我对数学教学的一些认识

改变学生学习方式的关键是改善教师的教学行为

教了这么多年书总会有些想法，下面把我对数学教学的体会、对数学教学的理解向老师们做一个汇报。诸多不当之处，敬请谅解或批评。

“课改”的关键是改变学生的学习行为，而关键的关键是改善教师的教学行为。没有教师教学行为的改善，不可能有学生学习行为的改变。

一．不要培养恨数学的人，让学生喜欢你的课

我经常这样告戒自己。我以为，是数学教师使学生恨数学的。我收集到了一些证据。有一些题目很刁钻，考细枝末节，犄角旮旯，考技巧。比如：

1．设f（x）＝2sin（x+π4）+2x2+2x+cosx的最大值是M，最小值是m，求M＋m。

2．f（x）是（0，＋∞）上的减函数，f（4）)=1,f（x＋y）≤1，求

x2＋y2＋2x＋2y的最小值。

这些题目都是高手想出来的。最近，一个高一学生来问我一道题：

“求y＝log2（2x2－3x＋1）的单调区间。”她说，老师在课上讲了，还是没听懂。我问她，老师在这之前还讲过类似于这样的题吗？她说：没有。在学生初学函数、对数函数，没有学习过一元二次不等式的情况下老师讲这样的题，结果只能促使学生对数学产生畏惧心理，挫伤了学生学习数学的积极性。一份试卷的均分不及格，教师又做了一次动员学生恨数学的事。

到底是谁不及格？

教之道在于度！如果由于我的教学使学生恨数学了，那我一辈子都干了些什么？多教一个学生，这个世界上就多一个恨数学的人，少教一个学生，这个世界上就少一个恨数学的人。人生的价值成了什么？

你喜欢数学吗？你不喜欢数学就无法让学生喜欢数学。如果你喜欢数学，那为什么要把学生弄得恨数学呢？让学生喜欢你的课，盼着你这个老师来上课，应该成为我们的追求。去年，毕业20年回学校的一个校友对我说，是你教数学使我喜欢上了数学。怎样让学生对你的教学感兴趣？

例1 勾股树——勾股定理的教学。

例2 一个轨迹问题——椭圆概念的运用。

创设有利于引起学生兴趣的情境，改变教学内容的呈现方式；逻辑性强的问题可以引发求知心理（如统计内容的逻辑性）；让学生感受到所学内容的必要性（如概念产生的必要性）；通过矛盾引发认知冲突（虚数的产生）；一些具有挑战性的问题常常让人欲罢不能（一张纸如果折叠100次该多厚）；设置悬念，让学生先猜一猜，想一想，不要轻易“捅破窗户纸”（转动的正方形）等等。学生对你教的这门课有兴趣，课后就乐意做课外练习、看课外书、思考与这门课有关的问题，甚至将来走上了研究这门科学的道路。有人说，好的教师不是在教数学，而是能激发学生自已去学数学。教学的目的是引导学习。有人认为，激发学习兴趣是教学的第一“公理”，是教学的“不变量”。

“知之者不如好知者，好知者不如乐知者。”（孔子《论语·雍也》）只有学生“乐学”，才会主动地学。还有，关心学生，让学生喜欢你这个人。今年教师节学生给我发了一张《优秀教师合格证书》，还说了一大堆理由。让学生喜欢你这个人，喜欢你上的这门课，喜欢你来上课。

二．是谁在学习？数学学习是怎样进行的

我认为，从一个优秀的大学毕业生到一个合格的教师，琢磨学生是怎样学习的，怎样改变知识结构、发展认识能力的十分重要，也就是了解一些认知心理学的知识非常重要。是谁在学习？你的回答肯定是正确的。问题在于，许多时候我们忘记了这一点。把这一点想清楚，很多事就知道该怎么办好。造成教学质量低的原因很多，忘记“是谁在学习”是其中之一。

我以为，经常想一想“体育老师是怎样上课的”，很有好处。至少我经常这样想。你见过体育老师说“同学们站好，我在跑道上跑五圈给你们看看”吗？没有。而“在跑道上跑五圈”给学生看看的数学教师并不缺少。体育老师很清楚，要让学生锻炼身体，要增强学生的体质。

有的老师说：“我都已经讲过n遍了，他们怎么还没有学会？”这正说明，他们要学会不是光靠你讲。下面的一些话我们应该耳熟能详。陆游说：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”不是自己的知识是无用的知识。你对数学知识掌握得再好，如果不能成为学生的，那么，对于学生来说就是无用的。带着对数学学习本质的认识来设计你的数学教学。学习是学习者自己的感受、体验和思考、感悟，是任何其他人都代替不了的。让学习者亲自动手、动口、动脑，亲自去做。“饭要亲自吃，觉要亲自睡”。没有学习者的体验、感悟的概括是无效的概括。这样的教学是无效的教学。

有一次，一位老师来校试讲，内容是“平均变化率”．他先举了三个例子，有反映温度变化快慢的，有投资效率的，有反映运动速度的，等等．形式上也注意图形、表格、表达式兼顾．然后就告诉学生，象这几个例子那样，在数学中就称为“平均变化率”，给出平均变化率的概念，然后就是计算平均变化率的练习．教师可能认为，我已经把这个概念告诉你了，你该知道了．但是，数学教学不是“告诉教学”，概念不能靠学生“复制”，概念需要的是理解．一定要让学生参与举例，参与概括，参与定义，参与对原理的解释。（比如，平均变化率的概括，数列的概念，倾斜角的定义，数学归纳法的解释）只有设法使学生卷入其中，强化亲身体验，启发内心感悟，激发心理共鸣，才能真正转化为认识客观规律、解决实际问题的强大武器。经常想一想，学生离开你怎么办？外因只有通过内因才能起作用。在教与学的问题上，教师永远是外因。

下面的一些教学行为是需要改善的。 抢学生的话头，打断学生的发言，代替学生讲，代替学生写，代替学生想。剥夺学生锻炼的机会。不愿留给学生思考的时间。学生的观察、思考尚未开始（或者刚刚开始），教师就开始提问，或者自己“分析”起来。学生讲，教师写，当学生的“秘书”。为什么不让学生自己讲，自己写。即便暂时不会，写不出来，那就待会写的时候再来写。要多让学生发表意见，在关键点上让学生有机会提出自己的见解。教师多听少讲，参与到学生的活动中去。

学习是一个循序渐进的过程，从初步了解，到理解，到掌握，到运用，到灵活运用有一个比较长的过程。初学阶段，就要求会做综合性强的题，不妥，也没有必要。而初学阶段就对能力要求过高，对知识运用的要求过高是普遍现象。（如刚学习过对数函数就要求学生做“求y＝log2（x2－3x＋1）的单调区间”这样的题目。）当学生做不出来的时候教师总是埋怨学生，却不主动检查自己。那能“一口吃成了胖子”，“一锹挖个井”？

弗赖登塔尔认为，数学教育方法的核心是学生的再创造。教师应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。

奥苏伯尔认为，学生有意义的接受学习，并不是将现成知识简单地“登记”到原有认知结构中去，而是要经过一系列的积极的思维活动。因此，有意义接受学习是一个主动的过程。可见，有意义的学习不是一个被动接受知识、强化储存的过程，而是用原有知识处理各项新的学习任务，通过“同化”和“顺应”等心理活动和变化，不断地构建和完善认知结构的过程。

三．必须培养学生主动学习的习惯

我们学校的校长提出，要培养将来社会领跑的人？什么样的人将来能够领跑呢？一个等待他人布置任务才知道有事干的人，不会成为领跑的人；一个人云亦云、不愿意独立思考的人不会成为领跑的人。要让我们的学生将来成为领跑的人，就必须培养他们学会自己制定学习计划，自己安排学习生活，而不仅仅是等老师来布置学习任务。要学生自己安排学习生活，我们就应该给学生一些自主安排的时间以及作出必要的指导。比如，能否多安排一些自习课。南京师大附中学生的特点是：会自己找事干。要逼着学生主动学习。因为，主动学习是有效的学习。

写完题目，闭你的上嘴！学生思考需要安静的环境。不要帮学生读题目。留下让学生思考的时间，待学生有了自己的思考后再组织交流。“头发”与“脸庞”你要哪一个？写完题目，转过身子，你看到的应该是头发，而不是等待你告诉答案的脸庞。“合作交流”在当前的课堂教学中很时髦，但是数学学习首先提倡独立思考。张奠宙先生、赵小平先生在文章中说：数学不同于其他学科，需要进行逻辑化、符号化、数量化，其过程必定经历独立的、个性化的思考，因此，在“合作”之前必须先“独立”。文章中还说：“我们应该用自己的眼睛看合作学习，研究怎样合作才有效？怎样合作则无效？但没有人研究过，只是听别人说，把别人说的话当绝对真理。”

因为指导青年教师的缘故，现在，我给青年教师提出的教学的基本过程是：提出问题——留下时间，让学生自己想一想、画一画、做一做（先尝试着自己解决）——组织交流（上讲台讲，上黑板写，提问）——挖掘解决问题背后的思维过程（问一问“你是怎么想到的？”“你凭什么这么说？”）——归纳、小结，形成共识，形成结论，这样五个步骤。企图“先有形后无形，从有招到无招”。

有人说“告诉学生3×5＝15不是数学教学，问学生3×5等于几是数学教学”，就是指，让学生先想一想，自己去获得结论。数学特级教师邱学华先生（常州）的“尝试教学法”只有四个字“先练后讲”。你先试试，不会的我再讲，你会了我还要讲什么呢？启发要恰时恰点。打个比方，请学生到火车站去买张火车票。任务提出后，让他去设法完成（步行，骑车，坐公交）。他若向北走，你就启发一下，火车站在南面（让他自己发现火车站在南面更好）。而实际的做法是，你拉着他的手，一起去火车站。

皮亚杰认为，认知发展的一个最主要的方面是儿童的能动作用，是认知主体的主动建构。指导学生指定学习计划，指导学生学会组织学习。应该经常检查学生学习计划的制订。

四．教会思考，教会学习

教什么比怎样教更重要。到底要教学生什么？首先是教数学，教数学知识，这是毫无疑问的。但是“授人以鱼，不如授人以渔”，要教学生学会思考，学会想问题，学会研究问题，学会学习数学。解题教学是数学教学的内容之一。

●教会思考——解题教学必须做的事。

我以为，研究怎样解题，让学生学会分析问题，学会跟数学题打交道的招招式式，掌握解题规律，可以少做些题，也能学好数学。减轻学生过重的课业负担，我们可以有所作为。建议大家看一看数学世界名著——乔治·波利亚的《怎样解题》、《数学的发现》。链接：波利亚著《怎样解题》.PDF。

有人说，差的教师做给学生看，好的教师“想给学生听”。埋头解题是非常有害的．解题训练不等于思维训练．只有当学生掌握了与数学题打交道的招招式式，掌握了解题规律之后，才能见到题目不害怕，从容面对。许多时候，题目做不出来的原因是习惯不好，不会（逻辑地）思考，该做的事没做。比如，条件有哪些？你清楚吗？要干什么？你知道吗？条件与结论的差异在哪里？（解题的过程也是缩小差异的过程）等等。

只有教师解题教学的行为的改变，才可能改变学生的解题行为。教师要关注学生的解题行为。比如，他们花多少时间读题？他们经常画图吗？为结果而教（甚至追求结果），忽视过程的教育价值，仍然是当前教学中的普遍现象。如果从“结果”这个意义上讲，点到直线的距离公式的教学，诱导公式的教学都可以简略。而这些内容的教学承载着数学方法。没有过程，没有学生自己的亲身体验、感受、概括，就不可能领悟数学思想，掌握数学方法。数学思想、数学方法都不是靠教师告诉的。

我曾经跟高三的老师调侃：“你讲的那道题不会做看来不行，但是，会做又怎么样呢？”你一定会说：“阴阳怪气，你是什么意思？”我的意思是，不要仅要获得结果，还要追求获得结果产生的过程，尤其是思维过程，一定要反思，反思解题过程（分哪几个层次？条件用哪了？方法的评价，等等），解一道题就真正发挥一道题的作用，在“质”上下工夫，而不仅是数量。解题教学不等于思维教学，解题训练不等于思维训练。