非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
区别线性微分方程和非线性微分方程：1.微分方程中的线性，指的是y及其导数y'都是一次方。如y'=2xy。2.非线性，就是除了线性的。如y'=2xy^2。
若一个微分方程不符合上面的条件，就是非线性微分方程。
线性方程：在代数方程中,仅不含未知数的一次幂的方程称作线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称作线性方程。可以认知为：即为方程的最低次项就是一次的，容许存有0次项，但无法少于一次。比如说ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。
微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。
如果一个微分方程中仅所含未明函数及其各阶导数做为整体的一次幂,则表示它为线性微分方程。可以认知为此微分方程中的未明函数y就是不少于一次的，且此方程中y的各阶导数也必须就是不少于一次的。
第２６卷第２期 ２０１０年４月 德州学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｄｅｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖ０１．２６，Ｎｏ．２ Ａｐｒ．，２０１０
一类非线性三点边值问题单调递增正解的存在性
郭秋生 ，梁月亮。
（１．石楼中学，山西吕梁０３２５００；２．中北大学理学院数学系，太原０３００５１）
摘要：考察了一类非线性常微分方程的三点边值问题，通过考察非线性项在有界集上的性质，运用Ｉ ｅｒａｙ— Ｓｃｈａｕｄｅｒ非线性抉择及格林函数的性质，获得了一类非线性三点边值问题单调递增正解存在的新结果，推广和改 进了相关文献的结果．
关键词：三点边值问题；正解；不动点定理 中图分类号：Ｏ１７５．８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４—９４４４（２０１０）０２—００２２—０３
０ 引言
本文的目的是考察下列非线性三点边值问题的 正解存在性 ｆｕＵ（ｔ）＋ｆ（ｔ，“ （￡））一０， ０ ｆ １ 【“（ｏ）一ａｕ（７），Ｍ （１）＝＝＝ （０）
其中０＜ａ， ，叩＜１，ｆＥ（［０，１］×［Ｏ，＋∞），［０，＋ｏ。
））且存在ｔ。Ｅ［７７，１］使得ｆ（ｔ。，０）＞Ｏ． 研究了一类非线性三点边值问题，利用锥上的
不动点定理获得了其单调递增正解的存在性，近年
来，由于其广泛的应用，非线性三点边值问题的研究 受到普遍重视 ］．
文献Ｅｌｉ考察了问题（２）式，通过锥不动点指标 理论定理，给出了此问题至少有一个正解存在的条
件． 』 ，，（ ｆ（Ｙ ”＿Ｏ， ０＜Ｋ丁 （２） 【 （ｏ）一Ｐｙ（ ）， （Ｔ）一ａ“（ ） 文献［２］中，马如云在厂（ｔ， ）一ｈ（￡）ｇ（“）的情 形下首先给出了问题（３）式的正解存在的条件，即
厂是超线性的或次线性的．
ｊ （￡）＋ （ ‘ 一ｏ， （３） 【“（０）一０，“（１）＝口“（＇７） 其中０＜７＜１，Ｏ＜ａ＜ ．
文献［３］进一步考察了问题（３）式，通过锥拉伸
与锥压缩型不动点定理的局部化应用，将文献［２］作
第２４卷第１期 ２０１０年１月 山东理工大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．１ Ｊａｎ．２０１０ 文章编号：１６７２—６１９７（２０１０）０１—００１３—０３ 一类非线性三点边值问题正解的存在性 梁月亮，续晓欣，郭秋生 （中北大学理学院，山西太原０３００５１） 摘要：运用Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ非线性抉择定理和格林函数的性质，通过考察非线性项在有界集 上的性质，获得了一类非线性三点边值问题存在惟一正解的充分条件，推广和改进了相关文献的结 果． 关键词：边值问题；不动点定理；正解 中图分类号：Ｏ１７５．８ 文献标识码：Ａ Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ＬＩＡＮＧ Ｙｕｅ—ｌｉａｎｇ，ＸＵ Ｘｉａｏ—ｘｉｎ，ＧＵｏ Ｑｉｕ—ｓｈｅｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ，Ｔａｉｙｕａｎ ０３００５１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ ｆｕｎｃ— ｔｉｏｎ，ａｎｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｏｎ ｓｏｍｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｓｅｔ，ａ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｔｈｒｅｅ—ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｆｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ 本文主要研究下列三阶非线性边值问题正解的 存在性： （￡）一ｆ（ｔ， （￡））一０ （１） （Ｏ）一ａｕ（１），Ｕ／（叩）一Ｏ， （１）一０ （２） １ 其中寺＜叩＜１，０＜ａ＜１，，满足： 厶 。 （Ｈ。），∈Ｃ（［０，１３×［Ｏ，＋。。），［Ｏ，＋Ｃ×。））； （Ｈ，）存在ｔ。∈［Ｏ，１］，使得ｆ（ｔ。，０）≠０． 文献［１—４］以及其中所引用参考文献对非线性 边值问题正解的存在性作了大量的研究．在文献［３ —４］的启发下，利用文献［３３中的方法，通过引理２ 建立一个积分算子，并将边值问题解的存在性等价 转化为积分算子不动点的存在性，与此同时给出 ＢＶＰ（１）（２）存在惟一非平凡正解的充分条件． 本文所研究的空间为Ｂａｎａｃｈ空间ｃ［ｏ，１３，其 中范数为ｌＩ Ｕ ｌＩ＝ｍａｘ ｌ （￡）Ｉ． 记 ［Ｏ，１］一｛Ｕ∈ｃ［ｏ，１３：“≥０｝， 一｛ ∈ ［０，１］：ＩＩ ｌＩ≤ｄ）， 一｛ ∈ ［０，１］：ｌｌ ｌｌ＜ｄ）． １ 引理设定 引理１［ 设Ｘ为Ｂａｎａｃｈ空间，ｎ为Ｘ的一个 有界开子集，且 ∈ｎ，若Ｆ：ｎ—Ｘ为一个全连续算 子，则：要么存在Ｕ∈ 及 ＞１，使得Ｆ（ ）一Ａｘ， 要么算子Ｆ存在一个不动点Ｕ。∈ｎ． 引理２ 设Ｙ∈ ［０，１］， （￡）一 （ ） （３） （Ｏ）一删（１）， （ ）一０， （１）＝０ （４） 则ＢＶＰ（３）（４）存在惟一的正解 ｒ１ （￡）：ｌ Ｇ（ｔ，ｓ）ｙ（ｓ）ｄｓ且ｍ…ｉｎ （￡）≥ ＩＩ“ＩＩ， 收稿日期：２００９一Ｏ４—１２ 作者简介：梁月亮（１９７９一），男，讲师，硕士．Ｅ－ｍａｉ
第３６卷第４期 ２０１０年１０月 曲阜师范 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｕｆｕ 大学学报 Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖ０１．３６ Ｎｏ．４ Ｏｃｔ．２０１０
三阶非线性奇异微分方程组的正解
张丽， 张克梅
（曲阜师范大学数学科学学院，２７３１６５，山东省曲阜市）
摘要：研究带有参数的三阶非线性奇异微分方程组两点边值问题正解的存在性，通过运用锥理论中的 不动点定理，得到了有关方程组正解存在性的多种结果． 关键词：三阶边值问题；微分方程组；不动点定理；正解 中图分类号：Ｏ１７５：８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１－５３３７（２０１０）０４－０００９￣６
１ 引 言
近年来，关于非线性三阶边值问题（ＢＶＰ）得到了很好地研究，文献［４］详细地讨论了以下边值问题
（ ）＋ＡⅡ（ ）＿，（“㈤）＝０，０＜ ＜１， ｆ １．１） ｔｕ（０）＝Ｍ （０）：０， （１）＋ Ｍ”（１）＝０
正解的存在性，这里入是正参数．作者根据 取值范围的不同，运用不动点定理，得到了有关ＢＶＰ（１．１）是 否存在正解的多个结论．文献［５］运用Ｇｕｏ—Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ Ｓ不动点定理讨论了以下边值问题
．一Ｕ （ ）＝０（ｔ） ｔ， ），０＜ｔ＜１， Ｊ一 （ ）＝ｂ（ｔ）ｈ（ｔ，ｕ），０＜￡＜１， （１．２） ｌ （０）：ｕ （０）＝０，ｔｔ ｒ（１）＝Ｏｔ （７１），
（０）＝ （０）＝０， （１）＝ＯＬＩ） （＇７） 正解的存在性．受到以上启发，本文中我们考虑以下边值问题
，一Ｕ （ｔ）＝Ａ口（ｔ） ｔ， ， ），０＜ｔ＜１， （￡） ｂ（ｔ）ｇ（ｔ， ），０＜ｔ＜ ｆ １．３） ｌ （０）＝Ｍ （０）＝０， Ｍ （１）＋ ”（１）＝０，
ｖ（Ｏ）＝ （０）＝０， （１）＋ ”（１）＝０ 正解的存在性，Ａ， 是正参数，ＯＬ，卢 ０， ＋ ＞０，ｆ，ｇ∈Ｃ（［０，１］×［０，＋∞）Ｘ［０，＋∞），［０，＋∞）），
第１２卷第２期（２００７） 寸青离Ｉ牛孑拒 Ｖｏ１．１２ Ｎｏ．２（２００７）
一类非线性三阶边值问题正解的存在性
魏晋滢
（西北师范大学，甘肃兰州７３００７０）
摘要：讨论了三阶常微分方程边值问题
ｆ—ｕ （ｔ） ｆ【 ，ｕ）・ Ｏ＜ ＜１＇
ｌ ｕ（ｏ）＝ｕ’（ｏ）＝ｕｔ（１）＝Ｏ， 解的存在性，其中ｆ【ｔ’ｕ）：［０，１】ＸＲ＋．＋Ｒ 为连续函数．在满足一些增长性条件的情形下，用指数不动点理论获得
了正解的存在性结果． 关键词：三阶边值问题：正解；不动点指数ＭＲ（２０００）主题类：３４Ｂ１５
中图分类：Ｏ１７５．８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—９０２０（２００７）０２—００７—０３
１引言与主要结果
三阶微分方程在天文学、流体力学等学科的研究中有着
广泛的应用．因此，其解的存在性受到广泛的关注，见文【１卜【３】．
本文考察了如下的三阶常微分方程边值问题：设Ｉ＝［ｏ。１】，
”（ｔ）－ｆ（ｔ，ｕ）， Ｋ１， （１．１）
【ｕ（０）＝ｕ’（０）＝ｕ’（１）＝０， 其中，ｆ：Ｉ×Ｒ＋． Ｒ 为连续函数．受文［４卜［５】的启发，应用指数
不动点定理代替锥拉伸与锥压缩不动点定理，获得了正解的
存在性结果。并且在非线性项的增长限制上更加精确．
为了方便介绍，先引入以下记号：
＿ｆｏ＝ｌｉｍ ｉｎ ｍｉＩｌｔｅｎｌ】（ｆ【ｔ’ｕ）／ｕ），ｆｏ－］ｉｍ ｓｕｐ ｍａｘｔｓｎｌｌ（ｆ（ｔ，ｕ）／ｕ），
ｆ．＝ｌｉｍ ｉｎ￡一ｍｉｎｔｅｎｌ】（ ｔ’ｕ）／ｕ），ｆ－＝ｌｉｍ ｓｕｐ 一ｍａｘｔ ｎｌ】（ｆ【ｔ’ｕ）／ｕ），
主要结果为：
定理１设ｆ：Ｉ×Ｒ＋． Ｒ 为连续函数，若满足下列条件之
一： （ｎ１）ｆｏ＜１２，ｆ－＞４０，
（ＨＥ）ｆｏ＞４０，ｆ－＜１２，
则ＢＶＰ０．１）至少存在一个正解．
由定理１还可得到
推论１设ｆ：ＩＸＲ＋． Ｒ 为连续函数，若满足下列条件之
一： （Ｈ１’）ｆｏ－－０， ＝＋∞，Ｏ迢线性）
