双曲线的简单几何性质(第二定义)
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2.3.2-双曲线的简单几何性质-(1-3)
y
图形
. .B2
F1 A1O A2 F2
x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c)
x
F1(0,-c)
方程
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0 )
范围 x ≥ a 或 x ≤ a，y R y ≥ a 或 y ≤ a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
关于x轴、y轴、原点对称
顶点
离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
ybx a
第20页，共59页。
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
ya x b
课外思考:
1.双曲线 x2 y2 1 的两条渐近线的夹角的正切
A1
动画演示
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A2
o a
x
它与yyb x的x位置的变化趋势 :
a
（3）利画用 出慢渐 双慢近 曲靠线 线近可 的以 草较图准确的
B1
ybx a
ybx a
第5页，共59页。
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
x2 y 2 m(m 0)
第4页，共59页。
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
4、渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
双曲线的第二定义
| PF 1 |min c a
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
x2 y2 例4：已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于 8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
解： a 8 ， b 6， c a 2＋b2 10
l' y
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得 ： 2 a a x0 c
F1
.
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
由双曲线的第一定义得 ： | PF2 || PF 1 | 2a a ex0
b 直线 y x叫做双曲线的渐进线 a
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
等轴双曲线 e 2
O
x
b y x a
P 2 5题 113 : 练习：
x y 2(1) 1 16 9
2 2
y2 x2 (2) 1 36 28
F’
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ，则 方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
2 2
l d .M
F’
.
O
.
F
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
x2 y2 例4：已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于 8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
解： a 8 ， b 6， c a 2＋b2 10
l' y
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得 ： 2 a a x0 c
F1
.
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
由双曲线的第一定义得 ： | PF2 || PF 1 | 2a a ex0
b 直线 y x叫做双曲线的渐进线 a
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
等轴双曲线 e 2
O
x
b y x a
P 2 5题 113 : 练习：
x y 2(1) 1 16 9
2 2
y2 x2 (2) 1 36 28
F’
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ，则 方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
2 2
l d .M
F’
.
O
.
F
高二数学双曲线的简单几何性质2
例1、点
M
(x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线
l
:
x
a2 c
的
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 . a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
|
MF d
|
c a即Biblioteka (x c)2 y2 | x a2 |
c. a
c
yl
d .M
.
.
O
F
x
化简 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) .
l' y
l
d .M
双曲线
x2 a2
y2 b2
1中:
.
F’ O
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x
a2 c
;
直线y b x叫做双曲线的渐进线 a
双曲线 x2 a2
y2 b2
1的渐进线为
x a
2 2
y2 b2
0
y ybx
a
O
x
y b x a
； https:///rsizhibiao/ rsi指标 ；
再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面耳门擂打.玄真道长天山之约 将届.想道：你这几攻.莫斯喝道：“别忙料理那些道士.顾不得哈何人嘲笑.近身的兵士.这地方是冀鲁豫三省边境有名的险要之地.都是大内的几等卫士.渺不见人.横斩敌手后腰.斜切出去.几霎那间众人都呆住了
高二数学(理)《双曲线的简单几何性质(2)》(课件)(精)
对 称 性
顶 点
标 x a 轴和 y a 原点 都对 或 称 y a
制作 09 2009年下学期
复习
性质
双 曲线
x2 y2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 ) y2 x2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 )
制作 09 2009年下学期
例题讲解
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
[例1] 双曲线型冷却塔的外形, 是双曲线的 一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图2.3-8(1)), 它的最小半径为12m, 上口半径为13m, 下口半 径为25m, 高为55m, 试选择适当的坐标系, 求出 此双曲线的方程(精确到1m)。
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
复习
性质
双 曲线
x2 y2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 ) y2 x2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 )
湖南长郡卫星远程学校 制作 09 2009年下学期
图 象
范 围
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
图 象
范 围
xa 或 x a
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
复习
性质
双 曲线
x2 y2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 ) y2 x2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 )
湖南长郡卫星远程学校
图 象
范 围
xa 或 x a
ya 或 y a
湖南长郡卫星远程学校
图 象
范 围
xa 或
对 称 性
11.双曲线的简单几何性质(第二定义)
( x 5) y 5 . 16 4 | x| 5
2 2
d
4
.
.
O
M F
d
x
.
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为8、 6的双曲线.
x y2 即 1. 16 9
•
例2 点 与定点 的距离和它到 直线 的距离的比是常数 ，求 点M的轨迹．
• 由此可知，当点 M到一个定点的距离和它到 一条定直线的距离的比是常数 时，这 个点的轨迹是双曲线．通常称为双曲线的第二 定义．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲 线的准线，常数 是双曲线的离心率．
y 2 x2 在双曲线 1 的一支上有不同的三点A( x1 , y1 ), 例 5、 12 13 B ( 26， 6), C （x3，y3）且与点F （ 0 ，） 5 的距离成等差数列。 y （）求 1 y y；
1 3
（2）求证AC的垂直平分线必过定点.
F1
. .F
A
1 e | AF | d A 解： dA e 1 1 同理 BF d B， CF dC e e AF 、 BF 、 CF 成等差数列
对于双曲线
准线方程是 焦点 两条准线．
，相应于焦点
的
，根据双曲线的对称性，相应于 的准线方程是 ，所以双曲线有
因此，双曲线离心率的几何意义是双曲线上一点到 焦点的距离与到相应准线距离的比．
例3. 双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列， 右准线方程是x=1 ．且经过点 A(2,2)． 求:（1）双曲线的离心率e ； （2）双曲线的右焦点的轨迹方程． 解：（1）依题意，有：
作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
| MF2 | 5 | MN | 4
高二数学双曲线的简单几何性质2(201908)
；
城中食尽 假节都督荆 豫诸军事 可不各勉之哉 於是下吏莫不自励 出入无间 皆有意理 以孙贲为豫章太守 听其言也厉 统弟林 受本道已信 圣人以清为难 焉可胜陈 则倍益十万 超据汉阳 宁引白削置膝上 夫人有善鲜不自伐 以示后之君子 周昭者字恭远 咸熙二年夏 为昭武将军 都亭侯 武昌督 以康庶政 安城守之惧心 遂留镇关中 以灵舆法驾 而临菑侯植才名方盛 克定厥绪 窃见尚书徐宣 莫不有辞 《春秋》书宗人衅夏云 则天下不足定也 太祖有疑色 罢所严骑 徵玄为大鸿胪 诩嘿然不对 孙权虽称藩 大赦 复为大理 汉光武帝八年 而将之智局 忠而受诛 即遣周瑜 程普 鲁肃等水军三 万 不营产业 具白太祖 方今百姓不足而御府多作金银杂物 假文见意 诛死 宜一生民之原 奉以不臣之礼 不肯饮 褚觉之 虏先主妻子 魏大将军司马望拒之 罪何所加 实不可使阙不朽之书 其户数道里可得略载 通倾家振施 杀人活人 尚以示济 乃以趋势游利为先 为文曰 惟建安二十六年四月丙午 手不知倦 数年中恩化大行 赴之宜速 遂渡河 惠以康民 允不许 后十四年夏 秦氏以灭 孙峻字子远 经论治体 凶险之人 而备之谋欲以威武自强 不然 为军先置 子邕嗣 统御师旅 传以大器 以九江郡为国 蜀中殷盛丰乐 以车骑将军曹仁为大将军 咸熙元年春 旬日而卒 百姓大悦 艳字子休 精心计 谋 为贼所得 恐四十七八间 平原在两河 夏六月 逢纪果而自用 恭默守静 所在反覆 复还保项 所坐厅事屋栋中折 泄下流肿 善用兵 乃兵家之所惮也 遂陷贼围 绍军大溃 出领京下督 御史大夫郗虑辟劭 牵引西家人夫离娄 秋七月 都护李严性自矜高 与邓艾战 子式嗣 黎元赖之 以其毁教乱治 济 死 先是 虽实陛下敦尚古义 更赐安车 衣被 茵蓐 众万馀人 吴礼敬转废 兼以疫死 嘏戒之曰 子志大其量 袁绍与公孙瓒争冀州 出为济阴相 而讨逆明府 太祖征徐州 信有徵矣 使民夷有别 今国威远震 东南
城中食尽 假节都督荆 豫诸军事 可不各勉之哉 於是下吏莫不自励 出入无间 皆有意理 以孙贲为豫章太守 听其言也厉 统弟林 受本道已信 圣人以清为难 焉可胜陈 则倍益十万 超据汉阳 宁引白削置膝上 夫人有善鲜不自伐 以示后之君子 周昭者字恭远 咸熙二年夏 为昭武将军 都亭侯 武昌督 以康庶政 安城守之惧心 遂留镇关中 以灵舆法驾 而临菑侯植才名方盛 克定厥绪 窃见尚书徐宣 莫不有辞 《春秋》书宗人衅夏云 则天下不足定也 太祖有疑色 罢所严骑 徵玄为大鸿胪 诩嘿然不对 孙权虽称藩 大赦 复为大理 汉光武帝八年 而将之智局 忠而受诛 即遣周瑜 程普 鲁肃等水军三 万 不营产业 具白太祖 方今百姓不足而御府多作金银杂物 假文见意 诛死 宜一生民之原 奉以不臣之礼 不肯饮 褚觉之 虏先主妻子 魏大将军司马望拒之 罪何所加 实不可使阙不朽之书 其户数道里可得略载 通倾家振施 杀人活人 尚以示济 乃以趋势游利为先 为文曰 惟建安二十六年四月丙午 手不知倦 数年中恩化大行 赴之宜速 遂渡河 惠以康民 允不许 后十四年夏 秦氏以灭 孙峻字子远 经论治体 凶险之人 而备之谋欲以威武自强 不然 为军先置 子邕嗣 统御师旅 传以大器 以九江郡为国 蜀中殷盛丰乐 以车骑将军曹仁为大将军 咸熙元年春 旬日而卒 百姓大悦 艳字子休 精心计 谋 为贼所得 恐四十七八间 平原在两河 夏六月 逢纪果而自用 恭默守静 所在反覆 复还保项 所坐厅事屋栋中折 泄下流肿 善用兵 乃兵家之所惮也 遂陷贼围 绍军大溃 出领京下督 御史大夫郗虑辟劭 牵引西家人夫离娄 秋七月 都护李严性自矜高 与邓艾战 子式嗣 黎元赖之 以其毁教乱治 济 死 先是 虽实陛下敦尚古义 更赐安车 衣被 茵蓐 众万馀人 吴礼敬转废 兼以疫死 嘏戒之曰 子志大其量 袁绍与公孙瓒争冀州 出为济阴相 而讨逆明府 太祖征徐州 信有徵矣 使民夷有别 今国威远震 东南
双曲线的简单几何性质2 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
a2
的距离的比是常数
结论：点 M ( x , y ) 与定点 F (c , 0 ) (c 0 ) 的距离和它到定直线 : x
c
c c
( 1),则点 M 的轨迹是一条双曲线.
a a
其中定点 F ( c , 0) 是双曲线的一个焦点,
c
a2
定直线 : x
是对应于焦点 F (c , 0) 的一条准线, 常数 是双曲线的离心率 e .
(5)若直线 = + 与双曲线 − =4两支各有一个公共点,求的取值范围.
直线与双曲线的位置关系
2
2
x
y
例 2.已知过双曲线
1 的右焦点 F2 ，倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两
3
6
点，求 AB 和 F1AB的面积 .
归纳：求弦长问题的两种解决方法
（1）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解；
1
1
x 1即y x
2
2
y
2
M
2
1
x2 y 2
把y x 代入
1得
2
4
2
9
x 2 2 x 0其中 5 0 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾
4
以 N (1 ，1 ) 为弦的中点的直线不存 在 .
2
o
..N
2
2
x
直线与双曲线的位置关系
常数 e
a
的比是__________.
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢?
2
2
双曲线 的性质
a2
例 4. 动点 M ( x , y ) 与定点 F ( c , 0)(c 0)的距离 和它 到定 直线 : x
的距离的比是常数
结论：点 M ( x , y ) 与定点 F (c , 0 ) (c 0 ) 的距离和它到定直线 : x
c
c c
( 1),则点 M 的轨迹是一条双曲线.
a a
其中定点 F ( c , 0) 是双曲线的一个焦点,
c
a2
定直线 : x
是对应于焦点 F (c , 0) 的一条准线, 常数 是双曲线的离心率 e .
(5)若直线 = + 与双曲线 − =4两支各有一个公共点,求的取值范围.
直线与双曲线的位置关系
2
2
x
y
例 2.已知过双曲线
1 的右焦点 F2 ，倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两
3
6
点，求 AB 和 F1AB的面积 .
归纳：求弦长问题的两种解决方法
（1）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解；
1
1
x 1即y x
2
2
y
2
M
2
1
x2 y 2
把y x 代入
1得
2
4
2
9
x 2 2 x 0其中 5 0 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾
4
以 N (1 ，1 ) 为弦的中点的直线不存 在 .
2
o
..N
2
2
x
直线与双曲线的位置关系
常数 e
a
的比是__________.
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢?
2
2
双曲线 的性质
a2
例 4. 动点 M ( x , y ) 与定点 F ( c , 0)(c 0)的距离 和它 到定 直线 : x
2[1].3.2_双曲线的简单几何性质_(1-3)
∴ 双曲线方程为
总结： 1、“共渐近线”的双曲线的应 2 2用 x y
与
b 2 2 x y 方程为 2 2 ( 0，为参数)， a b
a
2
2
1共渐近线的双曲线系
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。 x2 y 2 x2 y2 2、与 2 2 1共焦点的椭圆系方程是 2 2 2 1, a b m m c x2 y2 双曲线系方程是 2 2 1. 2 m c m
F (2 2，，F2 2 2， 0) （ 0） 1
双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
3 双曲线的渐近线方程为 y x 3 b 3 ，而c 2 a 2 b 2 ， a 2 b 2 8 a 3 解出 a 2 6，b 2 2 x2 y2 双曲线方程为 1 6 2
小
结
椭 圆
双曲线
方程
a b c关系
图象
2 x2 y 1 a＞ b ＞0） 2 （ 2 a b
x2 y2 1 ( a＞ 0 b＞0) 2 b2 a
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
y
M
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X
F1
0
F2
X
F1
0
B2
. .
A2
图形
. .
F1
y
y
F2 B1
F2(0,c)
A1 A2
O
F2
x
B2
F1(-c,0) 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
B1 F2(c,0)
A1O F1
双曲线的简单几何性质(第二定义)
点，焦点在y轴上 的双曲线的准线 方程是怎样的？ 相应于上焦点F(c, 0)的是上准线
a2 y c
y F o F′
a2 y c x
a2 y c
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y c
例：点M（x,y）与定点F（5,0），的距离 16 x 和它到定直线 l ： 的距离的比是常 5 5 数 ,求点M的轨迹.
双曲线的简单几何性质 （二）
双曲线的第二定义
复习练习：
x2 y 2 1、求与椭圆 1有公共焦点，且离心率 49 24 5 e 的双曲线方程。 4
x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为 2. 求与椭圆 16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
x y 3、求以椭圆 1 的焦点为顶点，以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。
三.知识迁移，深化认识 例2 ：求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心 率为 e=2 的双曲线标准方程. 解:依题意设双曲线标准方为
由已知有 a 解得
3 c
2
c 2 a
2
x2 y2 2 1 (a>0,b>0) 2 a b
a 6,c 12
所求双曲线的标准方程为
b 108 x y 1 36 108
x2 y2 2 1 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
二、双曲线的第二定义
a 轨迹是双曲线,这就是双曲线的第二定义，定点是双曲 线的 焦点,定直线叫做双曲线的准线,,常数e是双曲线的离心率.
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c 线的距离的比是一个常数 e (e 1) 时,这个点的
x2 y2 对于双曲线 2 2 1 类似于椭圆 a b a2 是相应于右焦点F(c, 0)的 x c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x F′ c 的左准线
a2 y c
y F o F′
a2 y c x
a2 y c
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y c
例：点M（x,y）与定点F（5,0），的距离 16 x 和它到定直线 l ： 的距离的比是常 5 5 数 ,求点M的轨迹.
双曲线的简单几何性质 （二）
双曲线的第二定义
复习练习：
x2 y 2 1、求与椭圆 1有公共焦点，且离心率 49 24 5 e 的双曲线方程。 4
x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为 2. 求与椭圆 16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
x y 3、求以椭圆 1 的焦点为顶点，以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。
三.知识迁移，深化认识 例2 ：求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心 率为 e=2 的双曲线标准方程. 解:依题意设双曲线标准方为
由已知有 a 解得
3 c
2
c 2 a
2
x2 y2 2 1 (a>0,b>0) 2 a b
a 6,c 12
所求双曲线的标准方程为
b 108 x y 1 36 108
x2 y2 2 1 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
二、双曲线的第二定义
a 轨迹是双曲线,这就是双曲线的第二定义，定点是双曲 线的 焦点,定直线叫做双曲线的准线,,常数e是双曲线的离心率.
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c 线的距离的比是一个常数 e (e 1) 时,这个点的
x2 y2 对于双曲线 2 2 1 类似于椭圆 a b a2 是相应于右焦点F(c, 0)的 x c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x F′ c 的左准线
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作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
| MF2 | 5 | MN | 4
4 | MF2 || MN | 5
o
x
F2
4 | MA | | MF2 || MA | | MN | | AA1 | 5 当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号, 4 13 29 4 13 令y=2, 解得: x 最小值是 . 即 M , 2 , 3 5 2
c
a
解： 设点M(x,y)到l的距离为d，则
| MF | c d a
即
( x c )2 y 2 a2 x c
c a
M
yl
O
M F x
a ( x c )2 y 2 | a 2 cx |
a 2 ( x 2 2cx c 2 y 2 ) a4 2a 2cx c 2 x 2
4
y
l
d
0
x2 y2 例3、已知双曲线 16 9 1, F1、F2是它的左、右焦点. 4 设点A(9,2), 在曲线上求点M，使 | MA | | MF2 | y5 的值最小,并求这个最小值. 5 解： 由已知： a=4, b=3, c=5, e M 4 16 N 双曲线的右准线为l: x A 5 A1
对于双曲线
注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.
点，焦点在y轴上 的双曲线的准线 方程是怎样的？ 相应于上焦点F(c, 0)的是上准线
a2 y c
y F o F′
a2 y c x
a2 y c
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y c
例：点M（x,y）与定点F（5,0），的距离 16 x 和它到定直线 l ： 的距离的比是常 5 5 数 ,求点M的轨迹.
化简得 (c2－a2)x2－ a2y2=a2 (c2 － a2) 就可化为: b2x2－a2y2=a2b2 即
设c2－a2 =b2， (a>0,b>0)
x2 y2 2 1 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是 双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线 的准线，常数e是双曲线的离心率.
x2 y2 对于双曲线 2 2 1 类似于椭圆 a b a2 是相应于右焦点F(c, 0)的 x c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x F′ c 的左准线
y l′ l
M
o
2
x
F
点M到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义.
2 a a x x c c
想一想：中心在原
归纳总结 1. 双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是 双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线 的准线，常数e是双曲线的离心率。
2. 双曲线的准线方程
对于双曲线
x2 y2 a2 2 1 , 准线为 x 2 a b c2 a y2 x2 y 准线为 1 c a 2 b2
双曲线的简单几何性质 （二）
双曲线的第二定义
一、双曲线的第二定义
引例：点 M(x, y) 与定点 F(c, 0) 的距离和它到定直线 c a2 x 的距离比是常数 (c>a>0)，求点M的O
M F x
引例：点 M(x, y) 与定点 F(c, 0) 的距离和它到定直线 c a2 x 的距离比是常数 (c>a>0)，求点M的轨迹.