直线方程

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知识点梳理

一、直线方程：

1、确定直线的条件：⑴ 两个点；⑵ 一点和直线的方向。

2、直线的斜率：⑴ 直线的倾斜角：将直线l绕它与x轴的交点逆时针旋转形成的最小的正角称为直线的倾斜角。一般的，直线的倾斜角满足：0180。

⑵ 直线的斜率：已知点1P11(,)xy，2P22(,)xy，若经过这两点的直线l 的斜率k存在（即12xx），则：2121yykxx

⑶ 若直线的斜率为k，倾斜角为()2，则：k=tan

3、直线在坐标轴的截距是坐标，不是距离。如直线0AxByC在x轴的截距为CA，在y轴的截距为CB。

4、直线方程的形式：⑴ 点斜式：经过点00(,)xy，斜率为k

00()yykxx

点斜式方程不能表示斜率不存在（垂直于x轴）的直线

⑵ 斜截式：经过点(0,)b，斜率为k

ykxb

斜截式方程不能表示斜率不存在（垂直于x轴）的直线

⑶ 两点式：经过点1P11(,)xy，2P22(,)xy，

112121yyxxyyxx

两点式方程不能表示垂直于x轴和y轴的直线

⑷ 截距式：经过点(,0)a，(0,)b

1xyab

截距式方程不能表示垂直于x轴、y轴、经过原点的直线 佛山学习前线教育培训中心

直线方程

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⑸ 一般式：0AxByC22(0)AB

二、两条直线的位置关系：

1、平行

⑴ 1:l11ykxb，2:l22ykxb

12//ll  12kk，且12bb

⑵ 1:l1110AxByC，2:l2220AxByC

12//ll  12210ABAB，且12210ACAC，12210BCBC

⑶ 与直线0AxByC平行的直线的方程为'0AxByC(')CC

2、垂直

⑴ 1:l11ykxb，2:l22ykxb

12ll  121kk 211()kk，

⑵ 1:l1110AxByC，2:l2220AxByC

12ll  12120AABB

⑶ 与直线0AxByC的直线的方程为'0BxAyC

5、距离：

两点之间的距离公式:

点P00(,)xy到直线0AxByC的距离：

0022||AxByCdAB

两条平行直线0AxByC与'0AxByC的距离：

22|'|CCdAB

6、对称

⑴ 点关于点的对称点：中点问题

若点A(,)xy，P(,)ab，则点A关于点P的对称点B的坐标为：

(2,2)axby。

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⑵ 直线关于点的对称直线：平行线问题

若直线1l与2l关于点P对称，则12//ll，且点P到两直线的距离相等。

⑶ 点关于直线的对称点：垂直平分线问题

点),(yxP、Q)','(yx关于直线0CByAx对称，则直线l是线段PQ的垂直平分线，满足条件：⑴ PQl；⑵ PQ中点在直线l上，以此列出下列方程组：'()1'''022yyAxxBxxyyABC，可以求得Q坐标。

⑷ 直线关于直线的对称直线：角平分线问题。

三:典型例题

斜率

例1．已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（ ）.

A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°

例2．右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）.

A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2

例3.已知两点A(x，－2)，B(3，0)，并且直线AB的斜率为2，则x＝ .

例4．光线从点(2,1)A出发射入y轴上点Q, 再经y轴反射后过点(4,3)B, 试求点Q的坐标,以及入射光线、反射光线所在直线的斜率.

直线的方程

例1根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

（1）斜率是－12，经过点A（8，－2）； （2）经过点B(4，2)，平行于x轴；

（3）在x轴和y轴上的截距分别是32,－3； （4）经过两点1P（3，－2）、2P（5，－4）.

例2过点(4,2)A，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是？

例3．已知直线l过点(3,4)P，它的倾斜角是直线1yx的两倍，则直线l的方程为（ ）.

A. 42(3)yx B. 43yx C. 40y D. 30x

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直线的位置关系

例1．若过点(2,2),(5,0)AB的直线与过点(2,1),(1,)PmQm的直线平行，则m= .

例2．已知矩形ABCD的三个顶点的分别为(0,1),(1,0),(3,2)ABC，求第四个顶点D的坐标．

例3．已知直线1:60lxmy，2:(2)320lmxym，求m的值，使得：

（1） l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.

交点坐标和距离

例1. 直线4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，求坐标。

例2．已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过l1和l2的交点，且与直线l3: 3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.

例3．已知点(2,1),(,3)ABa且||5AB，则a的值为（ ）.

A. 1 B. －5 C. 1或－5 D. －1或5

例4．已知点(,2)(0)aa到直线:30lxy的距离为1，则a=（ ）.

A．2 B．－2 C．21 D．21

例5．两平行直线51230102450xyxy与间的距离是（ ）.

A. 213 B. 113 C. 126 D. 526

对称问题

例1．已知点P（2，－4）与Q（0，8）关于直线l对称，则直线l的方程为 .

例2．已知点A的坐标为(4,4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，求：

（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标； （2）直线l关于点A的对称直线l的方程.

四：课堂练习

1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ）

Ａ.３０° Ｂ.４５° Ｃ.６０° Ｄ.９０°

2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= （ ）

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A、 -3 B、-6 C、23 D、32

3.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）

A、2 B、21 C、1 D、27

4. 点Ｍ（４，m）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ）

Ａ、m＝－３，n＝１０ Ｂ、m＝３，n＝１０

Ｃ、m＝－３，n＝５ Ｄ、m＝３，n＝５

5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）

Ａ、3x-y-8=0 B、3x+y+4=0

C、3x-y+6=0 D、3x+y+2=0

6.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,

则Ｌ的方程是（ ）

Ａ、x-2y+3=0 B、2x-y-3=0

C 、2x+y-5=0 D、x+2y-4=0

7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（ ）

A、（-2，1） B、（2，1） C、（1，-2） D、（1，2）

8. 直线0202nyxmyx和的位置关系是（ ）

A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、不能确定

9. 如图1，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，

则必有（ ）

A. k1

C. k1

10.已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边

AB上的中线所在的直线方程为（ ）

A、x+5y-15=0 B、x=3 C、x-y+1=0 D、y-3=0

五：课堂小结（学生总结）

六：课后作业

（一）选择题

1．若直线1x的倾斜角为，则等于（ ）.

A．0 B．45° C．90° D．不存在

2．过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）.

A.1 B.4 C.1或3 D.1或4

3．若A(1，2)，B(-2，3)，C(4，y)在同一条直线上，则y的值是 .

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