立体几何(文)易错笔记

ｌ　霭　易错点大剖析　母建军　丁　勇　（江苏省苏州市木渎第二中学）　在立体几何的学习中，倘若对基本的概念认识不　清，缺乏一定的空间想象能力，对问题的思考不够严　谨，就很容易导致解题的失误，甚至功亏一篑，下面举　例说明．　１未判断角的范围　例１　已知空间四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ一　１０，ＢＤ＝６，Ｍ、Ｎ分别是ＡＢ、ＣＤ的中点，ＭＮ一７．　求异面直线ＡＣ与ＢＤ所成的角．　错解　如图１，取ＢＣ　中点Ｅ，连接ＥＭ、ＥＮ，因为　Ｍ、Ｎ、Ｅ分别为ＡＢ、ＣＤ、ＢＣ　的中点，所以ＭＥ／／ＡＣ且　ＭＥ＝去ＡＣ＝５．』＼，Ｅ／／ＢＤ　厶　１　且　Ｅ一去ＢＤ一３．　图１　学科防疫站　错解　因为平面　Ｃ＿上＿平面ＡＢＣＤ，所以过Ｐ　作Ｐ０ｊ＿ＡＣ于０，则ＯＰｊ＿平ＡＢＣＤ，如图２—１．因为　ＰＡＯ＝６Ｏ。，　ＰＣＯ＝３０。，设ＯＰ＝－ｈ，则　ＯＡ＝ＯＰ・ｃＯｔ　６０。一　，ＯＣ＝ＯＰ・ｃＯｔ　３０。一　，　０　所以由ＯＡ＋ＯＣ＝ＡＣ＝　得　＋　一　，解得　一　ｎ．所求棱锥的高为等ｎ．　剖析题目并未说四棱锥Ｐ＿ＡＢＣＤ是正棱锥，　因此，顶点Ｐ在底面上的射影不一定在底面多边形　的内部，如图２—２．　尸　Ｃ　Ｄ　图２—１　图２－２　正解若０在ＡＣ上，由ＯＡ＋０Ｃ—ＡＣ＝　口　怕一　，所以　一　ｎ．　若０在ＡＣ的延长线上，则由ＯＡ－－ＯＣ＝ＡＣ＝　。　知，，／ｇｈ一，　／Ｘ　一　，所以　一　，故棱锥的高为　一，　／ｇ减　一　ｎ．　ＭＥＮ为异面直线ＡＣ与ＢＤ所成的角．在ＡＭＥＮ　中，由余弦定理得　ｃｏｓ　ＭＥ』＼，一　一　５　＋３０—７　１　２×５×３　２’　所以　ＭＥＮ一１２０。，异面直线ＡＣ与ＢＤ所成的角　为１２Ｏ。．　剖析　Ｅ述解题过程中没有注意到２条异面直　线所成角的范围是［Ｏ。。９Ｏ。］．所以异面直线ＡＣ与　ＢＤ所成的角为１８０。一　ＭＥ』＼，一６Ｏ。．　２未能理解题意。作图失误　例２四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ，底面是边长为ａ的正方　形，平面ＰＡＣｊ＿平面ＡＢＣＤ，ＰＡ、ＰＣ与底面所在平　面所成角分别为６Ｏ。和３Ｏ。．求棱锥的高．　例３正三棱柱的底面一边与侧棱都为ａ，过底　面的一边与上下底面中心连线的中点作棱柱的截面，　求截面的面积．　错解如图３—１，设上下底面中心为０、０，，Ｐ为　０９＇连线的中点，Ｄ为ＡＢ的中点，连结ＤＰ并延长　交ＣＣ　于一点Ｅ，则ＡＡＢＥ即为所求的截面．因为　ＥＣ一器一｛，即Ｅｃ—　３　ｎ．所以　厂＿７　————■■一　，　ＥＤ＝√（　ｎ）　＋（号ｎ）　一　．ｓ△脚一专　．　剖析上述解答似乎没有毛病，但仔细检查不难　发现，ＥＣ＝￣－ａ＞ＣＣ　，这说明Ｅ点不应落在ＣＣ　内，　而应落在ＣＣ　的延长线上，见图３—２（连接ＤＰ并延长　交ＣＣ　的延长线于点Ｅ）．　正解设ＤＥ交上底面于点Ｈ，过Ｈ点作ＧＦ，　父子俩来到维也纳的斯特凡大教堂前面　“爸爸，这座有很高的塔顶的房子是什么地方？”“你应该知道，我的儿子．这是　个教堂　”“什么是教堂？”“就是亲爱的上帝居住的地方　”“上帝是住在天上的呀！”“你说得对．上帝住在天上，但他在这里做　生意呀！”　壹一　维普资讯 学科防疫站　Ｃ　Ａ　Ｅ　Ｃ　Ａ　Ｇ　＼．　一一　Ｉ　ｆ　ｆ●　，　ｆ　ｆ　ｆ　，　｜　，　Ｐ：　Ｉ，　一　Ｊ　：＝＝＝。／　Ｃ　１３　图３—１　图３—２　使得ＧＦ∥Ａ　Ｂ　，则等腰梯形ＡＧＦＢ才是所求截面．　因为　一旱，又　一器一箍，所以　ＧＦ一　１　Ａ　一　１口，ＨＤ一－耋－ＤＥ＝号　，　ｓ。一＝　ｃ口＋号口）・号　一号　．　即所求棱柱的截面面积为　√３口　．　点评　正确作图是解几何题的关键，它能引导我们　的思路，所以作图时要十分注意．　３考虑不周。遗漏答案　例４在半径为１５的球内有一个底面边长１２√３　的内接正三棱锥，求此正三棱锥的体积．　错解图４—１所示球心为０，ＯＡ—ＯＢ—ＯＣ＝　ＯＤ＝Ｒ＝１５．ＡＢＣＤ是边长为１２√３的正三角形，它　的中心为Ｈ，Ｈ也是Ａ点和０点在平面ＢＣＤ上的　射影．ＨＢ—Ｈｃ：ＨＤ一导×譬×１２￣／３—１２，所以　ＯＨ＝￣／—ＯＢ２－－—ＨＢ２＝、，　一９．　三棱锥Ａ－ＢＣＤ的高ｈ一９＋１５＝２４．又　Ｓ△　１Ｄ一　（１２　）　＝１０８　，　图４—１　图４—２　所以三棱锥Ａ－ＢＣＤ的体积　１　一　一　ＢＣＤ一－去－×１０８４３×２４＝８６４√３．　ｏ　剖析上面的解法只考虑了三棱锥Ａ＿ＢＣＤ的　顶点Ａ与球心０在平面ＢＣＤ的同侧，而遗漏了在异　侧的情况．如图４—２所示，三棱锥Ａ＿ＢＣＤ的高ｈ—　ＯＡ一０Ｈ一１５—９—６．此时三棱锥Ａ－ＢＣＤ的体积为　２１６√３，所以此题应该有２解．导致错误的主要原因　是对正棱锥的概念认识不清及考虑问题不够周密．　４不给证明就下结论　例５正四棱锥Ｖ－ＡＢＣＤ的底面边长与侧棱长　的比是　，过底面一条对角线作和一条侧棱平行的　√么　截面，求截面和底面所成的二面角大小．　错解如图５，在正　四棱锥Ｖ－ＡＢＣＤ中，　ＡＢＰＤ是与侧棱ＶＡ平　行的截面，０是下底中　心，ＯＰ／／ＶＡ，显然　Ｐ０Ｃ是截面与底面所　成二面角的平面角．设　图５　ＡＢ　，由于　ＶＡ一　朋　一　，所以　一　口，　ｃＯＳｚＰＣ￣＝ｃｏｓ￣ＶＡＯ－－　一　。￣ＰＯＣ＝３０。．故　截面与底面所成的二面角是３０。．　剖析上述解答有２个地方存在问题：　①断言　ＰＯＣ是截面与底面所成二面角的平　面角而不加证明是不合要求的．因为高考是按步骤给　分的，缺了这一步就不能得这一步的分．事实上这个　“显然”并不显然．　②断言截面与底面所成的二面角是３０。是不全　面的，因为所求二面角可以是Ｐ－ＤＢ—Ｃ，也可以是　Ｐ－ＢＤ－Ａ．因为ＶＯ＿ｌ＿底面ＡＢＣＤ，ＡＣ＿ｌ＿ＢＤ，所以由　三垂线定理ＯＰ＿ｌ＿ＢＤ，　ＰＯＣ与其补角是截面与底　面所成二面角的平面角．因为　ＰＯＣ：３０。，从而　ＰＯＡ＝１５０。，所以截面与底面所成的二面角是３０。　或１５０。．　总之，易错题往往有其深刻的背景，导致错误的　原因也错综复杂，所以对典型的易错题应该认真整　理、归纳和总结，从中吸取经验和教训．　“爸爸，哥哥说我是混蛋的儿子．”“不要介意，”爸爸说，“我会原谅他的．”“可我不原谅他！”小孩怒气冲冲．“他也是混蛋　

■江苏省江都中学 唐海军 立体几何主要考查空间想象能力(识图、

画图、用图、构图)、推理论证能力、运算求解

能力、将“空间问题平面化、模型化和代数化”

的转化能力,以及一些重要的数学思想方法

的应用。同学们在学习和复习中受认知水平

所限,容易出现种种思维误区,本文对立体几

何中的易错题归类剖析,给出错因分析和提

醒,希望能助同学们一臂之力。

易错1——三视图还原几何体时“虚实

不分，对应不当，不作检验”

例1 如图1,网格纸上的小正方形边

长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥

的体积为( )。

A.83 B.43C.43 D.23

图1

错解:由三视图知,四棱锥的底面为正方

形,其边长为2,高为2,则体积V=13×22×

2=83。故选A。

错因剖析:凑巧蒙对答案,还原几何体时缺少模型化的意识。

正解:由三视图知该棱锥为一个边长为2的正方体中的四棱锥,如图2所示,底面是

矩形A1B1CD,宽CD=2,长B1C=22,因为CD⊥平面ADD1A1,所以平面A1B1CD⊥平面ADD1A1,过D1作A1D的垂线

图2D1E,则有D1E⊥平面A1B1CD,即高D1E=

2,所以棱锥的体积V=13S矩形A1B1CD·D1E=13×

2×22×2=83。

提醒:由三视图还原

几何体求体积,要弄清几何体的特征,把三视

图中的数据、图形特点准确地转化为对应几

何体中的线段长度、图形特点,进而用公式求

解。若几何体的三视图中至少有两个视图为

三角形,则该几何体为锥体;如果三视图中出

现两个或三个矩形或直角三角形,就可考虑

以长方体为载体进行视图还原。

易错2——三棱锥体积求解中忽略“等

积变换”

图3例2 如图3,在棱长

为5的正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF是棱AB上的一条线段,且EF=2,Q是A1D1的中点,P

是棱C1D1上的动点,则四

面体PQEF的体积( )。

A.有最小值的一个变量B.有最大值的一个变量C.没有最值的一个变量D.一个不变量

错解:选A或B或C。

错因剖析:忽略三棱锥体积等积变换的

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立体几何中的易错点剖析

作者：吴雅琴

来源：《中学课程辅导·高考版》2019年第12期 龙源期刊网 龙源期刊网 龙源期刊网

立体几何是高中数學的主要知识模块，也是高考考查的重点知识之一，在求解立体几何问题时，部分同学常因概念不清晰，理解不透彻，盲目地套用性质定理等导致错解.在高三复习中，如能在这些易错点上强化正误辨析意识，就能加强训练的针对性，提高复习效率.本文意在剖析立体几何的常见错误，为同学们在今后的立体几何复习中能防微杜渐起抛砖引玉之用.

易错点一：概念不清导致错解

例1 以下四个命题：

①不共面的四点中，其中任意三点不共线;

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面;

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面;

④依次首尾相接的四条线段必共面.

其中正确命题的序号是 .

错解：①②

错因分析：①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确;②中，若A，B，C三点共线，则点A，B，C，D，E有可能不共面，故②错误;③中，如图所示正方龙源期刊网

体的棱中，a，b共面，a，c共面，而b，c异面，故③错误;④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误.

正解：①

例2 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若mα，n∥α，则m∥n;

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ;

③若α∩β=n，m∥n，m∥α，则m∥β;

④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.

其中是真命题的是 （填序号）.

错解：①②

解题篇易错题归类剖析高考数学 2019年1月搏生找理化

■河南省沈丘县第一高级中学赵向前一、求几何体的外接球时，易忽视球的 几何性质考点指南：球的问题是平面图形圆的立 体化、空间化问题.圆的考点在高中侧重解析 几何问题的考查，即与圆的方程有关的问题. 高中圆的几何特性（几何图形的外接圆）主要 体现在空间几何体的外接球的知识方面.即 求解与几何体的外接球有关的问题时，需要 把立体球转化为平面圆进行分析，考査层次 属于有难度的问题。捌/ 一个几何体，/\, 的三视图如图1所示，求7弋7弋 该几何体外接球的表面正视图侧视图 积。（单位:cm）解题分析：根据题意 知该几何体是一个圆锥， 其轴截面是边长为2 cm 的正三角形，则几何体及 其外接球的直观图如图2 所示。由题可知轴截面 AFAB为正三角形，球心 O为正三角形的重心，根据 三角形重心的知识，则 po : ocy = 2 ： 1。又 o'为图2 AB 的中点，所以在RtAPAO7中，PA = 2, POf = VPA--AO'2 =箱，所以PO=攀。因为△ PAB是正三角形.PO = AO,则 外接球的半径为AO = PO =竽，所以圆锥 的外接球的表面积S = 4n • R' = ¥（cn?）。考查意图：本题主要考查 同学们 的空间 想象能力、空间问题平面化能力及计算能力。 虽然本题是求解外接球的表面积，但是在求 解球的半径时，需要逐步进行，故对运算逻辑 也是有考査的。复习建议：由于高考是选拔性考试，考题 定位“源于课木，考査分析问题与求解问题的 能力"，学习中，应立足教材，对教材中的核心 题型，比如求三棱锥的外接球.只有做好归纳总结，步骤细化.有了基本方法的掌握，才能 在解决柱体、锥体的问题中做到熟练掌握与 应用。变式练习1 :如图3 ,在卞 四棱锥P ABCD中.面| PAB 丄面 ABCD , ZXPAB /x/' 是等边三角形，四边形--------ABCD为矩形，边长AB = 图32, AD = 4,求四棱锥俯视图P ABCD的外接球的体积。解题分析：如图4, 构造四棱锥P ABCD 的外接球O，因为 AFAB为正三角形，正 APAB的外接圆为 0O2,根据三角形重心 的知识，则PO2 : O2E =2 : lo图4因为AB = 2,所以PE =VAP2—AE-=y/3 ,则 PO2 = —^― , O 2 E =夢。在矩形ABCD中，是对角线的一 半，所以 A。= y 7AD2 + CD2 = /5 . RtAOO! A 中，OA =VO.,E2+AOi =，即四棱锥 P-ABCD 的外接球O的半径为卑3。所以V=字=警（晋=驾乞二、判断线面关系时，易忽视几何载体 或空间几何常识的应用考点指南：有关线面关系的问题.属于考