立体几何 圆柱和圆锥
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1 1 1 1.5
0.5 1
- 137 -
关爱成长每一天
解析：从上面看到图形是右上图，各个平行面积的和即为两个底圆面积，再加上三个圆柱的 侧面积，即为所求。 解：上下底面积和： 2 3.14 1.52 14.13 (平方米) 侧面积为 2 3.14 (0.5 1 1.5) 1 18.84 (平方米) 所以该物体的表面积是 14.13 18.84 32.97 (平方米) 答：该物体的表面积为32.97平方米。
S
,
h 1130 .4 (3.14 6 2 ) 10(厘米)
又 圆锥和圆柱的体积相等，底面积也相等，所以圆锥的高是圆柱高的 3 倍。
圆锥高 10×3＝30（厘米）。 答：这个圆锥高 30 厘米。
- 136 -
第十讲
圆柱和圆锥
我能行：
1、蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径是6米，高是2米，圆锥的高是1米， 蒙古包所占的体积大概是多少立方米？
3、一根长 8 分米，横截面直径是 4 分米的圆柱体，将它平均截成 4 段，然后全部涂上颜色， 应涂面积是多少？
- 138 -
第十讲
圆柱和圆锥
例 2.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图。已知它的容积为 26.4π立方厘 米。当瓶子正放时，瓶内酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米。问： 瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
第十讲
圆柱和圆锥
第十讲
知识导航:
圆柱和圆锥
认识圆柱和圆锥的特征， 掌握圆柱和圆锥的侧面积和表面积的意义， 以及它们侧面的展 开图。圆柱和圆锥表面积的计算方法，了解圆柱和圆锥的关系，合理运用公式解决圆柱和圆 锥的体积，初步建立空间观念，学会用数学的眼光观察生活中物体的形状，并能解决生活中 的一些实际问题。 1．圆柱 O 底面 侧面 高 O 底面 底面 底面
我能行：
1、有两个棱长为8cm正方体盒子。A盒子放入直径8cm，高8cm的圆柱体铁块一个，B盒子放
入直径4cm、高8cm的圆柱体铁块4个。现在A盒注满水，把A盒中水倒入B盒，使B盒注满水。 A 盒剩下水是多少立方分米？
- 134 -
第十讲
圆柱和圆锥
2、有两个底面半径相等的圆柱，高的比是2:5，第二个圆柱的体积是175立方厘米，第二个 圆柱的体积比第一个圆柱的体积多多少立方厘米？
V Sh 即可求。
解：两个圆柱直径的比是 1: 2 ，所以底面面积的比是 1: 4 。铁块在两个杯中排开的水的体 积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的 答：这时乙杯中的水位上升了 0.5 厘米。
1 1 ，即 2 0.5 (厘米)。 4 4
我能行
1、在一只底面半径是 30 厘米的圆柱形储水桶里，有一段半径为 10 厘米的圆柱形钢材浸沉 在水中。当钢材从储水桶中取出时，桶里的水下降了 5 厘米。这段钢材有多长？（用两种方 法解）
我试试：
1、 一个圆柱形水桶，底面积是314平方厘米，高是25厘米，它的容积是多少立方厘米？
2、挖一个圆柱形蓄水池，从里面量，底面周长是25.12米，深是2.4米，池内水面距底面0.8 米。蓄水池内现有水多少立方米？
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关爱成长每一天
3、皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中，皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米， 皮球体积的
表面积： 314 2 1884 2512 （cm 2）
答：至少需要纸板的面积为 2512cm
2
我试试：
1、一根圆柱形排水管，底面半径是3厘米，高是1米，求这根圆柱形排水管的表面积是多少
平方厘米？
- 130 -
第十讲
圆柱和圆锥
2、一个圆柱形蓄水池，底面直径是6米，深是2米，要将蓄水池的底面和侧面都抹上水泥，
答：它的侧面积是471平方厘米。
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关爱成长每一天
我试试:
1、一个圆柱形纸筒（接口处不计），底面周长是72厘米，高是8厘米，它的侧面积是多少平 方厘米？
2、一个圆柱，底面的直径是0.5厘米，高是1.8厘米，求它的侧面积。
3、一个圆柱形的烟囱，底面半径是6厘米，高是50厘米，做这样的一个烟囱至少需要铁皮多 少平方厘米？
2、在一只底面直径是 40 厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是 10 厘米的圆锥形铸件完全 浸于水中，取出铸件后，缸里的水下降 0.5 厘米，求铸件的高？
3、把一个底面半径为 5 厘米，长为 2 厘米的圆柱，熔铸成一个底面直径为 8 分米的圆锥， 圆锥有多高？
第三关:我想会
例 1.如图，用高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、 1 米和 0.5 米的 3 个圆柱组成一个物体。 问这个物体的表面积是多少平方米？( π 取 3.14 )
底面周长
高
S侧 C h
2．圆锥 高 O r 底面 圆锥的体积计算公式： V 3．圆柱与圆锥的关系： h
S表 S侧 2S底
侧面 底面
1 Sh 。 3
（1）一个圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的 3 倍。 （2）当一个圆柱与一个圆锥的体积和底面积都相等时，圆锥的高是圆柱高的 3 倍。 （3）当一个圆柱与一个圆锥的体积和高都相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的 3 倍。
我要学：
1、有一个圆柱体的零件，高 10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔， 圆孔的直径是 4 厘米，孔深 5 厘米(见右图)。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆， 那么一共要涂多少平方厘米？
2、如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成 1 个圆柱体 这个圆柱体的底面半径为 10 厘米， 那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？( π 3.14 )
则抹水泥的面积多大？若每平方米用水泥2千克，共用水泥多少千克？
3、一个圆柱形水池，水池内壁和底面都要镶上瓷砖，水池底面直径6米，池深1.2米。镶瓷 砖的面积是多少平方米？
例 3．一个圆柱的底面直径是 6 分米，高是 20 分米，求圆柱的体积。 解析：直径是 6 分米，再根据半径=
2
1 可以求出半径为 3 分米，然后根据圆的面积 直径， 2
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关爱成长每一天
3、一个圆柱体的体积是 50.24 立方厘米，底面半径是 2 厘米。将它的底面平均分成若干个 扇形后， 再截开拼成一个和它等底等高的长方体， 表面积增加了多少平方厘米？ ( π 3.14 )
例 2. 在一个圆柱形水桶里放入一个半径为 5 厘米的圆柱形钢块。如果把钢块浸没在水中， 桶里的水面就会上升 9 厘米； 如果沿竖直方向把浸没在水中的钢块提起 8 厘米， 桶里的水面 就会下降 4 厘米。求圆柱形钢块的体积？ 解析： 先求出露出水面的圆柱形钢块的体积，因为下降的水的体积与露出水面的圆柱形钢 块的体积相等，所以可求出圆柱形水桶的底面积。又因为当钢块浸没在水中时，上升的水的 体积与钢块的体积相等， 所以可以求出圆柱形钢块的体积。 等积转化是本题的考察重点内容， 希望引起足够重视。 解：
3、圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长，已知正方体的体积是45立方厘米，求圆 锥的体积。
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第十讲
圆柱和圆锥
第二关:我能会
例 1.如图，在棱长为 5 厘米的正方体中间挖去了一个半径为 2 厘米的圆柱，求物体的表面 积。 解析：如图，在正方体的中心挖去了一个半径为 2 厘米的圆柱，物体的表面积不单是正方体 的表面积，还要+“圆柱的侧面积”-2“圆柱的底面积”，才为现在物体的表面积，结合 公式，本题可解。
4 浸在水中，求皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？（ 5
球的体积计算公式：V 球 4 r 3 ） 3
例4．一个圆锥形模具，底面直径是8厘米，高是15厘米，它的体积是多少立方厘米？ 解 析 ： 底 面 直 径 是 8 厘 米 ， 可 以 根 据 S （ ） ， 求 出 圆 锥 的 底 面 积 ， 然 后 再 根 据
V钢 3.14 52 8 628 （立方厘米）
下降的水的体积与露出水面的圆柱形钢块的体积相等
S 水桶 628 4 157 （平方厘米）
当钢块浸没在水中时，上升的水的体积与钢块的体积相等。 上升的水的体积 157×9＝1413（立方厘米）
V钢 1413 （立方厘米）
答：圆柱形钢块的体积是 1413 立来自厘米。h1.5r
h+25
r
例 4.一个圆柱的底面半径是 6 厘米，体积是 1130.4 立方厘米，一个圆锥与它的体积相等， 底面积也相等。这个圆锥高是多少厘米？ 解析：已知圆柱的底面半径和体积，可求出圆柱的高，再由等底面积的圆锥和圆柱的体积相 等，可求出圆锥的高即可。 解： 由圆柱的体积计算公式：V＝Sh 可得， V Sh, 可得，h V
第一关：必须会
例1.一个圆柱的高是15厘米，底面半径是5厘米，它的侧面积是多少平方厘米？ 解析：底面半径是5厘米，根据C=2πr可以求出底面周长，然后再根据S侧=Ch,就可以求出这 个圆柱的侧面积是多少平方厘米。
2 3.14 5 15 解 ： 31.4 15 471 （厘米）
2
d 2
V
1 Sh 3
, 就可以求出这堆沙子的体积。
1 3.14 (8 2) 2 15 解： 3 2 251.2(厘米）
答：圆锥形模具的体积为251.2立方厘米。
我试试：
1、 一个圆锥形沙堆，底面周长为62.8米，高是6米，这堆沙子有多少立方米？
2、 一个圆锥形小麦堆的底面半径是2米，高是1.5米，则这堆小麦的体积是多少立方米？
答：该物体的表面积为 200.24 平方厘米。
我能行：
1、有一根棱长为 40 厘米的正方体零件，它的上、下两个面的正中间各有一个直径为 4 厘米 的圆孔，孔深为 10 厘米，试求这个零件的表面积。
0.5 1
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关爱成长每一天
解析：从上面看到图形是右上图，各个平行面积的和即为两个底圆面积，再加上三个圆柱的 侧面积，即为所求。 解：上下底面积和： 2 3.14 1.52 14.13 (平方米) 侧面积为 2 3.14 (0.5 1 1.5) 1 18.84 (平方米) 所以该物体的表面积是 14.13 18.84 32.97 (平方米) 答：该物体的表面积为32.97平方米。
S
,
h 1130 .4 (3.14 6 2 ) 10(厘米)
又 圆锥和圆柱的体积相等，底面积也相等，所以圆锥的高是圆柱高的 3 倍。
圆锥高 10×3＝30（厘米）。 答：这个圆锥高 30 厘米。
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第十讲
圆柱和圆锥
我能行：
1、蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径是6米，高是2米，圆锥的高是1米， 蒙古包所占的体积大概是多少立方米？
3、一根长 8 分米，横截面直径是 4 分米的圆柱体，将它平均截成 4 段，然后全部涂上颜色， 应涂面积是多少？
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圆柱和圆锥
例 2.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图。已知它的容积为 26.4π立方厘 米。当瓶子正放时，瓶内酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米。问： 瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
第十讲
圆柱和圆锥
第十讲
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圆柱和圆锥
认识圆柱和圆锥的特征， 掌握圆柱和圆锥的侧面积和表面积的意义， 以及它们侧面的展 开图。圆柱和圆锥表面积的计算方法，了解圆柱和圆锥的关系，合理运用公式解决圆柱和圆 锥的体积，初步建立空间观念，学会用数学的眼光观察生活中物体的形状，并能解决生活中 的一些实际问题。 1．圆柱 O 底面 侧面 高 O 底面 底面 底面
我能行：
1、有两个棱长为8cm正方体盒子。A盒子放入直径8cm，高8cm的圆柱体铁块一个，B盒子放
入直径4cm、高8cm的圆柱体铁块4个。现在A盒注满水，把A盒中水倒入B盒，使B盒注满水。 A 盒剩下水是多少立方分米？
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2、有两个底面半径相等的圆柱，高的比是2:5，第二个圆柱的体积是175立方厘米，第二个 圆柱的体积比第一个圆柱的体积多多少立方厘米？
V Sh 即可求。
解：两个圆柱直径的比是 1: 2 ，所以底面面积的比是 1: 4 。铁块在两个杯中排开的水的体 积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的 答：这时乙杯中的水位上升了 0.5 厘米。
1 1 ，即 2 0.5 (厘米)。 4 4
我能行
1、在一只底面半径是 30 厘米的圆柱形储水桶里，有一段半径为 10 厘米的圆柱形钢材浸沉 在水中。当钢材从储水桶中取出时，桶里的水下降了 5 厘米。这段钢材有多长？（用两种方 法解）
我试试：
1、 一个圆柱形水桶，底面积是314平方厘米，高是25厘米，它的容积是多少立方厘米？
2、挖一个圆柱形蓄水池，从里面量，底面周长是25.12米，深是2.4米，池内水面距底面0.8 米。蓄水池内现有水多少立方米？
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3、皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中，皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米， 皮球体积的
表面积： 314 2 1884 2512 （cm 2）
答：至少需要纸板的面积为 2512cm
2
我试试：
1、一根圆柱形排水管，底面半径是3厘米，高是1米，求这根圆柱形排水管的表面积是多少
平方厘米？
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第十讲
圆柱和圆锥
2、一个圆柱形蓄水池，底面直径是6米，深是2米，要将蓄水池的底面和侧面都抹上水泥，
答：它的侧面积是471平方厘米。
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我试试:
1、一个圆柱形纸筒（接口处不计），底面周长是72厘米，高是8厘米，它的侧面积是多少平 方厘米？
2、一个圆柱，底面的直径是0.5厘米，高是1.8厘米，求它的侧面积。
3、一个圆柱形的烟囱，底面半径是6厘米，高是50厘米，做这样的一个烟囱至少需要铁皮多 少平方厘米？
2、在一只底面直径是 40 厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是 10 厘米的圆锥形铸件完全 浸于水中，取出铸件后，缸里的水下降 0.5 厘米，求铸件的高？
3、把一个底面半径为 5 厘米，长为 2 厘米的圆柱，熔铸成一个底面直径为 8 分米的圆锥， 圆锥有多高？
第三关:我想会
例 1.如图，用高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、 1 米和 0.5 米的 3 个圆柱组成一个物体。 问这个物体的表面积是多少平方米？( π 取 3.14 )
底面周长
高
S侧 C h
2．圆锥 高 O r 底面 圆锥的体积计算公式： V 3．圆柱与圆锥的关系： h
S表 S侧 2S底
侧面 底面
1 Sh 。 3
（1）一个圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的 3 倍。 （2）当一个圆柱与一个圆锥的体积和底面积都相等时，圆锥的高是圆柱高的 3 倍。 （3）当一个圆柱与一个圆锥的体积和高都相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的 3 倍。
我要学：
1、有一个圆柱体的零件，高 10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔， 圆孔的直径是 4 厘米，孔深 5 厘米(见右图)。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆， 那么一共要涂多少平方厘米？
2、如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成 1 个圆柱体 这个圆柱体的底面半径为 10 厘米， 那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？( π 3.14 )
则抹水泥的面积多大？若每平方米用水泥2千克，共用水泥多少千克？
3、一个圆柱形水池，水池内壁和底面都要镶上瓷砖，水池底面直径6米，池深1.2米。镶瓷 砖的面积是多少平方米？
例 3．一个圆柱的底面直径是 6 分米，高是 20 分米，求圆柱的体积。 解析：直径是 6 分米，再根据半径=
2
1 可以求出半径为 3 分米，然后根据圆的面积 直径， 2
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3、一个圆柱体的体积是 50.24 立方厘米，底面半径是 2 厘米。将它的底面平均分成若干个 扇形后， 再截开拼成一个和它等底等高的长方体， 表面积增加了多少平方厘米？ ( π 3.14 )
例 2. 在一个圆柱形水桶里放入一个半径为 5 厘米的圆柱形钢块。如果把钢块浸没在水中， 桶里的水面就会上升 9 厘米； 如果沿竖直方向把浸没在水中的钢块提起 8 厘米， 桶里的水面 就会下降 4 厘米。求圆柱形钢块的体积？ 解析： 先求出露出水面的圆柱形钢块的体积，因为下降的水的体积与露出水面的圆柱形钢 块的体积相等，所以可求出圆柱形水桶的底面积。又因为当钢块浸没在水中时，上升的水的 体积与钢块的体积相等， 所以可以求出圆柱形钢块的体积。 等积转化是本题的考察重点内容， 希望引起足够重视。 解：
3、圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长，已知正方体的体积是45立方厘米，求圆 锥的体积。
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圆柱和圆锥
第二关:我能会
例 1.如图，在棱长为 5 厘米的正方体中间挖去了一个半径为 2 厘米的圆柱，求物体的表面 积。 解析：如图，在正方体的中心挖去了一个半径为 2 厘米的圆柱，物体的表面积不单是正方体 的表面积，还要+“圆柱的侧面积”-2“圆柱的底面积”，才为现在物体的表面积，结合 公式，本题可解。
4 浸在水中，求皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？（ 5
球的体积计算公式：V 球 4 r 3 ） 3
例4．一个圆锥形模具，底面直径是8厘米，高是15厘米，它的体积是多少立方厘米？ 解 析 ： 底 面 直 径 是 8 厘 米 ， 可 以 根 据 S （ ） ， 求 出 圆 锥 的 底 面 积 ， 然 后 再 根 据
V钢 3.14 52 8 628 （立方厘米）
下降的水的体积与露出水面的圆柱形钢块的体积相等
S 水桶 628 4 157 （平方厘米）
当钢块浸没在水中时，上升的水的体积与钢块的体积相等。 上升的水的体积 157×9＝1413（立方厘米）
V钢 1413 （立方厘米）
答：圆柱形钢块的体积是 1413 立来自厘米。h1.5r
h+25
r
例 4.一个圆柱的底面半径是 6 厘米，体积是 1130.4 立方厘米，一个圆锥与它的体积相等， 底面积也相等。这个圆锥高是多少厘米？ 解析：已知圆柱的底面半径和体积，可求出圆柱的高，再由等底面积的圆锥和圆柱的体积相 等，可求出圆锥的高即可。 解： 由圆柱的体积计算公式：V＝Sh 可得， V Sh, 可得，h V
第一关：必须会
例1.一个圆柱的高是15厘米，底面半径是5厘米，它的侧面积是多少平方厘米？ 解析：底面半径是5厘米，根据C=2πr可以求出底面周长，然后再根据S侧=Ch,就可以求出这 个圆柱的侧面积是多少平方厘米。
2 3.14 5 15 解 ： 31.4 15 471 （厘米）
2
d 2
V
1 Sh 3
, 就可以求出这堆沙子的体积。
1 3.14 (8 2) 2 15 解： 3 2 251.2(厘米）
答：圆锥形模具的体积为251.2立方厘米。
我试试：
1、 一个圆锥形沙堆，底面周长为62.8米，高是6米，这堆沙子有多少立方米？
2、 一个圆锥形小麦堆的底面半径是2米，高是1.5米，则这堆小麦的体积是多少立方米？
答：该物体的表面积为 200.24 平方厘米。
我能行：
1、有一根棱长为 40 厘米的正方体零件，它的上、下两个面的正中间各有一个直径为 4 厘米 的圆孔，孔深为 10 厘米，试求这个零件的表面积。
