．【变式8-2】（2023春·江苏·七年级期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b)．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：方法1：，方法2：；（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是；（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝；【知识迁移】（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；（4）x3-x=x（x+1）（x-1）【分析】（1）利用直接和间接的方法表示出阴影部分面积；（2）由阴影部分面积相等可得结果；（3）直接根据（2）的结论代入求值即可；（4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可．【详解】解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2，方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab；（2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，可得：102-4×5=（a-b）2，∴（a-b）2=80；（4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1），∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）．【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．【变式8-3】（2023春·江苏·七年级期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b(a>b)的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到(a−b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式：________﹔【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)．利用上面所得的结论解答下列问题：（1）已知x+y=6,xy=11，求(x−y)2的值；4（2）已知a+b=6,ab=7，求a3+b3的值．【答案】[知识生成]（a+b）2-4ab=（a-b）2；[知识迁移]（1）25；（2）90。

北师大版七年级数学下册专题训练（附答案解析）说明：本专题训练包含4个专题难点探究专题：全等三角形中的动态问题类比归纳专题：等腰三角形中辅助线的作法解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法解题技巧专题：乘法公式的灵活运用难点探究专题：全等三角形中的动态问题◆类型一全等三角形中的动点问题1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB 于N点．P是直线MN上的一个动点，在点P移动的过程中，若NA ＝NB，则∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB ＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为________；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二全等三角形中的动图问题3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE.(1)如果点B，C，D在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD ＝BE；(2)如果△ABC绕C点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．◆类型三 全等三角形中的翻折问题4．如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB.试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并说明理由．参考答案与解析1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM .2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD 与△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE . (2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE .4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图所示．∵将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG ＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF ＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .类比归纳专题：等腰三角形中辅助线的作法◆类型一 利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且∠ABE ＝∠ABC.若BE ＝2，则BC ＝________.2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF.试说明：DE ＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，试说明：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为()A．3B．4C．5D．65．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.试说明：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，且CE＝BF，试说明：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC 交AC于D，试说明：BC＝AB＋CD.8．★如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)试说明：PD＝DQ；[提示：过点P作PF∥BC交AC于点F](2)若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案与解析1．42．解：连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠F AD .又∵AE ＝AF ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD (SAS)，∴DE ＝DF .3．解：过点E 作EF ⊥AC 于F ，∴∠AFE ＝90°.∵EA ＝EC ，∴AF＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .4．B5．解：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△BME ≌△BCE (ASA)，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .6．解：连接CD .∵AC ＝BC ，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠B＝180°－∠CDB－∠BCD＝45°，∴∠ACD＝∠B.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB.又∵CE＝BF，∴△ECD≌△FBD(AAS)，∴DE＝DF.7．解：如图，在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝12∠ABC.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB，∴∠DEC＝180°－∠BED＝180°－108°＝72°.∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°，∴∠ADB＝∠EDB＝180°－∠ABD－∠A＝180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE＝180°－∠ADB－∠EDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠CDE ＝∠DEC.过点C作CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFE＝90°.∵∠CDF＝∠CEF，CF＝CF，∴△CDF≌△CEF，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC ＝AB＋CD.8．解：(1)过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝∠APF＝60°，∴△APF是等边三角形，∴PF＝P A＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.(2)∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴AE＝EF.∵△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF＋DF＝12AF＋12CF＝12AC.又∵AC＝1，∴DE＝1 2.解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法◆类型一含一个拐点的平行线问题1．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D.若∠ABC＝40°，则∠BCD 的度数为()A．140° B．130° C．120° D．110°第1题图第2题图2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD 的度数为()A．20° B．30° C．40° D．70°3．如图，某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，∠1＋∠2＋∠3＝________°.第3题图第4题图4．(2017·枣庄中考)将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．5．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．【方法8】◆类型二含两个或多个拐点的平行线问题6．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为()A．∠1＋∠2－∠3 B．∠1＋∠3－∠2C．180°＋∠3－∠1－∠2 D．∠2＋∠3－∠1－180°第6题图第7题图7．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________°.8．如图，AB∥CD，试解决下列问题：(1)如图①，∠1＋∠2＝________；(2)如图②，∠1＋∠2＋∠3＝________；(3)如图③，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；(4)如图④，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝__________．9．(1)如图①，AB∥CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；(2)如图②，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．参考答案与解析1．B 解析：过点C 向右作CG ∥AB ，由题意可得AB ∥EF ∥CG ，∴∠B ＝∠BCG ，∠GCD ＝90°，则∠BCD ＝40°＋90°＝130°.故选B.2．B 解析：如图，过点C 作CF ∥DE ，则AB ∥DE ∥CF ，∴∠BCF ＝∠ABC ＝70°，∠CDE ＋∠DCF ＝180°，∴∠DCF ＝180°－∠CDE ＝180°－140°＝40°，∴∠BCD ＝∠BCF －∠DCF ＝70°－40°＝30°.故选B.3．3604．15° 解析：如图，过A 点作AB ∥a ，∴∠1＝∠2.∵a ∥b ，∴AB ∥b ，∴∠3＝∠4＝30°.∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝15°，∴∠1＝15°.5．解：如图①，过点P 作PF ∥AB ，则AB ∥PF ∥CD .∴∠P AB ＝∠APF ，∠PCD ＝∠FPC ，∴∠APC ＝∠APF ＋∠FPC ＝∠P AB ＋∠PCD ；如图②，过点P 作PF ∥AB ，则AB ∥PF ∥CD .∴∠P AB ＋∠APF＝180°，∠PCD＋∠FPC＝180°，∴∠APC＋∠P AB＋∠PCD＝360°；如图③，过点P作PF∥AB，则PF∥AB∥CD.∴∠FP A＋∠P AB ＝180°，∠FP A＋∠APC＋∠PCD＝180°，∴∠P AB＝∠APC＋∠PCD；如图④，过点P作PF∥AB，则PF∥AB∥CD.∴∠FP A＝∠P AB，∠FP A＋∠APC＝∠PCD，∴∠P AB＋∠APC＝∠PCD.6．D解析：如图，过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG∥FH，∴∠1＝∠AEG，∴∠GEF＝∠2－∠1.∵EG∥FH，∴∠EFH＝180°－∠GEF＝180°－(∠2－∠1)＝180°－∠2＋∠1，∴∠CFH＝∠3－∠EFH＝∠3－(180°－∠2＋∠1)＝∠3＋∠2－∠1－180°.∵FH∥CD，∴∠4＝∠CFH＝∠3＋∠2－∠1－180°.故选D.7．140解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD.∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.8．(1)180°(2)360°(3)540°(4)(n－1)·180°解析：(1)如图①，∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＝180°；(2)如图②，过点E作直线EF平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＋∠AEF＝180°，∠FEC＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.(3)过点E，F作EG，FH平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1＋∠AEG＝180°，∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFC＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.(4)根据上述规律，显然作(n－2)条辅助线，运用(n－1)次两条直线平行，同旁内角互补，即可得到n个角的和是(n－1)·180°.9．解：(1)∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.理由如下：如图，分别过点E，G，M作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1＝∠BEF，∠FEG＝∠EGH，∠HGM＝∠GMN，∠CMN＝∠5，∴∠2＋∠4＝∠BEF＋∠FEG＋∠GMN＋∠CMN＝∠1＋∠EGH＋∠MGH＋∠5＝∠1＋∠3＋∠5.(2)∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.结论：开口朝左的所有角的度数之和与开口朝右的所有角的度数之和相等．解题技巧专题：乘法公式的灵活运用◆类型一 整体应用1．(2017·淄博中考)若a ＋b ＝3，a 2＋b 2＝7，则ab 等于( )A ．2B ．1C ．－2D ．－12．(1)若a 2－b 2＝16，a －b ＝13，则a ＋b 的值为________；(2)若(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝899，则a ＋b 的值为________．3．计算：(1)(m 2＋mn ＋n 2)2－(m 2－mn ＋n 2)2；(2)(x 2＋2x ＋1)(x 2－2x ＋1)－(x 2＋x ＋1)(x 2－x ＋1)．◆类型二 连续应用4．计算：(1)(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)；(2)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)．◆类型三 利用乘法公式进行简便运算5．计算2672－266×268的结果是( )A ．2008B ．1C ．2006D ．－16．利用完全平方公式计算：(1)792;(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫30132.7．利用平方差公式计算：(1)802×798; (2)3913×4023.◆类型四 利用乘法公式的灵活变形解决问题8．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求：(1)x 2－xy ＋y 2的值；(2)(x －y )2的值．9．★若实数n 满足(n －46)2＋(45－n )2＝2，求代数式(n －46)(45－n )的值．参考答案与解析1．B 2.(1)12 (2)±303．解：(1)原式＝(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)＋m 2n 2－(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)－m 2n 2＝4mn (m 2＋n 2)＝4m 3n ＋4mn 3.(2)原式＝[(x 2＋1)＋2x ][(x 2＋1)－2x ]－[(x 2＋1)＋x ][(x 2＋1)－x ]＝(x 2＋1)2－4x 2－(x 2＋1)2＋x 2＝－3x 2.4．解：(1)原式＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)＝(a 4－b 4)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)＝(a 8－b 8)(a 8＋b 8)＝a 16－b 16.(2)原式＝115 (42－1)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)＝115 (44－1)(1＋44)(1＋48)(1＋416)＝115 (48－1)(1＋48)(1＋416)＝115 (416－1)(1＋416)＝432－115.5．B6．解：(1)原式＝(80－1)2＝802－2×80×1＋12＝6241；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋132＝302＋2×30×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝92019. 7．解：(1)原式＝(800＋2)(800－2)＝8002－22＝640000－4＝639996；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40－23⎝ ⎛⎭⎪⎫40＋23＝402－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1600－49＝159959. 8．解：(1)x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y )2－3xy ＝9＋21＝30.(2)(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝9＋28＝37.9．解：∵(n －46)2＋(45－n )2＝2，∴[(n －46)＋(45－n )]2－2(n －46)(45－n )＝2，整理得1－2(n －46)(45－n )＝2，则(n －46)(45－n )＝－12.。