数学直线的方程公式

(完整版)高中数学解析几何公式大全

一、直线方程

1. 点斜式：y y1 = m(x x1)，其中m是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一个点。

2. 斜截式：y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。

3. 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。

二、圆的方程

1. 标准式：(x a)2 + (y b)2 = r2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

2. 一般式：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是常数。

三、椭圆的方程

1. 标准式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。

2. 一般式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。

四、双曲线的方程

1. 标准式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。

2. 一般式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。

五、抛物线的方程

1. 标准式：y2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。 2. 一般式：y2 = 4ax + b，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，b是抛物线在y轴上的截距。

六、直线与圆的位置关系

1. 判定直线与圆的位置关系：计算直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系。如果d < r，直线与圆相交；如果d = r，直线与圆相切；如果d > r，直线与圆相离。

2. 直线与圆的交点：解直线方程和圆的方程，得到两个交点的坐标。

七、直线与椭圆的位置关系

1.斜率公式

①若直线的倾斜角为α, 则k=tanα (α2)

②若直线过点111(,)Pxy和222(,)Pxy两点. 则2121yykxx

2.方向向量坐标 ： kyyxxxxppxx,1,111212122112

3.两条直线的平行和垂直

(1)若111:lykxb，222:lykxb

①121212||,llkkbb;

②12121llkk.

(2)若1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①11112222||ABCllABC；

②1212120llAABB

4..直线的五种方程

（1）点斜式 11()yykxx (直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．

（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)Pxy、222(,)Pxy

(12xx)).

(4)截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)

（5）一般式 0AxByC(其中A、B不同时为0). 5.“到角”及“夹角”公式 ：

设l1 ：bkxy11 ； l2：bkxy22 （）

（1）当121kk 时

kkkkllkkkkll2121212112211tan1tan，则的角为与，则的角为到

（2）当121kk 时，两直线的夹角为 2

6.两点间的距离公式

若点yxA21, ， yxB22,

则 yyxxAB1212, 即 终点坐标-始点坐标

数学高一专系列之 倾斜角与直线方程

一、直线的斜率：

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα

二、直线的斜率公式:

三、直线方程：

1.点斜式：11()yykxx，当l的90时, l的方程为1.xx

2.斜截式: ykxb，其中b称为直线在y轴上的截距

3.两点式：1112122121(,)yyxxxxyyyyxx

注意！①当l的0时,l的方程为1yy

②当l的90时, l的方程为1.xx

4.截距式：1xyab 其中,ab分别是直线在x轴和y轴上的横截距和纵截距,简称截距.

注意！①当l的a 不存在,b存在时,l的方程为yb

②当l的b不存在, a存在时,l的方程为xa

③当l的a、b都存在, 且都为零时,l的方程为ykx其中k为直线的斜率.

5.直线方程的一般式：0AxByC22(0)AB

（1）任何一条直线的方程都是关于x、y的一次方程

（2）任何关于x、y的一次方程0AxByC22(0)AB表示直线

四、求直线方程：

题型一：基础题型

1．已知A(3,1)，B(－1，k)，C(8,11)三点共线，则k的取值是( ) A．－6 B．－7

C．－8 D．－9

[答案] B

[解析] ∵A，B，C三点共线，

∴k－1－1－3＝11－18－3.

∴k＝－7.

2．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[答案] C

[解析] 由A·C<0及B·C<0，可知A≠0，B≠0，

又直线Ax＋By＋C＝0过(－CA，0)，(0，－CB)，

且－CA>0，－CB>0，

∴直线不过第三象限．

变式练习

1.光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为( )

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直线的方程

1.直线的点斜式方程

点斜式

已知条件 点P(x0，y0)和斜率k图示

方程形式 y－y0＝k(x－x0)

适用条件 斜率存在

2.直线的斜截式方程

斜截式

已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b

图示

方程式 y＝kx＋b

适用条件 斜率存在

3.直线的两点式方程和截距式方程

名称 两点式 截距式

条件 两点P1(x1，y1)，

P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2) A(a，0)，B(0，b)且ab≠0

方程 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 xa＋yb＝1

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4.线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.

5.直线的一般式方程

形式 Ax＋By＋C＝0

条件 A，B不同时为0

6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系

直线的点斜式方程

知识点1 求直线的点斜式方程

【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程：

(1)过点A(－4，3)，斜率k＝2；

(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为45°；

(3)过点C(－1，2)，且与x轴平行；

(4)过点D(2，1)和E(3，－4)．

【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程：

(1)经过点A(2，5)，斜率是4；

(2)经过点B(2，3)，倾斜角是135°；

(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．

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知识点2 直线的斜截式方程

【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．

(1)斜率为2，在y轴上的截距是-5；

(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－8；

(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为8.

【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：