１８８南缸科抖 ２００７￣第４期 技术研发
电路中电容电压和电感电流的突变
杨蕴瑜
（乐山师范学院）
摘要分析电路中电容电压和电感电流发生突变的条件以及决定突变程度的因素，并举例加以说明，
关键词电容电感突变冲激电压冲激电流
在普通物理电磁学和脉冲数字电路的分析中，常常遇到电容的
电压或电感的电流不能发生突变的ｆｕ】题．．电容电压和电感电流是否
绝对不发生突变呢？如果可以突变，那么突变的条件是什么？本文
将对这个『ｕＪ题作一探讨。
１ 电容电压的突变
在图ｌ所示的Ｒｃ电路中，当）Ｆ关Ｋ闭合后，电路中有电流ｊ流
经电容Ｃ，由基尔霍夫电压定律并求
解一阶微分方程。可得电容电压和电
路中电流的表达式为：
“ （ｆ）＝￡（卜 ）（ｆ≥０）（１）Ｅ
ｍ）＝ｃ丝＝～Ｅ “≥０）（２）ｄ ／ Ｒ 、‘
山（１）式有：Ｕ （０＋）＝Ｕ （０一）＝０ 图１ Ｒｃ电路
即在换路时刻（ｆ＝０）电容电压不发生突变。
Ｉ＿ｈ（２）式可得ｆ＝０时的电流值为：
ｆ（０）＝ Ｅ
显然这时的电流为有限值。
再看图２所示纯电容电路，这是一个｝ｌ｛理想电压源和纯电容组
成的电路。没Ｋ闭合前：“，（０一）：０，则Ｋ闭合后：Ｕ （０＋）＝Ｅ
可见，在换路时刻电容电压发生
了突变。这就是说，在ｒ＝０的时刻，
电容电压从零突然跃升到。显而易见，
该电路中的电容电压为一阶跃电压， Ｅ
可用＿Ｆ式表示：
跃
下 ｒ０ （ｔ＜０） “ （ｒ） ｔＥ（ｔ＞ｏ） 图２纯电容电路
“ｆ
Ｅ
ｔ
这是一个冲击电流，在ｆ：０的时 图３纯电容电路电压波形
刻，其值为无穷大。它的物理意义是：在０一到０＋的无穷小时 内
运送的电荷量为Ｑ。Ｑ称为冲击电流的强度，是一常数，ｃｓ（ｔ）称为
函数。冲激电流具有如Ｆ性质：
① Ｑ （ｆ）＝ｏ “≠０） （４）
② ＦＱａ（ｔ）ｄｔ＝Ｏ （５）
山ｆ：ｃａｕ￣＿积分有：
“ 。）＋吉￡ ）
没ｒ。＝０一，ｆ＝０＋，上式变为：
电阻电容电感元件的电压电流关系
电阻、电容和电感元件的电压和电流关系如下：
1. 电阻：在电阻电路中，电压和电流的关系可以用欧姆定律来表示，即 U=IR。其中 U 是电压，I 是电流，R 是电阻。这意味着电阻越大，电流越小，反之亦然。
2. 电容：对于电容，电压和电流的关系由以下公式表示：Q=UC。其中 Q 是电容器的电荷量，U 是电压，C 是电容。此外，对于电容，电流 i 等于 dQ/dt，即电荷量随时间的变化率。这意味着电流和电压的变化率成正比，当电压变化越快，电流越大。
3. 电感：在电感电路中，电压和电流的关系可以表示为：ΔU=L*di/dt。其中 ΔU 是电压变化量，L 是电感，di/dt 是电流变化率。这意味着电感越大，电压变化越小，反之亦然。
总的来说，电阻、电容和电感元件的电压和电流关系取决于各自的特性。电阻元件的电压和电流成正比，电容元件的电流和电压变化率成正比，而电感元件的电压变化量和电流变化率成反比。这些关系在分析和设计电子电路时非常重要。
信号处理中电感和电容串联的计算公式
在信号处理中，电感和电容串联的计算公式可以表示为:
1.考虑直流电路:
如果电感和电容直接串联在直流电路中，电感的电压将等于电容的电压，也就是：
V_L = V_C
根据欧姆定律，电感的电压和电感的电流之间的关系为：
V_L = L * dI_L / dt
其中，L是电感的电感值，I_L是电感的电流变化率。
根据电感元件的电压和电流之间的关系，电容的电压和电容的电荷之间的关系为：
V_C = (1/C) * ∫ I_C dt
其中，C是电容的电容值，I_C是电容的电流。
根据上述两个公式，可以得到电感和电容之间的关系： L * dI_L / dt = (1/C) * ∫ I_C dt
2.考虑交流电路:
在交流电路中，电感和电容的串联会引入频率依赖的影响。假设交流电压为V(t) = V_0 * cos(ωt)，其中V_0是最大电压值，ω是角频率。
对于电感元件，根据欧姆定律，电感的电压和电感的电流之间的关系为：
V_L = L * dI_L / dt
对于电容元件，电容的电压和电容的电流之间的关系为：
V_C = (1/C) * ∫ I_C dt
根据上述两个公式，并考虑到交流电压的形式，可以得到：
L * dI_L / dt = (1/C) * ∫ I_C dt = V_0 * cos(ωt)
根据以上公式可以得到电感和电容之间交流电路的串联关系。但是需要注意的是，这种计算方法只适用于简单的线性交流电路，在复杂的非线性电路中，可能需要使用更加复杂的数学方法和仿真工具进行计算。
在信号处理中，电感和电容的串联电路通常用于频率选择性滤波器的设计和实现。例如，电感和电容串联电路可以用于实现低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。此外，电感和电容串联电路也常用于振荡电路的设计与实现，如RC正弦波振荡器、LC振荡器等。
电感电容之电压电流相位
由于Sin[ωt]在求导或积分后会出现Sin[ωt±90°]，所以对于
接上了正弦波的电感、电容，横坐标为ωt时可以观察到波形超
前滞后的现象，直接从静态的函数图上看不太容易理解，还是
做成动画⽐较好。
下图是电感的，⽤红⾊表⽰电压，蓝⾊表⽰电流。如果接上
理想的直流电压表、直流电流表，可以观察到电压的变化超前
于电流，电流的变化滞后于电压。时间增加时，纵坐标轴及时间原点会随着波形⼀起往左移动。
如果把波形画在⽮量图右⽅，就是下⾯这种动画，但横坐标
右⽅是过去存在的波形，指向过去，是-ωt。虽然波形反过来
了，但电压的变化仍然超前于电流，电流的变化仍然滞后于电
压。时间原点⼀直随着波形往右⽅移动，函数图中的纵坐标轴
并未与横坐标交于原点，交点所代表的时间⼀直在增加。如果不注意，超前滞后的判断很容易出错。
理解超前滞后这⼀概念⽤相量图是最好的，从测量数据来观
察或者从静态波形上观察都不太直观⽽且容易出错。下图是电
容的。电压的变化滞后于电流，电流的变化超前于电压。坐标
系右⽅是未来，左⽅是过去。
横坐标是-ωt时，电容的电压的变化仍然滞后于电流，电流的
变化仍然超前于电压。因为此坐标系左⽅是未来，⽽右⽅是过去。
下图是电阻的。电压函数电流函数同相。
下图是三者串联的情况，没画相量图和波形图。但从指针的
变化可以判断：电流相同时，电感和电容的电压函数反相。
没画总电压，因为总电压有可能超前于总电流，也有可能滞
后于总电流，也有可能两者同相，同相时为谐振状态。
以前还做过这种，元件右边标的是电压电流的参考⽅向。⽤
不同的颜⾊描述电压的⼤⼩，蓝⾊>黄⾊>红⾊；⽤不同的粗细
和箭头描述电流的⼤⼩和⽅向，⽽且把电感、电容充能的效果
也做进去了，电流最⼤时电感磁场能最⼤，电容电场能最⼩。
但是，就解释超前滞后这⼀概念的话，指针表的动画更直观。
