空间向量基本定理和坐标表示

选修2-1 课 题：空间向量与立体几何第4课时 空间向量基本定理主备人：学习目标：1、掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任一向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的2、理解空间向量的基底、基向量的概念.在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量学习重点：向量的分解（空间向量基本定理及其简单应用）学习难点：空间向量基本定理证明，选择适当的基底来表示任一空间向量 教学过程：【温故习新▪导引自学】1．（1）空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对于空间任一向量p ，存在一个唯一的_______________________________________ （2）基底、基向量，正交基底，单位正交基底：说明：对于基底｛c b a ,,｝，应明确：①空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底； ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）；③一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念.（3）空间向量基本定理的推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四个点，则对空间任一点P ，都存在一个_____的有序实数组x 、y 、z ，使 ___________________．说明：若x ＋y ＋z ＝１，则根据共面向量定理得：P 、A 、B 、C 四点共面．【交流质疑·精讲点拨】 题型一 基底的概念辨析例1 下列命题中正确的命题是________①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②O ,A ,B ,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O , A , B , C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底. 变1：在空间四边形P -ABC 中，,,PA a PB b PC c ===，则在向量,,,,2a b b c a c a b a c +++--中，能构成 ______组空间的基底；题型二 利用基底表示其他向量例2、如图，在正方体OADB —CA ’D ’B ’中，点E 是AB 与OD 的交点，M 是OD ’与CE 的交点，试分别用向量OC OB OA ,,表示向量'OD 和OM变式2、已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底OC OB OA ,,表示向量OG题型三 空间向量基本定理的应用例3 如下图，在三棱锥P —ABC 中，点G 为△ABC 的重心，点M 在PG 上，且 PM ＝3MG ，过点M 任意作一个平面分别交线段P A ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若,,PD mPA PE nPB PF tPC ===，求证：111m n t++为定值，并且求出该定值．【当堂反馈·效果评价】1.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示).2.如下图所示，已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1，设1,,AB a AC b AA c ===，在面对角线AC 1上和棱BC 上分别取点M ，N ，使1,(01)AM k AC BN kBC k ==≤≤．求证：MN ∥平面ABB 1A 1.【作业巩固·拓展迁移】 1．下列命题中： ① 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组x y z 、、，使OP xOA yOB zOC =++；② 若123{,,}e e e 为空间的一个基底，则132312{,,}e e e e e e +++也能构成空间的一个基底； ③ 给定,a b ，,a b 不共线，则存在无穷多个向量，使得它与,a b 一起构成空间的一个基底；④ 若,,a b c 不能构成空间的一个基底，则,,a b c 中至少有两个向量共线． 其中正确的个数有2．已知点O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点,且向量a OA OB OC =++,向量a OA OB OC =+-,则向量OA ，OB ，OC 与,ab 不能构成空间基底的向量________3.已知123{,,}e e e 构成空间的一个基底，若1231223()(1)()2()3()x y e y e z y e e e e e -++++=-++，则x =____，y =____，z =___； 4．点G 为ABC 的重心，O 是空间任意一点，若OA OB OC OG λ++=，则λ=______；5．如下图在底面为正三角形的斜棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，求证：1AB ∥平面1C BD .6.已知3个向量,,a b c 不共面，并且p a b c =+-，235q a b c =--，71822r a b c =-++，试问,,p q r 是否共面？7.如图，在平行六面体''''ABCD A B C D -中，',,AB a AD b AA c ===，M 是'CD 的中点，N 是''C D 的中点，点Q 在'CA 上，且':4:1CQ QA =，用基底{,,}a b c 表示下列向量（1）AM ；（2）AN ；（3）AQ ．8.四棱锥P ABCD -中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG =2GD ，,,PA a PB b PC c ===，试用基底{,,}a b c 表示向量PG ．BDQNM AC'D 'C 'B 'A选修2-1 课 题：空间向量与立体几何第5课时 空间向量的坐标表示主备人：学习目标：1、理解空间向量坐标的定义，能正确表示向量的坐标 2、掌握两向量加、减、及向量数乘的坐标运算法则3、能正确判断两向量平行及解决有关问题学习重点：空间向量的坐标运算学习难点：能正确判断两向量平行及解决有关问题 教学过程：【温故习新▪导引自学】 1、向量的坐标：2、向量坐标运算的法则（1）________________________（2）________________________（3）________________________3、设a b b b b a a a a ),,,(),,,(321321==∥)0(≠a b ⇔__________________4、若A (x 1,y 1,z 1）,B (x 2,y 2,z 2)，则_________＝AB【交流质疑，精讲点拨】题型一 空间向量的坐标表示例1在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E,F 分别是1,DD BD 的中点,G 在棱CD 上,且14CG CD =,H 为1C G 的中点,(1) 试建立适当的空间直角坐标系,写出E ,F ,G ,H 的坐标.﹡(2)用向量的方法证明：①求证：11,,,A B C D 四点共面 ②设1111AC B D J =,求证：//AJ 面1BC D变1 如图,多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得,其中AB =4,BC =1,BE =3,CF =4.求EF ,点G 的坐标, AG题型二 空间向量的坐标运算例2、已知),4,10,3(),8,3,1(-=-=b a 求,,32,2a b a b a b a b +-+-+变2 已知()(1,5,1),2,14,2,24a b a x b =-=-+=，求x题型三 空间向量平行与共面的坐标关系例3、已知空间四点A (-2,3,1) B (2,-5,3) C (10,0,10) D (8,4,9)，求证：四边形ABCD 是梯形变3 已知两点A (1,-2,3)，B (2,1,-1)，求AB 连线与xoz 平面的交点坐标【当堂反馈，效果评价】已知向量(1,5,1),(2,3,5),a b =-=-(1)若(7,9,13),c =-求证：向量,,a b c 共面(2)若 ()//(2)k a ba b +-,求k 的值.【作业巩固，拓展迁移】1．已知(1,0,1),(,,4),(1,4,7)A B x y C -，且A ，B ，C 三点在同一条直线上，则实数,x y 分别等于 .2．已知向量3a i j k λ=+-，向量4b i j k μ=++平行，则λ= ，μ= ； 3．已知(4,1,3),(2,5,1),A B C -为线段AB 上的一点，满足13AC AB =，则点C 的点坐标___________4．已知点A ()2,3,1m n --+关于x 轴的对称点是()',7,6A λ-，则,,m n λ的值是 ；5．已知()()()4,2,6,1,4,2,7,5,,a b c λ=-=--=若,,a b c 三向量共面，则λ=________ ；6．已知()()()1,2,,,1,2,2//(2)a y b x a b a b =-=+-，则x =_________,y =_____________． 7．设12a i j k =-+，232a i j k =+-，323a i j k =-+-，4326a i j k =++，试问是否存在实数λ、μ、v ，使4123a a a a λμν=++ 成立？如果存在，求出λ、μ、v 的值；如果不存在，请给出证明.8. 已知()1,0,0,(0,1,0),(0,0,2)A B C ，求点D 使得//,//DB AC DC AB9. 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD =∠F AB =90°，1//,2BC AD 1//2BE FA ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点. （1）求证：四边形BCHG 是平行四边形；（2）C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？。