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2005年全国高中数学联赛试题(二)及参考答案

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2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案

一、（本题满分50分）

如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。

证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。）

证明：（1）先证DE过△ABC的内心。

如图，连DE、DC，作∠BAC的平分线分别交DC于G、DE于I，连IC，则由AD=AC，

得，AG⊥DC，ID=IC.

又D、C、E在⊙A上，

∴∠IAC=21∠DAC=∠IEC，∴A、I、C、E四点共圆，

∴∠CIE=∠CAE=∠ABC，而∠CIE=2∠ICD，

∴∠ICD=21∠ABC.

∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+21∠ABC，∴∠ACI=21∠ACB，∴I为△ABC的内心。

（2）再证DF过△ABC的一个旁心.

连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I1，连II1、B I1、B I，由（1）知，I为内心，

∴∠IBI1=90°=∠EDI1，∴D、B、l1、I四点共圆，

∵∠BI l1 =∠BDI1=90°－∠ADI1

=（21∠BAC+∠ADG）－∠ADI=21∠BAC+∠IDG，∴A、I、I1共线.

I1是△ABC的BC边外的旁心

二、（本题满分50分）

设正数a、b、c、x、y、z满足.;,caybxbcxazabzcy

求函数zzyyxxzyxf111),,(222的最小值.

解：由条件得，0)()()(abzcyacaybxcbcxazb，

即02222cbabcx，

bcacbx2222，同理，得.2,2222222abcbazacbcay

 a、b、c、x、y、z为正数，据以上三式知， 222222222,,cbabcaacb，

- 2 - 故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角形ABC，

CzByAxcos,cos,cos，问题转化为：在锐角△ABC中，

求函数Af(cos、Bcos、Ccos）=CCBBAAcos1coscos1coscos1cos222的最小值.

令,cot,cot,cotCwBvAu则,1,,,wuvwuvRwvu

且).)((1),)((1),)((1222wvwuwwvvuvwuvuu

1)1()1(1111cos1cos2222222222uuuuuuuuuuuuAA

),11(2))((13232232wuvuuuwuvuuuuuu

同理，).11(2cos1cos),11(2cos1cos322322wvwuwwCCwuvuvvBB

)[(21)(2122222333333222vuvuwvuwuwuwvwvvuvuwvuf

+.21)(21)]()(2222uwvwuvwuwuwvwv（取等号当且仅当wvu，此时，.21)],,([),21,minzyxfzyxcba

三、（本题满分50分）

对每个正整数n，定义函数.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当nnnnf

（其中[x]表示不超过x的最大整数，]).[}{xxx 试求：2401)(kkf的值.

解：对任意*,Nka，若22)1(kak，则kka212，设,10,ka

则].2[]}{1[,12211}{12222kakakakkakkakakaa

让a跑遍区间22)1(,(kk）中的所有整数，则22)1(21],2[]}{1[kakkiika

于是2)1(1121]2[)(nanikiikaf……① - 3 - 下面计算kiik21],2[画一张2k×2k的表，第i行中，凡是i行中的位数处填写“*”号，则这行的“*”号共]2[ik个，全表的“*”号共kiik21]2[个；另一方面，按列收集“*”号数，第j列中，若j有T（j）个正因数，则该列使有T（j）个“*”号，故全表的“*”号个数共

kjjT21)(个，因此kiik21]2[=kjjT21)(.

示例如下：

j

i 1 2 3 4 5 6

1 * * * * * *

2 * * *

3 * *

4 *

5

6 *

则)]2()12([)]4()3()[1()]2()1([)()(1121nTnTTTnTTnjTafninikj

……②

由此，1512561)]()12()[16()(kkkTkTkkf……③

记,15,,2,1),2()12(kkTkTak易得ka的取值情况如下：

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

ka 3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10

因此，151161783)16()(kkkakkfn……④

据定义0)16()256(2ff，

又当)3016(15},255,,242,241{2rrkk设，

301515311515151515222rrrrrrrk，

231}15{13012rrr，则}255,,242,241{,1]}{1[kk……⑤

从则.76815783)(783)(25612401iikfkf

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2019年全国高中数学联赛试题及答案

2019年全国高中数学联赛试题及答案

说明：

1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．

2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可

参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、（本题满分40分）如图，在锐角ABCD中，M是BC边的中点．点P在

ABCD内，使得AP平分BAC．直线MP与,ABPACPDD的外接圆分别相交于

不同于点P的两点,DE．证明：若DEMP=，则2BCBP=．

证明：延长PM到点F，使得MFME=．连接,,BFBDCE．

由条件可知BDPBAPCAPCEPCEM=

===． ………………10分

因为BMCM=且EMFM=，所以BFCE=且//BFCE．

于是FCEMBDP==，进而BDBF=． ………………20分

又DEMP=，故DPEMFM==．

于是在等腰BDFD中，由对称性得BPBM=．从而22BCBMBP==．

………………40分

二、（本题满分40分）设整数

122019,,,aaa满足

122019199aaa=£££=．

记222

12201913243520172019()()faaaaaaaaaaa=+++-++++．

求f的最小值

0f．并确定使

0ff=成立的数组

122019(,,,)aaa的个数．

解：由条件知

201722222

12201820192

12()

ii

ifaaaaaa

+

==++++-å． ①

由于

12,aa及

2(1,2,,2016)

iiaai

+-=均为非负整数，故有22

1122,aaaa³³，

且2

22()(1,2,,2016)

iiiiaaaai

++-³-=．于是

20162016222

12212220172018

11()()

iiii

iiaaaaaaaaaa

++

==++-³++-=+åå． ②

………………10分 FED

MBCA

P参考答案及评分标准 2019年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）由①、②得

高考数学2009年高考试题——数学(全国卷I)(文)

高考数学2009年高考试题——数学(全国卷I)(文)

知识改变命运，学习成就未来

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第 1 页 共 9 页 高考数学2009年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修Ⅰ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。卷1至2页，第错误！未找到引用源。卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．

3．第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件AB，互斥，那么 球的表面积公式

()()()PABPAPB 24πSR

如果事件AB，相互独立，那么 其中R表示球的半径

()()()PABPAPB 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 34π3VR

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn，，，

一、选择题

（1）sin585°的值为

(A) 22 (B)22 (C)32 (D) 32

(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=AB，则集合Cu（AB）中的元素共有

(A) 3个 （B） 4个 （C）5个 （D）6个

（3）不等式111xx的解集为

（A）011xxxx （B）01xx 知识改变命运，学习成就未来

2001年全国高中数学联赛试题及答案

2001年全国高中数学联赛试题及答案

2001年全国高中数学联赛试题讲解

与前三届相同，今年的全国高中数学竞赛仍分联赛和加试赛两部分，但是今年的试题明显比去年难，陕西赛区的平均成绩下降了近60分．为了体现本栏目的宗旨，下面仅对今年的联赛试题进行讲解，供参考． 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（ ）． Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定 讲解：M表示方程ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ２＞0，所以Ｍ含有2个元素．故集合Ｍ有2２＝4个子集，选Ｃ． 2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点． 命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点． 以上三个命题中正确的有（ ）． Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个 讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题1正确，选Ｂ． 3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ ）． Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜ Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜ 讲解：可考虑用排除法．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数（可通过作图判断），排除Ａ；ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜的最小正周期为2π，且在（0，π／2）上是减函数，排除Ｂ；ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜在（0，π／2）上是减函数，排除Ｃ．故应选Ｄ． 4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（ ）． Ａ．ｋ＝8 Ｂ．0＜ｋ≤12 Ｃ．ｋ≥12 Ｄ．0＜ｋ≤12或ｋ＝8 讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论Ｄ． 说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ． 5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（ ）． Ａ．3333 Ｂ．3666 Ｃ．3999 Ｄ．32001 讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法． 取ω＝－（1／2）＋（／2）ｉ，则ω３＝1，ω２＋ω＋1＝0． 令ｘ＝1，得 31000＝ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａ2000； ① 令ｘ＝ω，得 0＝ａ０＋ａ1ω＋ａ2ω２＋…＋ａ2000ω2000； ② 令ｘ＝ω２，得 0＝ａ０＋ａ１ω２＋ａ２ω４＋ａ３ω６＋…＋ａ2000ω4000． ③ ①＋②＋③得 31000＝3（ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998）． ∴ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998＝3999，选Ｃ． 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高 Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定 讲解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元，则由题设得

2009年全国高中数学联合竞赛加加试题

2009年全国高中数学联合竞赛加加试题

1

2009年全国高中数学联合竞赛

加试试题（A卷）

注意事项：

1．本试卷共四大题，全卷满分200分；

2．用圆珠笔或钢笔作答；

3．解题书写不要超出装订线；

4．不能使用计算器。

一、如图，M、N分别为锐角三角形△ABC（∠A＜∠B＝的外接圆上弧BC、AC的中点，过点C作PC//MN交圆于P点，I为△ABC的内心，连接PI并延长交圆于T。

（I）求证：MP·MT=NP·NT；

（II）在弧AB（不含点C）上任取一点Q（Q≠A，T，B），记△AQC、△QCB的内心分别为I1，I2，求证：Q1，I1，I2，T四点共舞。

二、求证不等：

nknnkk12,2,1,21ln11

三、设k，l是给定的两个正整数，求证：有无穷多个正整数km，使得lCkm与互素。 ⌒ ⌒

⌒ 2

四、在非负数构成3×9数表

393837363534333231292827262524232221191817161514131211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxP

中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，.0292817xxx

291938183727,,,,,xxxxxx均大于1，如果P的前三列构成的数表

333231232221131211xxxxxxxxxS

满足下面的性质（O）：对于数表P中的任意一列)9,,2,1(321kxxxkkk均存在某个}3,2,1{i使得

（3） }.,,min{3211iiiikxrxux

求证：

（I）最小值3,2,1},,,min{321ixxxviiii一定取自然表S的不同列。

（II）存在数表P中唯一的一列333,2,1,321使得kxxxkkk数表 3