二次根式的概念和性质 (1)

1 16.1二次根式练习题

【精选问题1】若x是实数,当x满足什么条件时,下列各式有意义.

(1)1x-6 (2)(2x+3)0 (3)x+7 (4)1x-1 (5)x2+0.1

(6)x2-2x+2 (7)40.5-x (8)(5-x)-31 (9)(8-x)-21

【精选问题2】求下列二次根式的值.

(1)(π-3.2)2 (2)a2+4a+4,其中a=-5

【精选问题3】化简下列二次根式:

(1)125 (2)12a2 (a≥0) (3)113 (4)m8n (n＞0) (5)x32y (y＜0)

【精选问题4】判断下列二次根式中,哪些是同类二次根式(先化简．．．)

-45, 75, 613, 20, 5, 0.3

【测试训练】

一、填空题：

1.如果1-x在实数范围内有意义，那么x应满足的条件是___________.

2.式了x(x-3)=x·x-3成立的条件是_________.

3.5-xx-2在实数范围内有意义,x的取值范围是__________.

4.计算：(-4)2=__________；(2-5)2=__________；(3.14-π)2=__________.

5.如果x2=-x,那么x的取值范围是_________.

6.当m≥时,(4-2m)2=________.

7.当m＜2时,化简1-x-x2-4x+4的结果是__________.

8.化简：750=_________.18a349b2=_________.15x3=_________.

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二次根式复习讲义

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：

形如√a(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，√a才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1），

其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

A、a B、10 C、1a D、21a√

2、在、、、、中是二次根式的个数有______个.

【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

举一反三：

1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）

A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4

2、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

【例3】若y=++2009，则x+y=

解题思路：式子（a≥0）， ，y=2009，则x+y=2014

举一反三：

1、若，则x－y的值为（ ）

A．－1 B．1 C．2 D．3

2、若x、y都是实数，且y=4x233x2，求xy的值 22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaaa2ab1x21x313x43xx5xx5a50,50xx5x11xx2()xy 勤而思教育个性化学习中心

【例4】已知a是5整数部分，b是 5的小数部分，求12ab的值。

举一反三：

1、若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3 。

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：aa()0是一个非负数．

1 二次根式的性质3

二次根式的性质1

一般来说，如果二次根式里被开方数是几个因式的乘积，其中有的因式是完全平方式，则可用它的非负平方根代替后移到根号外面. 16.1(2) 二次根式的概念和性质

【教学目标】

掌握二次根式的性质3、4，会根据二次根式的性质化简二次根式.

【教学重点和难点】

根据二次根式的性质化简二次根式.

【教学过程】

一、复习

1、什么叫二次根式？二次根式有意义满足的条件是什么？

2、我们学了哪些二次根式的性质？

3、回忆另外实数运算中的等式

性质3 )0,0(babaab， 性质4 )0,0(bababa

这两个等式也作为二次根式的性质.

等式的左边看作积（商）的开方，等式的右边看作开方的积（商）.

运算时，可以从左到右，也可以从右到左

二、学习新知

1、观察思考：

问2：18与23相等吗？为什么？

利用二次根式的性质18=232=232=32，18=23.

)0,0(22baabbaab

问3：83与46相等吗？为什么？

83=2823=246=46

)0,0(2bababbbabbbbaba

利用分数的基本性质以及二次根式的性质能证明它们相等，如果二次根式中被开方数是分式（或分数）则要化去分母.把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”，通常把形如)0(aam的式子也叫做二次根式，如23，122ba等.

2、例题分析：

例3：化简二次根式 2 1）72=262=26

2）312a=aa2232=aa3)2(2=aa32

3）)0(182xx

218x=2223x=2)3(2x=)0(23xx

例4：化简二次根式

1）3a=233a=233a=33a

2）x25

由025x且0x，可知0x

x25=2)2(25xx=2)2(10xx=xx210

二次根式的概念与性质

编稿：庄永春 审稿：邵剑英 责编：张杨

一、目标认知

1.学习目标：

理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．

2.重点：

；，及其运用．

3.难点：

利用，，解决具体问题.

二、知识要点梳理 知识点一：二次根式的概念

一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

要点诠释：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

知识点二：二次根式的性质

1.；

2.；

3.；

4. 积的算术平方根的性质：；

5. 商的算术平方根的性质：.

要点诠释：

二次根式 (a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解.

知识点三：代数式

形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).

三、规律方法指导

1.如何判断一个式子是否是二次根式？

(1)必须含有二次根号，即根指数为2；

(2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义.

2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？

要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式作为分母时要注意分母不能为零.

经典例题透析

类型一：二次根式的概念

1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)． 思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．