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2.3.2 平面与平面垂直的判定一、教材分析在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神.二、教学目标1．知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习两平面的位置关系：（1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.（2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1（二）导入新课思路1.(情境导入)为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.思路2.(直接导入)前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题.（三）推进新课、新知探究、提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生共同动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图4再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同,即∠AOB=∠A′O′B′.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.③直二面角的定义.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. 直二面角的画法：如图5.图5④两个平面垂直的判定定理.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知AB ⊥β，AB ∩β=B ，ABα. 求证：α⊥β.分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β=CD ，则由ABα,知AB 、CD 共面. ∵AB ⊥β，C Dβ,∴AB ⊥CD ，垂足为点B . 在平面β内过点B 作直线BE ⊥CD , 则∠ABE 是二面角αCDβ的平面角. 又AB ⊥BE ，即二面角αCDβ是直二面角, ∴α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.（四）应用示例思路1例1如图7,⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点.图7求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BCα,∴PA⊥BC.∵C为圆周上不同于A、B的任意一点,AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC.又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC.∵BC平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.变式训练如图8，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC，图8（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角CBDA的余弦值.（1）证明：由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.∴O是△ABC的外心，即AB的中点.∴O∈AB，即O∈平面ABD.∴OD平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,∵△BCD 为正三角形，∴CE ⊥BD . 又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE ⊥BD . ∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC ⊥平面ABD . ∴OC ⊥OE .∴△COE 为直角三角形. 设BC =a ，则CE =a 23，OE =a 21，∴cos ∠OEC =33=CE OE . 点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m 时人升高了多少？（精确到0.1 m ）图9解：取CD 上一点E ，设CE =10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF ⊥AB ，垂足为F ，并连接FG ,则FG ⊥AB ,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG =60°,由此,得EG =EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈4.3（m ）. 答：沿直道行走到10 m 时人升高约4.3 m . 变式训练已知二面角αABβ等于45°，CDα，D ∈AB ，∠CDB =45°.求CD 与平面β所成的角.解：如图10，作CO ⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角.图10过点O 作OE ⊥AB 于E ，连接CE ，则CE ⊥AB . ∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角， 即∠CEO =45°. 设CD =a ,则CE =a 22,∵CO ⊥OE ，OC =OE ， ∴CO =a 21.∵CO ⊥DO ,∴sin ∠CDO =21 CD CO . ∴∠CDO =30°,即DC 与β成30°角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O ,然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E ,连接AE ,则∠CEO 为二面角α-AB -β的平面角.这一过程要求学生熟记.思路2例1 如图11，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，∠BAD =60°.图11（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （2）求点A 到平面PBD 的距离； （3）求二面角APBD 的余弦值.（1）证明：设AC 与BD 交于点O ，连接PO , ∵底面ABCD 是菱形,∴BD ⊥AC .∵PA ⊥底面ABCD ,BD 平面ABCD ,∴的PA ⊥BD . 又PA ∩AC =A ,∴BD ⊥平面PAC .又∵BD 平面PBD ,∴平面PBD ⊥平面PAC .(2)解：作AE ⊥PO 于点E ,∵平面PBD ⊥平面PAC ,∴AE ⊥平面PBD . ∴AE 为点A 到平面PBD 的距离.在△PAO 中,PA =2,AO =2·cos30°=3,∠PAO =90°,∵PO =722=+AO PA ,∴AE =7212732==•PO AO PA . ∴点A 到平面PBD 的距离为7212. 3）解：作AF ⊥PB 于点F ,连接EF , ∵AE ⊥平面PBD ,∴AE ⊥PB . ∴PB ⊥平面AEF ,PB ⊥EF .∴∠AFE 为二面角APBD 的平面角. 在Rt △AEF 中,AE =7212,AF =2, ∴sin ∠AFE =742=AF AE ,cos ∠AFE =77)742(12=-. ∴二面角APBD 的余弦值为77. 变式训练如图12，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN ∥平面PAD ； （2）求证：MN ⊥CD ；（3）若二面角PDCA =45°，求证：MN ⊥平面PDC .图12 图13证明：如图13所示,（1）取PD 的中点Q ，连接AQ 、NQ ,则QN 21DC ,AM 21DC , ∴QNAM .∴四边形AMNQ 是平行四边形.∴MN ∥AQ . 又∵MN 平面PAD ,AQ 平面PAD ,∴MN ∥平面PAD . （2）∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD .又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又∵AQ平面PAD,∴CD⊥AQ.又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.（3）由（2）知，CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD,CD⊥PD.∴∠PDA是二面角PDCA的平面角.∴∠PDA=45°.又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD.又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD.又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面PDC.例2如图14,已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA1，F 为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.图14（1）求证：直线MF∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；（3）求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小.（1）证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点.又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又∵MF平面ABCD,AN平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.（2）证明：连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1,可知AA1⊥平面ABCD,又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A=A,AC、A1A平面ACC1A1,∴BD ⊥平面ACC 1A 1.在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA =BN ， ∴四边形DANB 为平行四边形. 故NA ∥BD ，∴NA ⊥平面ACC 1A 1. 又∵NA 平面AFC 1, ∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.（3）解：由（2）,知BD ⊥平面ACC 1A 1，又AC 1平面ACC 1A 1，∴BD ⊥AC 1. ∵BD ∥NA ，∴AC 1⊥NA . 又由BD ⊥AC ,可知NA ⊥AC ，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角. 在Rt △C 1AC 中，tan ∠C 1AC =311CA C C ，故∠C 1AC =30°. ∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°. 变式训练如图15所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC ⊥底面ABCD ，且AB =2，SC =SD =2.图15（1）求证：平面SAD ⊥平面SBC ；（2）设BC =x ，BD 与平面SBC 所成的角为α，求sinα的取值范围. （1）证明：在△SDC 中，∵SC =SD =2，CD =AB =2, ∴∠DSC =90°,即DS ⊥SC . ∵底面ABCD 是矩形,∴BC ⊥CD .又∵平面SDC ⊥平面ABCD ,∴BC ⊥面SDC . ∴DS ⊥BC .∴DS ⊥平面SBC .∵DS 平面SAD ,∴平面SAD ⊥平面SBC .（2）解：由（1）,知DS ⊥平面SBC ,∴SB 是DB 在平面SBC 上的射影.∴∠DBS 就是BD 与平面SBC 所成的角，即∠DBS =α.那么sinα=DBDS . ∵BC =x ,CD =2⇒DB =24x +,∴sinα=242x +.由0＜x ＜+∞,得0＜sinα＜22.（五）知能训练课本本节练习.（六）拓展提升 如图16，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，N 是PB 中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点.图16（1）求证：EN ∥平面PCD ；（2）求证：平面PBC ⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值.(1)证明：∵AD ∥BC ,BC 面PBC ,AD 面PBC ,∴AD ∥面PBC .又面ADN ∩面PBC =MN ,∴AD ∥MN .∴MN ∥BC .∴点M 为PC 的中点.∴MN 21BC . 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形.∴EN ∥DM .∴EN ∥面PDC .（2）证明：连接PE 、BE ,∵四边形ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD =60°, ∴BE ⊥AD .又∵PE ⊥AD ,∴AD ⊥面PBE .∴AD ⊥PB .又∵PA =AB 且N 为PB 的中点,∴AN ⊥PB .∴PB ⊥面ADMN .∴平面PBC ⊥平面ADMN .（3）解：作EF ⊥AB ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ,∴AB ⊥PF .∴∠PFE 就是平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角.又在Rt △AEB 中，BE =3，AE =1，AB =2,∴EF =23. 又∵PE =3,∴tan ∠PFE =233 EF PE =2,即平面PAB 与平面ABCD 所成的二面角的正切值为2.（七）课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业课本习题2.3 A 组1、2、3.。
2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定 【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②． 由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离． 又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ． 在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ． 【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ， 又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ， 取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ． 在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． 或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心， 又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型 自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。
必修二2.3.2平面与平面垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念．(2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单应用．(3)使学生体会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用．2．过程与方法(1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程．(2)类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理．3．情感、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生体会数学存在于现实生活周围，从而激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力．●重点难点重点：平面和平面垂直的判定．难点：二面角的理解及度量．重难点突破：用FLASH课件播放人造卫星轨道和大坝面的例子，引出课题，然后通过实例说明“二面角的概念”，并通过学生的观察、思考、合作交流得出“二面角的度量方式”，难点之一得以化解，紧接着，从直二面角入手，结合实例(如教室墙面与墙面的位置关系)及多媒体教学，让学生在直观感知中得出面面垂直的判定定理，重难点顺利突破．【课前自主导学】【问题导思】观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．1．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角？【提示】二面角．2．平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？【提示】二面角的平面角．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫二面角的棱，②两个半平面叫二面角的面．(3)画法：直立式平卧式图2－3－12(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q.(5)二面角的平面角：图2－3－13若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.【问题导思】建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？【提示】垂直．1．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：图2－3－14记作：α⊥β.2．判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎬⎫l⊥βl⊂α⇒α⊥β【课堂互动探究】面面垂直判定定理及应用如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面P AC⊥平面PBC.【思路探究】由C是圆周上异于直径AB的点―→AC⊥BC―→由P A垂直于⊙O所在的平面―→P A⊥BC―→BC⊥平面P AC―→平面P AC⊥平面PBC.【自主解答】连接AC，BC，则BC⊥AC，又P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，又BC⊂平面PBC，∴平面P AC⊥面PBC.应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤如果直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ【解析】因为m⊂α，m⊥γ，所以α⊥γ.因为l⊂γ，m⊥γ，所以l⊥m，所以A正确．记α∩γ＝n，因为l∥α，l⊂γ，所以l∥n.根据以上分析可画出草图，其中平面β可绕直线l转动，所以m∥β，α∥β都是不成立的．所以B，C，D都是错误的．【答案】 A面面垂直定义的应用如图，在四面体ABCD中，△ABD，△ACD，△BCD，△ABC都全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，求证：平面BCD⊥平面BCA.【思路探究】作出二面角D—BC—A的平面角，证明此平面角为直角即可．【自主解答】取BC的中点E，连接AE、DE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB＝AC，∴DB＝DC，∴DE⊥BC，∴∠AED为二面角A—BC—D的平面角．又∵△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，△DBC也是以BC为底的等腰三角形．∴AB＝AC＝DB＝DC＝3，又△ABD≌△BDC，∴AD＝BC＝2，在Rt△DEB中，DB＝3，BE＝1，∴DE＝DB2－BE2＝2，同理AE＝2，在△AED中，∵AE＝DE＝2，AD＝2，∴AD2＝AE2＋DE2，∴∠AED＝90°，∴以△BCD和△BCA为面的二面角的大小为90°.∴平面BCD⊥平面BCA.1．利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是：(1)找出两相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直．2．面面垂直定义的两个作用(1)证明面面垂直．首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角，然后证明此平面角是直角．(2)证明线线垂直．首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角，然后根据面面垂直推出该直二面角的平面角是直角．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD 折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.【解析】因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，BD＝CD＝22，所以BC＝⎝⎛⎭⎪⎫222＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝1.【答案】 1求二面角如图，已知四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD.(1)求二面角B－P A－D平面角的度数；(2)求二面角B－P A－C平面角的度数．【思路探究】先依据二面角的定义找相应二面角的平面角，然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值，最后指出二面角的平面角的大小．【自主解答】(1)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AD⊥P A.∴∠BAD为二面角B－P A－D的平面角．又由题意∠BAD＝90°，∴二面角B－P A－D平面角的度数为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AC⊥P A.∴∠BAC为二面角B－P A－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－P A－C平面角的度数为45°.1．求二面角同求异面直线所成的角及斜线与平面所成的角一样，步骤如下：2．作二面角平面角的常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．在题设条件不变的情况下，若P A＝AD，求平面P AB与平面PCD所成的二面角的大小．【解】∵CD∥平面P AB，过P作CD的平行线l，如图所示，由P A⊥CD，CD⊥AD，P A∩AD＝A知CD⊥平面P AD，从而CD⊥PD.又CD∥l，∴l⊥PD.∴∠DP A为平面P AB和平面PCD所成二面角的平面角，为45°.【思想方法技巧】转化思想在线面、面面垂直中的应用(12分)(2013·杭州高二检测)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面P AC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．【思路点拨】解答本题第(1)(2)问可先根据需证问题寻找相关元素，再由判定定理进行判定．第(3)问可先找出二面角的平面角，再证明平面角等于45°.【规范解答】(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2. 则PD⊥DC. 2分同理可证PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D，且AD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD. 4分(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. 6分又∵BD∩PD＝D，且PD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.又∵AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD. 8分(3)由(1)知PD⊥BC，又∵BC⊥DC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线，∴BC⊥平面PDC.∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC.则∠PCD为二面角P－BC－D的平面角. 10分在Rt△PDC中，∵PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°，即二面角P－BC－D是45°的二面角. 12分【思维启迪】1．本题(1)(2)问涉及线面垂直和面面垂直，求解的关键是转化思想的应用，即“线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直”．2．突出二面角求解过程中的“作—证—解—答”的思想．【课堂小结】1．面面垂直的判定方法(1)定义法．(2)判定一个平面是否经过另一个平面的一条垂线．(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．2．求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：线面的垂直、图形的对称性、与棱垂直的面等．3．线面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现了立体几何求解的转化思想.【当堂达标检测】1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有条件() A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β【解析】由二面角的平面角的定义可知D选项正确．【答案】 D2．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面()A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在【解析】由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．【答案】 C3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小为________．【解析】∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，其大小为45°.【答案】45°4．如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，求证：平面PDC⊥平面P AD.【证明】∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，又CD⊥AD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.又CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面P AD.【课后知能检测】一、选择题1．(2014·杭州高一检测)以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°；直线和平面所成角θ范围是0°≤θ≤90°；二面角的平面角θ的范围是0°～180°.故可能为钝角的只有二面角的平面角．【答案】 B2．如图所示，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－P A－C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°【解析】∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，∴∠BAC即为二面角B－P A－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.【答案】 A3．下列说法中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的有()A．①③B．②④C．③④D．①②【解析】对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的．故选B.【答案】 B4．已知P A⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)．图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对【解析】∵DA⊥AB，DA⊥P A，AB∩P A＝A，∴DA⊥平面P AB，同样BC⊥平面P AB，又易知AB⊥平面P AD，∴DC⊥平面P AD.∴平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面P AB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面P AD，共5对．【答案】 D5．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个【解析】如果平面内一点与平面外一点的连线与平面垂直，则可以作无数个平面与已知平面垂直，如果两点连线与已知平面不垂直，则只能作一个平面与已知平面垂直．【答案】 D二、填空题6．下列四个命题中，正确的序号有________．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.【解析】③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．【答案】①②7．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，二面角C1—BD—C的大小为________．【解析】如图，连接AC交BD于点O，连接C 1O，∵C1D＝C1B，O为BD中点，∴C1O⊥BD，∵AC⊥BD，∴∠C1OC是二面角C1—BD—C的平面角，在Rt△C1CO中，C1C＝2，可以计算C1O＝22，∴sin∠C1OC＝C1CC1O＝12，∴∠C1OC＝30°.【答案】30°8．(2014·荆州高一检测)在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，二面角A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为________．【解析】取BD中点O，连AO，CO，由AB＝BC＝CD＝AD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC为二面角A－BD－C的平面角．∴∠AOC＝90°，又∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴△BAD与△BCD均为直角三角形．∴OC＝OD，∴△AOD≌△AOC，∴AD＝AC，∴△ACD为等边三角形．又∵E为CD中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.【答案】90°三、解答题9．如图所示，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直角边AO所在直线为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角，D是AB的中点．求证：平面COD ⊥平面AOB .【证明】 由题意CO ⊥AO ，BO ⊥AO ，∴∠BOC 是二面角B －AO －C 的平面角．∵二面角B －AO －C 是直二面角，∴CO ⊥BO ，又∵AO ∩BO ＝O ，∴CO ⊥平面AOB ，∵CO ⊂平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB .10．如图，在四面体A －BCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ，求证：平面ABD ⊥平面BCD .【证明】 ∵△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形，∴取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，CE ⊥BD .在Rt △ABE 中，∵AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝22a .同理CE ＝22a .在△AEC 中，∵AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，∴AC 2＝AE 2＋CE 2，即AE ⊥CE ，∠AEC ＝90°，即二面角A －BD －C 的平面角为90°.故平面ABD ⊥平面BCD .11．如图所示，四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，求二面角V －AB －C 的大小．【解】 如图，作VO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，则VO ⊥AB ，取AB 中点H ，连接VH ，OH ，则VH ⊥AB .∵VH ∩VO ＝V ，∴AB ⊥平面VHO ，∴AB ⊥OH ，∴∠VHO 为二面角V －AB －C 的平面角．易求VH 2＝VA 2－AH 2＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝4，∴VH ＝2，而OH ＝12AB ＝1，∴∠VHO ＝60°. 故二面角V －AB －C 的大小是60°.。
课题:平面与平面垂直的判定(新授课)
1.教学任务分析：通过教学活动，
(1)使学生了解、感受二面角的概念，感受到生活中处处有数学、数学用途广泛,增强学数学的兴趣.
(2)在二面角的概念教学中，让学生体会以下几点：
a.二面角的大小是用平面角来度量的.
b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定.
c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所
确定的平面和二面角的棱垂直.
(3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理.
(4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小.
2.教学难点、重点：
(1)重点：
确定二面角，面面垂直判定定理的应用.
(2)难点：
各种情景下确定二面角的平面角.
3.教学方式与手段：
采用“启发式”、“探究式”、“讲练结合”法.
借助多媒体电脑平台.
4.教学基本流程(总体设计)：
从生活实例让学生感性认识二面角
↓
二面角的概念
↓
二面角的平面角
↓
定义两平面垂直
↓
面面垂直的判定
↓
应用、探究
↓
课堂小结、作业
5.页面设计(相应内容逐步演示):
课题:平面与平面垂直的判定
1.二面角概念
2.确定二面角的平面角的方法
3.平面与平面垂直的定义
4.平面与平面垂直的判定定理
5.应用举例
6.小结与作业。
课题:平面与平面垂直的判定(新授课)
1.教学任务分析：通过教学活动，
(1)使学生了解、感受二面角的概念，感受到生活中处处有数学、数学用途广泛,增强学数学的兴趣.
(2)在二面角的概念教学中，让学生体会以下几点：
a.二面角的大小是用平面角来度量的.
b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定.
c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所
确定的平面和二面角的棱垂直.
(3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理.
(4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小.
2.教学难点、重点：
(1)重点：
确定二面角，面面垂直判定定理的应用.
(2)难点：
各种情景下确定二面角的平面角.
3.教学方式与手段：
采用“启发式”、“探究式”、“讲练结合”法.
借助多媒体电脑平台.
4.教学基本流程(总体设计)：
从生活实例让学生感性认识二面角
↓
二面角的概念
↓
二面角的平面角
↓
定义两平面垂直
↓
面面垂直的判定
↓
应用、探究
↓
课堂小结、作业
5.页面设计(相应内容逐步演示):
课题:平面与平面垂直的判定
1.二面角概念
2.确定二面角的平面角的方法
3.平面与平面垂直的定义
4.平面与平面垂直的判定定理
5.应用举例
6.小结与作业。
高中数学必修2“§2.3.1直线与平面垂直的判定(第一课时)”教学设计一、教学背景1、学情分析学生空间想象能力薄弱，在空间图形中提取线面关系的目标较易混淆。
2、教学重点直线与平面垂直的定义和判定定理。
3、教学难点直线与平面垂直的判定定理的探究。
二、教学目标1、学生结合实例感受直线和平面垂直的定义的形成过程，明确定义；2、学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位；在“感性认识”到“理性认识”的学习过程中获取新知；3、从直线和平面垂直的定义得到直线和平面垂直的性质；4、学生在动手探究活动中找出判定直线与平面垂直的方法；5、通过文字语言、符号语言、图形语言的转换，理解直线与平面垂直的判定定理；6、培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知、操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
7、直线与平面垂直的判定定理的运用中找齐条件证明直线与平面垂直。
三、教学设计（一）新课导入[创设情境]①请同学们把一本书竖直的放在桌面上，说出书脊与桌面的位置关系？②请同学们观察图片，说出广州塔与它在地面的影子有什么位置关系？（二）新课感知1、如何定义一条直线与一个平面垂直呢？如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。
如图2-3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对图示表示进行说明。
lpα图2-3-12、性质：若l⊥α， b α则l⊥b.练习1：判断题：直线l与平面α垂直是指直线l与平面α内无数条直线都垂直。
（）分析：通过直线l与平面α内一组平行直线都垂直的动画效果加强直观性。
3、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？找平面内一条直线可否？（2）小组活动：请同学们准备一张三角形的纸片（课前以小组分工准备等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各1个），我们一起来做如图2.3-2试验：沿过△ABC 的顶点A（最大角所在顶点）的直线折叠纸片，得到折痕AD，将折叠后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何折叠才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
2.3.2 平面与平面垂直的判定教学目标：1.理解二面角及二面角的平面角的概念，掌握二面角的平面角的基本特征，并能进行简单的计算.2.理解两个平面垂直的概念，掌握两平面垂直的判定定理，明确线线垂直，线面垂直和面面垂直的内在联系，培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力.教学重点：二面角的有关概念，两平面垂直的判定定理教学难点：求二面角的大小，两平面垂直的判定教学课时：二课时第二课时教学内容：平面与平面垂直教学过程：A . 问题提出1.二面角与二面角的平面角分别是什么含义？二面角的平面角有哪几个基本特征？2.直线与直线，直线与平面可以垂直，平面与平面是否存在垂直关系？如何认识两个平面垂直？我们从理论上作些探讨.3.线线垂直的证明方法：三线合一；直角，高，垂线；菱形的对角线；直径所对的圆周角；勾股定理的逆定理；线面垂直可得线线垂直。
B . 知识探究探究（一）：两个平面垂直的概念思考1：空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义的？ 思考2：什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？思考3：如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.在你的周围或空间几何体中，有哪些实例反映；出两个平面垂直？思考4：在图形上，符号上怎样表示两个平面互相垂直？思考5：如果平面α⊥平面β，那么平面α内的任一条直线都与平面β垂直吗？探究（二）：两个平面垂直的判定 思考1：根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么问题？思考2：如图，∠AOB 为直二面角α—l —β的平面角，那么直线 AO 与平面α的位置关系如何？ 思考3：在二面角α—l —β中，直线m 在平面β内，如果m ⊥α， α β αβ α β A B Ol αβ ml那么二面角α—l —β是直二面角吗？思考4：根据上述分析，可以得到两个平面互相垂直的判定定理，用文字语言如何表述这个定理？简记 ：思考5：结合图形，两个平面垂直的判定定理用符号语言怎样表述？C . 理论迁移 例1 如图，⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥α，C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC.例2 如图，四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ， PA=AD ，M 为AB 的中点。
《2.3.2平面与平面垂直的判定》教学设计教学内容人教版新教材高二数学第二册第二章第三节第2课教材分析直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
学情分析1.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。
2.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。
教学目标1.知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
2.情感态度与价值观（1）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳.（2）发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（3）让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.教学重、难点1.重点：平面与平面垂直的判定。
2.难点：找出二面角的平面角。
教学理念学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者.设计思路：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念认识；利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
第二课时平面与平面垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.（二）教学重点、难点重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小.（三）教学方法实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？面等，怎样定义两个平面所成的角呢？探索新知一、二面角1．二面角（1）半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.（2）二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（3）二面角的求法与画法棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角ABαβ--. 有时为了方便，也可在,αβ内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P – AB – Q.教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.师生共同实验(折纸)思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.师：改变O的位置，这个角的大小变不变.生：由等角定理知不变.通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.通过实验，培养学生学习兴趣和探索意识，加深对知识的理解与掌握.如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角l αβ--或P – l – Q.2．二面角的平面角 如图（1）在二面角c αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O 点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.探索新知二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.学生自学，教师点拔一下注意事项. 师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳能力，语言表达两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.即αβ⊥，请同学给出面面垂直的判定定理.能力.典例分析例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A –PC –B的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理正面面垂直的关键是在其中一个平面内找 (作)一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC符合解题要求，为什么？学生分析，教师板书巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC 所在平面内的两条直线.所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC.随堂练习1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S –EFG中必有（A ）A．SG⊥EFG所在平面B．SD⊥EFG所在平面C．GF⊥SEF所在平面D．GD⊥SEF所在平面2．如图，已知AB⊥平面学生独立完成巩固知识提升能力BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？答：面ABC⊥面BCD面ABD⊥面BCD面ACD⊥面ABC.归纳总结1．二面角的定义画法与记法.2．二面角的平面角定义与范围.3．面面垂直的判定方法.4．转化思想.学生总结、教师补充完善回顾、反思、归纳知训提高自我整合知识的能力课后作业2.3 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题例1 如图，平面角为锐角的二面角EFαβ--，A∈EF，AGα⊂，∠GAE = 45°若AG 与β所成角为30°，求二面角EFαβ--的平面角.【分析】首先在图形中作出有关的量，AG与β所成的角(过G到β的垂线段GH，连AH，∠GAH = 30°)，二面角EFαβ--的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH建立联系，抓住GH⊥β这一特殊条件，作HB⊥EF，连接GB，利用相关关系即可解决问题.【解析】作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连结GB，则CB ⊥EF ，∠GBH 是二面角的平面角. 又∠GAH 是AG 与β所成的角， 设AG = a ，则21,22GB a GH a ==，2sin 2GH GBH GB ∠==. 所以∠GBH = 45°反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.例2 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是SA 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD ．【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需 要寻找已知条件“SC ⊥平面ABCD ”与需证结论 “平面EDB ⊥平面ABCD ”之间的桥梁． 【证明】连结AC 、BD ，交点为F ，连结EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF ∥SC ． ∵SC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ． 又EF ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABCD ．【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键． 例3 如图，四棱锥P – ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD ．证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°．【分析】由△PAD ≌ △PCD ，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作AE ⊥DP,BS C垂足为E ，连接EC ，则△ADE ≌△CDE ．∴AE = CE ，∠CED = 90°．故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角．设AC 与BD 相交于点O ．连接EO ，则EO ⊥AC ．∴22a OA AE AD a =<<=， 在△AEC 中，222(2)cos 2AE EC OA AEC AE EC+-∠=⋅=2(2)(2)0AE OA AE OA AE +-<，∴∠AEC ＞ 90°．所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°． 【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．。
格一课堂教学方案章节：2.3.2 1 课时： 备课人： 二次备课人： ,m n β=,n αβ⊥⊥表示三个平面，给出下列四个命题：l 在β内的射影，精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
§2.3.2 平面与平面垂直的判定教学分析教学目标：1. 经历二面角、面面垂直有关概念的产生过程，掌握并会应用两个平面垂直的判定定理。
2. 体会用转化的思维方法将二面角转化为平面角问题，利用类比的方法理解二面角的平面角定义，用演绎的数学方法理解并掌握两个平面垂直的定义，进一步培养学生的空间想象能力和分析解决问题的能力。
3. 让学生观察归纳、动手实践、开展讨论，共同研究二面角、面面垂直的问题，使学生提高思维能力和分享合作学习的成果。
教学重难点：重点：二面角的平面角的概念；两个平面垂直的判定及其应用难点：二面角的平面角的产生和理解教学设计教学准备：教师准备投影仪、多媒体课件、二面角教具；学生准备卡纸（矩形或三角形）、白纸、小黑板教学方法：采用启发引导和合作探究的方式教学导图：教学过程知识与问题师生活动设计意图1.二面角概念的引入和构建二面角的有关概念（1）观看视频，直观感知二面角。
-------2’视频①：发射人造地球卫星时，根据需要，卫星的轨道平面和地球的赤道平面形成一定的角度。
视频②：修筑水坝时，为了使水坝更坚固耐久，水坝面与水平面形成适当的角度。
【提出思考】：日常生活或科技生产中，还没有类似的现象？【预设回答】：安装太阳能热水器时，为了使日照时间更久，也要考虑集热管面和地面形成合理的角度；使用笔记本电脑时，为了使用更舒适，打开的两面也形成相对的角度等等（2）根据角的定义，类比定义出二面角的概念----2’（3）学生两人小组合作，一人用卡纸折出一个二面角，任意摆从人类生产实践的需要出发，直观感知二面角的有关概念；并意识到数学来源于生活，应用于生活。
通过类比分析，形象理解二面角的定义。
通过简单易行的二人小组合作，使学生能亲自动手实践，并快速有效地掌从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念构建二面角的平面角的概念平面与平面垂直的判定定理的应用探究平面与平面垂直的判定方法课堂小结、作业布置放，另一人在白纸上快速画出相应的二面角的直观图；教师巡堂，并选出作品展示，简单总结画法----2’（4）在自己的二面角作品上标注字母，给二面角命名，即掌握二面角的表示方法---- 1’新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面. 握二面角画法和表示方法。
《平面与平面垂直的判定》教案教学目标：1．理解二面角的概念，会画二面角，能够求出两个平面夹角大小；掌握两平面垂直的有关概念，以及两个平面垂直的判定定理，能运用概念和定理进行有关计算与证明．2．通过二面角的概念的探索过程，渗透类比迁移的思想；通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，提高学生抽象概括能力；3．通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生体会教学存在于现实生活中，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．教学重点难点：1．重点：二面角的画法和求法；两个平面垂直的判定定理及应用；2．难点：二面角角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括．教法与学法：1．教法选择：启发诱导式——启动学生主动学习，启发引导学生实践思维过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力．2．学法指导：直观感知，操作确认数学定理，揭示概念的形成、发展和应用过程．教学过程：一、设置情境，激发探索1．二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图（教师和学生共同动手）．直立式：平卧式：二面角的表示方法：如图，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β．有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q．为平面与平面垂直的判定．二、方法总结，变式演练例1 如图7，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点．图7求证：平面PAC⊥平面PBC．分析：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线．注意板书证明过程规范、完整，同时引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学平定定理，加深理解，进一步提高学解的能力．生养成良好的学习习惯．证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，角的综合应用．PA⊥α，BC⊂α，∴PA⊥BC．∵C为圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC．∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．例2已知二面角α-AB-β等于45°，CD⊂α，D∈AB，∠CDB=45°．求CD与平面-β所成的角．分析：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C，作另一个半平面β的垂线，垂足为O，然后通过垂足O作棱AB的垂线，垂足为E，连接AE，则∠CEO为二面角α-AB-β的平面角．这一过程要求学生熟记．解：如图10，作CO⊥β交β于点O，连接DO，则∠CDO为DC与β所成的角．图10过点O作OE⊥AB于E，连接CE，则CE⊥AB．∴∠CEO为二面角α—AB—β的平面角，三、实际应用，课堂交流如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0．1 m）图9解：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连接FG，则FG⊥AB，即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角，的学习的目的就是为了解决实际应用问题，这也是学数学的终极目的，为了培养这种能力，就需要习，进而培养学生所需的思想方法和能力．四、归纳小结，课堂延展巩固作业:课本对应习题提升练习：如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．（1）求证：EN∥平面PCD；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；（3）求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值．教学设计说明1．教材地位分析：本节课在前面已经学习了直线与平面垂直的基础上，介绍了面面垂直的定义及判定定理，是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础．所以，本节课的内容及思想方法，在整个立体几何里，具有非常重要的作用．2．学生现实状况分析：学生已掌握了空间线面、面面的平行和线面的垂直关系等一些知识和方法，对空间线线、线面、面面三者之间的转化关系也已比较了解．但是对于如何找二面角是学生的难点．3．通过例题让学生尝试运用定理，引导学生分析问题思路，探究解决问题的策略与途径，归纳解题方法，从而巩固所学知识，提升学生分析、解决问题的能力．同时通过范例书写，规范学生答题格式，提高学生解题的正确率．4．教师要改变教学观念，以生为本，以学定教．在师生双边活动中，教师不是作为一个权威来告诉学生结果是什么，而是尊重学生的主体地位，使学生学会学习，获得知识，掌握方法．不仅要为当前的学习，而且要为今后的终身学习和终身发展奠定良好的基础，这正是新课程标准的基本理念，也是素质教育的要求．。
高中数学必修2“§2.3.1直线与平面垂直的判定(第一课时)”教学设计一、教学背景1、学情分析学生空间想象能力薄弱，在空间图形中提取线面关系的目标较易混淆。
2、教学重点直线与平面垂直的定义和判定定理。
3、教学难点直线与平面垂直的判定定理的探究。
二、教学目标1、学生结合实例感受直线和平面垂直的定义的形成过程，明确定义；2、学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位；在“感性认识”到“理性认识”的学习过程中获取新知；3、从直线和平面垂直的定义得到直线和平面垂直的性质；4、学生在动手探究活动中找出判定直线与平面垂直的方法；5、通过文字语言、符号语言、图形语言的转换，理解直线与平面垂直的判定定理；6、培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知、操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
7、直线与平面垂直的判定定理的运用中找齐条件证明直线与平面垂直。
三、教学设计（一）新课导入[创设情境]①请同学们把一本书竖直的放在桌面上，说出书脊与桌面的位置关系？②请同学们观察图片，说出广州塔与它在地面的影子有什么位置关系？（二）新课感知1、如何定义一条直线与一个平面垂直呢？如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。
如图2-3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对图示表示进行说明。
lpα图2-3-12、性质：若l⊥α， b α则l⊥b.练习1：判断题：直线l与平面α垂直是指直线l与平面α内无数条直线都垂直。
（）分析：通过直线l与平面α内一组平行直线都垂直的动画效果加强直观性。
3、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？找平面内一条直线可否？（2）小组活动：请同学们准备一张三角形的纸片（课前以小组分工准备等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各1个），我们一起来做如图2.3-2试验：沿过△ABC 的顶点A（最大角所在顶点）的直线折叠纸片，得到折痕AD，将折叠后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何折叠才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
课 题：平面与平面垂直的判定【教学目标】知识技能目标1．结合实际问题使学生了解二面角及二面角的平面角的定义； 2．学生通过具体情境分析、探索平面与平面垂直的判定定理；3．利用判定定理判定或证明简单的平面与平面垂直问题，初步掌握平面与平面垂直的判定方法。
能力目标1．结合情境，通过自主探究逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，着重培养学生的认知能力；2．引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力。
【教学重点、难点】 判定定理的证明及应用． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】一、复习旧知，温故知新师:初中我们学过角的概念是什么？生：由一点引两条射线所组成的几何图形叫做角。
记作：AOB ∠师:什么是斜线与平面所成的角？生：斜线与斜线在平面内的射影所成的角。
师: 也就是说将线面角转化为线线角。
〖设计意图〗复习旧知识，为新知识学习埋下伏笔。
二、创设情境，引入新课师:取一张纸，任意一折，这样一个平面就变成两个……BAO生：相交平面师:此时这两个平面就成一定的…… 生：角度师:为此，我们需要引进二面角的概念，研究两个平面所成的角。
〖设计意图〗从现实生活中，学生所熟悉的简单直观的实际问题引入，使学生易于接受。
三、类比知新，了解概念师:如何定义两个平面所成的角呢？（引导学生类比初中学的角的定义） 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。
记作：二面角βα--l 、二面角βα--AB 或者二面角D BC A -- 师:生活中有许多的二面角，你能举出一些实例吗？ 生：折纸，书打开，门打开等。
师:我们常说“把门开大一些”指的是哪个角大一些? 生：门面与墙面所成的二面角。
师:我们怎样刻画二面角的大小呢? 生：…………师: 我们知道斜线与平面所成的角即斜线与斜线在平面内的射影所成的角，即用线线角来刻画线面角；类似的我们用二面角的平面角（线线角）来刻画二面角（面面角）的大小。
教材分析：在空间，平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范，空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点。
使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神。
学情分析：学生已经理解了点、线、面的位置关系，掌握了相应的定义、定理和公理，在上节课中也学习了直线与平面垂直的定义与判定定理，对空间中线面垂直的判定也有了一定的认识与理解。
教学目标：1、探究平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用。
（C 级目标）2、掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力。
（B级目标）3、引导学生总结求二面角的方法，培养学生归纳问题的能力。
4、培养学生的归纳能力。
（A 级目标）教学重点：平面与平面垂直的判定。
教学难点：平面与平面垂直的判定和求二面角。
教学过程：一、 复习旧知两平面的位置关系：（1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若,αβαβ⋂=∅则∥。
（2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若,A B αβαβ⋂=则与相交。
二、导入新课如果把门和墙分别看成两个平面，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角的问题。
三、 讲授新课1、 阅读教材内容，回答下列问题（1） 二面角的有关概念、画法及表示方法。
（2） 二面角的平面角的概念和画法。
（3） 什么叫做直二面角？2、 思考：二面角的大小与点O 的位置选取有关吗？为什么？3、 怎样来度量二面角？二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，记说这个二面角是几度。
提问：二面角的平面角必须满足哪几个条件？总结规律：求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角最终都转化为线与线相交构成的角。
§2.3.2平面与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值
通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平
面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
C O A
（三）应用举例，强化所学α
例题：课本P.72例3 图2.3-3
做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。
（四）运用反馈，深化巩固
问题：课本P.73的探究问题
做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。
（五）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
（六）课后巩固，拓展思维
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？。
