高中数学第2章函数2-1-1函数的概念和图象(一)配套课件苏教版必修

研一研•问题Biblioteka 究、课堂更高效探究点一 函数的概念 问题 1 初中学习的函数的概念是如何定义的？
答 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的 每一个值，y 都有唯一的值与它对应，则称 x 是自变量，y 是 x 的函数；其中自变量 x 的取值的集合叫做函数的定义域， 和自变量 x 值对应的 y 的值组成的集合叫做函数的值域．
①函数定义域必不是空集，但值域可以是空集； ②函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了； ③数集都能用区间表示； ④函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应． 解析 函数的值域不可能为空集，故①错； 当两函数的定义域和值域分别相同时， 但两函数的对应法则可
以不同，故②错； 由于整数集没法用区间表示，故③错． 只有④正确．
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例 1 判断下列对应是否为函数： 2 (1)x→ ，x≠0，x∈R； x (2)x→y，这里 y2＝x，x∈N，y∈R. 2 解 (1)对于任意一个非零实数 x， 被 x 唯一确定， x 2 所以当 x≠0 时 x→ 是函数， x 2 这个函数也可以表示为 f(x)＝ (x≠0)． x (2)考虑输入值为 4，即当 x＝4 时输出值 y 由 y2＝4 给出，
解 (1)是 A 到 B 的函数；
(2)不是，因为 A 中的元素 5 在 B 中没有值对应； (3)是 A 到 B 的函数．
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探究点二 求函数的定义域 问题 1 函数概念用集合对应的语言叙述后，思考 y＝1(x∈R)是 x2 函数吗？y＝x 与 y＝ 是同一个函数吗？ x 答 y＝1(x∈R)是函数， 因为对于实数集 R 中的任何一个数 x，
定义域 值 x 组成的集合 A 叫做函数 y＝ f(x)的 ____________ ．
填一填·知识要点、记下疑难点
2．求函数的定义域实质上是求使函数表达式有意义的自变量的取 值范围．已知函数 y＝f(x)：
R (1)若 f(x)为整式，则定义域为 ________ ；
(2)若 f(x)为分式，则定义域是使 ________________ 分母不为零 的实数的集 合； (3) 若 f(x) 是 偶 次 根 式 ， 那 么 函 数 的 定 义 域 是
或 f(2x＋ 1)的定义域，依然是求自变量 x 的取值范围，可以把 x2 或 2x＋ 1 看作一个整体，这个整体的取值范围相当于 f(x)中 的 x 的取值范围．
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跟踪训练 3 已知函数 f(x＋ 1)的定义域为[－2,3]，求 f(2x2－ 2)的定 义域．
解 ∵f(x＋1)的定义域为－2≤x≤3， ∴－1≤x＋1≤4.令 t＝x＋1，∴－1≤t≤4， ∴f(t)的定义域为[ －1,4] ．
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探究点三 例3 求抽象函数的定义域 (1)已知函数 f(x)的定义域为(0,1)，求 f(x2)的定义域；
(2)已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求 f(x)的定义域．
解 (1)∵f(x)的定义域为(0,1)， ∴要使 f(x2)有意义，须使 0<x2<1， 即－1<x<0 或 0<x<1， ∴函数 f(x2)的定义域为{x|－1<x<0 或 0<x<1}．
根号内的式子不小于零 ________________________________ 的实数的集合；
(4)若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的， 那么函数的定义域是
使各部分式子都有意义 ________________________________ 的实数的集合 (即使每个部
分有意义的实数的集合的交集)； (5)若 f(x)是由实际问题列出的， 那么函数的定义域是使解析式本 身有意义且符合 ________________ 的实数的集合 . 实际意义
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问题 4 如何用集合的语言来阐述这三个实例中的共同特点？
答 存在某种对应法则，对于集合 A 中任意元素 x，集合 B 中总有一个元素 y 与之对应． 问题 5 函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的 定义域是怎么定义的？
答 一般地，设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应 法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一 的元素 y 和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函 数，通常记为 y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值 x 组成的集 合 A 叫做函数 y＝f(x)的定义域．
1．函数是一种特殊的对应 f：A→ B，其中集合 A，B 必须是非 空的数集；y＝ f(x)表示 y 是 x 的函数；函数的三要素是定义 域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随 之确定； 判断两个函数是否是同一函数， 必须三要素完全一 样，或定义域和对应法则一样才是同一函数． 2． 在 y＝f(x)中 f 表示对应法则， 不同的函数其含义不一样； f ( x) 不一定是解析式，有时可能是“ 列表”、 “图象”；f(x)与 f(a)是不同的，前者为变数，后者为常数．
(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)， 即其中的函数自变量 x 的取值范围是 0<x<1， 令 t＝2x＋1，∴1<t<3，∴f(t)的定义域为 1<t<3， ∴函数 f(x)的定义域为{x|1<x<3}．
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小结
函数 f(x2)或函数 f(2x＋ 1)的自变量仍然是 x， 所以求 f(x2)
填一填·知识要点、记下疑难点
1．函数的概念：设 A、B 是两个 ________ 非空 的数集，如果按某种对 应法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有
唯一的元素y ____________________ 和它对应，那么这样的对应叫做从 A
到 B 的一个函数，通常记为 y＝f(x)，x∈ A.其中，所有的输入
①函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应法则确定后，函数值域也就确定； ④若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素．
解析 由于函数的关系可以用列表的方法表示，有些用列表 法表示的函数其定义域和值域都不是无限集合，故②错．
练一练•当堂检测、目标达成落实处 ④ ．(填序号) 2．下列关于函数与区间的说法正确的是 ________
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问题 6 理解函数的定义，我们应该注意什么？
答 ①函数是非空数集到非空数集上的一种对应．
②符号“f： A→B”表示 A 到 B 的一个函数， 它有三个要素： 定义域、值域、对应法则，三者缺一不可． ③集合 A 中数的任意性，集合 B 中数的唯一性． ④f 表示对应法则，在不同的函数中，f 的具体含义不一样． ⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为 f 与 x 的乘积． ⑥在研究函数时，除用符号 f(x)表示函数外，还常用 g(x)、 F(x)、G(x)等符号来表示．
即 f(x)的定义域为[ －1,4] ，要使 f(2x2－2)有意义， 2 2 2 须使－1≤2x －2≤4，∴－ 3≤x≤－ 2 或 2 ≤x≤ 3. 2 2 2 ∴函数 f(2x －2)的定义域为{x|－ 3≤x≤－ 2 或 2 ≤x≤ 3}.
练一练•当堂检测、目标达成落实处
①③④ ．(填序号) 1．下列说法中，正确的是________
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问题 2 初中学过哪些函数？
答 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等．
问题 3 阅读教材 P23 中的三个实例，并指出三个实例变量之间 的对应法则采用什么形式表达的？三个实例中的变量之间的 关系如何用一种形式表达？
答 每个实例中都存在着两个变量；实例 1 中的两变量关系通过 列表的形式表达的， 实例 2 中的变量间的关系通过关系式表达的， 实例 3 中的变量间的关系通过图象表达的；三个实例变量之间的 关系都可以描述为：当一个变量取一确定的值时，另一变量有唯 一确定的值与之对应．
解
意义；当 x－1<0，即 x<1 时， x－1在实数范围内没有意义， 所以这个函数的定义域是{x|x≥1}．
1 (2)因为当 x＋1≠0，即 x≠－1 时， 有意义； x＋1 1 当 x＋1＝0，即 x＝－1 时， 没有意义， x＋1 所以这个函数的定义域是{x|x≠－1，且 x∈R}．
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小结
函数的定义域通常由问题的实际背景确定． 如果只给出解析
式 y＝f(x)， 而没有指明它的定义域． 那么函数的定义域就是指能使 这个式子有意义的实数 x 的集合．函数的定义域可用两种方法表 示：集合、区间．
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跟踪训练 2 求下列函数的定义域： 1 (1)f(x)＝ ； (2)f(x)＝ 3x＋ 2； x－ 2 1 (3)f(x)＝ x＋ 1 ＋ . 2－ x 1 解 (1)x－2≠0，即 x≠2 时， 有意义， x－2
按照对应法则“函数值是 1”，在 R 中 y 都有唯一确定的值 1 x2 与它对应，所以说 y 是 x 的函数．y＝x 与 y＝ 不是同一个函 x 数，因为尽管它们的对应法则一样，但 y＝x 的定义域是 R，而 x2 x2 y＝ 的定义域是{x|x≠0}． 所以 y＝x 与 y＝ 不是同一个函数． x x
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问题 2 如果两个函数的对应法则和定义域相同，这两个函数
相等吗？
答 由于函数的值域由函数的定义域和对应法则确定，所以 当两个函数的对应法则和定义域相同时，这两个函数相等．
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例 2 求下列函数的定义域： (1)f(x)＝ x－ 1； (2)g(x)＝ 1 . x＋1 (1)因为当 x－1≥0，即 x≥1 时， x－1 在实数范围内有