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小学数学知识归纳认识立体形的特征和性质立体形是指在三维空间中存在的具有有限点、线、面以及面内线，具有一定形状和特征的物体。
在小学数学中，学生需要掌握和认识不同立体形的特征和性质，以便能够准确描述和区分它们。
本文将从立方体、正方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等几个常见的立体形开始，分别介绍它们的特征和性质。
一、立方体：立方体是一种六个面都是正方形的立体形。
它的特征和性质如下：1. 所有的面都是正方形，每个面都相互平行且相等；2. 所有的边都相等，每个顶点都有三条边相交；3. 对面上的边平行且相等；4. 所有的内角都是直角。
二、正方体：正方体是一种六个面都是正方形且边长相等的立体形。
它的特征和性质如下：1. 所有的面都是正方形，每个面都相互平行且相等；2. 所有的边相等，每个顶点都有三条边相交；3. 对面上的边平行且相等；4. 所有的内角都是直角。
三、长方体：长方体是一种六个面都是矩形的立体形。
它的特征和性质如下：1. 相对的两个面是相等的矩形，每个面都相互平行且相等；2. 所有的边相等，每个顶点都有三条边相交；3. 对面上的边平行且相等；4. 所有的内角都是直角。
四、圆柱体：圆柱体是一种一个圆和一个矩形构成的立体形。
它的特征和性质如下：1. 一个圆底面和一个高相等的矩形侧面构成；2. 圆柱体的底面和顶面都是圆，且相互平行且相等；3. 侧面是一个由高和底边围成的长方形；4. 圆柱体的底面和顶面上的圆周都相等。
五、圆锥体：圆锥体是一种一个圆和一个尖顶点构成的立体形。
它的特征和性质如下：1. 一个尖顶点和一个底面是圆的面构成；2. 底面是一个圆，且所有的顶点都在底面上；3. 侧面是一个由尖顶点和底面上一点连线形成的三角形；4. 圆锥体的底面上的圆周和尖顶点到底面的距离相等。
六、球体：球体是一种所有点到一个固定点的距离相等的立体形。
它的特征和性质如下：1. 所有的点到球心的距离都相等；2. 没有边和面，只有一个曲面；3. 球体没有顶点和底点。
解析小学数学中的立体形的种类和特征立体形的种类和特征立体形是数学中一个重要的概念，在小学数学中也是一个基础知识点。
立体形是指在三维空间中有长度、宽度和高度的物体，与平面形不同。
了解立体形的种类和特征，有助于培养孩子的观察能力、空间想象力和逻辑思维能力。
本文将对小学数学中的立体形的种类和特征进行解析。
一、立体形的种类在小学数学中，常见的立体形有以下几种：1. 立方体立方体是一种具有6个面的立体形，每个面都是一个正方形。
它的特点是所有的边长相等，所有的面都是正方形。
立方体的体积可以通过边长的乘积计算，表达式为体积 = 边长 x 边长 x 边长。
2. 正方体正方体也是一种具有6个面的立体形，每个面都是一个正方形。
与立方体不同的是，正方体的所有边长相等，但不限制边长与高度相等。
正方体的体积可以被计算为体积 = 底面边长 x 底面边长 x 高度。
3. 圆柱体圆柱体是一种具有3个面的立体形，它有两个平行的圆形底面，以及连接两个底面的侧面。
其中的底面半径相等，并通过侧面与底面相连接。
它的体积可以通过底面面积与高度的乘积计算，表达式为体积 = 底面面积 x 高度。
4. 圆锥体圆锥体是一种具有3个面的立体形，它有一个圆形底面和一个顶点，并通过侧面连接底面和顶点。
底面上的半径通常与侧面与底面相交的高度成比例。
圆锥体的体积可以通过底面面积与高度的乘积再除以3计算，表达式为体积 = (底面面积 x 高度) / 3。
5. 球体球体是一种具有1个面的立体形，它没有边和角，是由无数个点组成的几何体。
球体的体积可以通过公式V = (4/3)πr³ 计算，其中 r 是球的半径。
二、立体形的特征除了了解立体形的种类，我们还需要了解每个立体形的特征，以便更好地认识它们。
1. 面立体形的面是指它的外部表面，用于界定立体形的形状。
不同的立体形有不同数量的面，每个面都有自己的形状和特征。
2. 边立体形的边是指相邻两个面之间的边界线，用于连接面和面。
小学数学三年级认识三维几何形三维几何形是指在三维空间中存在的几何图形。
在小学数学三年级，学生开始逐渐认识和学习有关三维几何形的概念。
通过学习三维几何形，学生可以培养空间想象力和几何思维，为将来的数学学习打下基础。
本文将介绍三年级小学生所需认识的一些常见的三维几何形。
一、长方体长方体是最常见的三维几何形之一。
它由六个矩形面构成，其中相对的面形状相同。
小学生可以通过观察常见的物体，如盒子、书本等来认识长方体。
学生可以观察长方体的边、面和顶点，并了解长方体的特点。
二、正方体正方体是长方体的一种特殊形式，它的六个面都是正方形。
在正方体中，所有边长相等且面积相等。
小学生可以通过观察骰子来认识正方体。
骰子是一种常见的正方体，它具有六个面，每个面上有一个数字。
三、圆柱体圆柱体由两个平行的圆面和一个侧面组成。
其中两个圆面位于圆柱体的顶部和底部，侧面连接这两个圆面。
小学生可以通过观察铅笔盒等物体来认识圆柱体。
学生可以观察圆柱体的高度、半径和侧面积，并了解圆柱体的特点。
四、圆锥体圆锥体由一个圆锥面和一个底面组成，其中圆锥面连接底面和一个顶点。
小学生可以通过观察冰淇淋锥、喇叭等物体来认识圆锥体。
学生可以观察圆锥体的高度、半径和侧面积，并了解圆锥体的特点。
五、球体球体是具有最简单形状的三维几何形。
它的所有点到球心的距离相等。
小学生可以通过观察球、球形水果等物体来认识球体。
学生可以观察球体的半径、直径和体积，并了解球体的特点。
通过学习上述几种常见的三维几何形，三年级的小学生可以逐渐认识和理解空间几何概念。
学生可以通过分析、比较这些几何形状的特点，培养空间思维和几何思维能力。
教师可以通过展示实物、利用图形、教具等教学方法，帮助学生更好地理解和掌握三维几何形的特点。
在学习过程中，学生还可以进行一些与三维几何形相关的活动，如拼图、建模等。
通过这些实践活动，学生可以进一步巩固对三维几何形的认识，并培养创造性思维和动手能力。
总结起来，小学三年级是学生认识和学习三维几何形的重要时期。
**六年级下册数学教案-第6单元总复习：第9课时立体图形∣人教新课标****一、教学目标：**1. 让学生理解和掌握立体图形的定义、特征及分类，能正确识别和命名各种立体图形。
2. 培养学生的空间想象能力，能通过观察和思考，分析立体图形的构成和特点。
3. 引导学生运用立体图形的知识，解决实际问题，提高学生的应用能力。
**二、教学内容：**1. 立体图形的定义、特征及分类2. 常见立体图形的识别和命名3. 立体图形的构成和特点分析4. 立体图形在实际问题中的应用**三、教学重点与难点：**1. 教学重点：立体图形的定义、特征及分类，常见立体图形的识别和命名。
2. 教学难点：立体图形的构成和特点分析，立体图形在实际问题中的应用。
**四、教学过程：**1. 导入：通过展示生活中的立体图形，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解立体图形的定义、特征及分类，让学生理解和掌握立体图形的基本概念。
3. 活动一：让学生观察和触摸各种立体图形的模型，通过直观感受，识别和命名立体图形。
4. 活动二：引导学生通过观察和思考，分析立体图形的构成和特点，培养学生的空间想象能力。
5. 活动三：通过解决实际问题，让学生运用立体图形的知识，提高学生的应用能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，巩固学生的知识。
7. 作业布置：布置相关的练习题，让学生巩固所学知识。
**五、教学评价：**1. 观察学生在课堂上的表现，了解学生对立体图形知识的掌握情况。
2. 课后作业的完成情况，检查学生对立体图形知识的理解和应用能力。
**六、教学反思：**1. 在教学过程中，注意引导学生观察和思考，培养学生的空间想象能力。
2. 通过解决实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生的应用能力。
3. 针对不同学生的学习情况，进行个性化的教学指导，提高教学效果。
**需要重点关注的细节：活动二——引导学生通过观察和思考，分析立体图形的构成和特点，培养学生的空间想象能力。
小学数学知识归纳掌握立体形和立体形的性质立体形是指在空间中具有长度、宽度和高度的物体，它们是三维的。
小学数学中，我们学习了许多不同种类的立体形，并且还要了解它们的性质。
本文将归纳总结小学数学中常见的立体形及其性质。
1. 立方体（Cube）立方体是一种最常见的立体形，它的六个面均为正方形。
立方体的性质有：（1）六个面积相等；（2）所有的棱和面对角线都相等；（3）对面相等的正方形面积相等。
2. 正方体（Cuboid）正方体是一种六个面均为矩形的立体形。
正方体的性质有：（1）任意两个相邻的面互为对面；（2）相对的两个面相等；（3）所有的棱和面对角线都相等。
3. 圆柱体（Cylinder）圆柱体由一个圆和与该圆共面且平行的两个相等矩形组成。
圆柱体的性质有：（1）底面积为圆的面积；（2）顶面和底面互为对面，并且相等；（3）侧面展开为一个矩形。
4. 圆锥体（Cone）圆锥体是由一个圆锥和一个底面为圆的扇形共同组成。
圆锥体的性质有：（1）底面的面积为圆的面积；（2）圆锥体只有一个顶点；（3）侧面展开为一个扇形。
5. 球体（Sphere）球体是由一个圆绕其直径旋转一周形成的立体形。
球体的性质有：（1）没有棱和顶点；（2）表面上任意两点之间的距离相等。
6. 锥体（Pyramid）锥体是由一个多边形和多个三角形共同组成，其中多边形为底面，三角形为侧面。
锥体的性质有：（1）锥体只有一个顶点；（2）侧面的高度等于顶点到底面的距离。
通过对不同立体形的性质进行归纳，我们可以更好地理解它们之间的区别和特点。
掌握了这些知识，孩子们可以更好地解决与立体形相关的问题。
在学习立体形的性质时，我们还需要注意一些常见的数学术语，例如：（1）面：指立体形的表面，可以是平面、圆、多边形等；（2）棱：指相邻两面的交线；（3）顶点：指相邻棱的交点。
掌握这些基本的数学术语对于理解立体形的性质和解决问题至关重要。
总之，小学数学中的立体形及其性质是我们建立数学基础的重要一步。
小学数学立体形知识点总结在小学数学教学中，立体形是一个重要的内容模块。
学好立体形的知识，不仅有助于培养学生的空间想象力和几何直观，还能为其今后学习更高层次的几何学知识打下坚实的基础。
本文将对小学数学中常见的立体形知识点进行总结，帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。
一、立体形的定义和分类立体形是指在三维空间中具有长度、宽度和高度的实体物体。
根据形状和特征的不同，立体形可分为以下几类：1. 立方体：所有面都是正方形的立体形，具有六个面、八个顶点和十二条棱。
立方体的特点是长宽高相等。
2. 正方体：具有六个面都是正方形的立体形，与立方体的区别在于正方体的长、宽、高相等。
3. 长方体：具有六个面都是矩形的立体形，与立方体和正方体的区别在于长方体的长、宽、高可以不相等。
4. 圆柱体：具有两个底面都是圆形，且底面与高线段互相垂直的立体形。
5. 圆锥体：具有一个底面是圆形，且底面与高线段互相垂直的立体形。
6. 球体：所有点到球心的距离都相等的立体形。
二、立体形的性质和特点1. 体积：立体形的体积是指该立体形所包围的空间大小。
不同立体形的体积计算公式各有不同，例如立方体的体积等于边长的三次方。
2. 表面积：立体形的表面积是指该立体形所有面积之和。
同样地，不同立体形的表面积计算公式各不相同。
3. 棱、面、顶点的数量：每个立体形都有一定数量的棱、面和顶点，这些数量可以通过观察立体形的特征来得到。
4. 可视性和投影：立体形在空间中的位置和朝向不同，其表面的可视性和投影也会有所变化。
学生需要了解如何从不同的角度观察立体形，以便理解其真实的形状和特征。
三、立体形的展开图立体形的展开图是指将立体形展开成二维平面图形，以便更好地观察和分析其结构。
通过将立体形剪开并摊平，可以得到相应的展开图。
学生需要学会观察和理解立体形与其展开图之间的对应关系。
四、常见立体形的应用立体形不仅存在于数学课本和几何题目中，还广泛应用于日常生活和实际工作中。
小学数学知识归纳理解立体形和立体形的性质从小学数学课程开始，学生就会接触到各种形状的几何图形。
而在几何图形中，立体形是一种特殊的形式，它具有三维的特点，与我们的现实世界更为接近。
在小学数学中，学生将会学习立体形，并理解它们的性质。
本文将对小学数学中所学的立体形及其性质进行归纳和解释。
一、什么是立体形？立体形是具有三个维度的物体，它们在空间中有长、宽、高三个方向的尺寸。
与二维形状不同，立体形能够在空间中变化位置和造成可见的阴影效果。
小学学生常见的立体形包括立方体、圆柱体、金字塔等。
1. 立方体立方体是一种具有六个正方形面的立体形，每个面都相等，相邻的两个面之间的夹角为90度。
立方体的六个面都是正方形，八个顶点和十二条边也非常规则。
2. 圆柱体圆柱体是一种具有二个平行圆底的立体形，底面上的圆与底面平行。
圆柱体的侧面是一条垂直于底面的弯曲表面，可以直接用切割圆柱体的截面形状来描述。
3. 金字塔金字塔是具有一个平底和侧面的三角形面的立体形。
金字塔的侧面是由若干个三角形构成的，可以根据底面和侧面的形状来分类。
二、立体形的性质1. 表面积立体形的表面积是指该立体形各个面的总面积。
以立方体为例，立方体的表面积等于六个面的面积总和。
2. 体积立体形的体积是指该立体形所占据的空间大小。
以圆柱体为例，圆柱体的体积等于底面的面积乘以高。
3. 边和顶点个数立体形的边是指连接立体形每个面的线段，而顶点是指立体形的每个拐角的位置。
以立方体为例，立方体有八个顶点和十二条边。
4. 对称性立体形可以根据它们的对称性进行分类。
对称性是指一个物体可以通过某个平面或轴旋转180度后仍然保持不变。
以圆柱体为例，圆柱体具有无限个平面对称。
5. 欧拉公式欧拉公式是关于立体形面数、边数和顶点数关系的一个重要定理。
对于一个凸多面体，欧拉公式可以表示为V - E + F = 2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
三、立体形的应用立体形不仅仅存在于数学课本中，它们也有着广泛的应用。
小学数学知识归纳认识立体形和立体形的性质立体形是我们日常生活中常见的一个概念，它是指具有三个维度的图形或物体。
在小学数学中，学生需要学习并认识各种立体形的名称、特点和性质。
通过对立体形的归纳总结，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
本文将对小学数学中关于立体形的知识进行归纳总结，以帮助学生更好地理解立体形和立体形的性质。
一、立体形的概念和分类在开始学习立体形之前，我们首先需要了解什么是立体形。
立体形是由面、边、顶点组成的，具有三个维度（长、宽、高）的几何图形或物体。
立体形可以分为以下几类：1. 正方体：正方体是一种具有六个相等的正方形面的立体形。
它有八个顶点和十二条边，所有的边都是相等的。
2. 长方体：长方体是一种具有六个矩形面的立体形。
它有八个顶点和十二条边，相对的面是相等的。
3. 球体：球体是一种由无数个点组成的几何图形，这些点到球心的距离都相等。
球体没有边和顶点。
4. 圆柱体：圆柱体是一种由两个平行的圆面和一个侧面组成的立体形。
它有两个圆面和一个侧面，边界是两个圆面和一个侧面的交线。
5. 圆锥体：圆锥体是一种由一个圆锥面和一个顶点组成的立体形。
它有一个圆锥面和一个顶点，边界是圆锥面和顶点的交线。
以上是一些常见的立体形，通过对它们的分类，我们可以更好地认识和理解它们的特点和性质。
二、立体形的性质了解立体形的性质可以帮助我们更好地分析和解决问题。
下面将介绍一些常见的立体形性质：1. 表面积：一个立体形的表面积是指其所有面的总面积。
不同的立体形有不同的计算方法。
例如，一个长方体的表面积等于所有面的面积之和。
2. 体积：一个立体形的体积是指其所占据的空间大小。
不同的立体形有不同的计算方法。
例如，一个长方体的体积等于其长、宽和高的乘积。
3. 容积：容积是指一个立体形所能容纳的物体的大小。
对于某些立体形，我们可以通过测量它的体积来确定其容积。
4. 对称性：一些立体形具有对称性，即将它们分为两个部分时，两部分在某种变换下是相等的。
立体图形六年级知识点立体图形是三维几何的一种表现形式，不同于平面图形的二维特性。
六年级学生在学习立体图形时，需要了解一些基本的知识点，包括立体图形的定义、种类、特征以及计算体积和表面积的方法等。
本文将详细介绍六年级学生需要掌握的立体图形知识点。
一、立体图形的定义和种类立体图形是指具有三个维度和空间形态的图形，可以在三维空间中表示出来。
常见的立体图形有立方体、长方体、正方体、四面体、六面体等。
六年级学生需要掌握这些立体图形的基本定义和种类，能够准确地根据给定的描述或图像进行辨认和分类。
二、立体图形的特征每个立体图形都有其独特的特征，六年级学生需要了解和理解这些特征，以便能够正确地进行立体图形的识别和计算。
以下是一些常见立体图形的特征：1. 立方体：六个面都是正方形，任意两个相对的面平行且相等。
2. 长方体：相对的两个面是矩形，其余的四个面是正方形。
3. 正方体：每个面都是正方形，且相对的两个面平行且相等。
4. 四面体：有四个面，其中三个面相交于一点，另外一个面和这个交点不重合。
5. 六面体：有六个面，每个面都是一个四边形。
三、计算立体图形的体积和表面积对于六年级学生来说，能够准确计算立体图形的体积和表面积是非常重要的。
以下是一些常见立体图形的体积和表面积计算方法：1. 立方体的体积和表面积计算：- 体积计算公式：V = 边长 x 边长 x 边长- 表面积计算公式：S = 6 x 边长 x 边长2. 长方体的体积和表面积计算：- 体积计算公式：V = 长 x 宽 x 高- 表面积计算公式：S = 2 x (长 x 宽 + 长 x 高 + 宽 x 高)3. 正方体的体积和表面积计算：- 体积计算公式：V = 边长 x 边长 x 边长- 表面积计算公式：S = 6 x 边长 x 边长4. 四面体和六面体的体积和表面积计算一般较为复杂，需要根据具体的条件和形状来确定相应的计算方法。
通过学习立体图形的体积和表面积计算方法，六年级学生可以应用于实际问题中，比如计算一个盒子的容量或者一个建筑物的表面积等。
小学数学认识和应用立体形数学是我们日常生活中非常重要的一部分，它不仅帮助我们更好地理解世界，还可以在解决问题时提供有效的工具和方法。
在小学阶段，数学的学习内容主要包括认识和应用立体形。
本文将探讨小学数学认识和应用立体形的重要性以及相关的学习方法。
一、认识立体形在小学数学中，立体形是一个重要的概念。
它包括了立方体、球体、圆柱体、圆锥体等多种形状。
通过认识和理解这些立体形，孩子们能够培养空间想象力和观察能力，从而更好地理解和应用几何学知识。
1. 立方体：立方体是一种具有六个面的立体形，每个面都是一个正方形。
通过观察和实践，孩子们可以学会辨认和描述立方体，并理解其中的特征。
2. 球体：球体是一种具有光滑曲面的立体形，它没有棱角和边缘。
通过触摸和比较，孩子们可以感受到球体的特殊性质，并学会描述和区分球体。
3. 圆柱体和圆锥体：圆柱体和圆锥体分别具有圆形底面和曲面侧面。
通过比较和实践，孩子们可以理解圆柱体和圆锥体的区别，并且学会计算其体积和表面积。
二、应用立体形认识和应用立体形不仅是数学学科的一部分，还在现实生活中有着广泛的应用。
下面列举了一些与立体形相关的应用场景：1. 建筑工程：在建筑设计和施工中，工程师需要对各种建筑材料进行合理的规划和使用。
对于建筑材料的形状和尺寸要求，立体形的认识和应用起到了重要的作用。
2. 包装设计：不同产品的包装形状和结构会直接影响产品的外观和保护效果。
对于包装设计师来说，熟练掌握立体形的特点和应用方法，能够设计出更具吸引力和实用性的包装。
3. 地理测量：地理测量中需要对地球表面进行测量和绘制，而地球是一个近似于球体的立体形。
在地理测量中，掌握球体相关的数学知识可以帮助测绘师准确地记录地球表面的信息。
三、学习方法为了帮助小学生更好地认识和应用立体形，教师和家长可以采用以下学习方法：1. 视觉教学：利用教学素材和实物模型，向学生展示不同形状的立体模型，并引导他们进行观察和描述。
小学数学精讲(9)几何（三） 立体图形一、知识地图⎧⇒⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⇒⎩⎪⎪⇒⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩3“一个思想”不规则化为规则阳光照面求图形体积表面积“三个方法”看变化规律整体切片“一个模式”整体思考最短路线与展开图形状以点定线，以线定面n 边小正方形染色规律染色问题欧拉公式 二、基础知识万丈高楼平地起。
我们可以这样说：把平面图形从平面拎到空间，让平面图形在空间上产生高度就形成了这一讲我们要研究的立体图形。
在现阶段，我们主要研究的立体图形有以下几种：立体图形 表面积体积26S a =正方体 3V a =正方体2S ab bc ac =++长方体（） V abc =长方体2222S rh r ππ=+=+圆柱侧面积个底面积 2V r h π=圆柱22S l r ππ=++圆锥n侧面积底面积=360 注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长。
213V r h π=圆锥体24S r π=球体343V r π=球体特别的：关于球体还有这样一个结论：如果一个球体的直径与一个圆柱的直径与高都相等，那么：球体的体积等于以球大圆为底球的直径为高的圆柱体积的三分之二； 球体的表面积等于以球大圆为底球的直径为高的圆柱的侧面积；球体的体积还等于以球大圆为底，球的半径为高的圆锥的体积的4倍。
这个图就是有名的阿基米德圆柱容球。
二、求立体图形的表面积和体积规则立体图形的表面积和体积我们可以直接应用公式进行计算。
不规则的立体图形的表面积和体积，一方面，我们可以应用和平面图形相同思考的方法来考虑把它转化为规则的立体图形进行计算；而另一方面，我们更注重的是观察图形从规则变为不规则的变化过程，通常这个过程我们需要以图形整体考虑为出发点。
这也就是我们求解此类问题常用方法的思想基础：、 方法一：阳光照面阳光照面法从图形整体考虑出发，观察图形表面积特点。
方法二：与时俱进图形的变化，是从整体的变到不变的过程，找到变化的规律，注意图形的变化过程，观察求解，与时俱进，就是解决问题的秘籍宝典。
方法三：面包切片我们都有这样的经验：一个大的桃李早餐面包，从上向下切一刀，横截面是一个正方形。
如果是奶黄夹心面包，则横截面是一个环正方形。
同样道理，解题过程中你可以想象，把图形切开，横截面的特点可以帮助我们了解图形内部结构，达到解题的目的。
方法四：借来还去这里的借来还去可以说是平面几何加减思想的一种变形。
可以这样解释，把一部分借来与原来的组成一个规则可以求得图形，再把借来的部分从规则中拿去。
借来还去的思想在解决求解不规则立体图形的表面积和体积的问题中经常可以用到。
例如：三、最短路线和展开图的形状 立体图形的展开图形状总结如下：对于不规则的立体图形的展开图就要充分发挥我们的想象，用“脱衣服”方法，层层剥离展开。
在解决这类问题的时候，要注意培养自己的空间想象能力，必要时可以借用纸片等辅助工具帮助想想理解。
例如：和立体图形的展开图结合最为紧密的是图形侧面的最短路线问题。
你需要把握的重要一点是：两点之间永远直线线段最短。
四、染色问题﹙1﹚奥数的经典问题，重要的是掌握几个关于染色问题的数据，其余的问题需要具体问题具体分析，把握好什么地方染到了颜色，什么地方没有染到颜色是解决此类问题的关键。
对于由n3块小正方体构成的n×n×n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n－2）块，一面涂有红色的有6×（n－2）2块，没有涂色的有（n-2）3块。
例如：右图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？分析：三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36块；一面涂红的表面中间部分：（4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52块。
没涂红色的小方块有：（4-2）×（5-2）×（6-2）=24块。
三面——顶点二面——棱一面——面0面——芯一句话：“角三棱二面唯一。
”﹙2﹚欧拉公式严格的说，欧拉公式和我们这里所讲的染色问题关系不是很密切。
但这个公式却是和多面体密切相关的完美公式。
首先请同学们观察下面的几个图形的顶点数，面数和棱数之间的关系：通过观察，我们发现了多面体的顶点数，面数，棱数之间存在着如下的关系：V+F-E=2那么这个公式也就给我们提供了一种解决染色或者多面体问题的思考方法——分类思考由欧拉公式，我们可以很自然的想到，在解决如上问题的时候，我们思考问题可以从立体图形的顶点数，面数和棱数的角度出发，分类思考。
经典透析：【例1】（☆☆☆）一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，下图就是抽空的状态。
右图中剩下的小正方体有多少个？解法一：（用“容斥原理”来解）由正面图形抽出的小正方体有5×5=25个，由侧面图形抽出的小正方体有5×5=25个，由底面图形抽出的小正方体有4×5=20个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1×2+2×1+2×2=8个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有1×3+2×2=7个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1×2+1×1+2×2=7个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个。
根据容斥原理，25+25+20-8-7-7+4=52，所以共抽出了52个小正方体。
125-52=73，所以上图中剩下的小正方体有73个。
注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事。
但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”。
这里，化虚为实的思想方法很重要。
解法二：（用“切片法”来解）可以从上到下切五层，得：（1）从上到下五层，如图：（2）或者从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向。
比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——如果挖第二层：第（1）步，把中间这些位置的四块挖走如图：第（2）步，把从右向左的两块成线地挖走。
（请注意挖通的效果就是成线挖去），如图：第（3）步，把从前向后的一块（请注意跟第二层有关的只是一块！）挖成线！如图：总结一下“切片法”：全面打洞（例如本题，五层一样）挖块成线（例如本题，在前一次的基层上，一条线一条线地挖）。
这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【例2】（☆☆☆）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞。
已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。
审题要点：大正方形减去右边图形就是我们要求的体积。
解法：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-π×22×2=536-8π。
内侧表面积为：16×4×3+2×（4×4-π×22）+2×2π×2×3=192+32-8π+24π=224+16π。
总表面积=224+16π+536-8π=760+8π=785.12（平方厘米）。
计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可。
挖出的几何体体积为：4×4×4×3+4×4×4+2××22×3=192+64+24=256+24。
所求几何体体积为：10×10×10- （256+24）=668.64（立方厘米）。
专家点评：打通部分可看为两个小圆柱，两个小长方形和一个大长方形共五部分组成，这样计算体积非常容易，但在计算表面积时要考虑公共面。
这道题是人大附中分班考试题目。
总结：本题考点 不规则图形的表面积及体积。
【例3】（☆☆☆）一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm 。
把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm 。
酒瓶的容积是多少？审题要点：观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变。
解法： 酒的体积：15π× （10/2） ×（10/2）=375π瓶中剩余空间的体积（30-25） π×（10/2）×（10/2）=125π 酒瓶容积：375π+125π=500π=1500（ml ）ππππ专家点评：当酒瓶倒过来时 酒深25cm ，因为酒瓶深30cm ，这样所剩空间为高5cm 的圆柱，再加上原来15cm 高的酒即为酒瓶的容积。
注意：本题考点立体图形的等积变形。
【例4】（☆☆☆☆）如图，ABCD 是矩形，BC=6cm ，AB=10cm ，对角线AC ，BD 相交0.图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？ 审题要点：以CD 为轴确定阴影部分旋转后的形状。
解法：设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体的体积是V ，V 等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。
即：22116102359033V πππ=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=（立方厘米），2180540V π== 专家点评：这个立体图形可看为两个圆锥削掉上半部然后叠加，但还要减去两个小圆锥，才是阴影部分扫出的立体图形的真实体积。
可以考虑多种方法，比如应用容斥原理或者加减的思想都是不错的选择。
总结：本题考点 平面图形旋转为立体图形的体积问题。
【例5】（☆☆☆）左下图是一个正方体，四边形APQC 表示用平面截正方体的截面。
请在右下方的展开图中画出四边形APQC 的四条边。
审题要点：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC 四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出。
解法：（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图。
（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：A —A ，C —C ，P 在EF 边上，Q 在GF 边上。
边AC 在ABCD 面上，AP 在ABFE 面上，QC 在BCGF 面上，PQ 在EFGH 面上。
