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2005年中国第二届东南地区数学奥林匹克竞赛试题及解答(2005年7月10日)

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第二届中国东南地区数学奥林匹克

第一天（2005年7月10日8：00－12：00 福州）

一、（1）设Ra，求证抛物线1222axaxy都经过一个定点，且顶点都落在一条抛物线上.

（2）若关于x的方程01222axax有两个不等的实根，求其较大根的取值范围.

（吴伟朝 供题）

二、如图，圆O（圆心为O）与直线l相离，作lOP，P为垂足.设点Q是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作圆O的两条不同的切线QA和QB，A和B为切点，AB与OP相交于点K. 过点P作QBPM，QAPN，M和N为垂足.

求证：直线MN平分线段KP.

（裘宗沪 供题）

三、设n是正整数，集合nM2,,2,1. 求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于14n.

（张鹏程 ，李迅 供题）

四、试求满足2005222cba，且cba的所有三元正整数组cba,,.

（陶平生 供题）

第二天（2005年7月11日， 8：00－12：00， 福州）

五、已知直线l与单位圆S相切于点P，点A与圆S在l的同侧，且A到l的距离为)2(hh，从点A作S的两条切线，分别与l交于CB,两点. 求线段PB与线段PC的长度之乘积.

K N M

A

B P

o Q （冷岗松 ，司林 供题）

六、将数集},...,,{21naaaA中所有元素的算术平均值记为)(AP，（naaaAPn...)(21）.

若B是A的非空子集，且)()(APBP，则称B是A的一个“均衡子集”.

试求数集}9,8,7,6,5,4,3,2,1{M的所有“均衡子集”的个数.

（陶平生 供题）

七、（1）讨论关于x的方程axxx|3||2||1|的根的个数.

（2）设naaa,...,,21为等差数列，且

507222111212121nnnaaaaaaaaa求项数n的最大值.

（林常 供题）

八、设2,,0，且1sinsinsin333，

求证：.233tantantan222

（李胜宏 供题）

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首届中国东南地区数学奥林匹克

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李胜宏; 陶平生; 金荣生; 冯跃峰; 张鹏程; 冷岗松; 裘宗沪

【期刊名称】《《中等数学》》

【年(卷),期】2005(000)006

【总页数】4页(P29-32)

【作 者】李胜宏; 陶平生; 金荣生; 冯跃峰; 张鹏程; 冷岗松; 裘宗沪

【作者单位】

【正文语种】中 文

【中图分类】G4

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荆州市2004年初中数学竞赛

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考生注意：题号后标有“初二”者，为初二年级考生试题；题号后标有“初三”者为初三年级考生试题；没有特别标志的试题为公共试题，两个年级考生都做。初二年级考生不能做初三年级试题，初三年级考生不能做初二年级试题。满分均为120分。

一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

1．若n满足(n－2004)2+(2005－n)2=1，则(2005－n)(n－2004)等于 （ ）

A．－1 B．0 C．21 D．1

2．如图1，已知∠CGE=120°，则

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= （ ）

A．150° B．210°

C．240° D．270°

3．设x、y、z均为正实数，且满足 xzyzyxyxz，则x、y、z三个数的大小关

系是 （ ）

A．z

4．（初三）两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A点和B点（如图2）；A点

和B点之间的距离是100米，陈洁离开A以每秒8米的速度沿着与AB成60°角的直线

上滑行，在陈洁离开A点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B点，

这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度

最早相遇.则最早相遇的时间是（ ）

A．18秒 B．20秒

C．22秒 D．3100秒

5．（初三）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和点

（－1，0）两点，则S=a+b+c的值的变化范围是 （ ）

图3 A．0

6．（初三）方程组0||||50||||522xyyyxx在实数范围内解的组数为 （ ）

A．多于5组 B．5组 C．3组 D．1组

7．（初二）已知a、b都是正整数，那么a、b和8为边组成的三角形有 （ ）

2005年数学二试题分析、详解和评注

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文登学校

1 以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过

2005年数学二试题分析、详解和评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设xxy)sin1(，则xdy = dx .

【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.

【详解】 方法一： xxy)sin1(=)sin1ln(xxe，于是

]sin1cos)sin1[ln()sin1ln(xxxxeyxx，

从而 xdy=.)(dxdxy

方法二： 两边取对数，)sin1ln(lnxxy，对x求导，得

xxxxyysin1cos)sin1ln(1，

于是 ]sin1cos)sin1[ln()sin1(xxxxxyx，故

xdy=.)(dxdxy

【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.55【例2.15】

（2） 曲线xxy23)1(的斜渐近线方程为23xy.

【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.

【详解】 因为a=,1)1(lim)(lim23xxxxxfxx

23)1(lim)(lim2323xxxaxxfbxx，

于是所求斜渐近线方程为.23xy

【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当x时，极限xxfax)(lim不存在，则应进一步讨论x或x的情形，即在右或左侧是否存文登学校

2005年全国高中联赛加试第二题别解

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宋庆

【期刊名称】《中学数学研究》

【年(卷),期】2006(000)001

【摘 要】@@ 2005年全国高中数学联赛加试第二题:rn设正数a、b、c、x、y、z满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c.求函数f(x,y,z)=x2/1+x+y2/1+y+z2/1+z的最小值.

【总页数】2页(P46-47)

【作 者】宋庆

【作者单位】南昌大学附属中学,330047

【正文语种】中 文

【中图分类】G633.6

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