循环小数化分数课件

第8讲。

分数与循环小数—完整版第8讲分数与循环小数本节课程的目标是掌握分数与小数的互相转化方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用。

同时，我们还要学会通过分数的形式判断相应的小数类型，并注意利用周期性分析循环小数的小数部分。

兴趣篇1.把下列分数化为小数：1) $\frac{31}{41}$，$\frac{32}{19}$，$\frac{13}{25}$；2) $\frac{1}{5}$，$\frac{3}{11}$，$\frac{3}{25}$，$\frac{5}{43}$。

答案：(1) 0.7561，1.6842，0.52；(2) 0.2，0.2727，0.12，0.1163.2.把下列小数化成分数：1) 0.23，0.479；2) 0.12，0.255.答案：(1) $\frac{23}{100}$，$\frac{479}{1000}$；(2) $\frac{3}{25}$，$\frac{51}{200}$。

3.把下列循环小数转化为分数：1) 0.1，0.4；2) 0.01，0.35；3) 0.08，0.38.答案：(1) $\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$；(2)$\frac{1}{99}$，$\frac{7}{20}$；(3) $\frac{2}{25}$，$\frac{19}{50}$。

4.把下列循环小数转化为分数：0.7，0.12，0.123，0.123.答案：$\frac{7}{10}$，$\frac{3}{25}$，$\frac{41}{333}$。

5.计算：1) 0.1 + 0.2 + 0.3；2) 0.2 + 0.3 + 0.4；3) 0.3 + 0.5 + 0.7；4) 0.1 + 0.12 + 0.123；5) 0.12 + 0.23.答案：(1) 0.6；(2) 1；(3) 1/2；(4) 0.39；(5) 0.35.解析：(1) $0.1 + 0.2 + 0.3 = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$；2) $0.2 + 0.3 + 0.4 = \frac{2}{10} + \frac{3}{10} +\frac{4}{10} = \frac{9}{10} = 1$；3) $0.3 + 0.5 + 0.7 = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} +\frac{7}{10} = \frac{15}{10} = \frac{1}{2}$；4) $0.1 + 0.12 + 0.123 = \frac{1}{10} + \frac{12}{100} + \frac{123}{1000} = \frac{321}{825}$；5) $0.12 + 0.23 = \frac{12}{100} + \frac{23}{100} =\frac{35}{100} = 0.35$。

循环小数化分数的方法
循环小数0.7272…循环节为7、2两位，因此化为分数为72/99=1/8。

即有几位循环数字就除以几个9。

又如0.123123…循环节为1，2，3三位，因此化为分数为123/999=41/333。

循环小数0.7272…循环节为7、2两位，因此化为分数为72/99=1/8。

即有几位循环数字就除以几个9。

又如0.123123…循环节为1，2，3三位，因此化为分数为123/999=41/333。

方法步骤
第一步：找到循环节
比方0.5，5循环，循环节就是5。

第二步：把循环节提早
先数出循环节有几位，假设有n位，就把这个循环小数乘以10n，使它的整数部位为循环节。

第三步：一减一除
把上一步得到的数剪去原数，再除以10n-1。

循环小数化分数学习提示：在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。

所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。

从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。

典型题解一、循环小数化成分数1、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。

怎样把它化成分数呢？看下面例题。

例1把纯循环小数化分数：(1)0.6(2)3.1022、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。

怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。

例2把混循环小数化分数（）（）10.215 2 6.353及时练习：1、化纯循环小数为分数。

（）（）10.23 20.1072、化下列混循环小数为分数。

（）（）（）10.312 20.003 30.2316二、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。

从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

例3计算下面各题：（）（）-12.45+3.13 22.6091.32⨯÷(3)4.3 2.4 (4)1.240.3三、循环小数作加法循环小数能直接作加法运算吗？（1）有限小数加循环小数考察下面的例子。

计算：++0.40.320.20.3+0.280.7+0.60.38++0.6780.540.980.45（2）两个循环节位数相同的纯循环小数相加。

考察下面的一些例子。

235+=+==0.20.30.5999123405528+=+==0.1230.4050.52899999999936+=+=0.30.6199875+=+==0.80.7 1.699358491070.580.49 1.08+=+==9999999785841562+=+==0.9780.584 1.563999999999再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？（3）两个循环节位数不相等的纯循环小数相加。

循环小数转化成分数的方法
嘿，循环小数咋变成分数呢？这可不难！先说说纯循环小数哈。

设这个纯循环小数为x，那咱就把它扩大相应倍数，让循环节消失。

比如说0.333……，咱设x = 0.333……，10x 不就等于3.333……嘛！然后用10x - x，循环节不就没啦！这就像变魔术一样神奇有木有？接着化简就能得到分数啦。

注意哦，可别算错倍数。

再看看混循环小数。

同样设这个数为x，先把它分成整数部分和小数部分。

小数部分又分成不循环部分和循环部分。

然后分别处理，最后加起来。

这就跟拼拼图似的，一块一块弄好再组合起来。

可得仔细点，别弄混了各个部分。

那这有啥用呢？在数学题里可管用啦！比如算一些复杂的运算，把循环小数变成分数，计算起来就容易多了。

这就好比有了一把神奇的钥匙，能打开难题的大门。

而且这样也更准确呀，不会因为循环小数的无限性搞得晕头转向。

举个例子呗，0.2333……，按照方法来，先分成0.2 和0.0333……，然后分别处理，最后加起来得到分数。

哇，是不是很厉害？
循环小数转化成分数的方法真的超棒，能让我们在数学的世界里如鱼得水。

咱可得好好掌握这招，让数学变得更有趣。

循环小数化分数，分数化小数的判断(有限、纯循环、混循环)循环小数化分数有两个公式，大家比较熟悉，第一个比较好记，但第二个容易弄错(一)纯循环小数化分数0.abc(abc循环)=(abc/999)，可以约分的再约分。

举例如下：0.3(3循环) = 3/9 = 1/3；0.45(45循环) = 45/99 = 5/11；6.789(789循环) = 6又789/999 = 6又263/333。

(二)混循环小数化分数0.abc(bc循环)=(abc－a)/990，可以约分的再约分。

举例如下：0.12(2循环) = (12－1)/90 = 11/900.23456(456循环) = (23456－23)/99900 = 23433/99900 = 7811/33300；其实这些都可以用一元一次方程方程来解决掌握方程的方法，有助于我们理解上面的两个公式，即使忘了也不怕，因为我们自己可以用简单的一元一次方程计算出来。

纯循环小数化分数设① x=0.45(45循环)两边同时乘以100得到② 100x = 45.45(45循环)下面消去循环节用②-①得到99x = 45，解得x = 45/99混循环小数化分数设① x=0.23456(456循环)两边同时乘以1000得到②1000x = 234.56456(456循环)下面消去循环节用②-①得到999x = 234.33，解得x = 23433/99900 =7811/33300我们可以把这个数乘以10ⁿ后(这个n就是循环节的长度)，相减消掉循环节，之后就化成了分数，最后化简即可。

分数化小数的判断因为我们现在用的是十进制，10=2×5，10ⁿ只能分解出2和5，所以10ⁿ不能被2和5以外的质数整除。

所以有以下的结论。

一个最简分数,①如果分母中除了2和5以外,不含其他的质因数,这个分数就能化有限小数;②如果分母中只含有2和5以外的质因数,这个分数就能化成纯循环小数。

循环小数化为最简分数摘要：1.循环小数的定义和性质2.循环小数化为最简分数的方法3.举例说明循环小数化为最简分数的过程4.结论正文：1.循环小数的定义和性质循环小数是指一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现。

循环小数可以用一个特殊的符号“∞”表示，例如1/3=0.3333...可以表示为1/3=0.∞。

循环小数具有以下性质：- 循环小数是一个无限小数；- 循环小数的整数部分可以是任意整数；- 循环小数的小数部分是有限的，且不断重复。

2.循环小数化为最简分数的方法要将循环小数化为最简分数，需要先找到循环节，然后根据循环节进行分数的化简。

具体步骤如下：- 找出循环节：观察循环小数，找到重复出现的数字或数字序列，这就是循环节；- 化简分数：根据循环节，将循环小数表示为分数形式。

具体方法是将循环节的数字作为分子，分母为9 的循环节长度次方减1。

例如，对于循环小数0.3333...（循环节为3），可以表示为1/3；对于循环小数0.142857142857...（循环节为142857），可以表示为142857/999999。

3.举例说明循环小数化为最简分数的过程以循环小数0.6666...为例，我们进行如下化简：- 找出循环节：循环小数0.6666...的循环节为6；- 化简分数：根据循环节6，将循环小数表示为分数形式，即6/9。

由于6 和9 没有公共因数，所以6/9 已经是最简分数。

因此，循环小数0.6666...化为最简分数为2/3。

4.结论循环小数化为最简分数的方法是先找到循环节，然后将循环小数表示为分数形式，分母为9 的循环节长度次方减1。