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函数周期性

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函数周期性

一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使)()(xfTxf恒成立

则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论

1、fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；

2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

3、 若函数fxafxa，则xf是以2Ta为周期的周期函数

4、 y=f(x)满足f(x+a)=xf1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= xf1(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

6、1()()1()fxfxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数.

7、1()()1()fxfxafx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.

8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)= )(1)(1xfxf(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。

9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。

10、函数()yfxxR的图象关于两点0,Aay、0,Bbyab都对称，则函数()fx是以2ba为周期的周期函数；

11、函数()yfxxR的图象关于0,Aay和直线xbab都对称，则函数()fx

是以4ba为周期的周期函数；

12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。

14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。

15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(2T)=0.

三、典例讲解

例1（05.福建12）)(xf是定义在R上的以3为周期的奇函数，且0)2(f在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）

A．6 B．7 C．4 D．5

例2. 设函数fx()的定义域为R，且对任意的x，y有)()(2)()(yfxfyxfyxf，并存在正实数c，使fc()20。试问fx()是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

例3. 已知fx()是定义在R上的函数，且满足：fxfxfx()[()]()211，

f()11997，求f(2001)的值。

例4.（2009江西卷文）已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当[0,2)x时，2()log(1fxx），则(2008)(2009)ff的值为 （ ）

A．2 B．1 C．1 D．2

例5. （天津卷05）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线21x对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _____

例6（07安徽）定义在R上的函数)(xf既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(xf在闭区间TT,上的根的个数记为n，则n可能为 （ ）

A.0 B.1 C.3 D.5

四、巩固练习

1.已知偶函数()fx是以2为周期的周期函数，且当0,1x时，()21xfx，则

2(log10)f的值为 .A 35 .B85 .C38 .D53

2设函数()fx是定义在R上的奇函数，对于任意的xR，都有1()(1)1()fxfxfx，

当0x≤1时，()2fxx，则(11.5)f

3知()fx是定义在实数集R上的函数，满足(2)()fxfx，且[0,2]x时，2()2fxxx.1求[2,0]x时，()fx的表达式；2证明()fx是R上的奇函数．

4.（05朝阳模拟）已知函数()fx的图象关于点3,04对称，且满足3()()2fxfx，又(1)1f，(0)2f，求(1)(2)(3)fff…(2006)f的值

快速完成下列习题。

⒈ 若)x2(fy的图象关于直线2ax和)ab(2bx对称，则)x(f的一个周期为

A. 2ba B. )ab(2 C. 2ab D. )ab(4

⒉ 设函数)x(fy是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线2x对称，已知]2,2[x时，函数1x)x(f2，则]2,6[x时，)x(f .

⒊ （2007天津，7）在R上定义的函数)x(f是偶函数，且)x2(f)x(f，若)x(f在

区间]2,1[上是减函数，则)x(f

A. 在区间]1,2[上是增函数，在区间]4,3[上是增函数

B. 在区间]1,2[上是增函数，在区间]4,3[上是减函数

C. 在区间]1,2[上是减函数，在区间]4,3[上是增函数

D. 在区间]1,2[上是减函数，在区间]4,3[上是减函数

⒋（2005天津，16）设)x(f是定义在R上的奇函数，且)x(fy的图象关于直线21x

对称，则)5(f)4(f)3(f)2(f)1(f .

⒌（2006山东，6）已知定义在R上的奇函数)x(f满足)x(f)2x(f，则)6(f的值为

A. 1 B. 0 C. 1 D. 2

⒍ 已知偶函数)x(fy满足)1x(f)1x(f，且当]0,1[x时，943)x(fx，

则)5log(f31的值等于

A. 1 B. 5029 C. 45101 D. 1

⒎（2006广东佛山）设)x(f为R上的奇函数，且0)3x(f)x(f，若1)1(f，

2log)2(fa，则a的取值范围是 .

⒏ 函数)x(f对于任意实数x满足条件)x(f1)2x(f，若5)1(f，则))5(f(f等于

A. 5 B. 5 C. 51 D. 51

⒐（山东临沂）已知定义在R上的函数)x(fy满足下列三个条件：

① 对于任意的Rx，都有)x(f)4x(f； ② 对于任意的2xx021，都有)x(f)x(f21；

③ 函数)2x(fy的图象关于y轴对称。

则下列结论正确的是

A. )5.15(f)5(f)5.6(f B. )5.15(f)5.6(f)5(f

C. )5.6(f)5.15(f)5(f D. )5.6(f)5(f)5.15(f

⒑（江苏盐城）定义在),(上的偶函数)x(f满足)x(f)1x(f，且在]0,1[

上是增函数，下面是关于)x(f的判断：

① )x(f是周期函数；

② )x(f的图象关于直线1x对称；

③ )x(f在]1,0[上是增函数；

④ ).0(f)2(f

其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。

⒒（2005广东，19，12分）设函数)x(f在),(上满足)x2(f)x2(f，

)x7(f)x7(f，且在闭区间]7,0[上只有.0)3(f)1(f

⑴ 试判断函数)x(fy的奇偶性；

⑵ 试求方程0)x(f在闭区间]2005,2005[上的根的个数，并证明你的结论。

⒓ 函数)x(fy的图象为1C，1C关于直线1x对称的图象为2C，将2C向左平移2个单位后得到图象3C，则3C对应函数为

A. )x(fy B. )x1(fy C. )x2(fy D. )x3(fy

⒔ 函数)Rx()x(fy满足)x(f是偶函数，又2003)0(f，)1x(f)x(g为奇函数，则)2004(f .

答案：⒈ D；⒉ 1)4x()x(f2；⒊ B；⒋ 0；⒌ B；⒍ D；⒎ 1a或21a0

⒏ D；⒐ A；⒑ ①②④；⒒ ⑴ 非奇非偶函数；⑵ 802个根；⒓ A；⒔ 2003.

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函数的对称性与周期性(归纳总结)

函数的对称性与周期性(归纳总结)

函数的对称性与周期性（归纳总结）

一、函数对称性：

1.2.3.4.5.6.7.8.

f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称

f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称

f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称

例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）]

∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.

例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b]

∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.

二、函数的周期性 令a,b均不为零，若：

1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|

2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|

3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|

4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|

5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|

函数的周期性

函数的周期性

函数的周期性

函数的周期性是指当自变量的值增加或减小一个特定的数值时，函数的值会发生重复的变化。在数学中，周期性是函数的一个重要性质。

周期性可以应用于多个不同的数学对象，如三角函数、周期矩阵和周期函数。其中，最常见的就是三角函数的周期性。

三角函数的周期性

三角函数是一类特殊的周期函数，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。这类函数的周期性非常明显，它们的图像在一个特定的区间内重复出现。

以正弦函数为例，其周期性是指当自变量的值增加或减小2π时，函数的取值会发生重复的变化。正弦函数的图像在一个周期内呈现出上升和下降的趋势，而在周期的不同区间内则重复这种趋势。

周期矩阵的周期性

周期矩阵也具有周期性。周期矩阵是一个二维的矩阵，其中的元素具有周期性的变化。这意味着当一个元素的索引增加或减小一个特定的数值时，元素的值会发生重复的变化。

周期函数的周期性

周期函数是指在某一特定的区间内，函数的值会以一定的规律进行重复。这种周期性的现象往往与周期矩阵类似，当自变量的值增加或减小一个特定的数值时，函数的值会发生重复的变化。

周期函数可以用数学公式表示，其中包括正弦函数、余弦函数和周期指数函数等。这些函数在一定的区间内重复出现，具有明显的周期性。 总结

函数的周期性是函数的一个重要性质，可以应用于三角函数、周期矩阵和周期函数等数学对象上。在这些对象中，函数的值会以一定的规律进行重复，当自变量的值增加或减小一个特定的数值时，函数的值会发生相同的变化。通过研究函数的周期性，我们可以更好地理解函数的变化规律和特点。

函数的周期性 2

函数的周期性 2

函数的周期性

一、正弦函数的周期

三角函数，以正弦函数 y = sin x为代表，是典型的周期函数.

幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性.

周期性是三角函数独有的特性.

1、正弦函数 y=sin x 的最小正周期

在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP.

正弦函数的周期性

动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.

同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.

因此，正弦函数y=sinx的最小正周期2π.

2、y=sin（ωx）的最小正周期

设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L .

按定义 y = sin ω（x+L） = sin（ωx+ ωL） = sinωx .

令ωx = x' 则有 sin （x' + ωL） = sin x'

因为sinx最小正周期是2π，所以有

π2π2LL

例如 sin2x的最小正周期为π2π2

sin2x的最小正周期为π421π2

3、正弦函数 y=sin（ωx+φ） 的周期性

对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）.

它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是π2L.

如2π3sinxy的最小周期与 y = sin（3x）相同，都是3π2.

于是，余弦函数2πsin2πsincosxxxy的最小正周期与sinx的最小正周期相同，都是2π.

二、复合函数的周期性

将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ωx，sinx →sinωx 后者周期变为)0(π2

而在以下的各种变换中，如

函数的周期性 3

函数的周期性 3

函数的周期性

周期函数的定义：

一、 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，T叫做函数的周期.

如果T为函数的一个周期，那么T的整数倍

nT也是函数的周期；如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.

二、一些结论

1、若)()(Txfxf则)(xf的周期为T。

2、若)()(xbfaxf则)(xf的周期为abT

证：令axx ∴ )()(abxfxf

3、)()(bxfaxf则)(xf的周期abT2

证：令axx ∴ )()(abxfxf ①

令bxx ∴ )()(xfbaxf ②

由①②得：)]([)]([abxfbaxf

∴ )]([)]([abxfbaxf ∴ abT2

4、若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba2为周期.

推理：)](2[)]2([)]2([)2()(abxfbxabfbxabfxafxf即可以得到)(xfy的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数

5、若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba2为周期.

6、：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba4为周期.

7、如果奇函数满足)()(xfTxf则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为kTTx22)(zk，根据)2()(Txfxf可以找出其对称中心为)0(kT，)(zk（以上0T） 如果偶函数满足)()(xfTxf则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为)0,22(kTT)(zk，根据)2()(Txfxf可以推出对称轴为kTTx2)(zk （以上0T）