2021年高三二模试卷（数学文理）班级_______姓名_____________学号_______一、 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，每题4分，只要求直接填写结果．1、直线的倾斜角为___________．（用反三角函数表示）2、（理）的解是 ． （文）的解是 ．3、已知的反函数为，若的图像经过点，则的值是_________．4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 所对应的三边，已知 ，则A 的值是_____________．5、若集合{}{}a x x B x x A <-=<<=1,40,且,则实数的取值范围是 ．6、若为等差数列，且，则公差的值是_________．7、（理）已知正四棱锥的底面面积为4，体积为4，设它的侧面上的斜高与底面所成角的大小为，则的值是 ．（文）已知正三棱柱体积为，底面边长为，则它的高为___________．8、（理）已知圆的极坐标方程是，则在相应的直角坐标系中圆心的坐标是____．（文）函数为奇函数，则实数的值是__________．9、（理）已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a a n n -=++++-510121 ，则的值是________．（文）已知实数满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤02,y y x x y ，那么函数的最大值是 ．10、设过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且中点为M ，则点M 的轨迹方程是_________________．11、已知集合，从中任取两个元素分别作为点的横坐标与纵坐标，则点恰好落入圆内的概率是__________.12、已知函数（为正整数），若存在正整数满足：k n f f f f =⋅⋅)()3()2()1( ，那么我们将叫做关于n 的“对整数”．当[1，100]时，则“对整数”的个数为____________个． 二、选择题 (本大题满分16分)13、设甲是乙的充分非必要条件，乙是丙的充要条件，那么丙是甲的 ( ) ．(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件14、同时满足三个条件：①有反函数；②是奇函数；③其定义域与值域相等的函数是( ) ． （A ） （B ） （C ） （D ） 15、设圆的方程是()()2222x a y b a b -++=+（其中＞0且＞0），给出下列三种说法：（1）该圆的圆心坐标为．（２）该圆过原点．（３）该圆与轴相交于两个不同点．其中 ( ) （A ）只有（1）与（2）正确 （B ）只有（1）与（３）正确 （C ）只有（２）与（３）正确 （D ）（1）、（2）与（3）都正确 16、设奇函数的定义域为实数集，且满足，当时，．则)25()2()23()1()21()0(f f f f f f +++++的值为( ) ．（A ） (B) （C ） 0 （D ） 1-三、解答题 （本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17、（本题满分12分）（理）设虚数满足（其中为实数）．（1）求；（2）若，求的值． （文）设复数满足，求． 18、（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分． （理）在长方体－中（如图），，，点是棱上的动点． （1）当异面直线与所成角为时，请你确 定动点的位置.（2）求三棱锥－的体积．（文）在正四棱锥－中（如图），若异面直线与所成角的正切值为，底面边长＝４． （１）求侧棱与底面所成角的大小.（２）求四棱锥－的体积．CPDA B CDEA 1B 1C 1D 1SR Q P C AB 19、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分． 设是由符合以下性质的函数组成的集合：对任意的０，(1,4]，且在[0，+∞)上是减函数. （1）判断函数＝２－ 及 ＝１＋３ （）是否属于集合？并简要说明理由.（2） 把（1）中你认为是集合中的一个函数记为，若不等式对于任意的０总成立，求实数的取值范围.20、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，某小区准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池,其余地方种花.若 ,设的面积为，正方形的面积为，将比值称为“规划合理度”.（1）试用,表示和.（2）（理）当为定值，变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角的大小.（文）当为定值，时，求“规划合理度”的值.21、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．设向量， (n 为正整数)，函数在[0，1]上的最小值与最大值的和为，又数列满足：()12121999121101010n n n n nb n b b b ---⎛⎫⎛⎫+-+⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． (1) 求证：．(2) 求的表达式．(3) 若，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数， 都有成立？证明你的结论． （注：与表示意义相同） 22、（本题满分18分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． （理）设斜率为的直线交椭圆：于两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）． （1）求⋅的值．（2）把上述椭圆一般化为 （＞＞０），其它条件不变，试猜想与关系(不需要证明)．请你给出在双曲线（＞０，＞０）中相类似的结论，并证明你的结论．（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例． 如果概括后的命题中的直线过原点，为概括后命题中曲线上一动点，借助直线及动点，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决． （文）设分别为椭圆：（＞０，＞０且）的两个焦点． （１）若椭圆上的点Ａ（１，）到两个焦点的距离之和等于4，求椭圆的方程． （２）如果点是（１）中所得椭圆上的任意一点，且，求的面积．（３）若椭圆具有如下性质：设是椭圆上关于原点对称的两点，点Ｑ是椭圆上任意一点，且直线ＱＭ与直线ＱＮ的斜率都存在，分别记为、，那么和之积是与点Ｑ位置无关的定值．试问：双曲线（＞０，＞０）是否具有类似的性质？并证明你的结论．通过对上面问题进一步研究，请你概括具有上述性质的二次曲线更为一般的结论，并说明理由上海市杨浦区、静安区xx 第二学期高三年级教学质量检测数学试卷参考答案1．， 2. （理科）或；（文科）， 3. 1 4. 5. 6. 4 7. （理科）（文科） 8. （理科）； （文科） 9. （理科）8； （文科）4 10. 11. 12. 5 13. B 14.D 15.C 16.B 17、（理科）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分 解：设()z x yi x, y R =+∈≠且ｙ０ -----------2分 则22444x yiz x yi a R z x y-+=++=∈+ -------------4分 --------------------------------6分 又 得 或1112 z ∴== ----10分＝２ ------------------------12分（文科）（本题满分12分） 解法一：由得，，-----------------2分解一元二次方程得14z ==。
上海静安区2023-2024学年第二学期教学质量调研高三数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．2024.4一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1．中国国旗上所有颜色组成的集合为________．2．已知i 是虚数单位，复数i2i++=m z 是纯虚数，则实数m 的值为________．3．函数xxy +-=21ln的定义域为________．4．若单位向量a 、b 满足⊥a b，则=-||a ________．5．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩X 服从正态分布),100(2σN （试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间]120,80[的学生人数约为_______．6．已知物体的位移d (单位：m)与时间t (单位：s)满足函数关系t d sin 2=，则在时间段)6,2(∈t 内，物体的瞬时速度为s /m 1的时刻=t _______(单位：s)．7．已知等比数列的前n 项和为a S nn +⎪⎭⎫⎝⎛=21，则a 的值为________．8．在下列关于实数b a 、的四个不等式中，恒成立的是_______．(请填入全部正确的序号)①ab b a 2≥+；②ab b a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+22；③||||||b a b a -≤-；④1222-≥+b b a ．9．正四棱锥ABCD P -底面边长为2，高为3，则点A 到不经过点A 的侧面的距离为_______．10．某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有i (=i 0,1,2)个次品的概率如下：一批产品中有次品的个数i012概率0.30.50.2则各批产品通过检查的概率为________．(精确到0.01)11．已知实数)6,0(∈a ，记))(a x x x f -=．若函数)(x f y =在区间[]2,0上的最小值为2-，则a 的值为________．12．我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点),(y x P 都满足方程022||2||222=+-+-y x y y x x ．现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,22M 到“爱心线”上任意一点的最小距离为d ，则用d 表示心吧面积的最大值为_______．xy O二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13．函数)(cos sin 2R ∈-=x x x y 的最小正周期为…………………………………………()A ．2π；B ．π；C ．23π；D ．2π．14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是………()A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β；C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；D ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β．15．设1>a ，则双曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率e 的取值范围是…………………………()A ．)2,2(；B ．)5,2(；C ．)5,2(；D ．)5,2(．16．如果一个非空集合G 上定义了一个运算*，满足如下性质，则称G 关于运算*构成一个群．(1)封闭性，即对于任意的G b a ∈,，有G b a ∈*；(2)结合律，即对于任意的G c b a ∈,,，有))(c b a c b a **=**（；(3)对于任意的G b a ∈,，方程b a x =*与b y a =*在G 中都有解．例如，整数集Z 关于整数的加法(+)构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的∈b a ,Z ，方程b a x =+与b y a =+都有整数解；而实数集R 关于实数的乘法(⨯)不构成群，因为方程10=⨯y 没有实数解．以下关于“群”的真命题有………………………………………………………………()1自然数集N 关于自然数的加法(+)构成群；2有理数集Q 关于有理数的乘法(⨯)构成群；3平面向量集关于向量的数量积(⋅)构成群；4复数集C 关于复数的加法(+)构成群．A ．0个；B ．1个；C ．2个；D ．3个．三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(满分12分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，5=b ，7=c ．(1)求角C 的大小；(2)求)sin(C A +的值．18．(满分15分)共3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．某高中随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[)165,160,[)170,165,[)175,170,[)180,175,[]185,180分组，得到样本身高的频率分布直方图(如下图所示).(1)求身高不低于170cm 的学生人数；(2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A ，B ，C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率．19．(满分15分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．如图1所示，ABCD 是水平放置的矩形，32=AB ，2=BC ．如图2所示，将ABD 沿矩形的对角线BD 向上翻折，使得平面⊥ABD 平面BCD ．(1)求四面体ABCD 的体积V ；(2)试判断与证明以下两个问题：①在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥？②在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l //？ABCD ABCD图1图220．(满分18分)共3个小题，每个小题均是满分6分．江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A 与点B ．现在准备以地平面上的点C 与点D 为起点建造上、下桥坡道，要求：①AC BD =；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为22:1(坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比)；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；(精确到0.1米)(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由(如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算)．21．(满分18分)共3个小题，第一小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知R ∈k ，记x x a k a x f -⋅+=)((0>a 且1≠a )．(1)当e =a (e 是自然对数的底)时，试讨论函数)(x f y =的单调性和最值；(2)试讨论函数)(x f y =的奇偶性；(3)拓展与探究：①当k 在什么范围取值时，函数)(x f y =的图像在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数)(x f y =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．(不必证明)C DAB20米参考答案与评分标准一、1．{红，黄}；2．21-；3．)1,2(-；4．2；5．1360；6．5π3；7．1-；8．②③④；9．5；10．0.91；11．3；12．225d -．二、13．A ；14．C ；15．D ．16．B ．三、17．解：(1)由余弦定理，有212cos 222-=-+=ab c b a C ，所以3π2=C …………………6分(2)解1：由正弦定理，有CcB b sin sin =，即.1435sin sin ==c C b B 所以B B C A sin )πsin()sin(=-=+.1435=………………………6分解2：由正弦定理，有C cA a sin sin =，即.1433sin sin ==c C a A 所以.1413sin 1cos 2=-=A A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分解3：由余弦定理，有14132cos 222=-+=bc a c b A ，所以.1433sin =A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分18．解:(1)由频率分布直方图可知515(0.070.040.020.01)x =-⨯+++，所以1[150.14]0.065x =-⨯=．身高在170cm 以上的学生人数为100(0.0650.0450.025)60⨯⨯+⨯+⨯=(人)．(2)A ,B ,C 三组的人数分别为30人,20人,10人.因此应该从A ,B ,C 三组中每组各抽取630360⨯=(人),620260⨯=(人),610160⨯=(人)．………………………4分设A 组的3位同学为1A ,2A ,3A ,B 组的2位同学为1B ,2B ,C 组的1位同学为1C ,则从6名学生中抽取2人有15种可能：12(,)A A ,13(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A C ,23(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B ,21(,)A C ,31(,)A B ,32(,)A B ,31(,)A C ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .所以B 组中至少有1人被抽中的概率为93155P ==．……………6分19．解：(1)过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ．因为平面⊥ABD 平面BCD ，ABDEF有AE ⊥平面BCD，则AE =……………………4分所以11122332BCD V S AE ==⨯⨯⨯ △．………2分(2)①在平面BCD 上存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥．……………………1分证明：过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ．因为AE ⊥平面BCD ，则DE 为AD 在平面BCD 内的投影．由三垂线定理，CF AD ⊥，则存在l AD ⊥．……………………4分②在平面BCD 上不存在经过点C 的直线l ，使得AD l //……………………1分证明：假设存在//l AD ，因为AD 不在平面BCD 内，则//AD 平面BCD ，与AD 平面BCD D =矛盾．…3分所以不存在//l AD ．注：用异面直线判断定理证明给满分．20．解1：如图，以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系.…………………1分……………………2分则，圆O 的方程为10022=+y x ；由221tan =C ，10=OE 得220=CE ，30=CO ．过点C 作圆O 的切线DE ，切点为E ，直线CE 的斜率为221，其方程为)30(221+=x y ．所以直线OE 的斜率为22-，其方程为x y 22-=，将其代入10022=+y x ，得点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3220,310．经过点D 作圆M 与圆O 切于点F （圆O 与y 轴的交点），设圆M 的半径为r ，则，222DM OM OD =+，即222)10(30r r =-+，解得50=r ．所以，圆M 的方程为22250)40(=++y x ，故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤---<≤-+=.300,402500,0310,100,31030),30(22122x x x x x x y ……………………3分(2)解1：由点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3220,310，得22arctan 2π-=∠EOF ，CDAB20米E OFxy所以圆弧EF 的长为⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π10≈3.398，……………………2分由点D 的坐标为()0,30，点M 的坐标为()40,0-，得43arctan =∠DMF ，所以圆弧FD 的长为43arctan50≈32.175，……………………2分故，过桥道路的总长度为+220⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π1043arctan 50+9.63≈m ．……2分解2：(1)如图建系…………………………………………………………1分……………………2分作圆N 与x 轴相切于点D ，并和圆O 切于点G ，设圆M 的半径为r ，则，222ON DN OD =+，即222)10(30+=+r r ，解得40=r ．所以，圆N 的方程为22240)40()30(=-+-y x ，将直线OG 的方程代入10022=+y x 得，点G 的坐标为()6,8故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤---<≤---<≤-+=.306,)30(160040,6310,100,31030),30(22122x x x x x x y …………………3分(2)因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3220,310OE ，)8,6(=OG ，则15283,cos +-==〉〈OG OE OG OE ，即，15283arccos ,+-=〉〈OG OE ．所以圆弧EG 的长为15283arccos 10+-≈9.833．……………………2分又由点G 的坐标为)8,6(，得34arctan 2π-=∠OND ，所以圆弧GD 的长为⎪⎭⎫ ⎝⎛-34arctan 2π40≈25.740．………………………2分故，过桥道路的总长度为+22015283arccos10+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+34arctan 2π40≈63.9m ．………2分CDAB20米EGOxy(3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形ACE 为底面，高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF (BDG )为底面，高为10米的柱体；……………………2分提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？……………………2分方案1：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOFDOM DMF BDF S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DOM DMF AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分方案2：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOGDNG ODN BDG S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DNG ODN AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分注:1、用直线和圆的方程表示坡道给满分；2、在拱桥右边设计与圆拱相切，切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道，若计算正确，可酌情给满分；3、在拱桥右边设计与圆拱相切，与水平线相交的下凸圆弧作为坡道，若计算正确，可酌情给满分．4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段，建议各扣1分；5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道，但计算正确，建议各扣1分．21．解：(1)xx k x f -⋅-=e e )('，当0≤k 时，0)('>x f ，故函数)(x f y =在R 上为严格增函数；……………………1分函数)(x f y =在R 上无最值．……………………1分当0>k 时，令0)('=x f ，得k x ln 21=，所以，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈k x ln 21,时，0)('<x f ，函数)(x f y =在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-k ln 21,上为严格减函数；…1分当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,ln 21k x 时，0)('>x f ，函数)(x f y =在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,ln 21k 上为严格增函数．…………1分函数)(x f y =在R 上有最小值0，无最大值．……………………1分(2)因为“)(x f y =为偶函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅+--；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=---x x a a k ⇔1=k ．故，1=k 是)(x f y =为偶函数的充要条件．……………………3分因为“)(x f y =为奇函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f -=-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅----；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=++-x x a a k ⇔1-=k ．故，1-=k 是)(x f y =为奇函数的充要条件．……………………3分当1±≠k 时，)(x f y =是非奇非偶函数.(3)①当0<k 时，函数)(x f y =有对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛-0),log(21k ．即，当0<k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=--))((log x k f a )(x f -．………2分证明：当0<k 时，令0)(=x f ，解得)(log 21k x a -=为函数)(x f y =的零点由xx a k a x f -⋅+=)(得，=--))((log x k f a ))((log )(log x k x k a a a k a -----⋅+x x a a k -⋅-=-)(x f -=．……………………2分②答案1：当0>k 时，函数)(x f y =有对称轴k x a log 21=．即，当0>k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=-)(log x k f a )(x f ．………………3分参考证明：当0>k 时，由xx a k a x f -⋅+=)(得，=-)(log x k f a )(log log x k xk a aa k a ---⋅+x x a a k +⋅=-)(x f =．答案2：当1=k 时，)(x f y =的图像关于y 轴对称，即，对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-．………………………………………………1分答案3：当0<k 时，函数)(x f y =的零点为)(log 21k x a -=，即.0)(log 21=⎪⎭⎫⎝⎛-k f a …………1分答案4：表述函数)(x f y =的单调性和最值，并写出定义形式各给1分.。
2021年上海市静安区中考数学二模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A ．1﹣1＝﹣1B ．10＝0C ．（﹣1）﹣1＝1D ．（﹣1）0＝1 2．如果关于x 的方程260x x m -+=有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．9m > B ．9m ≥ C ．9m ≤ D ．9m < 3．一次函数32y x =-的图像不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．对于等边三角形，下列说法正确的为（ ）A ．既是中心对称图形，又是轴对称图形B ．是轴对称图形，但不是中心对称图形C ．是中心对称图形，但不是轴对称图形D ．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形5．某厂对一个班组生产的零件进行调查，该组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，0，2，2，3，0，3，那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（ ）A ．2.5与1.5B ．2与1.5C ．2.5D ．26．对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ） A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题二、填空题7．化简：|2|=__________．8．计算：()2x x x ÷-=________．9．函数()132f xx x -=-的定义域为________． 10．如果正比例函数的图像经过第二、四象限，那么函数值y 随x 的增大而________．11．方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=⎩的解为________．12．从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是________．13．为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，如图所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），由此可以估计该校九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及以上的人数约为________．14．如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，ACD B ∠=∠， 2AD =，AC =，设BA a =， BC b =，那么CD =________ ．（用向量a ，b 的式子表示）．15．如果⊙O 1与⊙O 2相交，⊙O 1的半径是5，O 1O 2＝3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是_____．16．如图，已知在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ，矩形DEFG 的顶点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上，如果DE ＝5，tan C ＝52，那么AE 的长为_____．17．已知矩形纸片ABCD 的边10AB =，12BC =（如图），将它折叠后，点D 落在边AB 的中点处，那么折痕的长为________．18．在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的n 倍（n 为整数），那么我们称这个三角形为n 倍三角形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为________．三、解答题19．先化简，再求值：2222141x x x x x x x +----+-．其中1x =． 20．已知点()2,3A m +在双曲线m y x =上． （1）求此双曲线的表达式与点A 的坐标；（2）如果点(),5B a a -在此双曲线上，图像经过点A 、B 的一次函数的函数值y 随x 的增大而增大，求此一次函数的解析式．21．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ．DC ⊥BC ，DC ＝BC ＝2，∠ADB ＝90°，BD 与AE 、AC 分别相交于点F 、G ．求：（1）AF 的长；（2）AG 的长．22．小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发部比甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品，且比从甲批发部购进数量多了40件．问：乙批发部的这种商品每件几元？23．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．24．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（5，0）（如图），经过点A 的抛物线y ＝x 2+bx +5与y 轴相交于点B ，顶点为点C ．（1）求此抛物线表达式与顶点C 的坐标；（2）求∠ABC 的正弦值；（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D ，且△DCA 与△ABC 相似，求平移后的新抛物线的表达式．25．如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，点P 在线段OA 上，半圆P 与半圆O 相切于点A ，点C 在半圆P 上，CO ⊥AB ，AC 的延长线与半圆O 相交于点D ，OD 与BC 相交于点E ．（1）求证：AD •AP ＝OD •AC ；（2）设半圆P 的半径为x ，线段CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）当点E 在半圆P 上时，求半圆P 的半径．参考答案1．D【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：A 、1﹣1＝1，故此选项错误；B 、10＝1，故此选项错误；C 、（﹣1）﹣1＝﹣1，故此选项错误；D 、（﹣1）0＝1，故此选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，正确理解性质是关键2．C【分析】由关于x 的方程x 2-6x +m =0有实数根知△=b 2-4ac ≥0，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵关于x 的方程260x x m -+=有实数根，∴△=（-6）2-4m ≥0，解得：m ≤9，故选：C ．【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．B【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．【详解】解：∵一次函数32y x =-中，30k =>，20b =-<，∴此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 4．B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念分析即可．【详解】等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：B ．【点睛】本题考查判断轴对称图形与中心对称图形．掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解答本题的关键．5．A【分析】直接利用中位数的定义和方差的计算公式计算即可．【详解】 中位数23 2.52+==． 33223328x +++++==． ()()()()()()()()2222222223232022222320232 1.58S -+-+-+-+-+-+-+-==．综上可知，中位数为2.5、方差为1.5．故选：A ．【点睛】 本题考查求中位数和方差．掌握求一组数据中中位数和方差的公式是解答本题的关键． 6．A【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可．【详解】解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；②如果第一个圆上的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，故原命题是假命题； 故选：A ．【点睛】本题考查了命题的判断，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键．7．2【分析】先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案．【详解】解：2<，∴原式2)=-2=-故答案为：2．【点睛】此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小是解题关键．8．11x - 【分析】先把除法算式改写成分式的形式，再根据分式的基本性质进行化简，即可得出结果．【详解】解：()221(1)1x x x x x x x x x x ÷-===---． 故答案为：11x -． 【点睛】 此题考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．9．32x ≠ 【分析】函数()132f xx x -=-的定义域，为自变量的取值范围，即320x -≠分母不为0． 【详解】 函数()132f x x x -=-的定义域为320x -≠，即32x ≠． 故答案：32x ≠． 【点睛】本题考查了自变量的取值范围、分式有意义的条件，准确把握分式有意义的条件是解答此题的关键．10．减小【分析】根据正比例函数的性质即可填空．【详解】根据函数图象经过第二、四象限可知其比例系数0k <．∴函数值y 随x 的增大而减小．故答案为：减小．【点睛】本题考查正比例函数的性质．掌握正比例函数(0)y kx k =≠，当0k <时，其图象经过第二、四象限，且函数值y 随x 的增大而减小是解答本题的关键．11．21x y =⎧⎨=⎩ 【分析】先求出+3x y =，再利用加减消元法进行求解x ,y 即可．【详解】解：2231x y x y ⎧-=⎨-=⎩①②由①得：()()+3x y x y -=③将②代入③得：+3x y =④②+④得：24=x ，则2x =将2x =代入④得，1y =所以21x y =⎧⎨=⎩故答案为21x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．12．13【分析】利用树状图法求解即可．【详解】根据题意，列树状图如下：∴组成的两位共有：12，13，21，23，31，32，6个数，其中能够被3整除的有：12，21，2个数，∴恰好能被3整除的概率为2163P ==， 故答案为：13． 【点睛】本题考查列树状图或表格的方法求概率，准确根据题意列出树状图或表格是解题关键． 13．120【分析】根据直方图分析出课外阅读时间在6小时及以上的人数的频率，然后利用频率乘总人数即可求解．【详解】由图中可知，课外阅读时间在6小时及以上的人数的频率为0.25+0.15=0.4，∴所有学生中，课外阅读时间在6小时及以上的人数300×0.4=120人，故答案为：120．【点睛】本题考查频率分布直方图，理解频率分布直方图的意义是解题关键．14．13a b -【分析】根据∠A ＝∠A ，∠ACD ＝∠B ，可证ACD ABC ~，则有2AC AD AB =•，可得AB ＝3，BD ＝1，可求得13BD a =，然后根据CD CB BD =+ 求解即可．【详解】解：∵∠A ＝∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴ACD ABC ~，∴2AC AD AB =•，∴22AB =∴AB ＝3，∴BD ＝1， ∴13BD AB = ， ∴13BD a =，∵CD CB BD BD BC =+=-， ∴13CD a b =-． 故答案为：13a b -． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．2＜r ＜8【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则R ﹣r ＜d ＜R +r ．【详解】解：∵两圆相交，∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜5+r，即2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则P＞R +r；外切，则P＝R +r；相交，则R﹣r＜P＜R +r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r 分别表示两圆的半径）．16．2【分析】证明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得结论．【详解】解：∵四边形DEFG是矩形，∴EF//CD，EF＝DG，∠FGD＝∠FGC＝90°，DE＝FG＝5，∴∠EFB＝∠C，∵AD//BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∴BE＝EF＝DG，∴AE＝CG，在Rt FGC中，tan C＝FGCG＝52，∴CG＝2，∴AE＝CG＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查等腰梯形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．65 6【分析】通过作出折叠后的图形，作EM BC ⊥， 先证ADP MEF △∽△，得到AD DP EM EF= ，再求出12AD BC ==，162AP AB ==，13DP =，代入求解即可． 【详解】 解：作出折叠后的图形，作EM BC ⊥，垂足为点M ，连接PD ．∵矩形纸片ABCD ，将它折叠后，点D 落在边AB 的中点处，与点P 重合∴EPD EDP ∠=∠,+90DEF EDP ∠∠=︒∵四边形ABCD 是矩形，EM BC ⊥∴EM AD ⊥∴+90DEF FEM ∠∠=︒∴=EDP FEM ∠∠∵=90A EMF ∠∠=︒∴ADP MEF △∽△ ∴AD DP EM EF= ∵四边形ABCD 是矩形，10AB =，12BC =，点D 落在边AB 的中点P 处，∴10EM AB ==，12AD BC ==，162AP AB ==，在Rt ADP 中，13DP ===， ∴121310EF =则656EF =．故答案：656． 【点睛】 本题考查了勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质，能找到相似三角形得到边与边的关系是解答此题的关键．18．30或20︒或18︒或360()11 【分析】根据n 倍三角形的定义结合三角形内角和定理，进行分类讨论计算即可．【详解】设最小的内角为x ︒．分类讨论：①当2倍角为2x ︒，3倍角为3x ︒时，可得：23180x x x ︒+︒+︒=︒，解得30x =．②当2倍角为2x ︒，3倍角为6x ︒时，可得：26180x x x ︒+︒+︒=︒，解得20x ．③当3倍角为3x ︒，2倍角为6x ︒时，可得：36180x x x ︒+︒+︒=︒，解得18x =．④当3x ︒即是2倍角又是三倍角时，即另一个内角为32x ︒，可得：331802x x x ︒+︒+︒=︒， 解得36011x =． 综上可知，最小的内角为30或20︒或18︒或360()11． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理．理解题干中n 倍三角形的定义以及利用分类讨论的思想是解答本题的关键．19．21x x -，22- 【分析】分式的减法运算，先通分进行化简计算，然后代入求值．【详解】 解：2222141x x x x x x x +----+-=()()()()1121411x x x x x x x x -++--+-- =()()()()()2112114x x x x x x x ++-+---=()()223221411x x x x x x x x ++-+---+ =()()111x x x x ++- =21x x-当1x =时， 原式=()()2111-=22- 【点睛】本题考查分式的化简及二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．20．（1）6y x=-，()2,3A -；（2）1y x 42=-． 【分析】 （1）把点A （2，m +3）代入m y x=求得m ，即可求出结果； （2）把点B （a ，5-a ）代入m y x =求得a 得到B 点的坐标，根据A 点坐标和函数的增减性排除掉不符合题意的点，再由待定系数法求出一次函数解析式．【详解】解：（1）∵点A （2，m +3）在双曲线m y x =上， ∴.32m m +=， 解得：m =-6，∴m +3=-3，∴此双曲线的表达式为6y x -=， 点A 的坐标为（2，-3）；（2）∵点B （a ，5-a ）在此双曲线6y x -=上， ∴6.5a a--=， 解得：a =-1或a =6，经检验：1,6a a =-=都是原方程的根，且符合题意，∴点B 的坐标为（-1，6）或（6，-1），∵一次函数的函数值y 随x 的增大而增大，由（1）知A （2，-3），∴点B 的坐标只能为（6，-1），设一次函数的解析式为y =kx +b ，∴3216k b k b -=+⎧⎨-=+⎩， 解得：124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴一次函数的解析式为1y x 42=-． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．21．（1）2；（2）2【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得点E 是BC 的中点，证明AE ∥DC ，可得EF 是△BCD 的中位线，再根据条件证明△ADF 是等腰直角三角形，进而根据勾股定理可得结果；（2）由（1）可得AF ＝CD ＝2，EF ＝1，BE ＝1，所以AE ＝3，根据勾股定理可得AB ，所以AC ＝AB ，再证明△AFG ≌△CDG ，可得AG ＝CG ，进而可得结论．【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，AE ⊥BC ，∴点E 是BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝12×2＝1， ∵DC ⊥BC ，∴AE ∥DC ，∵DC ⊥BC ，DC ＝BC ＝2，∴BD ，∠CBD ＝45°，∵点E 是BC 的中点，∴EF 是△BCD 的中位线，∴EF ＝12DC ＝1，DF ＝12BD ， ∵∠CBD ＝45°，∴∠AFD ＝∠EFB ＝45°，∵∠ADB ＝90°，∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AD ＝DF ，∴AF 2；（2）由（1）可知：AF ＝CD ＝2，EF ＝1，BE ＝1，∴AE ＝AF +EF ＝2+1＝3，∴AB ，∴AC ＝AB ，∵AE ∥CD ，∴∠F AG ＝∠DCG ，在△AFG 和△CDG 中，，FAG DCG AGF CGD AF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFG ≌△CDG （AAS ），∴AG ＝CG ，∴AG ＝12AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．22．12元【分析】设乙批发部的这种商品每件x 元，则甲批发部这种商品每件(x +3)元，根据“比从甲批发部购进数量多了40件”建立分式方程求解并检验即可．【详解】设乙批发部的这种商品每件x 元，则甲批发部这种商品每件(x +3)元， 根据题意得：9001200403x x=-+ 左右同乘()3x x +得：()()90012003403x x x x =+-+整理得：2291800x x --=则：()()215120x x +-=2150x +=或120-=x ，∴112x =，2152x =-（不符合题意，舍去） 检验：当12x =时，()30x x +≠，∴12x =是原分式方程的解，∴乙批发部的这种商品每件12元．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，审清题意，找准等量关系建立方程，并注意最后要检验是解题关键．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED 和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅， ∴AE AD CB AC=， ∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（1）y ＝x 2﹣6x +5，顶点C 的坐标为（3，﹣4）；（2；（3）y ＝x 2﹣6x +253或y ＝x 2﹣6x +11．【分析】 （1）将(5,0)A 代入25y x bx =++可得表达式，配方即得顶点坐标；（2）设BC 与x 轴交于F ，过F 作FE ⊥AB 于E ，求出EF 、BF 即可得出答案； （3）设D 坐标，用三边对应成比例列方程，求出D 的坐标即可得出答案．【详解】解：（1）将(5,0)A 代入25y x bx =++得： 02555b =++，解得6b =-，∴抛物线表达式为：265y x x =-+，∵2265(3)4y x x x =-+=--，∴顶点C 的坐标为(3,4)-；（2）设BC 与x 轴交于F ，过F 作FE ⊥AB 于E ，如图所示：抛物线265y x x =-+与y 轴交于(0,5)B ，设BC 解析式为y mx n =+，将(0,5)B ，(3,4)C -代入得：543n m n =⎧⎨-=+⎩，解得35m n =-⎧⎨=⎩， ∴BC 解析式为35y x =-+，令0y =，得53x =， ∴F 5(,0)3， ∴103AF OA OF =-=， ∵(0,5)B ，(5,0)A ，∴5OA OB ==，AB =∠BAO ＝45°，∴cos 45AE AF EF =⋅︒==，∴3BE AB AE =-=，∴3BF ==，∴sin EF ABC BF ∠=== （3）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D ，设(3,)D m ， 则平移后的新抛物线的表达式为2(3)y x m =-+，且(44CD m m --=)=+，AD =AC ==AB =BC =若△DCA 与△ABC 相似，只需三边对应成比例，但AC 对应边不能是AC ， 故分三种情况：①若△ABC ∽△DCA ，如图所示：AB BC ACDC CA AD==，即+4m==解得：23m=-，∴(3,)D m，∴平移后的新抛物线的表达式为：22225(3)633y x x x=--=-+，②若△ABC∽△DAC，则AB AC BCAD CD AC==4m==+③若△ABC∽△ACD，如图所示：AB AC BCAC AD CD ==4m ==+， 解得2m =，∴(3,2)D ，∴平移后的新抛物线的表达式22(3)2611y x x x =-+=-+；综上所述，△DCA 与△ABC 相似，平移后的新抛物线的表达式为22563y x x =-+或2611y x x =-+．【点睛】本题考查二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，解题的关键是求出平移后抛物线的顶点坐标．25．（1）见解析；（2）y ＝2x，x 范围是0＜x ≤2；；（3 【分析】（1）连接CP ，证明△ACP ∽△ADO 相似即可得到答案；（2）用x 的代数式表示AC ，再利用平行线分线段成比例即可得到答案；（3）半圆P 与AB 交于G ，连接EG ，过E 作EH ⊥AB 于H ，利用x 的代数式表示EG 和BG 再列方程可得答案．【详解】解：（1）连接CP ，如图：∵AP ＝CP ，AO ＝DO ，∴∠A ＝∠ACP ＝∠ADO ，∴△ACP ∽△ADO ， ∴=CP AC OD AD， ∴AD •CP ＝OD •AC ，∴AD •AP ＝OD •AC ；（2）∵半圆O 的直径AB ＝4，∴AO ＝2，∵半圆P 的半径为x ，∴OP ＝2﹣x ，∵CO ⊥AB ，∴∠COP ＝90°，∴CO 2＝CP 2﹣OP 2＝x 2﹣（2﹣x ）2＝4x ﹣4，Rt △AOC 中，AC ＝∵∠A ＝∠ACP ＝∠ADO ，∴CP ∥DO ， ∴=AC AP CD OP， 又线段CD 的长为y ，∴2x y x=-，变形得：y =x 范围是0＜x ≤2； （3）设半圆P 与AB 交于G ，连接EG ，过E 作EH ⊥AB 于H ，如图：设半圆P 的半径为x ，由（2）知AC ＝∵CO ⊥AB ，∴BC ＝AC ＝，∵CP ∥DO ， ∴=BEOBBC PB ，而OB ＝2，PB ＝4﹣x ，24x =-，∴BE＝4x -，∵点E 在半圆P 上，∴∠EGB ＝∠ACB ，且∠B ＝∠B ，∴△CAB ∽△GEB ， ∴==EGBEBGAC AB BC ，∴44x -=，∴EG ＝24xx -，∵AC ＝BC ，∴EG ＝BG ，而BG ＝AB ﹣AG ＝4﹣2x ， ∴24xx -＝4﹣2x ，解得x =x =（大于2，舍去），∴半圆P 的半径为72x -=． 【点睛】本题考查圆、相似三角形及勾股定理等综合知识，难度较大，解题的关键是利用相似三角形性质表达相关线段的长度再列方程．。
