专题05 参数方程与极坐标(精讲篇)-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

专题03 最值问题最值（含范围）问题是解析几何中常见的 问题之一，其基本解题方法是把所求量表示成某个变量的函数，利用二次函数或函数单调性 求最值或范围，也可以利用基本不等式，有时 也会利用几何量的有界性确定范围. 最值问题不仅解答题中分量较大，而且客 观题中也时常出现.求最值的思维导图如右 最大最小为最值 单调二次不等式 几何有界也有用 具体问题再审视思路点拨解1 显然两条直线的斜率都存在且不为0，抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F .设1:(1)l y k x =-，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消元y 得2222(24)0k x k x k -++=，所以22224424A B k AB x x p k k +=++=+=+， 同理，244DE k =+，2214()816AB DE k k +=++≥，当且仅当1k =±时取等号.选（A ）. 解2 设直线1l 的倾斜角为α，则2l 的倾斜角为2+πα，因为22sin p AB =α，22sin ()2pDE =+πα， 所以2244sin sin ()2AB DE +=++παα 例1 已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10 用参数表示该量求 某 量 最 值 化简、换元转化为可以利用函数单调性、二次函数、基本不等式、导数、几何图形有界等方法求最值2222444sin cos sin cos =+=αααα21616sin 2=≥α，当且仅当4=πα或34=πα时取等号.选（A ）.注1 过抛物线22y px =的焦点弦长22||sin p AB θ=. 注2 也可以设1:1l x ty =+，则214x ty y x =+⎧⎨=⎩，，消取x 得2440y ty --=，所以2()444A B A B AB x x p t y y t =++=++=+，同理，244DE t=+， 2214()816AB DE t t+=++≥，当且仅当1t =±时取等号.思路点拨当，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足，则，得.当，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足，则，得. 故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U .要求两个绝对值之和的最小值，就要去掉绝对值，需要分类讨论.怎么确定分类标准？03m <<x 120AMB ∠=otan 60a b ≥=o ≥01m <≤3m >y 120AMB ∠=otan 60ab≥=o ≥9m ≥就是令绝对值内部的式子为0.比如，若令220x y +-=，则直线220x y +-=与圆相交，把圆分成两部分.解1 原问题可以转化为如下的非线性规划问题：可行域为单位圆（含内部）的任意一点，直线22y x =-将可行域分成两个部分，不妨将左下方的区域（大弓形区域）记作Ⅰ，将右上方的区域（小弓形区域）记作Ⅰ．因为单位圆221x y +≤及其内部在直线630x y --=下方，所以630x y -->，所以(,)|22||63|f x y x y x y =+-+--42,22,834,22.x y y x x y y x +-≥-⎧=⎨--<-⎩直线22y x =-与单位圆221x y +=交点10E ,（），3455F （，）.设1242,834z x y z x y =+-=--，分别作直线13,24y x y x ==-并平移，则1242,834z x y z x y =+-=--都在点3455F （，）取得最小值3.所以2263x y x y +-+--的最小值是3.解2 (,)|22||63|f x y x y x y =+-+--|(22)(63)||348|x y x y x y ≥+----=+-，（当220x y +-≤时取等号）.设cos ,sin x r y r θθ==，其中01,02r θπ≤≤≤≤. 则 |348||3cos 4sin 8|x y r r θθ+-=+-|5sin()8|85853r r θϕ=+-≥-≥-=.其中ϕ由34sin ,cos 55ϕϕ==确定，等号当且仅当1,sin +=1r θϕ=（），即3455x ,y ==.另外，当220x y +->时，2263x y x y +-+--3>. 所以2263x y x y +-+--的最小值是3.思路点拨在平面直角坐标系中画出可行域如图，22x y +例4 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的取值范围为____.是 ．的几何意义为可行域内的点到原点距离的平方．过原点O 作直线220x y +-=的垂线，垂足为A ，可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点O 到直线220x y +-=的距离，d ==()22min45x y +=， 图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13xy+=．所以，22x y +的取值范围为4[,13].5思路点拨第（2）题的关键是选择适当的参数表示||||PA PQ ⋅，可以用直线AP 的斜率为k 为参数，需要求出Q 的坐标，再分别求出||||PA PQ 、的表达式，计算量较大.也可以设2(,)P t t ，以t 为参数，从向量的角度得到||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r PA PQ =-⋅u u u r u u u r+PA PB BQ PA PB =-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）=.转化为t 函数，再求最大值. 满分解答（1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-.（2）解1设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为y =kx +12k +14，BQ 的方程为y =13924x k k -++. 联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，，解得点222234981(,)2244k k k k Q k k +-++++.因为1||)1)2PA x k =+=+，2||)Q PQ x x =-=所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=--+.令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716. 解2 用向量法，令2(,)P t t ，所以||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r PA PQ PA PB =-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r221319()()()()2244t t t t =+-+--4233216t t t =-+++222127(1)(1)216t t =----+2716≤. 当且仅当1t =时等号成立.第（2）题可设SOM θ∠=，则2SOT θ∠=，则23sin 23AB MC OM OC AB θ==+. 223OC AB=+⋅，只要求sin θ的最小值，即只要求OC AB的最小值.(2) 设SOM θ∠=，则2SOT θ∠=，且223sin 2233AB MC OC OM OC AB ABθ===++⋅.设1122(,),(,)A x y B x y，联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2211(42)10k x x +--=，由题意知0∆>，且1121222111,212(21)x x x x k k +==-++，故12212AB x k =-=+.联立方程221124x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==.注211k OCAB +=22= 令21112,1(0,1)t k t t =+>∈，，则211=2t k -，代入上式整理得OC AB =. 当且仅当112t=，即2t =时OC AB的最小值23，此时1k =.思路点拨第（1）题直接计算可得。

极坐标参数方程知识点思维导图高清一、极坐标及其参数方程概述极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它采用极径和极角两个参数来确定点的位置。

极坐标参数方程则是通过使用角度作为独立变量，用极径和极角表达出函数的方程。

二、极坐标参数方程的定义与表示极坐标参数方程由极坐标中的极径和极角的函数表达式表示。

通常用r表示极径，$\\theta$表示极角，极坐标参数方程可以表示为：$$ \\begin{cases} x=f(\\theta) \\\\ y=g(\\theta) \\end{cases} $$其中，$f(\\theta)$和$g(\\theta)$分别表示x和y与$\\theta$的关系。

三、常见的极坐标参数方程1. 圆的极坐标参数方程对于半径为r0的圆，其极坐标参数方程为：$$ \\begin{cases} x=r_0\\cos(\\theta) \\\\ y=r_0\\sin(\\theta) \\end{cases} $$2. 旋轮线的极坐标参数方程旋轮线是一种特殊的曲线，其极坐标参数方程为：$$ \\begin{cases} x=a(\\cos(\\theta)+\\theta\\sin(\\theta)) \\\\y=a(\\sin(\\theta)-\\theta\\cos(\\theta)) \\end{cases} $$3. 阿基米德螺线的极坐标参数方程阿基米德螺线是另一种特殊的曲线，其极坐标参数方程为：$$ \\begin{cases} x=a\\theta\\cos(\\theta) \\\\ y=a\\theta\\sin(\\theta)\\end{cases} $$4. 对数螺线的极坐标参数方程对数螺线是一种以对数函数为基础的曲线，其极坐标参数方程为：$$ \\begin{cases} x=a\\mathrm{e}^{b\\theta}\\cos(\\theta) \\\\y=a\\mathrm{e}^{b\\theta}\\sin(\\theta) \\end{cases} $$四、极坐标参数方程的性质与应用1. 极坐标参数方程表示的曲线形状不同的极坐标参数方程对应于不同的曲线形状，通过调节参数可以改变曲线的形状。

2019高考数学圆锥曲线、极坐标与参数方程平面解析几何●极坐标与参数方程一、直线的基本概念、直角坐标、参数、极坐标方程、性质、几何意义 1. 直线的斜率公式① 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ② 曲线()y f x =在点()000,P x y 处的切线的斜率0k f x =，切线方程：()()/000y f x x x y =--. ③ 设直线方程时，有两种方式：已知y 轴截距b 时，假设直线为：y=kx+b ，但要注意斜率k=tan α不存在的情况已知x 轴截距a 时，假设直线为：x=my+a ，该法尤其适合求解直线与抛物线y 2=2px 的相交相切。

2. 直线的五种方程﹙重点：一般、两点．．．．．、．斜截．．、两点式．．．．﹚ （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距，既可以为“+”也可以为“-”). （3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 注意：解题时，结论要转化成一般式 【好题精选】：经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则该直线的方程为 ( ) A ．x ＋2y －6＝0 B ．2x ＋y －6＝0 C ．x －2y ＋7＝0 D ．x －2y －7＝0法一：定点P(1，4)代入，斜率必为负。

【B 】法二：设直线的方程为x a ＋y b ＝1，过点(1，4)，则1a ＋4b ＝1，而截距之和为a ＋b ＝(a ＋b)·(1a ＋4b )＝5＋b a ＋4ab ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝6时，等号成立，所以直线方程为x 3＋y6＝1， 3. 直线参数方程的两种常见表达形式① 过定点),(000y x M 、倾斜角为α（0≤α＜180º）的直线l 的参数方程：⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），说明：其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量。

专题05 参数方程与极坐标 训练篇A1． 已知圆的圆心为, 直线 (为参数)与该圆相交于两点, 则的面积为 .解 将直线化为普通方程得, 圆的方程可化为, 则圆心到该直线的距离.又半弦长为, 故.2已知曲线:C x =:6l x =.若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r ，则m 的取值范围为 .解1设3(2cos ,2sin ),[,]22P ππθθθ∈，(6Q ,)n .则AP AQ +=u u u r u u u r(2cos 62m θ+-,2sin θ)n +=0r ,即2cos 620,2sin 0.m n θθ+-=⎧⎨+=⎩则cos m θ=3[2,3].+∈ 解2 由0AP AQ +=u u u r u u u r r 得AP AQ =-u u u r u u u r，表明点,P Q 关于点A 对称，设(6,)Q n ，则(26,)P m n --在半圆上，则2260m -≤-≤，[2,3].m ∈解3 设(),(6,)P y Q n ,由AP AQ +u u u r u u u r 0=r 得，点A 是线段PQ 的中点.故m =3=-[2,2]y ∈-，所以[2,3]m ∈.3. 在极坐标系中，O 为极点，点0(M ρ，00)(0)θρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 分析（1）把03πθ=直接代入4sin ρθ=即可求得0ρ，在直线l 上任取一点(,)ρθ，利用三角形中点边角关系即可求得l 的极坐标方程；（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP ∆中，根据边与角的关系得答案．解 （1）当03πθ=时，04sin3πρ==在直线l 上任取一点(,)ρθ，则有cos()23πρθ-=，故l 的极坐标方程为有cos()23πρθ-=；（2）设(,)P ρθ，则在Rt OAP ∆中，有4cos ρθ=，P Q 在线段OM 上，[4πθ∴∈，]2π，故P 点轨迹的极坐标方程为4cos ρθ=，[4πθ∈，]2π．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数），曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解 直线l 的普通方程为082=+-y x ，因为点P 在曲线C 上，设)22,2(2s sP ，从而点P 到直线l 的距离54)2(2)2(1|8242|2222+-=-++-=s s s d . 当2=s时，554min =d . 因此，当点P 的坐标为)4,4(时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最小值为554. 5. 在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线:sin()0,02)4l πρθρθπ-=厔?． （1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标．分析 （1）圆O 的极坐标方程化为2cos sin ρρθρθ=+，由此能求出圆O 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程化为sin cos 1ρθρθ-=，由此能求出直线l 的直角坐标方程．（2）圆O 与直线l 的直角坐标方程联立，求出圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l 的公共点的极坐标．解 （1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin()4l πρθ-=sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=． （2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 转化为极坐标为(1,)2π．6. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos (sin x y ααααα⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数），坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()26πρθ+=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，证明：||||PA PB g 为定值．分析 （1）由2222(cos )(sin )4x y αααα+=+=可得曲线C 的直角坐标方程；根据互化公式可得直线l 的直角坐标方程； （2）根据参数t 的几何意义可得．解 （1）由2222(cos )(sin )4x y αααα+=+=， 得曲线22:4C x y +=． 直线l的极坐标方程展开为1cos sin 22θρθ-=， 故l的直角坐标方程为40y --=．（2）显然P 的坐标为(0,4)-，不妨设过点P 的直线方程为cos (4sin x t t y t αα=⎧⎨=-+⎩为参数），代入22:4C x y +=得28sin 120t t α-+=，设A ，B 对应的参数为1t ，2t 所以12||||||12PA PB t t ==g 为定值．7． 在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为.（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，l 的()22625x y ++=cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩AB =斜率.解（1）整理圆的方程得2212x y x ++11+0=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=.（2）记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：=22369014k k =+，整理得253k =，则3k =±.8. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程； （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.解（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. （2）由题意，可设点P 的直角坐标为),sin αα，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()dα的最小值，()d α=πsin()2|3α=+-.当且仅当()π2π6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 9.在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为（t 为参数），直线l 2的参数方程为xOy 1C ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin 4ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:(cos sin )0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.解 （Ⅰ）将参数方程转化为一般方程……①……② ①②消可得：，即的轨迹方程为；（Ⅱ）将参数方程转化为一般方程 ……③联立曲线和解得 由解得即.10.在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．⑴求α的取值范围；⑵求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 （1）O e 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O e 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为y kx =．l 与O e 交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）()1:2l y k x =-()21:2l y x k=+⨯k 224x y -=P 224x y -=3:0l x y +C 3l 2204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ρ=M综上，α的取值范围是(,)44π3π． （2）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=， 且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P 的轨迹的参数方程是2,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)．11．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16=⋅OP OM ,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.解 （1）设P 的极坐标为),0)(,(>ρθρ点M 的坐标为).0)(,(11>ρθρ由题意知：.cos 4||,||1θρρ===OM OP 由16||.||=OP OM 得2C 的极坐标方程).0(cos 4>=ρθρ 因此2C 的直角坐标方程为).0(4)2(22≠=+-x y x（2）设点B 极坐标为).0)(,(>BB ραρ由题设知,cos 4,2||αρ==B OA 故OAB ∆面积1||sin 4cos |sin()|23B S OA AOB πραα=∠=-2|sin(2)|23πα=--≤+当12πα-=时，S 取得最大值.32+所以OAB ∆面积的最大值为.32+。

专题2 定点、定值问题训练篇B 1.如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y两点BA,（B在A的上方），且2AB=．(1)圆C的标准方程为；(2)过点A任作一条直线与圆22:1O x y+=相交于,M N两点，下列三个结论：①NA MANB MB=；②2NB MANA MB-=；③NB MANA MB+=其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）.解(1)不妨设圆C的标准方程为：2(1)x-+)0()(22>=-rrry，由2||=AB，知211222==+r，则圆2)2()1(:22=-+-yxC.(2) 解1 因为OT为圆的切线，OAB为圆的割线，所以由切割线定理可得2||||||.OT OA OB=⋅由于||||||OT OM ON==，所以2||||||OM OA OB=⋅，2||||||ON OA OB=⋅，所以OMA∆∽OBM∆，ONA∆∽OBN∆.因为1)A，1)B，所以||||1||||MA OMMB OB==，||||1||||NA ONNB OB==，由此可知①正确，||||1)2||||NB MANA MB-=-=，||||||||NB MANA MB+=所以，①②③都正确.解2 切割线定理虽然简单，但毕竟不是常用方法，不少同学难以想到.以下从解析法角度求解.若①成立，则AB（OB）是MBN∠BM BNk k+=.由(1)中知)12,0(),12,0(+-BA.当直线MN斜率不存在时，设(0,1),(0,1)M N-，则||1||NANB==，||1||MAMB==，NA MANB MB=.当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：1y kx=，),(),,(2211yxNyxM. 联立直线MN与圆O的方程消去，22(1)1)2(10.k x kx+++=由韦达定理知1221222(21),12(12).1k x x kx x k ⎧-+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩则1212(21)(21)BMBN y y k k x x -+-++=+121221(21)21(21)kx kx x x +--++--+=+1212121122()22220.x x k k k k x x x x +=-+=-=-=⋅ 故OB 是MBN ∠的角平分线.由角平分线定理知||||||||NA NB MA MB =，故①正确. 由点M是单位圆上的动点，可设)sin ,(cos ααM ，则12)]12([sin cos )]12([sin cos ||||2222+=--++-+=ααααMA MB ， 从而易判断②③正确，故①②③都正确.解3（特殊化思想）当MN 过点A 且平行于x 轴时，MBA ∆与NBA ∆全等，①正确，此时(0,21)A -， (0,21)B +，那么2AB =，2||2(21)NA =-2||2(21)NB =+，则 ||2+1||NB NA =，||21||NA NB =-，②③都正确.所以，①②③都正确.2.已知椭圆:C ,12222=+by a x )0(>>b a 的长轴长为4，焦距为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）过动点(0,)(0)M m m >的直线交x 轴于点N ，交C 于点P A ,（P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B ．（ⅰ）设直线PM ，QM 的斜率分别为',k k ，证明kk '为定值； （ⅱ）求直线AB 的斜率的最小值．TCN MA BOy x解（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意知42=a ，222=c ，所以2=a ，222=-=c a b ，所以椭圆C 的方程为12422=+y x . （2） (i)设),(00y x P )0,0(00>>y x ，由),0(m M ，可得)2,(0m x P ，)2,(0m x Q -.所以直线PM 的斜率002x m x m m k =-=，直线QM 的斜率0032'x mx m m k -=--=，此时3'-=k k ，所以kk '为定值3-. (ii)设),(11y x A ,),(22y x B ，直线PA 的方程为m kx y +=，直线QB 的方程为m kx y +-=3.联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=12422yx mkx y ，整理得，0424)12(222=-+++m mkx x k 由)12()2(22210+-=k m x x 可得0221)12()2(2x k m x +-=，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=++， 同理 0222)118()2(2x k m x +-=，m x k m k y ++--=0222)118()2(6. 所以，222122002(2)2(2)(181)(21)m m x x k x k x ---=-++ 2222032(2)(181)(21)k m k k x --=++, 222122006(2)2(2)(181)(21)k m k m y y m m k x k x ----=+--++02222)12)(118()2)(16(8x k k m k k ++-+-=. 所以，1212x x y y k AB--==+=k k 4162)16(41kk +. 由0>m ，00>x ，可知0>k ，所以kk 16+62≥，等号当且仅当66=k 时取得.此时66842=-m m ，即714=m ，符号题意.所以直线AB 的斜率的最小值为26.3. 已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程； （2）设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C,D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅解（1）由已知，b a 2=，因为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点1)2P ，所以2213414b b +=，解得21b =. 所以椭圆E 的方程是2214x y +=. （2）设直线l 的方程为1(0)2y x m m =+≠， 联立221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得222220x mx m ++-=.24(2)m ∆=-，由∆>0，解得m <设),(),,(2211y x B y x A ，则212122,22x x m x x m +=-=-.所以M (,)2m m -，直线OM 方程为12y x =-，代入2214x y +=，得(22C D -.所以2555(2)(2)(2)4MC MD m m m ⋅=-+⋅+=-. 又2||41||||AB MB MA =⋅]4)[(16521221x x x x -+= 22255[44(22)](2)164m m m =--=-. 所以=MA MB MC MD ⋅⋅.4.如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆()()222:20T x y rr ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N.（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅u u u r u u u r的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于R ，S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值.解（1）依题意，得32,c a e a ===，所以223,1c b a c ==-=，故椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）解1 点M 与点N 关于x 轴对称，设()()1111,,,M x y N x y -，不妨设10y >.由于点M 在椭圆C 上，所以221114x y =-.由已知()20T -，，则()()1111=2,,2,TM x y TN x y +=+-u u u r u u u r，所以 ()()1111=2,2,TM TN x y x y ⋅+⋅+-u u u r u u u r()()222211112214x x y x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭22111558143.4455x x x ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭ 由于122x -<<，故当185x =-时，TM TN ⋅u u u r u u u r 取得最小值为15-.此时，135y =，故83,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =，故圆T 的方程为()2213225x y ++=. 解2 点M 与点N 关于x 轴对称，故设()()2cos ,sin ,2cos ,sin M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>.由已知()20T -，，则()()=2cos 2,sin 2cos 2,sin TM TN θθθθ⋅+⋅+-u u u r u u u r()22222cos 2sin 5cos 8cos 3415cos .55θθθθθ=+-=++⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅u u u r u u u r 取得最小值为15-，此时83,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =，故圆T 的方程为()2213225x y ++=. （3）解1 设()00,P x y ，则直线MP 的方程为()010001y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101R x y x y x y y -=-.同理可得100101++S x y x y x y y =，故222210012201R S x y x y x x y y -⋅=- ① 又点M 与点P 在椭圆上，故()()2222001141,41x y x y =-=-，代入①式，得：()()()22222210010122220101414144R S y y y y y y x x y yy y----⋅===--所以，=4R S R S OR OS x x x x ⋅⋅=⋅=，为定值.解2 设()()2cos ,sin ,2cos ,sin M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，()2cos ,sin P αα，其中sin sin αθ≠±.直线MP 的方程为()sin sin sin 2cos 2cos 2cos y x αθαααθ--=--，令y=0，得()2sin cos cos sin sin sin R x αθαθαθ-=-.同理可得()2sin cos cos sin sin sin S x αθαθαθ+=+，故()()22222222224sin cos cos sin 4sin sin 4sin sin sin sin R S x x αθαθαθαθαθ--⋅===--.所以，=4R S R S OR OS x x x x ⋅⋅=⋅=，为定值.5. 在平面直角坐标系中，点P 是:1l x =-上的动点，定点F （1,0）.点Q 为PF 的中点，动点M 满足()=0=MQ PF MP OF R λλ⋅∈u u u u r u u u r u u u r u u u r ，.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，T 为C 上任意一点，直线TA ，TB 交l 于C ，D 两点，以CD 为直径的圆是否过x 轴上某一定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.解（1）由条件知MQ 为线段PF 的垂直平分线，所以MP=MF ，又MP ∥x 轴，则MP ⊥l ，结合抛物线的定义可知：点M 的轨迹C 是以F （1,0）为焦点、:1l x =-为准线的抛物线，其方程为2=4y x .（2）设222012012,,,,444y y y T y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，于是10220110444AT y y k y y y y -==+-，直线AT 的方程为2001044y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即1010104y y y x y y y y =+++. 令1x =-，得10104y y y y y -=+，即101041,y y C y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，同理可得202041,y y D y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.如果以CD 为直径的圆过x 轴上某一定点，设定点为(),0N n ，则=0NC ND ⋅u u u r u u u r恒成立.又1020102044=1,1,y y y y NC ND n n y y y y ⎛⎫⎛⎫--⋅--⋅-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r()()()()()210201020441y y y y n y y y y --=--+++ ，所以()()()()()210201020441=0y y y y n y y y y ----+++，即()()()2212012021201204161+=0y y y y y y n y y y y y y -++++++. 设直线AB 的方程为1x ty =+，代入抛物线方程24y x =，得2440y ty --=，所以124y y t +=，124y y =-，于是()2200200416161044y ty n ty y --+++=-++，整理得 ()()()2222001441416410n y n ty n ⎡⎤⎡⎤+-++-+-+=⎣⎦⎣⎦.由于上式对任意变量0y t 、恒成立，故()()()222140414016410.n n n ⎧+-=⎪⎪⎡⎤+-=⎨⎣⎦⎪⎪-+=⎩，， 解得n=1或-3. 故以CD 为直径的圆过x 轴上定点（1,0）和（-3,0）.6. 在直角坐标系xOy 中，椭圆22:12x C y +=，直线:30l x y ++=，点P 是直线l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为A 、B ，连接OP 交AB 于点M.（1）求证：AB 所在的直线过定点，并求出此定点的坐标； （2）设△PAB 的面积为1S ，△PAM 的面积为2S ，求1S S 的值.解（1）设点()00,3P x x --，()11,A x y ，(22,B x y 当PA 的斜率存在时，设在A 处的切线方程()11y kx y kx =+-，代入C 的方程得：()()()222211111+24220k xky k x x y kx +-+--=.根据相切得=0∆，化简得22211112202x y k x y k ++=，即()21120y k x +=，所以112k y =-，即PA 的方程为1112x xy y +=. 同理，PB 的方程为2212x xy y +=.当PA 或PB 的斜率不存在时，也满足上面的方程.因为点P 在两切线上，所以()0101312x x x y +--=，()0202312x xx y +--=，即A ，B 的坐标都满足方程()00312x xx y +--=，故AB 所在的直线方程为()00312x x x y +--=，化简得()02620x x y y ---=，所以直线AB 过定点21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （3）联立OP 的方程003x y x x --=与AB 的方程得M 的横坐标为()02200223M x x x x =++，联立AB 的方程与C 的方程得()()()2200222000221+202333x x x x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，所以()122204223M x x x x x x +==++，所以M 为AB 的中点.设点P 到直线AB 距离为d ，则121||2==21||2AB d S S AM d⋅⋅，所以12S S =2.。

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。