上海市嘉定区2014届高三数学一模试卷(理科,含答案)
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上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研数学试卷(理)2014年1月 考生注意:1.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须写在答题纸上,写在试卷或草稿纸上的解答一律无效.2.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.答题纸不能折叠.3.本试卷共有23道试题,满分150分;考试时间120分钟.一.填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________.2.已知i 是虚数单位,复数z 满足1)31(=+⋅i z ,则=||z _______. 3.已知函数)(x f y =存在反函数)(1x f y -=,若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(,则)1(1-f的值是___________.4.已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =(*N ∈n ),则8a 的值是__________.5.已知圆锥的母线长为5cm ,侧面积为π202cm ,则此圆锥的体积为________3cm .6.已知θ为第二象限角,54sin =θ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________.7.已知双曲线12222=-b y a x (0>a ,0>b )满足021=b a ,且双曲线的右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合,则该双曲线的方程为______________.8.分别从集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B 中各取一个数,则这两数之积为偶 数的概率是_________.9.在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为)2,1(A ,)3,7(-B ,点C 在直线4=y 上运动,O 为坐标原点,G 为△ABC 的重心,则⋅的最小值为__________.10.若nn r r ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→12lim 存在,则实数r 的取值范围是_____________.11.在平面直角坐标系中,动点P 到两条直线03=-y x 与03=+y x 的距离之和等于4,则P 到原点距离的最小值为_________.12.设集合}1)4(),{(22=+-=y x y x A ,}1)2()(),{(22=+-+-=at y t x y x B ,若存在实数t ,使得∅≠B A ,则实数a 的取值范围是___________.13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数,直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ,若||||BC AB =,则实数t 的值为________. 14.某种平面分形图如下图所示,一级分形图是一个边长为1的等边三角形(图(1));二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分,并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形,然后去掉底边(图(2));将二级分形图的每条线段三等边,重复上述的 作图方法,得到三级分形图(图(3));…;重复上述作图方法,依次得到四级、五级、…、 n 级分形图.则n 级分形图的周长为__________.二.选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5分,否则一律得零分.15.设向量)1,1(-=x a ,)1,3(+=x b ,则“a ∥b”是“2=x ”的………………( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件16.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )A .180B .120C .90D .4517.将函数x y 2sin =(R ∈x )的图像分别向左平移m (0>m )个单位,向右平移n(0>n )个单位,所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合,则n m +的最小值为……………………………………………………………………………( ) A .32π B .65π C .π D .34π18.设函数)(x f 的定义域为D ,若存在闭区间D b a ⊆],[,使得函数)(x f 满足:①)(x f在],[b a 上是单调函数;②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ,则称区间],[b a 是函 数)(x f 的“和谐区间”.下列结论错误的是………………………………………( ) A .函数2)(x x f =(0≥x )存在“和谐区间” B .函数xe xf =)((R ∈x )不存在“和谐区间” C .函数14)(2+=x xx f (0≥x )存在“和谐区间”图(1) 图(2) 图(3)……D .函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=81log )(xa a x f (0>a ,1≠a )不存在“和谐区间”三.解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,正三棱锥BCD A -的底面边长为2,侧棱长为3,E 为棱BC 的中点. (1)求异面直线AE 与CD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)求该三棱锥的体积V .20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ,R ∈x .(1)求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2)在锐角三角形ABC 中,若1)(=A f ,2=⋅AC AB ,求△ABC 的面积.21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为4,且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 长轴上的一个动点,过P 作方向向量)1,2(=d的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,求证:22||||PB PA +为定值.B AE D22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知函数2)(++=xmx x f (m 为实常数). (1)若函数)(x f y =图像上动点P 到定点)2,0(Q 的距离的最小值为2,求实数m 的值; (2)若函数)(x f y =在区间),2[∞+上是增函数,试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围;(3)设0<m ,若不等式kx x f ≤)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解,求k 的取值范围. 23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.数列}{n a 的首项为a (0≠a ),前n 项和为n S ,且a S t S n n +⋅=+1(0≠t ).设1+=n n S b ,n n b b b k c ++++= 21(+∈R k ).(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)当1=t 时,若对任意*N ∈n ,||||3b b n ≥恒成立,求a 的取值范围;(3)当1≠t 时,试求三个正数a ,t ,k 的一组值,使得}{n c 为等比数列,且a ,t ,k 成等差数列.上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研(理)参考答案与评分标准一.填空题(每小题4分,满分56分)1.),2(∞+ 2.21 3.2 4.15 5.π16 6.71- 7.1222=-y x 8.43 9.9 10.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+---∞,31]1,( 11.22 12.⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 13.47 14.1343-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n二.选择题(每小题5分,满分20分)15.B 16.A 17.C 18.D三.解答题 19.(本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)(1)取BD 中点F ,连结AF 、EF ,因为EF ∥CD ,所以AEF ∠就是异面直线AE 与CD 所成的角(或其补角). ……………………………………………………(2分) 在△AEF 中,22==AF AE ,1=EF , ………………………………(1分)所以822221cos ==∠AEF . ………………………………………………(2分)所以,异面直线AE 与CD 所成的角的大小为82arccos . …………………(1分)(2)作⊥AO 平面BCD ,则O 是正△BCD 的中心, ………………………(1分)连结OE ,33=OE , ……………………………………………………………(1分)所以32322=-=EO AE AO , ……………………………………………(1分)所以,3233234433131=⨯⨯⨯=⋅=Sh V . ………………………………(2分)20.(本题满分14分,第1小题满分8分,第2小题满分6分)(1)⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f , ………………………………………………(2分) 所以,函数)(x f 的最小正周期为π. ………………………………………………(1分) 由223222πππππ+≤+≤-k x k (Z ∈k ), ………………………………………(2分)得12125ππππ+≤≤-k x k (Z ∈k ), …………………………………………(2分) 所以,函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (Z ∈k ). ……………(1分)(2)由已知,132sin 2)(=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ,所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA , ……………(1分) 因为20π<<A ,所以34323πππ<+<A ,所以6532ππ=+A ,从而4π=A . …(2分)又2cos ||||=⋅⋅=⋅A ,,所以,2||||=⋅, ………………(1分) 所以,△ABC 的面积2222221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=A S . …………(2分)21.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) (1) 因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4,故可设椭圆C 的方程为14222=+b y x (0>>b a ), ……………………………(1分) 因为点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上,所以143412=+b , …………………………(2分) 解得12=b , …………(1分)所以,椭圆C 的方程为1422=+y x . …………………………………(2分) (2)设)0,(m P (22≤≤-m ),由已知,直线l 的方程是2mx y -=, ……(1分)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,14,)(2122y x m x y ⇒ 042222=-+-m mx x (*) ………………………(2分) 设),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是方程(*)的两个根,所以有,,22m x x =+24221-=m x x , ……………………………………(1分)所以,2222212122)()(||||y m x y m x PB PA +-++-=+])()[(45)(41)()(41)(222122222121m x m x m x m x m x m x -+-=-+-+-+-=]22)(2)[(45]2)(2[45221212212212221m x x x x m x x m x x m x x +-+-+=++-+= 5]2)4(2[452222=+---=m m m m (定值). ………………………………(3分) 所以,22||||PB PA +为定值. ……………………………………………………(1分)(写到倒数第2行,最后1分可不扣) 22.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分) (1)设),(y x P ,则2++=xmx y , 22222)2(||⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+=x m x x y x PQ …………………………………………(1分)22||2222222=+≥++=m m m xm x , ……………………………………(1分)当0>m 时,解得12-=m ;当0<m 时,解得12--=m . …………(1分)所以,12-=m 或12--=m . …………………………………………(1分)(只得到一个解,本小题得3分)(2)由题意,任取1x 、),2[2∞+∈x ,且21x x <, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=-22)()(112212x mx x m x x f x f 212112)(x x m x x x x -⋅-=0>,……(2分) 因为012>-x x ,021>x x ,所以021>-m x x ,即21x x m <, ………………(2分) 由212≥>x x ,得421>x x ,所以4≤m .所以,m 的取值范围是]4,(-∞. ………………………………………………(2分) (3)由kx x f ≤)(,得kx xmx ≤++2, 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x ,所以122++≥x x m k , …………………………………………(2分)令xt 1=,则]2,1[∈t ,所以122++≥t mt k ,令12)(2++=t mt t g ,]21[,∈t , 于是,要使原不等式在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解,当且仅当min )(t g k ≥(]21[,∈t ).……(1分) 因为0<m ,所以m m t m t g 111)(2-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=图像开口向下,对称轴为直线01>-=m t ,因为]2,1[∈t ,故当2310≤-<m ,即32-≤m 时,54)2()(min +==m g t g ;…(4分) 当231>-m ,即032<<-m 时,3)1()(min +==m g t g . ……………………(5分) 综上,当32-≤m 时,),54[∞++∈m k ;当032<<-m 时,),3[∞++∈m k . …………………………………(6分)23.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) (1)因为a S t S n n +⋅=+1 ① 当2≥n 时,a S t S n n +⋅=-1 ②,①—②得,n n a t a ⋅=+1(2≥n ), ………………………………………………(2分) 又由a S t S +⋅=12,得12a t a ⋅=, ………………………………………………(1分)所以,}{n a 是首项为a ,公比为t 的等比数列,所以1-⋅=n n t a a (*N ∈n ).……(1分)(2)当1=t 时,a a n =,na S n =,1+=na b n , ……………………………(1分) 由||||3b b n ≥,得|13||1|+≥+a na ,0]2)3[()3(≥++-a n a n (*) …………(1分) 当0>a 时,3<n 时,(*)不成立; 当0<a 时,(*)等价于0]2)3)[(3(≤++-a n n (**) 3=n 时,(**)成立. 4≥n 时,有02)3(≤++a n ,即32+-≤n a 恒成立,所以72-≤a . 1=n 时,有024≥+a ,21-≥a .2=n 时,有025≥+a ,52-≥a . ………(3分)综上,a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--72,52. ………………………………………………(1分)(3)当1≠t 时,t t a S n n --=1)1(,tat t a t t a b nn n ---+=+--=11111)1(, ………(1分)2)1()1(1t t at t an n k c n n ----++=2221)1()1(11)1(t att k n t t a t at n ---+⋅--++-=+, ………(2分) 所以,当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=--+0)1()1(,01122t at t k t ta 时,数列}{n c 是等比数列,所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,1,1t t k t a ………(2分) 又因为a ,t ,k 成等差数列,所以k a t +=2,即112-+-=t tt t , 解得215+=t . …………………………………………………………………(1分) 从而,215-=a ,235+=k . ………………………………………………(1分) 所以,当215-=a ,215+=t ,235+=k 时,数列}{n c 为等比数列.……(1分)。
2014学年度嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷考生注意:1、答题前,务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并贴好条形码.2、解答试卷必须在答题纸规定相应对的位置书写,超出答题纸位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分.3、本试卷共有23道试题,满分150分,考试时间120分钟.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应该在答题编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分. 1、设i 是虚数单位,则321ii i+=-____________. 2、函数()lg 1y x =-的定义域是____________.3、已知直线l 垂直于直线2350x y -+=,则直线l 的一个法向量n r=___________.4、已知42,lg a x a ==,则x =______________.5、为了了解300名学生的视力情况,采用系统抽样的方法从中抽取容量为20的样本,则分段的间隔为__________.6、若椭圆221mx y +=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则m =_____________.7、若圆锥的侧面积是底面积的4倍,则其母线与轴所成的角的大小是_________(结果用反三角函数值表示)8、将函数()cos 2sin 2xf x x的图像向左平移()0m m >个单位,所得图像对应的函数为偶函数,则m 的最小值为 .9、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若()2421lim n n a a a a →∞+++=L ,则q = .10、ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ,已知3cos 2cos a C c A =,1tan 3A =,则B = .11、甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是 .12、设正数a b 、满足23a b ab +=,则a b +的最小是 .13、若函数()f x 满足:①在定义域D 内是单调函数;②存在[](),a b D a b ⊆<,使()f x 在[],a b 上的值域为[],b a --,那么()y f x =叫做对称函数.现有()f x k =是对称函数,则实数k 的取值范围是 .14、设数列{}n a 是等差数列,其首项1=1a ,公差0d <,{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意*n N ∈,总存在*m N ∈,使得n m S a =,则d = .二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5分,否则一律得零分. 15.“01x <<”是“2log (1)1x +<”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件16.设a b 、是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ-=的两个不相等实根,则过2(,)A a a 、2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点个数是() A.3 B.2 C.1 D.017.定义在区间[1,)+∞上的函数()f x 满足:①(2)2()f x f x =②当24x ≤≤时,()1|3|f x x =--,则集合{|()(34)}S x f x f ==中的最小元素是()A.2B.4C.6D.818.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[0,]π上的图像大致为()三、解答题(本题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19、(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分已知R x ∈,向量()()()sin 2,cos ,1,2cos ,a x x b x f x a b ===r r r rg (1)求()f x 的单调递增区间(2)若α是第二象限角,cos 21254f απαα⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求cos sin αα-的值A B C D20、(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,090BAC ∠=,12AB AC AA ===,点E F 、分别为棱AC 与11A B 的中点(1)求三棱锥11A EFC -的体积(2)求异面直线1A C 与EF 所成角的大小21、(本题满分14分)本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 已知点()0,2A -,椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的长轴长为4,F 是椭圆的右焦点,直线AF的一个方向向量为)d =u r,O 为坐标原点(1)求椭圆E 的方程(2)设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P Q 、两点,当OPQ V 的面积S 最大时,求l 的方程A BC E 1A 1B 1C F22. (本题满分18分)本题共3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.已知函数()()22x x f x k x R -=+⋅∈. ⑴判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由;⑵设0k >,问函数()f x 的图像是否关于某直线x m =成轴对称图形,如果是,求出m 的值;如果不是,请说明理由;(可利用真命题:“函数()g x 的图像关于某直线x m =成轴对称图形”的充要条件为“函数()g x m +是偶函数”)⑶设1k =-,函数()14223x x ah x a -=⋅--. 若函数()f x 与()h x 的图像有且只有一个公共点,求实数a 的取值范围. 23、(本题满分18分)本题共3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 已知数列{}{}n n a b 、的各项均为正数,且对任意n N *∈,都有1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列,且1210,15a a ==.(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列{}{}n n a b 、的通项公式; (3)设1231111n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+,如果对任意n N *∈,不等式22n n nb a S a ⋅<-恒成立,求实数a 的取值范围.。
一.基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试(即一模)数学(理)试题】已知数列{}n a 是公差为2的等差数列,若6a 是7a 和8a 的等比中项,则n a =________.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =(*N ∈n ),则8a 的值是__________.3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在,则实数r 的取值范围是_____________.4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在n n n C B A ∆中,记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ,且这三角形的三边长是公差为1的等差数列,若最小边1+=n a n ,则=∞→n n C lim ( )..A 2π .B 3π .C 4π .D 6π5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷)】221lim 2n n n n→∞+=-___________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学(理)试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x (*N n ∈)的距离为n d ,则=∞→n n d lim .【答案】1 【解析】试题分析:圆心为(0,1),21nd n =+,22limlim1111n n n n→∞→∞==++. 考点:点到直线距离公式,极限.7.【2013学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】计算:2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________.8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷)】已知数列{}n a 中,11a =,*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈,则n a =___________.9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________. 【答案】14【解析】试题分析:等差数列}{n a 的公差为d ,则21()22n d dS n a n =+-,21()22n d dS n a n =+-,数列}{n S 是等差数列,则n S 是关于n 的一次函数(或者是常函数),则102da -=,2n d S n =,从而数列}{n S 的公差是2d ,那么有2d d =,0d =(舍去)或12d =,114a =. 考点:等差数列的通项公式.10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷(理科)】计算:2211lim[()]12n n n n n →+∞--++=_________.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷(理科)】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科)】计算:210lim323xnn→∞++=.【答案】23【解析】试题分析:这属于“∞∞”型极限问题,求极限的方法是分子分母同时除以n(n的最高次幂),化为一般可求极限型,即210lim323xnn→∞++1022lim2333nnn→∞+==+.考点:“∞∞”型极限13.【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科)】如果()1111112312nf nn n=++++++++L L(*n N∈)那么()()1f k f k+-共有项.14.【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科)】计算:=+∞→133limnnn.15.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科)】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.【答案】85 【解析】试题分析:数列{}n c 到底是什么暂时不知,因此我们试着把其前10项的和10S 表示出来,1210b b S a a =++L10b a +11121[(1)][(1)][(1)]n a b a b a b =+-++-+++-L 1121010()10a b b b =++++-L =111091010102a b ⨯++-1110()451085a b =++-=. 考点:等差数列的通项公式与前n 和公式.二.能力题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试(即一模)数学(理)试题】已知数列{}na 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11,则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________.可行,由此我们可得2016S =12344342414()()k k k k a a a a a a a a ---+++++++++L L 20132014(a a ++2015a + 2016)a +(222)(226)(22(42))(222014)k =+⨯++⨯+++⨯-+++⨯L L 25044(13=⨯+⨯++5+L 1007)+=1017072.考点:分组求和.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】某种平面分形图如下图所示,一级分形图是一个边长为1的等边三角形(图(1));二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分,并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形,然后去掉底边(图(2));将二级分形图的每条线段三等边,重复上述的作图方法,得到三级分形图(图(3));…;重复上述作图方法,依次得到四级、五级、…、n 级分形图.则n 级分形图的周长为__________.3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =,且)1()(++=n f n f a n ,则=++++2014321a a a a Λ . 【答案】4032- 【解析】试题分析:考虑到sin2n π是呈周期性的数列,依次取值1,0,1,0,-L ,故在122014a a a +++L 时要分组求和,又由n a 的定义,知1352013a a a a ++++L (1)(2)(3)(4)(2013)(2014)f f f f f f =++++++L2222221357200920112013=-+-++-+L 1(53)(53)(97)(97)=+-++-++L (20132011)+-⋅(20132011)+12(357920112013)=+++++++L 110062016=+⨯,242014a a a +++L(2)(3)(4)f f f =+++(5)(2014)(2015)f f f +++L 22223520132015=-+++-L 22(352013)2015=+++-L 2100620062015=⨯-,从而122014a a a +++L 1210062016=+⨯⨯图(1)图(2)图(3)……22015-4032=-.考点:周期数列,分组求和.4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且1a 与5a 的等比中项为2,则42a a +的最小值等于 .5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科)】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++,则=n a .6. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷)】已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L ( )(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013217. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学(理)试题】数列}{n a 中,若11=a ,n n n a a 211=++(*N n ∈),则=+++∞→)(lim 221n n a a a Λ .8. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学(理)试题】数列}{n a 的前n 项和为n S ,若2cos 1πn n a n +=(*N n ∈),则=2014S . 【答案】1006 【解析】试题分析:组成本题数列的通项公式中,有式子cos2n π,它是呈周期性的,周期为4,因此在求和2014S 时,想象应该分组,依次4个为一组,12341(12)1(14)a a a a +++=+-+++6=,56781(16)1(18)6a a a a +++=+-+++=,43424141[1(42)]1(14)k k k k a a a a k k ---+++=+--+++6=,最后还剩下20131a =,2014120142013a =-=-,所以20146503120131006S =⨯+-=.考点:分组求和.9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】若数列{}n a 满足:111,2()n n a a a n N *+==∈,则前6项的和6S= .(用数字作答)10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷(理科)】等差数列{}n a 中,1102,15a S ==,记2482n n B a a a a =++++L ,则当n =____时,n B 取得最大值.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷(理科)】已知函数()(2318,3133,3x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩,记()()*n a f n n N =∈,若{}n a 是递减数列,则实数t 的取值范围是______________.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷(理科)】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数;②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12nn a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中,若当n k ≥时,1n a =,当1n k ≤<时,1n a >(2k ≥,*k N ∈),则首项1a 可取数值的个数为 (用k 表示)三.拔高题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列,且661-=+a a ,843=⋅a a . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值; (3)求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】(1) 210n a n =-;(2)20-;(3)229,15,*,940,6,*,n n n n n N T n n n n N ⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩.【解析】2.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学(理)试题】已知数列{}a中,n13a =,132n n n a a ++=⋅,*n N ∈.(1)证明数列{}2n n a -是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式;(2)在数列{}n a 中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,请说明理由;(3)若1r s <<且r ,*s N ∈,求证:使得1a ,r a ,s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.(2)假设在数列{}n a 中存在连续三项成等差数列,不妨设连续的三项依次为1k a -,k a ,1k a +(2k ≥,*k N ∈),由题意得,112+-+=k k k a a a ,将1)1(2--+=k k k a ,211)1(2----+=k k k a ,kk k a )1(211-+=++代入上式得……7分])1(2[])1(2[])1(2[21211k k k k k k -++-+=-++---………………8分化简得,21)1(42---⋅=-k k ,即11)1(42---⋅=k k ,得4)2(1=--k ,解得3=k所以,存在满足条件的连续三项为2a ,3a ,4a 成等比数列。
上海市各区2014届高三数学(理科)一模试题分类汇编圆锥曲线2014.01.26(杨浦区2014届高三1月一模,理)5.双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y =,则b =________.5. 3 ;(嘉定区2014届高三1月一模,理)7.已知双曲线12222=-by a x (0>a ,0>b )满足021=b a ,且双曲线的右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合,则该双曲线的方程为______________.7.1222=-y x (普陀区2014届高三1月一模,理)7. 已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ,若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点,则△2ABF 的周长等于 .7. 8;(徐汇区2014届高三1月一模,理)9. 双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = .(虹口区2014届高三1月一模,理)5、双曲线19422=-y x 的焦点到渐近线的距离等于 . 5. 12(普陀区2014届高三1月一模,理)19. (本题满分12分)本大题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知点)0,2(P ,点Q 在曲线C x y 22=上.(1)若点Q 在第一象限内,且2||=PQ ,求点Q 的坐标; (2)求||PQ 的最小值.19. (本题满分12分)本大题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 【解】设),(y x Q (0,0>>y x ),x y 22= (1)由已知条件得2)2(||22=+-=y x PQ …………………………2分将x y 22=代入上式,并变形得,022=-x x ,解得0=x (舍去)或2=x ……………4分当2=x 时,2±=y只有2,2==y x 满足条件,所以点Q 的坐标为)2,2(………………6分 (2)||PQ 22)2(y x +-=其中x y 22=…………………………7分422)2(||222+-=+-=x x x x PQ 3)1(2+-=x (0≥x )…………10分当1=x 时,3||m in =PQ ……………………………………12分(不指出0≥x ,扣1分)(杨浦区2014届高三1月一模,理)21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分9分 .某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦,且其焦点)1,0(F ,0=⋅,点E 为y 轴上一点,记α=∠EFA ,其中α为锐角. (1) 求抛物线Γ方程;(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求α的大小?21. 【解】理科 (1) 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 (2) 设m AF =,则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分 所以,)cos 1(4)sin (2ααm m +=-,既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分 同理: αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分 αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分 “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8……14分(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图),直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点,其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠,且m ≠①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关; ②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍,求m 的值;(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.22. 【解】 理科解:(1)①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12),且0m ≠, ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y=121+-x m,直线BM 的方程为y=123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=, 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=, 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭; ……4分据已知,20,3m m ≠≠,∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m ---+-++===---++23,4m m +-∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭,令x=0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =,∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠,∴整理方程得22115119m m =-++,即22(3)(1)0m m --=,又有m ≠∴230m -≠, 12=∴m ,1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分 所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=;由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以 482+-=+k kx x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……14分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ252k k=⇒=⇒=±时等号成立,此时直线1:12l y x=±-……16分(浦东新区2014届高三1月一模,理)21、(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)如图,设1)2A是单位圆上一点,一个动点从点A出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.2秒时,动点到达点B,t秒时动点到达点P.设(,)P x y,其纵坐标满足()sin()()22y f t tππωϕϕ==+-<<.(1)求点B的坐标,并求()f t;(2)若06t≤≤,求AP AB⋅的取值范围.21、解: (1)当2t=时,22123AOBππ∠=⨯=,所以2XOBπ∠=所以,点B的坐标是(0,1)……………………………………………………2分又t秒时,66XOP tππ∠=+………………………………………………………4分sin,(0)66y t tππ⎛⎫∴=+≥⎪⎝⎭. (6)分(2)由12A⎫⎪⎪⎝⎭,(0,1)B,得12AB⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,又cos,sin6666P t tππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1cos662662AP t tππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…………………………8分311sin42664266AP AB t tππππ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x1sin 2663t πππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1sin 266t ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭………………………………10分 06t ≤≤,5,6666t ππππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦,1sin ,1662t ππ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ …………12分 所以,AP AB ⋅ 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………………………14分(嘉定区2014届高三1月一模,理)21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为4,且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 长轴上的一个动点,过P 作方向向量)1,2(=d的直线l 交椭圆C于A 、B 两点,求证:22||||PB PA +为定值.21.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) (1) 因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4,故可设椭圆C 的方程为14222=+b y x (0>>b a ), ……………………………(1分) 因为点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1在椭圆C 上,所以143412=+b , …………………………(2分) 解得12=b , …………(1分)所以,椭圆C 的方程为1422=+y x . …………………………………(2分) (2)设)0,(m P (22≤≤-m ),由已知,直线l 的方程是2mx y -=, ……(1分)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,14,)(2122y x m x y ⇒ 042222=-+-m mx x (*) ………………………(2分) 设),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是方程(*)的两个根,所以有,,22m x x =+24221-=m x x , ……………………………………(1分)所以,2222212122)()(||||y m x y m x PB PA +-++-=+])()[(45)(41)()(41)(222122222121m x m x m x m x m x m x -+-=-+-+-+-=]22)(2)[(45]2)(2[45221212212212221m x x x x m x x m x x m x x +-+-+=++-+= 5]2)4(2[452222=+---=m m m m (定值). ………………………………(3分) 所以,22||||PB PA +为定值. ……………………………………………………(1分)(写到倒数第2行,最后1分可不扣)(徐汇区2014届高三1月一模,理)22. (本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题7分)给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,称圆心在坐标原点O ,的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,F F .(1)若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=,求椭圆C 及其“伴随圆”的方程;(2)在(1)的条件下,过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标; (3)已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈,是否存在a ,b ,使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离mindb =.若存在,求出a ,b 的值;若不存在,请说明理由.。
暑期复习第一课:集合、命题及简易逻辑复习复习要求:1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解属于、包含、相等关系的意义.2.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件的意义.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题,形成良好的思维品质。
5、理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义知识点:定义:一组对象的全体形成一个集合. 特征:确定性、互异性、无序性.表示法:列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图 分类:有限集、无限集.数集:自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *、空集φ. 关系:属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等=. 运算:交运算A ∩B ={x|x ∈A 且x ∈B};并运算A ∪B ={x|x ∈A 或x ∈B};补运算A C U ={x|x ∉A 且x ∈U},U 为全集 性质:A ⊆A ; φ⊆A ; 若A ⊆B ,B ⊆C ,则A ⊆C ;A ∩A =A ∪A =A ; A ∩φ=φ;A ∪φ=A ; A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔A ⊆B ;A ∩C U A =φ; A ∪C U A =I ;C U ( C U A)=A ;C U (A ⋃B)=(C U A)∩(C U B). 方法:韦恩示意图, 数轴分析.注意:① 区别∈与、与⊆、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}; ② A ⊆B 时,A 有两种情况:A =φ与A ≠φ.③若集合A 中有n )(N n ∈个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为n2,所有真子集的个数是n2-1, 所有非空真子集的个数是22-n。
④区分集合中元素的形式:如}12|{2++==x x y x A ;}12|{2++==x x y y B ;}12|),{(2++==x x y y x C ;}12|{2++==x x x x D ;},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==;}12|)',{(2++==x x y y x F ;},12|{2xyz x x y z G =++==。
上海市各区2014届高三数学(理科)一模试题分类汇编数列2014.01.26(长宁区2014届高三1月一模,理)5、数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++,则=n a . 5、⎩⎨⎧≥=+.2,21,141n n n (嘉定区2014届高三1月一模,理)4.已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =(*N ∈n ),则8a 的值是__________. 4.15(普陀区2014届高三1月一模,理)8. 数列}{n a 中,若11=a ,n n n a a 211=++(*N n ∈),则=+++∞→)(lim 221n n a a a .8.32; (长宁区2014届高三1月一模,理)11、已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a ,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______. 11、85(浦东新区2014届高三1月一模,理)3.已知数列{}n a 中,11a =,*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈,则n a =___________.3. 32n -(普陀区2014届高三1月一模,理)22. (本题满分16分) 本大题共有3小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分 ,第3小题满分6分.已知数列{}n a 中,13a =,132nn n a a ++=⋅,*n N ∈.(1)证明数列{}2nn a -是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式;(2)在数列{}n a 中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,请说明理由;(3)若1r s <<且r ,*s N ∈,求证:使得1a ,r a ,s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.22. (本题满分16分) 本大题共有3小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分 ,第3小题满分6分.解:(1)将已知条件132nn n a a ++=⋅变形为()1122n n n n a a ++-=--……1分由于123210a -=-=≠,则12211-=--++nn n n a a (常数)……3分 即数列{}2nn a -是以1为首项,公比为1-的等比数列……4分所以1)1(12--⋅=-n nn a 1)1(--=n ,即n n a 2=1)1(--+n (*N n ∈)。
2014年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数 学(理工农医类)考生注意:1. 本试卷共4页,23道试题,满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1. 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是____________. 2. 若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭____________. 3. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为____________. 4. 设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩ 若(2)4f =,则a 的取值范围为____________.5. 若实数,x y 满足1xy =,则222x y +的最小值为____________.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面夹角的大小为__________(结果用反三角函数值表示).7. 已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=,则C 与极轴的交点到极点的距离是____________.8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若()134lim n n a a a a →∞=+++,则q =________.9. 若2132()f x x x-=-,则满足()0f x <的x 的取值范围是_____________.10. 为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是_______________(结果用最简分数表示).A1P B2P 3P 4P 5P 6P 7P 8P 11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠,集合{}{}22,,a b a b =,则a b +=__________.12. 设常数a 使方程sin cos x x a =在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ,则123x x x ++=____________.13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若() 4.2E ξ=,则小白得5分的概率至少为____________.14. 已知曲线:C x =:6l x =. 若对于点(,0)A m ,存在C 上的点P 和l上的Q 使得0AP AQ +=,则m 的取值范围为____________.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15. 设,a b ∈R ,则“4a b +>”是“2a >且2b >”的[答]( )(A) 充分条件. (B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.16. 如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,(1,2,,8)i P i =是上底面上其余的八个点,则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为[答]( )(A) 1. (B) 2. (C) 4.(D) 8.17. 已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组11221,1a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 [答]( )(A) 无论12,,k P P 如何,总是无解. (B) 无论12,,k P P 如何,总有唯一解. (C) 存在12,,k P P ,使之恰有两解.(D) 存在12,,k P P ,使之有无穷多解.18. 设2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 [答]AβCBαD( )(A) [1,2]-.(B) [1,0]-. (C) [1,2]. (D) [0,2].三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥-P ABC ,其表面展开图是三角形123PP P ,如图. 求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .20. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0a ≥,函数2()2x x af x a+=-.(1) 若4a =,求函数()y f x =的反函数1()y f x -=;(2) 根据a 的不同取值,讨论函数()y f x =的奇偶性,并说明理由.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ,其中D 为顶端,AC 长35米,CB 长80米. 设点A B 、在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向. 若要求2αβ≥,问CD 的长至多为多少(结果精确到0.01米)?(2) 施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.12α=︒,18.45β=︒,求CD 的长(结果精确到0.01米).P 1222. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中,对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ,记1122()()ax by c ax by c η=++++. 若0η<,则称点12,P P 被直线l 分割. 若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割,则称直线l 为曲线C 的一条分割线.(1) 求证:点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割;(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线,求实数k 的取值范围;(3) 动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为曲线E . 求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分割线.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分7分,第3小题满分8分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,*n ∈N ,11a =.(1) 若2342,,9a a x a ===,求x 的取值范围; (2) 设{}n a 是公比为q 的等比数列,12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤,*n ∈N ,求q 的取值范围;(3) 若12,,,k a a a 成等差数列,且121000k a a a +++=,求正整数k 的最大值,以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.2014年高考上海市数学试卷(理科)答案一、填空题 1、π21 2、6 3、2-=x 4、2≤a 5、22 6、31arccos 7、318、215- 9、(0,1) 10、151 11、-1 12、37π13、0.2 14、[]3,2 二、选择题15、B 16、A 17、B 18、D三、解答题19、解:∵由题得,三棱锥P ABC -是正三棱锥∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC ∆是边长为2的正三角形∴由题得,3ABC BCA CAB π∠=∠=∠=,112233PBA PAB P BC PCB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ∆的三条边上∴1122333PBA P AB P BC P CB P AC PCA π∠=∠=∠=∠=∠=∠=∴1122332PA PB P B PC PC P A ======∴1213234PP PP P P ===,三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体∴如右图所示作图,设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ,连接BO ,并延长交AC 于D∴D 为AC 中点,O 为ABC ∆的重心,PO ⊥底面ABC∴233BO BD ==,3PO =112232233V =⋅⋅⋅⋅= 20、解:(1)由题得,248()1(,1)(1,)2424x xx f x +==+∈-∞-+∞-- ∴121()2log 1x fx x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭,(,1)(1,)x ∈-∞-+∞∵2()2x x af x a+=-且0a ≥∴① 当0a =时,()1,f x x R =∈,∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-,∴()y f x =为偶函数② 当1a =时,21(),021x x f x x +=≠-,2112()2112x xx xf x --++-==--, ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--,∴()y f x =为奇函数 ③ 当0a ≠且1a ≠时,定义域为{2log ,}x x a x R ≠∈, ∴定义域不关于原定对称,∴()y f x =为非奇非偶函数 21、解:(1)由题得,∵2αβ≥,且022πβα<≤<,tan tan 2αβ∴≥即2403516400CDCD CD≥-,解得,CD ≤28.28CD ≈米 由题得,18038.1218.45123.43ADC ∠=--=,∵3580sin123.43sin18.45AD +=,∴43.61AD ≈米∵22235235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅,∴26.93CD ≈米22、证明:(1)由题得,2(2)0η=⋅-<,∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔。
嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研 数学试卷(理)2014年1月 考生注意:1.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须写在答题纸上,写在试卷或草稿纸上的解答一律无效.2.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.答题纸不能折叠.3.本试卷共有23道试题,满分150分;考试时间120分钟.一.填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________.2.已知i 是虚数单位,复数z 满足1)31(=+⋅i z ,则=||z _______. 3.已知函数)(x f y =存在反函数)(1x f y -=,若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(,则)1(1-f的值是___________.4.已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =(*N ∈n ),则8a 的值是__________.5.已知圆锥的母线长为5cm ,侧面积为π202cm ,则此圆锥的体积为________3cm .6.已知θ为第二象限角,54sin =θ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________. 7.已知双曲线12222=-by a x (0>a ,0>b )满足021=b a ,且双曲线的右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合,则该双曲线的方程为______________.8.分别从集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B 中各取一个数,则这两数之积为偶 数的概率是_________.9.在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为)2,1(A ,)3,7(-B ,点C 在直线4=y 上运动,O 为坐标原点,G 为△ABC 的重心,则⋅的最小值为__________.10.若nn r r ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→12lim 存在,则实数r 的取值范围是_____________.11.在平面直角坐标系中,动点P 到两条直线03=-y x 与03=+y x 的距离之和等于4,则P 到原点距离的最小值为_________.12.设集合}1)4(),{(22=+-=y x y x A ,}1)2()(),{(22=+-+-=at y t x y x B ,若存在实数t ,使得∅≠B A ,则实数a 的取值范围是___________.13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数,直线t y =与函数)(x f 的图像自左 至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ,若||||BC AB =,则实数t 的值为________. 14.某种平面分形图如下图所示,一级分形图是一个边长为1的等边三角形(图(1));二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分,并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形,然后去掉底边(图(2));将二级分形图的每条线段三等边,重复上述的 作图方法,得到三级分形图(图(3));…;重复上述作图方法,依次得到四级、五级、…、 n 级分形图.则n 级分形图的周长为__________.二.选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5分,否则一律得零分.15.设向量)1,1(-=x a,)1,3(+=x b ,则“a ∥b ”是“2=x ”的………………( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件16.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )A .180B .120C .90D .4517.将函数x y 2sin =(R ∈x )的图像分别向左平移m (0>m )个单位,向右平移n(0>n )个单位,所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合,则n m +的最小值为……………………………………………………………………………( ) A .32π B .65π C .π D .34π18.设函数)(x f 的定义域为D ,若存在闭区间D b a ⊆],[,使得函数)(x f 满足:①)(x f在],[b a 上是单调函数;②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ,则称区间],[b a 是函 数)(x f 的“和谐区间”.下列结论错误的是………………………………………( )A .函数2)(x x f =(0≥x )存在“和谐区间”B .函数xe xf =)((R ∈x )不存在“和谐区间”C .函数14)(2+=x xx f (0≥x )存在“和谐区间” D .函数⎪⎭⎫⎝⎛-=81log )(x a a x f (0>a ,1≠a )不存在“和谐区间”图(1) 图(2) 图(3)……三.解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,正三棱锥BCD A -的底面边长为2,侧棱长为3,E 为棱BC 的中点. (1)求异面直线AE 与CD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)求该三棱锥的体积V .20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ,R ∈x . (1)求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2)在锐角三角形ABC 中,若1)(=A f ,2=⋅,求△ABC 的面积.21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为4,且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 长轴上的一个动点,过P 作方向向量)1,2(=d的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,求证:22||||PB PA +为定值.B AE D22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知函数2)(++=xmx x f (m 为实常数). (1)若函数)(x f y =图像上动点P 到定点)2,0(Q 的距离的最小值为2,求实数m 的值;(2)若函数)(x f y =在区间),2[∞+上是增函数,试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围;(3)设0<m ,若不等式kx x f ≤)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解,求k 的取值范围. 23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.数列}{n a 的首项为a (0≠a ),前n 项和为n S ,且a S t S n n +⋅=+1(0≠t ).设1+=n n S b ,n n b b b k c ++++= 21(+∈R k ). (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)当1=t 时,若对任意*N ∈n ,||||3b b n ≥恒成立,求a 的取值范围;(3)当1≠t 时,试求三个正数a ,t ,k 的一组值,使得}{n c 为等比数列,且a ,t ,k 成等差数列.嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研 数学试卷(理)参考答案与评分标准一.填空题(每小题4分,满分56分)1.),2(∞+ 2.21 3.2 4.15 5.π16 6.71- 7.1222=-y x 8.43 9.9 10.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+---∞,31]1,( 11.22 12.⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 13.47 14.1343-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n二.选择题(每小题5分,满分20分)15.B 16.A 17.C 18.D三.解答题 19.(本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)(1)取BD 中点F ,连结AF 、EF ,因为EF ∥CD ,所以AEF ∠就是异面直线AE 与CD 所成的角(或其补角). ……………………………………………………(2分) 在△AEF 中,22==AF AE ,1=EF , ………………………………(1分)所以822221cos ==∠AEF . ………………………………………………(2分)所以,异面直线AE 与CD 所成的角的大小为82arccos. …………………(1分) (2)作⊥AO 平面BCD ,则O 是正△BCD 的中心, ………………………(1分)连结OE ,33=OE , ……………………………………………………………(1分) 所以32322=-=EO AE AO , ……………………………………………(1分)所以,3233234433131=⨯⨯⨯=⋅=Sh V . ………………………………(2分)20.(本题满分14分,第1小题满分8分,第2小题满分6分)(1)⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f , ………………………………………………(2分) 所以,函数)(x f 的最小正周期为π. ………………………………………………(1分) 由223222πππππ+≤+≤-k x k (Z ∈k ), ………………………………………(2分)得12125ππππ+≤≤-k x k (Z ∈k ), …………………………………………(2分) 所以,函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (Z ∈k ). ……………(1分)(2)由已知,132sin 2)(=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ,所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA , ……………(1分)因为20π<<A ,所以34323πππ<+<A ,所以6532ππ=+A ,从而4π=A . …(2分)又2cos ||||=⋅⋅=⋅A ,,所以,2||||=⋅, ………………(1分) 所以,△ABC 的面积2222221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=A AC AB S . …………(2分)21.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) (1) 因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4,故可设椭圆C 的方程为14222=+b y x (0>>b a ), ……………………………(1分) 因为点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上,所以143412=+b , …………………………(2分) 解得12=b , …………(1分)所以,椭圆C 的方程为1422=+y x . …………………………………(2分) (2)设)0,(m P (22≤≤-m ),由已知,直线l 的方程是2mx y -=, ……(1分)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,14,)(2122y x m x y ⇒ 042222=-+-m mx x (*) ………………………(2分) 设),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是方程(*)的两个根,所以有,,22m x x =+24221-=m x x , ……………………………………(1分)所以,2222212122)()(||||y m x y m x PB PA +-++-=+])()[(45)(41)()(41)(222122222121m x m x m x m x m x m x -+-=-+-+-+-=]22)(2)[(45]2)(2[45221212212212221m x x x x m x x m x x m x x +-+-+=++-+= 5]2)4(2[452222=+---=m m m m (定值). ………………………………(3分) 所以,22||||PB PA +为定值. ……………………………………………………(1分)(写到倒数第2行,最后1分可不扣) 22.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分) (1)设),(y x P ,则2++=xmx y , 22222)2(||⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+=x m x x y x PQ …………………………………………(1分)22||2222222=+≥++=m m m xm x , ……………………………………(1分)当0>m 时,解得12-=m ;当0<m 时,解得12--=m . …………(1分)所以,12-=m 或12--=m . …………………………………………(1分)(只得到一个解,本小题得3分)(2)由题意,任取1x 、),2[2∞+∈x ,且21x x <, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=-22)()(112212x mx x m x x f x f 212112)(x x m x x x x -⋅-=0>,……(2分) 因为012>-x x ,021>x x ,所以021>-m x x ,即21x x m <, ………………(2分) 由212≥>x x ,得421>x x ,所以4≤m .所以,m 的取值范围是]4,(-∞. ………………………………………………(2分) (3)由kx x f ≤)(,得kx xmx ≤++2, 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x ,所以122++≥x x m k , …………………………………………(2分)令xt 1=,则]2,1[∈t ,所以122++≥t mt k ,令12)(2++=t mt t g ,]21[,∈t , 于是,要使原不等式在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解,当且仅当min )(t g k ≥(]21[,∈t ).……(1分) 因为0<m ,所以m m t m t g 111)(2-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=图像开口向下,对称轴为直线01>-=m t ,因为]2,1[∈t ,故当2310≤-<m ,即32-≤m 时,54)2()(min +==m g t g ;…(4分)当231>-m ,即032<<-m 时,3)1()(min +==m g t g . ……………………(5分) 综上,当32-≤m 时,),54[∞++∈m k ;当032<<-m 时,),3[∞++∈m k . …………………………………(6分)23.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) (1)因为a S t S n n +⋅=+1 ① 当2≥n 时,a S t S n n +⋅=-1 ②,①—②得,n n a t a ⋅=+1(2≥n ), ………………………………………………(2分) 又由a S t S +⋅=12,得12a t a ⋅=, ………………………………………………(1分) 所以,}{n a 是首项为a ,公比为t 的等比数列,所以1-⋅=n n t a a (*N ∈n ).……(1分) (2)当1=t 时,a a n =,na S n =,1+=na b n , ……………………………(1分) 由||||3b b n ≥,得|13||1|+≥+a na ,0]2)3[()3(≥++-a n a n (*) …………(1分) 当0>a 时,3<n 时,(*)不成立; 当0<a 时,(*)等价于0]2)3)[(3(≤++-a n n (**)3=n 时,(**)成立.4≥n 时,有02)3(≤++a n ,即32+-≤n a 恒成立,所以72-≤a .1=n 时,有024≥+a ,21-≥a .2=n 时,有025≥+a ,52-≥a . ………(3分)综上,a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--72,52. ………………………………………………(1分)(3)当1≠t 时,t t a S n n --=1)1(,tat t a t t a b nn n ---+=+--=11111)1(, ………(1分)2)1()1(1t t at t an n k c n n ----++=2221)1()1(11)1(t att k n t t a t at n ---+⋅--++-=+, ………(2分) 所以,当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=--+0)1()1(,01122t at t k tta 时,数列}{n c 是等比数列,所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,1,1t t k t a ………(2分) 又因为a ,t ,k 成等差数列,所以k a t +=2,即112-+-=t tt t , 解得215+=t . …………………………………………………………………(1分) 从而,215-=a ,235+=k . ………………………………………………(1分) 所以,当215-=a ,215+=t ,235+=k 时,数列}{n c 为等比数列.……(1分)。
上海市各区2014届高三数学(理科)一模试题分类汇编平面向量2014.01.26(普陀区2014届高三1月一模,理)2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量,若21e e a +=与21e e m -=平行,则实数=m .2.1-;(徐汇区2014届高三1月一模,理)5. 直线()1:330l a x y ++-=与直线()2:5340l x a y +-+=,若1l 的方向向量是2l 的法向量,则实数a = .5.-2(徐汇区2014届高三1月一模,理)10. 在平面直角坐标系中,动点P 和点M (-2,0)、N (2,0)满足0MN MP MN NP ⋅+⋅= ,则动点P (x ,y )的轨迹方程为.(普陀区2014届高三1月一模,理)18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点,且OA i ⋅=⋅.给出下列说法: ①||||||||21OA OA OA n ==== ; ②||i OA 的最小值一定是||;③点A 、i A 在一条直线上; ④向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………( ) )(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.(嘉定区2014届高三1月一模,理)15.设向量)1,1(-=x a ,)1,3(+=x b ,则“a ∥b ”是“2=x ”的………………()第18题A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件15.B(虹口区2014届高三1月一模,理)15、已知)2,0(=,)1,1(= ,则下列结论中正确的是( ).A ⊥-)( .B )()(+⊥- .C // .D =15.B(杨浦区2014届高三1月一模,理)20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分 . 已知向量()1,2x m =,()ax a n 21,-=,其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =. (1)求实数a 的值;(2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立,求实数k 的取值范围.20. 【解】(1)由题得 ()a x a ax ax x g -+-=-+=⋅=1)1(2122 ……4分 又0>a 开口向上,对称轴为1=x ,在区间[]3,2∈x 单调递增,最大值为4,()()43m ax ==∴g x g 所以,1=a ……7分(2)由(1)的他,()21)(-+==x x x x g x f ……8分令x t 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-x x k f 可化为kt t f ≥)(, 即tt f k )(≤恒成立, ……9分 2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时tt f )(最小值为0, ……13分 0≤∴k ……14分。
上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研数学试卷(理科)2014年1月考生注意:1.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须写在答题纸上,写在试卷或草稿纸上的解答一律无效.2.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.答题纸不能折叠.3.本试卷共有23道试题,满分150分;考试时间120分钟.一. 填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________.2.已知i 是虚数单位,复数z 满足1)31(=+⋅i z ,则=||z _______. 3.已知函数)(x f y =存在反函数)(1x f y -=,若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(,则)1(1-f的值是___________.4.已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =(*N ∈n ),则8a 的值是__________.5.已知圆锥的母线长为5cm ,侧面积为π202cm ,则此圆锥的体积为________3cm .6.已知θ为第二象限角,54sin =θ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________.7.已知双曲线12222=-by a x (0>a ,0>b )满足021=b a ,且双曲线的右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合,则该双曲线的方程为______________.8.分别从集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B 中各取一个数,则这两数之积为偶 数的概率是_________.9.在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为)2,1(A ,)3,7(-B ,点C 在直线4=y 上运动,O 为坐标原点,G 为△ABC 的重心,则⋅的最小值为__________.10.若nn r r ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→12lim 存在,则实数r 的取值范围是_____________.11.在平面直角坐标系中,动点P 到两条直线03=-y x 与03=+y x 的距离之和等于4,则P 到原点距离的最小值为_________.12.设集合}1)4(),{(22=+-=y x y x A ,}1)2()(),{(22=+-+-=at y t x y x B ,若存在实数t ,使得∅≠B A ,则实数a 的取值范围是___________.13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数,直线t y =与函数)(x f 的图像自左 至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ,若||||BC AB =,则实数t 的值为________. 14.某种平面分形图如下图所示,一级分形图是一个边长为1的等边三角形(图(1));二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分,并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形,然后去掉底边(图(2));将二级分形图的每条线段三等边,重复上述的 作图方法,得到三级分形图(图(3));…;重复上述作图方法,依次得到四级、五级、…、 n 级分形图.则n 级分形图的周长为__________.二. 选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5分,否则一律得零分.15.设向量)1,1(-=x a ,)1,3(+=x b ,则“a ∥b ”是“2=x ”的………………( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件16.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )A .180B .120C .90D .4517.将函数x y 2sin =(R ∈x )的图像分别向左平移m (0>m )个单位,向右平移n(0>n )个单位,所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合,则n m + 的最小值为……………………………………………………………………………( ) A .32π B .65π C .π D .34π18.设函数)(x f 的定义域为D ,若存在闭区间D b a ⊆],[,使得函数)(x f 满足:①)(x f在],[b a 上是单调函数;②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ,则称区间],[b a 是函 数)(x f 的“和谐区间”.下列结论错误的是………………………………………( ) A .函数2)(x x f =(0≥x )存在“和谐区间” B .函数x e x f =)((R ∈x )不存在“和谐区间”C .函数14)(2+=x xx f (0≥x )存在“和谐区间” D .函数⎪⎭⎫⎝⎛-=81log )(x a a x f (0>a ,1≠a )不存在“和谐区间”图(1) 图(2) 图(3)……三. 解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,正三棱锥BCD A -的底面边长为2,侧棱长为3,E 为棱BC 的中点. (1)求异面直线AE 与CD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)求该三棱锥的体积V .20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ,R ∈x . (1)求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2)在锐角三角形ABC 中,若1)(=A f ,2=⋅,求△ABC 的面积.21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为4,且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 长轴上的一个动点,过P 作方向向量)1,2(=d的直线l 交椭圆C于A 、B 两点,求证:22||||PB PA +为定值.B AE D22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知函数2)(++=xmx x f (m 为实常数). (1)若函数)(x f y =图像上动点P 到定点)2,0(Q 的距离的最小值为2,求实数m 的值;(2)若函数)(x f y =在区间),2[∞+上是增函数,试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围;(3)设0<m ,若不等式kx x f ≤)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解,求k 的取值范围. 23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.数列}{n a 的首项为a (0≠a ),前n 项和为n S ,且a S t S n n +⋅=+1(0≠t ).设1+=n n S b ,n n b b b k c ++++= 21(+∈R k ).(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)当1=t 时,若对任意*N ∈n ,||||3b b n ≥恒成立,求a 的取值范围;(3)当1≠t 时,试求三个正数a ,t ,k 的一组值,使得}{n c 为等比数列,且a ,t ,k 成等差数列.上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研(理科)参考答案与评分标准一.填空题(每小题4分,满分56分)1.),2(∞+ 2.21 3.2 4.15 5.π16 6.71- 7.1222=-y x 8.43 9.910.⎪⎭⎫⎝⎛∞+---∞,31]1,( 11.22 12.⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 13.47 14.1343-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n二.选择题(每小题5分,满分20分)15.B 16.A 17.C 18.D三.解答题 19.(本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)(1)取BD 中点F ,连结AF 、EF ,因为EF ∥CD ,所以AEF ∠就是异面直线AE 与CD 所成的角(或其补角). ……………………………………………………(2分) 在△AEF 中,22==AF AE ,1=EF , ………………………………(1分)所以822221cos ==∠AEF . ………………………………………………(2分)所以,异面直线AE 与CD 所成的角的大小为82arccos . …………………(1分)(2)作⊥AO 平面BCD ,则O 是正△BCD 的中心, ………………………(1分)连结OE ,33=OE , ……………………………………………………………(1分)所以32322=-=EO AE AO , ……………………………………………(1分)所以,3233234433131=⨯⨯⨯=⋅=Sh V . ………………………………(2分)20.(本题满分14分,第1小题满分8分,第2小题满分6分)(1)⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f , ………………………………………………(2分) 所以,函数)(x f 的最小正周期为π. ………………………………………………(1分) 由223222πππππ+≤+≤-k x k (Z ∈k ), ………………………………………(2分)得12125ππππ+≤≤-k x k (Z ∈k ), …………………………………………(2分) 所以,函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (Z ∈k ). ……………(1分)(2)由已知,132sin 2)(=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ,所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA , ……………(1分)因为20π<<A ,所以34323πππ<+<A ,所以6532ππ=+A ,从而4π=A . …(2分)又2cos ||||=⋅⋅=⋅A ,,所以,2||||=⋅, ………………(1分)所以,△ABC 的面积2222221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=A AC AB S . …………(2分)21.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) (1) 因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4,故可设椭圆C 的方程为14222=+by x (0>>b a ), ……………………………(1分) 因为点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上,所以143412=+b , …………………………(2分) 解得12=b , …………(1分)所以,椭圆C 的方程为1422=+y x . …………………………………(2分) (2)设)0,(m P (22≤≤-m ),由已知,直线l 的方程是2mx y -=, ……(1分)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,14,)(2122y x m x y ⇒ 042222=-+-m mx x (*) ………………………(2分) 设),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是方程(*)的两个根,所以有,,22m x x =+24221-=m x x , ……………………………………(1分)所以,2222212122)()(||||y m x y m x PB PA +-++-=+])()[(45)(41)()(41)(222122222121m x m x m x m x m x m x -+-=-+-+-+-=]22)(2)[(45]2)(2[45221212212212221m x x x x m x x m x x m x x +-+-+=++-+= 5]2)4(2[452222=+---=m m m m (定值). ………………………………(3分) 所以,22||||PB PA +为定值. ……………………………………………………(1分)(写到倒数第2行,最后1分可不扣) 22.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分) (1)设),(y x P ,则2++=xmx y , 22222)2(||⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+=x m x x y x PQ …………………………………………(1分)22||2222222=+≥++=m m m xm x , ……………………………………(1分)当0>m 时,解得12-=m ;当0<m 时,解得12--=m . …………(1分)所以,12-=m 或12--=m . …………………………………………(1分)(只得到一个解,本小题得3分)(2)由题意,任取1x 、),2[2∞+∈x ,且21x x <, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=-22)()(112212x mx x m x x f x f 212112)(x x m x x x x -⋅-=0>,……(2分) 因为012>-x x ,021>x x ,所以021>-m x x ,即21x x m <, ………………(2分) 由212≥>x x ,得421>x x ,所以4≤m .所以,m 的取值范围是]4,(-∞. ………………………………………………(2分) (3)由kx x f ≤)(,得kx x mx ≤++2, 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x ,所以122++≥x x mk , …………………………………………(2分)令xt 1=,则]2,1[∈t ,所以122++≥t mt k ,令12)(2++=t mt t g ,]21[,∈t , 于是,要使原不等式在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解,当且仅当m in )(t g k ≥(]21[,∈t ).……(1分) 因为0<m ,所以m m t m t g 111)(2-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=图像开口向下,对称轴为直线01>-=m t ,因为]2,1[∈t ,故当2310≤-<m ,即32-≤m 时,54)2()(m in +==m g t g ;…(4分) 当231>-m ,即032<<-m 时,3)1()(m in +==m g t g . ……………………(5分) 综上,当32-≤m 时,),54[∞++∈m k ;当032<<-m 时,),3[∞++∈m k . …………………………………(6分)23.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) (1)因为a S t S n n +⋅=+1 ① 当2≥n 时,a S t S n n +⋅=-1 ②,①—②得,n n a t a ⋅=+1(2≥n ), ………………………………………………(2分) 又由a S t S +⋅=12,得12a t a ⋅=, ………………………………………………(1分) 所以,}{n a 是首项为a ,公比为t 的等比数列,所以1-⋅=n n ta a (*N ∈n ).……(1分)(2)当1=t 时,a a n =,na S n =,1+=na b n , ……………………………(1分) 由||||3b b n ≥,得|13||1|+≥+a na ,0]2)3[()3(≥++-a n a n (*) …………(1分) 当0>a 时,3<n 时,(*)不成立; 当0<a 时,(*)等价于0]2)3)[(3(≤++-a n n (**) 3=n 时,(**)成立. 4≥n 时,有02)3(≤++a n ,即32+-≤n a 恒成立,所以72-≤a . 1=n 时,有024≥+a ,21-≥a .2=n 时,有025≥+a ,52-≥a . ………(3分)综上,a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--72,52. ………………………………………………(1分)(3)当1≠t 时,t t a S n n --=1)1(,t at t a t t a b nn n ---+=+--=11111)1(, ………(1分)2)1()1(1t t at t an n k c n n ----++=2221)1()1(11)1(t att k n t t a t at n ---+⋅--++-=+, ………(2分) 所以,当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=--+0)1()1(,01122t at t k t ta 时,数列}{n c 是等比数列,所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,1,1t t k t a ………(2分) 又因为a ,t ,k 成等差数列,所以k a t +=2,即112-+-=t tt t , 解得215+=t . …………………………………………………………………(1分) 从而,215-=a ,235+=k . ………………………………………………(1分) 所以,当215-=a ,215+=t ,235+=k 时,数列}{n c 为等比数列.……(1分)。