四川省宜宾市2019届高三数学第二次诊断性考试试题理
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- 1 - / 9 侧视方向ABCA1B1C1DCBA22331222宜宾市2019届高三第二次诊断测试题
数 学（理工类）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试时间：120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则的虚部为
A. B. C. D.
2．已知集合则
A. B. C. D.
3．一个袋子中有个红球,个白球,若从中任取个球,则这个球中有白球的概率是
A. B. C. D.
4．若焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是
A. B. C. D.
5．若函数的图象恒过点，则
A. B. C. D.
6．已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，
若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋
转，则它的侧视图可以为
第6题图 - 2 - / 9 7．在中，是的中点，向量，设，则
A. B. C. D.
8．设为等比数列的前项和， 若，，则的公比的取值范围是
A. B. C. D.
9．已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，，则三棱锥的体积为
A. B.
C. D.
10．要得到函数的图象，可以将函数的图象
A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
11．过直线上一点，作圆的切线，切点分别为，则当四边形面积最小时直线的方程是
A. B.
C. D.
12．若关于的不等式≤成立，则的最小值是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．数列中，若， ，则_____．
14．二项式的展开式中常数项是_______．
15．已知奇函数是定义在上的单调函数，若函数恰有
个零点，则的取值范围是_______．
16．已知直线与抛物线交于两点，过作轴的平行线交抛物线的准线于点，为坐标原点，若，则_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必做题：共60分.
17．（12分）
如图,在四边形中, ．
（1）求边的长及的值；
（2）若记 求的值． [ - 3 - / 9 xy908070605040302010987654321
18．（12分）
艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能．下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8
感染人数
（单位：万人） 34.3 38.3 43.3 53.8 57.7 65.4 71.8 85
（1）请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；
（2）请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合与的关系；
（3）建立关于的回归方程(系数精确到)，预测年我国艾滋病病毒感染人数.
附注：
参考数据：
参考公式：相关系数 回归方程中，
19．（12分） 第17题图
第18题图 - 4 - / 9 GFEDCBA如图，四边形是菱形，平面，，平面，是中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，
求二面角的余弦值．
20．（12分）
已知点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若直线与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线 交于两点，求证的周长为定值．
21．（12分）
已知函数．
（1）当时，判断有没有极值点?若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由；
（2）若，求的取值范围．
（二）选做题：共分。请考生在题中任选择一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。 第19题图 - 5 - / 9 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，抛物线的方程为，以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，与轴交于点．
（1）求的直角坐标方程，点的极坐标；
（2）设与相交于两点，若成等比数列，求的值．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）若，求的最小值．[]
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数学（理工类）参考答案
二、选择题：CDBCC，BAADA，BD
二、填空题：
三、解答题：
17.解：⑴在中，
………………………………………3分
在中，
……………………6分
⑵ 由⑴ 知
,652cos,6112sin,633cos1sin2………………………9分
.1211353sin2cos3cos2sin)32sin( ……………………12分
18.解：⑴所求折线图如图； ………..…2分
⑵ ………3分
……..…5分
……6分
说明与的线性相关相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系 ………7分
⑶ ………………………………………………………………………………10分
当时，
预测年我国艾滋病感染累积人数为万人……………………………………12分
19.(1) 证明：设连接
是菱形，是的中点 8571.865.457.753.843.338.334.3y(万人）x9080706050403020101 2 3 4 5 6 7 8 9- 7 - / 9 是中点， ，
平面 平面 ………2分
平面，平面平面
平面，平面，………4分
平面平面
平面 ………6分
(2) 由(Ⅰ)知////,,//EFACEFAOAOFEAEOF得，
底面，， 两两垂直， ………7分
如图建立空间直角坐标系，设，
，则
设平面的法向量得，可取…9分
,,,EADGEAABADGEAB平面
…………………11分
二面角的余弦值 …………………12分
20（12分）解：⑴设由题意得 ……………2分
为轨迹的方程； …………………4分
⑵法一：设到的距设为， []
111||444254,||||,[5,5],||5,55545AFAFdxxAFxd ……………6分
22221111141()92595xyANxyx， ……………8分
……………10分
同理
的周长为定值 …………………12分
法二：设由题知
直线与圆相切 - 8 - / 9 即 ① …………………5分
把代入得
显然,92522525,92550,02221221kmxxkkmxx …………………7分
925225254)92550(1122222212kmkkmkxxkAB……9分
21212224444012015510()1010555259259kmkkFAFBxxxxkk …11分
的周长为定值 ……………..…………12分
21.（12分）解：定义域为 ……………..…………1分
⑴当时， ……………..…………2分
令，则，
① 当时，，为减函数，,
,无极值点
②当时，，为增函数，,
,无极值点
综上，当时， 没有极值点 ……………..…………4分
⑵ 法一：由，得
令则……………..…………5分
①当时，时；时，
成立. 合题意. ……………..…………7分
②当时，
当时，为减函数，成立
当时，为减函数，成立
合题意. ……………..…………9分
③当时，由得，
设两根为1212121212,(),0,1,01xxxxxxaxxxx - 9 - / 9 由得，解集为
在上为增函数，
，不合题意； ……………..…………11分
综上，的取值范围是 ……………..…………12分
222222222222(1)(ln1)11(1)ln11,(),()lnlnlnln2()ln1,()0,(1)0,()(1),(1)1xxxxxxxxaFxFxxxxxxxxxGxxGxGFxFFx法二思路：分离令令易证从而再用洛必达法则求的极限值22.（10分）解：⑴由得，
的直角坐标方程 ……..…………3分
令得点的直角坐标为, 点的极坐标为 ………5分[
⑵ 由⑴知的倾斜角为,参数方程为（为参数）代入，
得 ……..…………7分
22212121212||||||,(),()5ABMBMAtttttttt ……..…………9分
……..…………10分
23.⑴解：由得，
………………………………3分
