2020秋高三开学考试数学试题(解析版)

2020届高三数学9月开学考试（含解析）一.填空题1.不等式的解集为________【答案】【解析】【分析】将常数移到左边，通分得到答案.【详解】故答案【点睛】本题考查了分式不等式解法，属于基础题型.2.已知向量，，则________【答案】13【解析】【分析】先求出向量（4，3，12），由此能求出||．【详解】∵向量，，∴（4，3，12），∴||13．故答案为：13．【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.如果双曲线的焦点在轴上，焦距为8，则实数________【答案】【解析】【分析】先化为标准式，再由焦距为8，列出m方程，即可得到结论．【详解】由题意，双曲线的焦点在y轴上，则=1，半焦距为4，则﹣m﹣3m＝16，∴m＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题．4.函数，的反函数为，则________【答案】2【解析】【分析】求出原函数的反函数，取x＝4即可求得f﹣1（4）．【详解】由y＝f（x）＝x2（x＞0），得x，则函数f（x）＝x2（x＞0）的反函数为y＝f﹣1（x），∴f﹣1（4）．故答案为：2．【点睛】本题考查反函数的求法及函数值的求法，是基础题．5.若，则________【答案】0或2【解析】【分析】方程变形为，分为两种情况得到答案.【详解】或当时：当时：故答案为0或2【点睛】本题考查了三角函数运算，意在考查学生的计算能力.6.若复数的实部和虚部相等，且（是虚数单位），则实数的值为________【答案】【解析】分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．详解】由，得z＝i（a+2i）＝﹣2+ai，又∵复数的实部和虚部相等，∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.已知一组数据，1，0，，的方差为10，则________【答案】7或【解析】【分析】依据方差公式列出方程，解出即可。

2023届江苏省南通市海安市实验中学高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．若2(1i)1i z +=-，则z =（ ）A ．1i 22-B ．1i 22--C ．1i 22+D ．1i 22-+【答案】B【分析】根据题意，由复数的运算即可得到结果. 【详解】因为2(1i)1i z +=-，则()()221i i 1i1i i 11i2i 2i 2221i z -⨯--+=====---+ 故选:B2．设集合{}{}2|1,|4M x x N x x =<-=<，则()M N ⋃=R （ ）A ．{}2x x >-B ．{}12x x -≤<C ．{}1x x ≥-D ．{}2x x <【答案】A【分析】根据题意，将集合N 化简，然后由集合的运算即可得到结果.【详解】因为{}{}2|422N x x x x =<=-<<，且{}1M x x =≥-R ，所以{}()2M N x x ⋃=>-R 故选:A3．如图所示是我国古代舂米用的一种青石制成的石臼，其外形是正四棱台，糙米(杂粮等)放在中间凿出的半球内，利用石锤等工具对糙米进行加工．已知该石臼上口宽和高都等于0.8m ，下底边长与球的直径都等于0.6m ，则该石臼的体积约为(参考数据：π 3.14≈)（ ）A ．0.213mB ．0.283mC ．0.343mD ．0.463m【答案】C【分析】根据台体体积公式和球的体积公式求解.【详解】正四棱台的体积为 ()()11212110.640.360.640.360.80.4033V S S S S h =++=++⨯⨯≈3m ， 半球的体积为331414π 3.140.30.062323R ⨯=⨯⨯⨯≈3m ，所以该石白的体积约为0.400.060.34-=3m ， 故选:C.4．在ABC 中，2AB DA =，2CE EA =，直线DE 与直线BC 交于点F ．设AB a =，AC b =，则DF ＝（ ）A ．2193a b +B ．5193a b +C ．93105a b + D ．23510a b +【答案】C【分析】根据题意，可得2133DE DA DC =+，再由,,F B C 三点共线，利用共线定理求解即可. 【详解】如下图所示：由题可知，()22213333DE DC CE DC CA DC CD DA DA DC =+=+=++=+，由共线定理可知，存在实数λ满足()1DF DB DC λλ=+-， 又因为2AB DA =，所以3DB DA =， 因此()31DF DA DC λλ=+-， 又2133DE DA DC =+与()31DF DA DC λλ=+-共线， 所以3211λλ=-，解得2=5λ，则()2323355525DF DB DC AB DA AC =+=⨯++ 33135525AB AB AC =+⨯+93105a b =+. 故选：C.5．已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（ ）A ．()()2,04,∞-⋃+B ．()(),15,∞∞--⋃+C ．()(),24,-∞-+∞D ．()()1,05,∞-⋃+【答案】B【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称， 所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==， 又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减， 则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()(),15,∞∞--⋃+. 故选：B.6．已知圆C ：222(2)(2)(0)x y r r -+-=>，过点()4,0P 的直线与圆C 交于A ，B 两点．若PA AB r ==，则r 的值为（ ） A 26B 36C 22D 33【答案】A【分析】根据题意，取AB 中点为D ，由勾股定理可得2||CP ，然后再根据,C P 的坐标得到2||CP ,列出方程即可得到r .【详解】取AB 中点为D ，则可得CD AB ⊥，因为PA AB r ==，则AC BC AB r ===，即ABC 为等边三角形， 所以3CD =，322r r PD r =+=，在直角三角形CDP 中，222||||CD PD CP +=，则222233||32r CP r ⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又因为()()2,2,4,0C P ，即()()222||42028CP =-+-=所以238r =，解得26r =故选:A7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n b 满足：对任意的*N n ∈，都有1+=-n n a b n ，且2n n S b =，则20a =（ ） A ．20 B ．39 C ．63 D ．81【答案】B【分析】首先设出等差数列的首项和公差，利用条件，根据待定系数法求等差数列{}n a 的通项公式，即可求解.【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d +-=， ()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭ 因为1+=-n n a b n ，所以()()1111n n b a n d n d a =-+-=-+--，因为2n n S b =，所以()()()()22221111211122d d n a n d n d d a n d a ⎛⎫+-=-+---+-- ⎪⎝⎭，则()()()()2112112211210dd d a d d a d a ⎧=-⎪⎪⎪-=---⎨⎪⎪--=⎪⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩，所以()11221n a n n =+-⨯=-，那么20220139a =⨯-=. 故选：B8．已知函数()ln =f x a x ，存在两条过原点的直线与曲线()y f x =相切，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2e ,0-B ．()3,e ∞--C．()D ．32,e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据导数的几何意义设切点坐标为()00,x y，则切线方程为()()000ln a y a x x x x ⎛⎫-=-⎪⎪⎭，又切线过零点得方程0ln 0a x a -=在()00,x ∈+∞上有两不相等的实根，设函数()ln h x a x a =-，求导确定单调性求值即可得实数a 的取值范围. 【详解】解：设切点坐标为()00,x y ，又()af x x='，则切线斜率()00a k f x x '=又00ln y a x =，则切线方程为：()()000ln a y a x x x x ⎛⎫-=-⎪⎪⎭，又切线过原点，则()()000ln a a x x x ⎛⎫-=-⎪⎪⎭，即方程0ln 0a x a -=在()00,x ∈+∞上有两不相等的实根，设()ln h x a x a =-，()0,x ∈+∞，则()a h x x '== 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，()h x 在()0,x ∈+∞上单调递增，不可能存在两个零点，故不符合题意；当a<0时，()0h x '=得2x a =，当()20,x a ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，()2,x a ∞∈+时，()0h x '>，()h x 单调递增，要使得()0h x =两个不同的零点，则()()()22min ln 32ln 0h x h a a a a a a a ⎡⎤==-=---<⎣⎦，解得32e a <-，又()e 2e 0h =>，x →+∞时，()h x →+∞，故当32e a <-时，()0h x =有两个零点，则实数a 的取值范围是32,e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：D.二、多选题9．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为1，若直线1BD 与1BC 所成的角为30°，则（ ） A ．直线1BD 与直线11A B 所成的角为60° B ．直线1BD 与直线1B C 所成的角为90° C ．直线1BD 与平面11AA D D 所成的角为30° D ．直线1BD 与平面11AA B B 所成的角为60° 【答案】AC【分析】运用向量的夹角公式，结合题干的异面直线所成的角，先求出四棱柱的高.对于AB 选项，继续使用夹角公式求出异面直线所成的角，对于CD 选项，根据线面角的定义，作辅助线，先找出线面角，然后进行计算求解.【详解】由于正四棱柱即为长方体，设长方体的高1AA h =，则体对角线21BD h =21BC h =111BD BD DD BA BC BB =+=++，11BC BC BB =+，又()()222111111BD BC BA BC BB BC BB BC BB h ⋅=++⋅+=+=+，由题意211111cos ,BD BC BD BC BD BC h ⋅====h =212BD h ==.A 选项，设直线1BD 与直线11AB 所成的角为α，()211111BD A B BA BC BB AB AB ⋅=++⋅=-=-，又1112,1BD A B ==，于是1111111111cos cos ,2BD A B BD A B BD A B α⋅===，即直线1BD 与直线11A B 所成的角为60，A 选项正确； B 选项，()()221111110BD B C BA BC BB BC BB BC BB ⋅=++⋅-=-=-≠，即直线1BD 与直线1B C 不垂直，B 选项错误；C 选项，连接1AD ，显然BA ⊥平面11ADD A ，即1BD A ∠为直线1BD 与平面11AA D D 所成的角，在直角三角形1BAD 中，12BD =，1BA =，且190BAD ∠=，此时11sin 2BD A ∠=，故130BD A ∠=，C 选项正确；D 选项，连接1A B ，显然11A D ⊥平面11ABB A ，即11A BD ∠为直线1BD 与平面11ABB A 所成的角，在直角三角形11BA D 中，12BD =，13BA =，且1190BA D ∠=，此时113cos A BD ∠=1130A BD ∠=，D 选项错误. 故选：AC10．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象的一条对称轴为π4x =，则（ ） A ．当02ω<<时，()f x 在π(0,)2上存在零点B ．π4是()f x 的导数()f x '的一个零点C ．()f x 在区间ππ(,)42上单调，则04ω<≤D ．当ω为偶数时，()f x 是偶函数 【答案】BC【分析】根据三角函数的图象性质与周期之间的关系可判断A,C ，根据对称轴与极值点的关系可判断B ，利用特殊值举反例可判断D. 【详解】对于A ，当02ω<<时，周期2ππT ω=>，所以π44T >， 因为区间π(0,)4的区间长度为π44T<，所以()f x 在π(0,)4上不存在零点，根据对称性可得，()f x 在π(0,)2上不存在零点，A 错误；对于B ，因为图象的一条对称轴为π4x =，所以π4x =为函数()f x 的一个极值点，所以π()04f '=，所以π4是()f x 的导数()f x '的一个零点，B 正确；对于C ，因为()f x 在区间ππ(,)42上单调，且图象的一条对称轴为π4x =，所以区间ππ(,)42的长度ππ1242T -≤，即π2T ≥,也即2ππ2ω≥， 解得04ω<≤，C 正确；对于D ，例如，2,2πωϕ==，则()2sin 2f x x =为奇函数，D 错误； 故选:BC.11．在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线l ：x ＋y ＋2＝0上一点(除去与x 轴的交点)，过P 作抛物线C ：x 2＝2y 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线P A ，PB 与x 轴分别交于点M ，N ，则（ ） A ．直线AB 过定点(－1，2) B ．MNC ．∠MPN 为锐角D ．OA OB ⋅最小值为－1【答案】ABD【分析】对A ：由()()1122,,,A x y B x y 写出切线方程，将()00,P x y 代入可得直线AB 方程，整理可得恒过定点；对B ：联立直线AB 与抛物线方程得12x x +，12x x ，求出M ，N 的横坐标，求M N x x -的最小值即可；对C ：将PM PN ⋅化为()00322x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭判断正负即可；对D ： 将OA OB ⋅22121214x x x x =+视为关于12x x 的函数求最小值；【详解】设()()()()1122000,,,,,,2A x y B x y P x y x ≠-，由22x y =得y x '=，所以()11,A x y 处切线斜率1k x = ，所以切线PA 的方程为：()211111y y x x x x x x -=-=⋅-，将112y x 2=代入得1112y y x x y -=⋅-，整理得切线PA 的方程为：11y y x x +=⋅，同理切线PB 的方程为：22y y x x +=⋅， 将()00,P x y 代入切线PA ，PB 方程得0110y y x x +=⋅，0220y y x x +=⋅ ， 所以直线00:AB y y x x +=⋅，即00y x x y =⋅-，将0020x y ++=代入得:AB 0002(1)2y x x x x x =⋅++=++， 所以直线AB 过定点(－1,2)，故A 正确；将直线AB 的方程002y x x x =⋅++代入 22x y =得2002240x x x x -⋅--=，由直线AB 过抛物线内定点(－1,2)知直线一定与抛物线有两个交点， 所以1201202,24x x x x x x +=⋅=--，在直线PA 的方程11y y x x +=⋅中令0y =得M 的横坐标11112M y x x x ==，故11,02M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同理N 的横坐标212N x x =，21,02N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1212M N x x x x -=-()21212142x x x x =+-()200144242x x =++20024x x =++()20133x =++≥当01x =-时MN 3B 正确；10020011,,22PM PN x x y x x y ⎛⎫⎛⎫⋅=---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()220012120124x x x x x x y =-+++()()22000001224224x x x x x =-⋅+--+--()00322x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当0322x -<<-时0PM PN ⋅<，MPN ∠为钝角，故C 错误；1212OA OB x x y y ⋅=+22121214x x x x =+()21212114x x =+-≥-，当122x x =-即01x =-时，OA OB ⋅最小值为－1，故D 正确； 故选：ABD【点睛】结论点睛：定义:已知曲线22:0G ax cy dx ey f ++++=,则称点()00,P x y 和直线0000:022dx dx ey ey l axx cyy f ++++++=是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l ,则三者的位置关系是: ①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:12．若函数2()ln (R)f x ax x a =-∈有两个极值点12,x x ，且12x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．20ea << B ．1201x x <<< C ．1()1f x < D ．12ln ln 2x x +>【答案】ACD【分析】对于选项A 、B ，()f x 有两个极值点，则()0f x '=在(0,)+∞上有2个不同的根，分离参数画图可得a 的范围及1x 、2x 的范围. 对于选项C ，将112ln x a x =代入1()f x 可得关于1ln x 的二次函数，求其范围即可. 对于选项D ，运用比值代换法构造函数求导研究其范围. 【详解】由题意知，()0f x '=在(0,)+∞上有2个不同的根， 又∵2ln 2ln ()x ax xf x a x x-'=-=， ∴2ln 0ax x -=，即：2ln xa x=，∴2ln y a x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩在(0,)+∞上有2个不同的交点，令2ln ()xh x x=，(0)x > ∴22(1ln )()x h x x -'=， ()00e h x x '>⇒<<，()0e h x x '<⇒>，∴()h x 在(0,e)上单增，在(e,)+∞上单减，又∵2(e)e h =，(1)0h =，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x →，∴()h x 的图象如图所示，∴当20ea <<时，y a =与2ln ()xh x x=在(0,)+∞上有2个不同的交点，121x e x <<<. 故选项A 项正确，选项B 项错误； 对于C 项，由题意知，1112ln ()x a h x x ==， ∴2211111()(ln )2ln (ln )f x ax x x x =-=-，又∵11e x <<，∴10ln 1x <<，令1ln t x =，则01t <<，则22y t t 在(0,1)上单调递增， ∴1y <，即：1()1f x <.故选项C 项正确； 对于D 项，设211x t x =>，12(1e )x x <<< ∴1211212ln 2ln 2ln x x tx a x x tx ===，解得：1ln ln 1t x t =- ∴2ln ln 1t tx t =-， ∴12(1)ln ln ln 1t tx x t ++=-，1t >， 令(1)ln ()1t tg t t +=-，1t > 则222ln 1()(1)t t t g t t t -+-'=-，令2()2ln 1m t t t t =-+-，则()2ln 22m t t t '=-+-，1()2(1)m t t ''=-，∵1t >， ∴()0m t ''>∴()m t '在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0m t m ''>=，∴()m t 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0m t m >=， ∴()0g t '>，∴()g t 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)g t g >1111ln (1)ln lim ()limlim 211t t t t t t tt g t t →→→+++===-∴()2g t >，即：12ln ln 2x x +>，故选项D 正确. 故选：ACD.【点睛】极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论120()2x x x +><型，构造函数0()()(2)F x f x f x x =--；对结论2120()x x x ><型，构造函数20()()()x F x f x f x=-，通过研究F (x )的单调性获得不等式．(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换12x t x =化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.三、填空题13．写出满足πsin sin()5θθ=+的一个θ的值为______．【答案】2π5(答案不唯一) 【分析】根据两角正弦值相等，则两角关于ππ,Z 2x k k =+∈对称，即可求解. 【详解】当ππ2π,Z 5k k θθ++=+∈，即2ππ,Z 5k k θ=+∈时， πsin sin()5θθ=+，所以可取当0k =时2π5θ=，故答案为:2π5(答案不唯一). 14．3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的概率为______． 【答案】710##0.7 【分析】根据排列数求3名男同学、2名女同学排成一行与至多2名男生相邻的方法总数，在利用古典概型公式求解概率即可.【详解】解：3名男同学、2名女同学排成一行的总的方法数为：55A 120=，则至多2名男生相邻的方法总数为：3222232323A A A A A 6262684+=⨯+⨯⨯=，所以多2名男生相邻的概率为84712010=. 故答案为：710. 15．若函数()|e |=+-x f x a x 的最小值为1-，则=a ______． 【答案】e -【分析】分类讨论，根据函数的单调性与最值的关系求解. 【详解】当0a ≥时，()e x f x a x =+-，()e 1x f x '=-，当0x >时，e ()10x f x '=->，当0x <时，()e 10x f x '=-<， 所以()e x f x a x =+-在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增， 所以min ()(0)11f x f a ==+=-解得2a =-，与0a ≥矛盾；当a<0时，e ,ln()()e ,ln()x x a x x a f x a x x a ⎧+-≥-=⎨---<-⎩，(i)若ln()0a -<，即10a -<<，则有()f x 在(,0)-∞单调递减，(0,)+∞单调递增，所以min ()(0)11f x f a ==+=-解得2a =-，与10a -<<矛盾； (ii)若ln()0a -≥，即1a ≤-，则有()f x 在(,ln())a -∞-单调递减，(ln(),)a -+∞单调递增， 所以min ln()ln )(())1(a f x a f --=-=-=解得a e =-，满足题意； 综上，a e =-， 故答案为:e -.16．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为55，F 是左焦点，过F 且倾斜角为45°的直线交C于点A ，B ．设M ，N 分别是AF 和BF 的中点，O 为坐标原点，若509+=OM ON ，则OMN 的面积为______． 【答案】10109##10109 【分析】设右焦点为2F ,连接22,AF BF , 由中位线知221009AF BF +=，再由224AB AF BF a ++=及弦AB 的长可以求出c 值，再由MN 长及原点到AB 的距离求出OMN 的面积.【详解】设右焦点为2F ,连接22,AF BF ,M 为AF 的中点,O 为2FF 中点,221,//2OM AF OM AF ∴=,同理221,//2ON BF ON BF =， ()2215029OM ON AF BF ∴+=+=,221009AF BF ∴+=，2255,5c e a c a c a ==∴==, 22222,4a b c b c =+∴=, ∴椭圆方程可化为2222154x y c c+=,设直线:AB y x c =+,()()1122,,,A x y B x y ，由2222154x y c c y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22910150x cx c +-=， ()22(10)49150c c ∆=-⨯⨯->, 22121210155,993x x c x x c c ∴+=-=-=-， 212||11AB x ∴=+-()2121224x x x x =+-221020293c c ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1659c =， 224AB AF BF a ++=，10049a +==， 80140|,||||929c AB MN AB ∴====，原点到直线:AB y x c =+的距离为d ==所以1140||229MONSMN d ==⨯=故答案为【点睛】椭圆中两个周长为定值的三角形：若过椭圆焦点1F 的直线与椭圆交于A B ，两点，另一焦点为2F ， ①2ABF △周长为定值4a ； ②12AF F △周长为定值22a c +；这两个三角形的边长为焦半径时可以与椭圆的定义联系在一起使用，而三角形的周长也可以与三角形内切圆半径结合使用.四、解答题17．从下列三个条件①②③中任意选择两个条件填入空格：①π3ACB ∠=；②AB AD ；③sin ∠BAD ＝2sin ∠ABC ．已知D 是△ABC 的边BC 上一点，AC ＝CD ，且满足条件 和 ． (1)证明另一个条件成立；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)详见解析【分析】（1）根据条件，结合正余弦定理，即可证明；（2）根据（1）的结果，结合正弦定理求边长，最后根据三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）若选择①②，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，因为AC CD =，且π3ACB ∠=，所以ACD 是等边三角形，AD CD b ==，因为77AB AD b ==，ABC 中，根据余弦定理，2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠，即2227b b a ab =+-，整理为2260a ab b --=，解得：2a b =-（舍）或3a b =， 所以32BD a b b b b =-=-=，ABD △中，根据正弦定理，sin 22sin BAD BD bABC AD b∠===∠，即sin 2sin BAD ABC ∠=∠，故③正确；若选择①③，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，因为AC CD =，且π3ACB ∠=，所以ACD 是等边三角形，AD CD b ==，所以120ADB ∠=，ABD △中，根据正弦定理，sin 2sin BAD BD BDABC AD b∠===∠，所以2BD b =，ABD △中，根据余弦定理，2222cos120AB AD BD AD BD =+-⋅⋅，所以22222427AB b b b b =++=，即77AB b AD ==,故②正确； 若选择②③，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设AD x =，因为77AB AD x ==，sin 2sin BAD BD BDABC AD x∠===∠，所以2BD x =，ABD △中，根据余弦定理，222222471cos 2222AD BD AB x x x ADB AD BD x x +-+-∠===-⋅⋅， 因为()0,πADB ∠∈,120ADB ∴∠=，即ADC 60∠=，又因为AC CD =，所以ACD 是等边三角形，60ACB ∠=，故①正确；（2）因为ABC 外接圆的半径为1，根据正弦定理可知，22sin AB R ACB ==∠，解得：b = 根据（1）的证明可知37a b ==，所以11sin 22ABC S ab ACB =∠==18．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足11111n n n S a a +=-+，n ∈N *． (1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)若111132n n n a S a ++≤≤对任意n ∈N *恒成立，求a 1．【答案】(1)证明见解析 (2)12a =【分析】（1）根据n a 与n S 的关系，利用相减法结合0n a >，可得211n n n a a a +-=，即可证明；（2）由11111n n n S a a +=-+，令1n =，可得等比数列{}n a 的公比2111aq a a ==+，则前n 项和()111nn S a =+-，()1111nn a a a +=+，根据不等式111132n n n a S a ++≤≤对任意*N n ∈恒成立，结合数列()1111n a ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的单调性，则可列不等式求得1a 的值.【详解】（1）证明：因为11111n n n S a a +=-+，*N n ∈，所以111n n n n n a a S a a +++=-①， 当2n ≥时，1111n n n n n a a S a a ---+=-②，则①-②得：1111n n n n n n n n n a a a aa a a a a +-+-=---，因为0n a >， 所以11111n n n n n n a a a a a a +-+-=---，整理得：211n n n a a a +-=，即11n n n n a a a a +-=，所以数列{}n a 是等比数列； （2）解：由于111n n n n n a a S a a +++=-，则当1n =时，21112111a a S a a a +=+=-，整理得2211a a a =+，所以等比数列{}n a 的公比2111aq a a ==+，则()()()1111111111nn n a a S a a ⎡⎤-⎣⎦=++-+=-，()1111n n a a a +=+， 若111132n n n a S a ++≤≤，因为0n a >，则()()()1111111111132n n na a a a a +≤+-≤+，所以()1111111321n a a a ≤-≤+对任意*N n ∈恒成立，又数列()1111n a ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭单调递增，所以()()1111111111na a -≤-<++，即()11111111na a a ≤-<++， 则1111131112a a a a ⎧≤⎪+⎪⎨⎪≥⎪⎩，所以122a ≤≤，即12a =. 19．某地开展生态环境保护主题的知识竞赛，满分为100分，现从参赛者的答卷中随机抽取100份作为样本，经统计得到如下成绩分布表．若规定对竞赛的得分类别作如下规定：得分大于90分的为“优秀”，得分大于80不大于90分的为“良好”，(1)估计所有参赛者的得分的平均数和中位数；(2)从获得“良好”和“优秀”等第的样本试卷中，按分层抽样抽取6份，再从中随机抽取3份，获“优秀”者奖励200元购书券，获“良好”者奖励100元购书券，记购书券总金额为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1)82.282.5；(2)分布列见解析；400（元）【分析】（1）根据平均数的估计方法即可求得平均数的估计值；根据中位数的计算方法可求得中位数的估计值；（2）算出良好和优秀试卷的比例，可得抽取的份数，确定X 的可能取值，根据超几何分布算出每个值对应的概率，可得分布列，根据期望的计算公式即可求得数学期望. 【详解】（1）由表可估计所有参赛者的得分的平均数为83240206575859582.2100100100100⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为前两组的频率之和为0.080.320.400.5+=<，第四组为0.2， 故估计中位数为0.50.4801082.50.4-+⨯=. （2）由题意可知“良好”和“优秀”的比例为2:1，故按分层抽样抽取6份，“良好”试卷由4份，“优秀”试卷有2份， 则X 的取值可能为300元、400元、500元，则3436C 1(300)C 5P X ===,214236C C 3(400)C 5P X ===,124236C C 1(500)C 5P X ===,则X 的分布列如下： X 300400500P 15 35 15故131()300400500400555E X =⨯+⨯+⨯=（元）.20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝2，123BC =，BC 1与1B C 交于点E ，平面11AA C C ⊥平面ABC ，145︒∠=A AC ，是侧棱1AA 上一点．(1)若D 为1AA 的中点，证明：1//A E 平面BCD ． (2)是否存在点D ，使得二面角1B CD B --314D 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)详见解析(2)存在，D 为1AA 的三等分点处，即1113A D AA =或1123A D AA =.【分析】(1)由线面平行的判定定理即可证明1//A E 平面BCD. (2)首先假设存在，使得二面角1B CD B --314的两个平面的法向量，即可求得二面角1B CD B --的正弦值为31414时点D 的位置. 【详解】（1）取1CC 的中点F ，连接1,EF A F ，F 为1CC 的中点，E 为1CB 的中点，11//EF B C ∴，又11//BC B C ，//EF BC ∴，F 为1CC 的中点，1//CF AA ∴且112CF AA =，D 为1AA 的中点，1112A D AA ∴=， 11//,CF A D CF A D ∴∴=，∴四边形1A DCF 为平行四边形，1//A F DC ∴， 1A F ⊂面1A EF ，DC ∴⊄面1A EF ，故//DC 面1A EF ，同理//BC 面1A EF ，又DC ⊂面BDC ，BC ⊂面BDC 且BCDC C =，所以面1A EF //面BDC ，又1A E ⊂面1A EF ，∴1//A E 平面BCD （2）连接1A C ，面11AAC C ⊥面ABC 且面11AAC C面ABC AC =，又BC AC ⊥∴BC ⊥面11AAC C ，又1CC ⊂面ABC ，1BC CC ∴⊥221122CC BC BC ∴=-=，在11ACC △中，22111111122cos 45482222AC AC CC AC CC =+-⋅⋅︒=+-⨯⨯=， 则2221111A C A C CC +=，111AC AC ∴⊥即1A C AC ⊥，则1AC ⊥面ABC ， 分别以1,,CA CB CA 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1122A D AA λλ==，则()()()()10,0,0,0,2,0,2,0,22,2,2,2C B D B λλ--，()0,2,0CB ∴=，()2,0,22CD λλ=-，()12,2,2CB =-，设平面BCD 的一个法向量为(),,m x y z =， 则00CB m CD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()202220y x z λλ=⎧⎨+-=⎩令1x λ=-，则0,y z λ==，()1,0,m λλ=-； 设平面1B CD 的一个法向量为(),,n a b c =， 则100CB n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()22202220a b c a c λλ-++=⎧⎨+-=⎩令1a λ=-，则1,b c λ=-=，()1,1,n λλ=--；(22cos ,m n m n m nλ⋅∴<>===⋅,1m n <>=， 解得13λ=或23λ=，所以存在点D ，使得二面角1B CD B --D 为1AA 的三等分点处，即1113A D AA =或1123A D AA =.21．已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点为12,A A ，P (4，1)是C 上一点，且直线P A 1与P A 2的斜率乘积为14．(1)求C 的方程．(2)设直线l 与C 交于点M ，N ，且PM ⊥PN ．证明：直线l 过定点．【答案】(1)221123y x -=； (2)过定点205,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明见解析.【分析】（1）由直线P A 1与P A 2的斜率乘积为14及P (4，1)在双曲线上求解2a ，2b ，从而得到双曲线方程；（2）先考虑直线MN 斜率存在时，设出其方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用0AM AN ⋅=得到20350k m ++=或410k m +-=，排除不合要求的情况，求出所过定点，再考虑直线MN 斜率不存在时，设(),M t n ，则(),N t n -，由0AM AN ⋅=求出t ，去掉不合要求的情况，证明出结论.【详解】（1）由题意知()()12,0,,0A a A a -，则12111444PA PA k k a a =⨯=+-，解得212a =，将P (4，1)代入222112x y b-=得23b =，故双曲线方程为221123y x -=； （2）当直线MN 斜率存在时， 设直线:MN y kx m =+，联立双曲线方程得：()2224184120k x kmx m -+++=，则要满足2410k -≠，且()()2222644414120k k m m ∆=-+>-，解得：22123m k >-且214k ≠，设()()1122,,,M x y N x y ，则122841km x x k -+=-，212241241m x x k +-=，()212122284122421y y k x x m m k m mk k --+=+-+==-+，()()()22222121212121241k m y y kx m kx m k x x k x k m x m -=++=+++-=， ()()()()1122121212124,14,141610PM PN x y x y x x x x y y y y ⋅=--⋅--=-+++-++=，所以222222212214123241640141411m km k mk k m k k -+++---++-=+， 即()22221412321722410k m k m km m -+++++-=，整理得2280323250k mk m m +++-=，即()()280323510k mk m m +++-=，即()()2035410k m k m +++-=， 所以20350k m ++=或410k m +-=， 当20350k m ++=时20533k m =--，满足0∆>，此时直线方程为2052053333k y kx k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，直线恒过定点205,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，当410k m +-=时41m k =-+，此时直线方程为()4141y kx k k x =-+=-+，直线恒过定点()4,1P ，舍去.当直线MN 斜率不存在时，设(),M t n ，则(),N t n -，且221123t n -=，此时()()()224,14,1410PM PN t n t n t n ⋅=--⋅---=-+-=， 解得：203t =或4t =， 因为点M 和N 都异于点A ，故4t =时不合要求，舍去，故203t =，此时直线MN 经过点205,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上：直线MN 过定点，定点坐标为205,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．已知函数()(1)e =-ax f x x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＝1，证明：曲线y ＝f (x )与直线y ＝x ＋1恰有两个公共点，且这两个公共点关于点(0，1)对称． 【答案】(1)答案见解析. (2)证明见解析.【分析】（1）求导后分类讨论0a =、0a >、0a <时的()f x 的单调性.（2先构造函数研究单调性，再由零点存在性定理可证得有两个公共点；先设一个交点坐标，再判断此点关于点(0,1)对称的点是否也在()y f x =与1y x =+上即可. 【详解】（1）∵()e (1)e e (1)ax ax ax f x x a ax a '=+-⋅=-+， 当0a >时，1()01f x x a'>⇒>-，1()01f x x a '<⇒<-，∴()f x 在1(,1)a -∞-上单调递减，在1(1,)a-+∞单调递增；当0a <时，1()01f x x a '>⇒<-，1()01f x x a'<⇒>-， ∴()f x 在1(,1)a -∞-上单调递增，在1(1,)a-+∞单调递减；综述：当0a >时，()f x 在1(,1)a -∞-上单调递减，在1(1,)a-+∞单调递增；当0a <时，()f x 在1(,1)a -∞-上单调递增，在1(1,)a-+∞单调递减；（2）①证曲线与直线有两个公共点，当1a =时，()(1)e x f x x =-，令(1)e 1x x x -=+， ∵=1x -不是方程(1)e 1x x x -=+的根，∴(1)e 101xx x --=+，令(1)e ()11xx g x x -=-+，1x ≠-，则22(1)e ()0(1)x x g x x +'=>+， ∴()g x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增， 又()23210e g -=-<，3235102e g ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，∴由零点存在性定理可知，()g x 在(,1)-∞-上有一个零点，又(1)10g =-<，2e (2)103g =->，∴由零点存在性定理可知，()g x 在(1,)-+∞上有一个零点， ∴()g x 有两个零点，即：()y f x =与1y x =+恰有两个公共点. ②证两个公共点关于(0,1)对称，设00(,)x y 为()(1)e x f x x =-与()1h x x =+的一个交点，则0000(1)e 1xy x x =-=+，又0000000001()(1)e (1)1(1)121x x f x x x x y y x ---=--=-+⨯=-+=--+=-+， 000()12h x x y -=-+=-，∴点00(,2)x y --也是()y f x =与()1y h x x ==+的一个交点， 又∵()y f x =与1y x =+恰有两个公共点， ∴两交点分别为：00(,)x y ，00(,2)x y --， 又∵点00(,)x y 与点00(,2)x y --关于点(0,1)对称， ∴两个公共点关于点(0,1)对称.∴综述：()y f x =与1y x =+恰有两个公共点，且两个公共点关于点(0,1)对称.。

高三上学期开学考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，若A B B = ，则=a （）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】D【详解】由集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，因为A B B = ，可得B A ⊆，当1a =时，则23a +=，此时{}1,3B =，此时不满足B A ⊆，舍去；当2a =时，则24a +=，此时{}2,4B =，此时满足B A ⊆；当4a =时，则26a +=，此时{}4,6B =，此时不满足B A ⊆，舍去，综上可得，2a =.故选：D.2．命题：p ：R,0x x x ∀∈+≥的否定为（）A ．R,0x x x ∃∈+≥B ．,0x R x x ∃∈+≤C ．R,0x x x ∃∈+<D ．R,0x x x ∀∈+<【答案】C【详解】命题R x ∀∈，0x x +≥的否定为R x ∃∈，0x x +<.故选：C.3．下列函数为奇函数且在()0,1上为减函数的是（）A ．()()sin f x x =-B ．()tan f x x=C ．()cos f x x=D ．()sin f x x=【答案】A【详解】依题意，对于A ：()()sin sin f x x x =-=-为奇函数且在()0,1上为减函数，故A 正确；对于B ：()tan f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故B 错误；对于C ：()cos f x x =为偶函数，故C 错误；对于D ：()sin f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故D 错误.故选：A.4．设,a b 为实数，则“0a b <<”是“11a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】当“0a b <<”时，则0,0b a ab ->>，则0b a ab ->，所以11a b>，所以“0a b <<”无法推出“11a b<”，当11a b<，即0b aab -<时，有可能0a b <<，但不会有0a b <<，所以“11a b>”无法推出“0a b <<”.所以“0a b <<”是“11a b>”既不充分也不必要条件.故选：D.5．若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．(]10,2-C ．()[),22,-∞-+∞ D ．(],2-∞-【答案】B【详解】依题意，不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，即不等式()()22230m x m x -+--<恒成立，当2m =时，不等式可化为30-<恒成立，当2m <时，()()222122820m m m m ∆=-+-=+-()()1020m m =+-<，解得102m -<<，综上所述，m 的取值范围是(]10,2-.故选：B6．已知ππππ()sin 3333f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)(2)(2023)++⋅⋅⋅+f f f 的值为（）A ．BC ．1D ．0【答案】B【详解】因为ππππππππ()sin cos 2sin 2sin 33333333f x x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的周期为2π6π3=，因为π(1)2sin 3f ==2π(2)2sin3f ==3π(3)2sin 03f ==，4π(4)2sin3f ==5π(5)2sin 3f ==6π(6)2sin 03f ==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，所以[](1)(2)(2016)337(1)(2)(6)(1)++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅++=f f f f f f f ，故选：B7．已知∆ABC 中，2AC =，sin tan A B =，π(0,]3∈A ，则边AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．52【答案】B【详解】ABC 中，2AC =，sin tan A B =，则sin cos sin A B B =，则cos 2a B b ==，则22422a c a ac+-=，整理得22440a c c +--=，又ABC 中，π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2241cos ,142c a A c +-⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，整理得2222420440c a c c a c ⎧+--≥⎨+--<⎩，又2244a c c =+-，代入整理得223040c c c c ⎧-≥⎨-<⎩，解之得34c ≤<.故AB 的最小值为3.故选：B8．已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【详解】构造函数()()1.5e xf x x =-，则()0.4b f =，()0.5c f =，且()()0.5e x f x x '=-，当0.5x <时，()0f x ¢>，函数()f x 在(),0.5-∞上单调递增，当0.5x >时，()0f x '<，函数()f x 在()0.5,+∞上单调递减，所以()()0.40.5b f f c =<=；设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()e 100xx g --≥=故e 1x x ≥+，所以0.41.1e 1.11.4 1.4>⨯>，即a b <．综上，a b c <<，故选：A ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．已知实数a ，b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不可能成立的有（）A ．a b =B ．0b a >>C ．0b a >>D ．0a b>>【答案】CD【详解】作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示：设1123a bm ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ，0m >，当1m >时，由图可知0a b <<；当1m =时，由图可知0a b ==；当01m <<时，由图可知0a b >>，故选：CD.103）A 22︒︒B ．2cos 15sin15cos 75︒︒-︒C ．2tan151tan 15︒-︒D ．1tan151tan15+︒-︒【答案】AD【详解】对于A 222sin(1545)2sin 603︒︒︒︒︒=+==A 项成立；对于B 项，2223cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos(215)cos302︒︒︒︒︒︒︒-=-=⨯==，故B 项不成立；对于C 项，22222sin151sin 30tan15sin15cos1513cos152tan 30sin 151tan 15cos 15sin 15cos3021cos 15︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=====---C 项不成立；对于D 项，1tan15tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒︒︒︒++==+==--，故D 项成立.故选：AD.11．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x 的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5π,π(Z)1212k k k π⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD【详解】由图像可知函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，所以2A =，2,2362T T ππππ=-=⇒=，又22T πωω=⇒=，又(22cos(2)266f ππϕ=⇒⨯+=所以2(Z)2(Z)33k k k k ππϕπϕπ+=∈⇒=-∈，又π||2ϕ<，所以3πϕ=-所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得π()2cos 2++1=2cos 2+1436g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 选项正确，由2+(Z)(Z)6262k x k k x k πππππ=+∈⇒=+∈所以()g x 的图像关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误.由22+2(Z)6k x k k ππππ≤≤+∈即π5ππ(Z)1212k x k k π-+≤≤+∈所以选项D 正确故选：ABD.12．已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +是奇函数，()()()1g x x f x =-，函数()g x 在[)1,+∞上递增，则下列命题为真命题的是（）A ．()()11f x f x --=-+B ．函数()g x 在(],1-∞上递减C ．若21a b <-<，则()()()1g g b g a <<D ．若()()1g a g a >+，则12a <【答案】BCD【详解】对于A ，因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故A 错误；因为()1f x +是奇函数，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，即有()()=2f x f x --，所以()()()()()()()()2122121g x x f x x f x x f x g x ⎡⎤-=---=--=-=⎣⎦，所以()y g x =的图象关于直线1x =对称，函数()g x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，所以()g x 在(],1x ∈-∞上单调递减，故B 正确；因为21a b <-<，所以()()()12g g b g a <-<，即()()()1g g b g a <<，故C 正确；因为()()1g a g a >+，且1a a <+，由函数()y g x =的图象关于直线1x =对称，得()112a a ++<，解得12a <，故C 正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共20分）13．扇形的圆心角为60︒，半径为4，则扇形的面积为；．【答案】8π3【详解】因为扇形的圆心角为60︒，转化为弧度为π3，所以该扇形的面积为21π8π4233⨯⨯=.故答案为：8π3.14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则(5)f -=；【答案】-2【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则有()5(5)(5)log 512f f -=-=-+=-.故答案为：-215．已知函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，则ω的取值范围是；.【答案】4[,311)6【详解】因为7π,2π6x ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以πππ,2π66x ωω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，因为函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，所以5ππ7π2π262ω≤-<，解得43116ω≤<，故答案为:4[,311)6.16．已知11,23a b >>，127a b +=，则312131a b +--的最小值．【答案】20【详解】令11,2131x y a b ==--，则1226711x y a b x y +=+=++，去分母化简得：57xy x y --=，所以(1)(5)12x y --=，所以3133(1)(5)88202131x y x y a b +=+=-+-+≥+=--，当且仅当24,311a b ==时，等号成立．故答案为：20四、解答题17．（本题满分10分）∆ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c cos 2sin cos B c A A =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若∆ABC的面积为a 是,b c 的等差中项，求∆ABC 的周长．17．【详解】（Ⅰ）cos 2sin cos B c A A =-，cos 2sin sin cos A B C A B A =-，cos cos 2sin sin 0A B B A C A +-=，()2sin sin 0A B C A +-=，2sin sin 0C C A -=，(),0,πC A ∈ ，sin 0C ∴≠，sin A ∴=π3A ∴=或23π.………5分（Ⅱ）因为ABC的面积为1sin 2S bc A ==16bc ∴=，………6分由边a 是,b c 的等差中项，得2b c a +=，且A 不是最大的角，π3A ∴=，………7分22222π2cos ()3()483a b c bc b c bc b c =+-=+-=+- ，22448a a ∴=-，216a ∴=，4a ∴=，28b c a ∴+==，所以ABC 的周长为8412b c a ++=+=.………10分18．（本题满分12分）已知数列{n a }是递增的等比数列，且23141227,a a a a +=⋅=．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{n a }的前n 项和，11++=n n n n a b S S ，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．【详解】（Ⅰ）根据题意，设该等比数列的公比为q ，若23141227,a a a a +=⋅=，则有211122311312927a q a q a q a q a q =⎧+=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或121933a q q a q =⎧⇒=⎨=⎩或13q =.………3分又由数列{n a }是递增的等比数列，则3q =，则有11a =，则数列{n a }的通项公式1113n n n a a q --==；………6分（Ⅱ）由（1）可得13n n a -=，则()113112nnn a q S q--==-，则1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，………9分则1212231111111n n n n T b b b S S S S S S +=+++=-+-++-= 111111123313131n n n n S S ++++--=-=--………12分19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AB =，2PA AD CD ===．E 为棱PC 上一点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．且BE PC ⊥．（Ⅰ）求证：F 为PD 的中点；（Ⅱ）求二面角B FC P --的余弦值．19．【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．在Rt PAB △中，PB ==．……1分在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =，所以PB BC =．………2分因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点．………3分因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ．因为平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB EF ∥．………4分所以CD EF ∥．所以F 为PD 的中点．………5分（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A x yz -，………6分则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．所以(,,)120BC =uuu r ，(,,)111BF =-uuu r ，(,,)011AF =uuu r．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC BF =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅uuu r uuu rm m 即20,0.x y x y z +=⎧⎨-++=⎩令1y =-，则2x =，3z =．于是(2,1,3)=-m ．………8分因为AB ⊥平面PAD ，且AB CD ∥，所以CD ⊥平面PAD ．所以AF CD ⊥．又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．所以AF ⊥平面PCD ，所以AF uuu r是平面PCD 的一个法向量． (10)分cos ,7||||AF AF AF 〈〉==⋅uuu ruuu r uuu r m m m ．………11分由题设，二面角B FC P --的平面角为锐角，所以二面角B FC P --．……12分20．（本题满分12分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为23和12，假设每次操作能否成功相互独立．（Ⅰ）该公司分别收集了甲型无人运输机在5个不同的地点测试的两项指标数i x ，i y （1,2,3,4,5i =），数据如下表所示：地点1地点2地点3地点4地点5甲型无人运输机指标数x 24568甲型无人运输机指标数y34445试求y 与x 间的相关系数r ，并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系；（若0.75r >，则线性相关程度很高）（Ⅱ）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作．假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．附：参考公式及数据：()()niix x y y r --=∑0.95≈．20．【详解】（Ⅰ）2456855x ++++==，3444545y ++++==，()()516iii x x yy =--=∑，==相关系数()()50.95iix x y y r --=∑，因为0.75r >，所以与具有较强的线性相关关系．………5分（Ⅱ）设方案一和方案二操作成功的次数分别为X ，Y ，则X ，Y 的所有可能取值均为0，1，2，方案一：()1211121011112322236P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()121122112111351111123223322322272P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12211125223322272P X ==⨯⨯+⨯⨯=，所以()13525850126727272E X =⨯+⨯+⨯=．………9分方案二：选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，所以()121172223226E Y =⨯⨯+⨯⨯=，………11分所以()()E X E Y >，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．………12分21．（本题满分12分）已知曲线E 上任意一点Q到定点F 的距离与Q到定直线:14m x =的距离之比为3．（Ⅰ）求曲线E 的轨迹方程；（Ⅱ）斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM 交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．21．【详解】（Ⅰ）设曲线E 上任意一点(,)Q x y3=，化简整理得22195x y -=，所以曲线E 的轨迹方程为22195x y -=；………4分（Ⅱ）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l的方程为3y kx t k ⎛=+> ⎝⎭，联立22195y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22259189450k x ktx t ----=，因为有两个交点，所以2590Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，即22259095k k t ⎧-≠⎨<+⎩，所以1221859kt x x k +=-，()()22121222182591025959k t t k t y y k x x t k k +-+=++==--，即2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，………7分因为点M 在x 轴下方，所以25059t k <-，又3k >，所以0t >，所以直线OM 的斜率59OMk k =，则直线OM 的直线方程为59y x k=，将其代入双曲线E 的方程，整理得2228195Nk x k =-，所以2222222258125||18195NNNk ON x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪-⎝⎭，………9分将59y x k =代入直线=1x -，解得51,9D k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以有||OD ==，2||95k t t OM k ==-．由2||||||ON OD OM =，解得9t k =±，因为3k >，0t >，所以9t k =，因此直线l 的方程为9(9)y kx k k x =+=+，故直线l 过定点(9,0)-．………12分22．（本题满分12分）已知函数()(0)e xa f x x a =+>.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：122ln x x a +>.解：（Ⅰ）(e )(),()1e e ex x x x a a a f x x f x -'=+=-=，当0a >时，由f ’(x )=0得，ln x a =，x ，f ’(x )，f (x )的变化情况如下表：x (,ln )a -∞ln a(ln ,)a +∞f ’(x )-0+f (x )单调递减极小值单调递增所以f (x )的极小值为f (ln a )=ln a +1............................4分（Ⅱ）（i ）f (x )有两个零点的必要条件是ln a +1<0，即10e a <<；当10e a <<时，f (0)=a >0，f (-1)=-110ea -+<，ln 1a <-，所以f (x )在区间(ln ,)a +∞上有且仅有一个零点，又因为x →-∞时，()f x →+∞，（或111()0e aa f a a --=-+>）所以()f x 在区间(,ln )a -∞上有且仅有一个零点，所以()f x 有两个零点时，a 的取值范围是1(0,)e............................7分（ii ）12()()0f x f x ==，不妨设12x x <，可知12ln 1x a x <<-<，即12120e ex x a a x x +=+=，所以1212e e x x a x x =-=-，122ln a x x >+等价于122ln x a x >-，因为22ln ln x a a -<，所以212ln x a x >-等价于12()(2ln )f x f a x <-，即222ln 2ln 0a x a a x e --+>，令22222ln ()2ln 1)e a x ag x a x x -=-+>-，因为22e x a x =-，所以22221()2ln()g x x x x =-+-，2222222222121()10x x g x x x x ++'=++=>，所以2()g x 在区间(1,)-+∞上单调递增，所以2()(1)0g x g >-=，所以122ln x x a +>............................12分。

2020届泸州市泸县一中高三上学期开学考试
数学（文）试卷
★祝考试顺利★
第I卷（选择题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，则
A. B. C. D.
2.若复数满足，是虚数单位则||=
A. 1
B.
C.
D. 2
3.已知等比数列满足，，则其前6项的和为
A. B. C. D.
4.依照某发展中国家2018年的官方资料，将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组，依次为第一组至第五组，各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比如图所示.
以下关于该国2018年家庭收入的判断，一定正确的是
A. 至少有的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入
B. 收入最低的那的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的
C. 收入最高的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的
D. 收入最低的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的
5.双曲线的焦距是
A. B. C. D.
6.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是
A. B. C.
D.
7.若向量,,则
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
8.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是
A. B. C. D.
9.箱子里有大小相同且编号为1，2，3，4，5的五个球，现随机取出两个球，则这两个球编号之差的绝对值为3的概率是
A. B. C. D.
10.函数的图像大致是
A. B.
C. D.。

江西省南昌市2020届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{3=0,=1x M x N x y x -⎧⎫>=⎨⎬-⎩⎭，则()R C M N =I （ ）A. (]1,2 B. []1,2C. (]2,3D. []2,3【答案】B 【解析】 【分析】根据求解分式不等式和二次根式的定义域得,M N 集合，再运用集合的补集和交集运算求解.【详解】由已知得()()(],13,,,2MN =-∞⋃+∞=-∞，[]1,3R C M =，所以()R C M N =I []1,2， 故选B.【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于基础题.2.复数z 满足1i1i z+=-，则||z =（ ）A. 2iB. 2C. iD. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得复数z i =，即可得到复数的模，得到答案。

【详解】由题意，复数11ii z+=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D 。

【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2023-2024学年度第一学期2024届高三开学测试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{lg ,0100},450A y y x xB x x x ==<<=-++>∣∣，则A B = （）A.()0,2 B.()1,2- C.()1,2 D.()1,5-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义可求出答案.【详解】因为lg ,0100y x x =<<，所以lg1002y <=，所以}{2,A yy =<∣{}{}245015B x x x x x =-++>=-<<∣，所以A B = ()1,2-.故选：B.2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若3a ii-+为实数，则a ＝（）A.-3B.13C.3D.13-【答案】A【解析】【分析】先进行分母实数化，化简3a ii-+，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.【详解】因为()(3)31(3)31(3)3(3)(3)101010a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则(3)010a +-=，即30a +=，所以3a =-.故选：A.3.已知正项等比数列{}n a ，若355664,28a a a a =+=，则2a =（）A.16B.32C.48D.64【答案】B 【解析】【分析】根据等比中项，先求出4a ，然后根据5628a a +=求出公比，最后求2a 【详解】根据等比中项，235464a a a ==，又{}n a 是正项数列，故48a =（负值舍去）设等比数列{}n a 的公比为q ，由5628a a +=，即24428a q a q +=，解得12q =（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故42232a a q==故选：B4.已知向量a ，b满足7a b += ，且3a = ，4b = ，则a b -=r r （）A.5B.3C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据向量的模长的计算即可求解.【详解】22224924991624a b a b a b a b +=++⋅=⇒⋅=--=r r r r r r r r，所以2222916241,1a b a b a b a b -=+-⋅=+-=∴-=r r r r r r r r，故选：D5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A.116B.18 C.316D.14【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为344161111C 1222123⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭⎝⎭.故选：C6.函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.7.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e 4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.8.已知双曲线22:142x y Γ-=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于,A B 两点，且22F AB F BA ∠∠=，则2BF =（）A.4 B.4 C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出2BF 即可.【详解】由双曲线22:142x y Γ-=得出2,a b c ===.因为22F AB F BA ∠∠=，所以22F A F B =.作2F C AB ⊥于C ，则C 是AB 的中点.设22F A F B x ==，则由双曲线的定义211222,F A F A a F B F B a -=-=，可得114,4,8F A x F B x AB =-=+=.故2124cos CB BF xF BF =∠=，又由余弦定理得()(()()222221cos 444244F BF xx x x x x xx ++-+-=⋅∠=++⋅，所以()24444x x x x x+-=+⋅，解得x =.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差11053s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s =，显然1053>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.已知,,a b c 是两两异面的三条直线，a b ⊥r r，c a ⊥，直线d 满足d a ⊥，d b ⊥，a d P ⋂=，b d Q ⋂=，则c 与d 的位置关系可以是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直【答案】BC 【解析】【分析】作出正方体模型，确定AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ，符合题意，然后考虑直线c 的位置情况，根据空间的线面位置关系，一一判断各选项，即可得答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 上一点（异于1A ），AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ．当1DD 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 平行，C 正确；当1D E f 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 异面，B 正确；若c 与d 相交，则a 垂直于,c d 确定的平面，又a 垂直于,b d 确定的平面，则,,b c d 在同一个平面内，即b 与c 共面，与已知矛盾，A 错误；若c 与d 垂直，则c 垂直于a,d 确定的平面，而b 垂直于a,d 确定的平面，推出b 与c 平行或重合，与已知矛盾，D 错误，故选：BC ．11.如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2<ϕ）的部分图像，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.5π6x =是的函数()y f x =的一条对称轴C.将函数()y f x =的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数D.若函数()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则54,63t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】AD 【解析】【分析】先根据图像可得2,πA T ==，即可判断A ；令ππ2π(Z)32x k k +=+∈解出x 即可判断B ，接下来求得,ωϕ，即可得到()f x 的解析式，根据图象平移判断C ；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解出函数零点，然后根据在[]0,π上有且仅有两个零点列出不等式解t 即可判断D .【详解】由图像可知，2A =，πππ=43124T -=，即πT =，故A 正确；2π2T ω∴==，此时()2sin(2)f x x ϕ=+，又π(,2)12 在图像上，π22sin(2)12ϕ∴=⨯+，解得π2π(Z)3k k ϕ=+∈，ππ()2sin(22π)2sin(2)33f x x k x ∴=++=+，π()2sin(23f x x =+ ，ππ2π(Z)32x k k ∴+=+∈，ππ(Z)122k x k ∴=+∈，当5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴时，此时32k =不符合题意，故B 错误；将()f x 的图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的解析式为：πππ()2sin[2()]2sin(2)333g x x x =-+=-不为奇函数，故C 错误；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解得ππ(Z)62k x k t t =-+∈，当0k =时，π06x t =-<，不合题意1k =时，π3x t =；2k =时，5π6x t =；3k =时，4π3x t =；又因为函数()(0)y f tx t =>在[]0,π上有且仅有两个零点5ππ64ππ3t t⎧≤⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩，解得5463t ≤<，故D 正确.故选：AD .12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体，四边形ABCD 为正方形，EF 平面,24,ABCD AB EF AE DE BF CF ======，则（）A.该几何体的表面积为16++B.该几何体的体积为2073C.该几何体的外接球的表面积为40πD.AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212【答案】ABD 【解析】【分析】过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，将该几何体分为一个棱柱与两个棱锥，取AD ，BC 的中点P ，Q ，则EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，然后求出表面积可判断A ；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，可证得FT ⊥面ABCD ，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，从而判断B ；连接AC ，BD 交于点O ，可求得O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝，求出表面积即可判断C ；取AB 的中点N ，得AE ∥FN ，则AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设N 到面FBC 的距离为h ，利用等体积法，由N FBC F NBC V V --=求得h ，进而可得AE 与平面FBC 所成角的正弦值，可判断D ．【详解】∵EF ∥平面ABCD ，EF 在平面ABFE 内，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，∵24,AB EF AE DE BF CF ======∴ABFE ，DCFE 均为等腰梯形，过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，连接KM ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，连接GH ，∴EF ∥KG ∥MH ，EF ＝KG ＝MH ＝2，AK ＝GB ＝DM ＝HC ＝1，∵AB ∥DC ，FH ⊥DC ，∴AB ⊥FH ，又AB ⊥GF ，GF ，FH 在平面FGH 内，GF ∩FH ＝F ，∴AB ⊥面FGH ，同理，AB ⊥面EKM ，∴面FGH ∥面EKM ，∴该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.分别取AD ，BC 的中点P ，Q ，连接FQ ，EP ，∵23AEDE BF CF ====EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，∴FQ ()222223111FB BG -=-，∴14222EAD FBC S S ==⨯⨯△△，FG ()22222322FB BQ -=-()12411112DCFE ABFE S S ==⨯+⨯，又4416ABCD S =⨯=，∴该几何体的表面积为821116EAD FBC DCFE ABFE ABCD S S S S S ++++=+△△，故A 正确；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，连接FT ，∵AB ⊥面FGH ，FT 在面FGH 内，∴FT ⊥AB ，∵GF ＝FH ＝EK ＝EM ，∴FT ⊥GH ，又AB ，GH 在面ABCD 内，AB ∩GH ＝G ，∴FT ⊥面ABCD ，∴FT ()22222217FQ QT -=-=，∴14133E AKMDF GBCH V V --==⨯⨯⨯=，∵11422FGH S GH FT =⋅=⨯⨯=△∴2FGH EKM FGH V S GK -=⋅==△∴该几何体的体积为3E AKMDF GBCH FGH EKM V V V ---++=，故B 正确；连接AC ，BD 交于点O ，则O 也在PQ 上，连接OE ，OF ，∵EF ∥OQ ，EF ＝OQ ，∴EFQO 为平行四边形，∴EO ＝FQ ＝，同理，FO ＝EP ＝，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OE ＝OF ＝∴O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝∴该几何体的外接球的表面积为24π32πR =，故C 错误；取AB 的中点N ，连接FN ，NC ，∵EF ∥AN ，EF ＝AN ，∴EFNA 为平行四边形，∴AE ∥FN ，∴AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设为θ，设N 到面FBC 的距离为h ，∵N FBC F NBC V V --=，∴1133FBC NBC S h S FT ⋅=⋅△△，∴11124332h ⨯=⨯⨯⨯⨯，∴2h =，∴14422sin 12h FN θ===，即AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212，故D 正确．故选：ABD ．第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f -'⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为________________．【答案】6160x y --=【解析】【详解】试题分析：对函数3()=(2)f x x x f -'⋅，求导可得()()232f x x f '-'=，得()()22322f f ''=⨯-，因而切线的斜率(2)6k f '==而()()322228124f f '=-⨯=-=-，由点斜式可得切线方程为46(2)y x +=-即6160x y --=14.已知数列{}n a 各项均为正数，若11a =，且()1ln ln 1N n n a a n *+=+∈，则{}na 的通项公式为______．【答案】1e n n a -=##e enn a =【解析】【分析】推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式.【详解】由已知可得11ln ln ln1n n n n a a a a ++-==，所以，1e n naa +=，所以，数列{}n a 是等比数列，且该数列的首项为1，公比为e ，因此，111e e n n n a --=⋅=.故答案为：1en n a -=.15.已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ________．【答案】2【解析】【分析】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，根据3x y 的来源分析即可求出答案.【详解】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，3x y 来源如下：有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供a y ，有3个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供x ，有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供常数，此时3x y系数是()31354C C 140a -=-，即2040a -=-，解得：2a =故答案为：2.16.设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f -<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-．则()55f =______．【答案】1-【解析】【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f -，令1y =和y x =-可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =-，则()()()()22212111f ff f =+-=-=，又()10f -<，()11f ∴-=-；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+-=-，()f x \关于直线1x =对称；令y x =-，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++--=+-+=⎡⎤⎣⎦，()10f x += 不恒成立，()()0f x f x ∴+-=恒成立，()f x \为奇函数，()()()2f x f x f x +=-=- ，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，()f x \是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯-=-=-.故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A 的平分线交线段BC 于点D．（1）证明AB BDAC DC=；（2）若6AB =，8AC =，7BC =，求AD ．【答案】（1）证明见解析；（2）6AD =．【解析】【分析】（1）由题得ACD ABD S ACS AB= ，再代入面积公式即得证；（2）由题得3BD =，4CD =，求出1cos 4B =，再利用余弦定理得解.【详解】（1）证明：依题意AD 为A ∠的平分线，设1,2,CAD BAD ∠=∠∠=∠∴12∠=∠∵1sin 12ACD S AC AD =⋅⋅∠ 1sin 22ABD S AB AD =⋅⋅∠ 故ACD ABD S ACS AB= ，设A 点到BC 的距离为h ，则可知1212ACDABDCD hS CDS BD BD h ⋅==⋅∴可知AC CDAB BD=（2）由8463AC CD AB BD ===，又7BD DC BC +==∴可知3BD =，4CD =在ABC 中，2226781cos 2674B +-==⨯⨯∴在ABD △中，2222cos 36AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=即6AD =.【点睛】方法点睛：解三角形的主要考点有正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，解答三角形问题时，主要从这几个考点出发.18.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学A 类试题中有7道题会作答，而他答对各道B 类试题的概率均为25.（1）若小明同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；（2）若小明只作答A 类试题，设X 表示小明答这3道试题的总得分，求X 的分布列和期望.【答案】（1）99250（2）分布列见解析，期望21【解析】【分析】（1）分A 类试题答对和B 类试题答对两种类型计算概率；（2）列出X 所有可能的取值，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量的分布列及数学期望.【小问1详解】小明仅答对1题的概率2127332399C 1051055250P ⎛⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭⨯ .【小问2详解】X 可能的取值为0，10，20，30，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 7(10)C 40P X ===，2173310C C 21(20)C 40P X ===，37310C 7(30)C 24P X ===，所以X 的分布列为X102030P11207402140724所以17217()010203021120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设数列{}n b 满足13,,2,,2nn n a b n n n nn ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得122k b b b m +++< 对一切正整数k 均成立．【答案】（1）证明见解析（2）94【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解122k b b b +++，由不等式的性质即可求解.【小问1详解】由已知得，112133n n a a +=+，所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．因为112103a -=≠，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列．【小问2详解】证明：（2）由（1），当n 为偶数时，12323n n n b a =-=-，当n 为奇数时，222222n n n b n n n n +=+=+-++，故()()1221321242k k kb b b b b b b b b -+++=+++++++ 24222222222222222213352121333k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 242222222221333k k k k ⎛⎫=+-++++- +⎝⎭222211233212113k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-++-292142143k k =--+⋅，由29219421434k k --<+⋅所以m 的最小值为94．20.如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．（1）证明：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥-P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，3AB =，所以12AC =，所以()3,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ，所以333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3,0,0AB =，()0,12,0AC = ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z = ，则3330230n AE x y z nAB x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y -，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-；所以43cos ,13n m n m n m⋅==-.设二面角C AE B --的大小为θ，则43cos cos ,=13n m θ=，所以11sin 13θ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.21.设1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 的短轴的一个端点，已知12PF F △的面积为，121cos 3F PF ∠=-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与2PF 平行的直线l ，满足直线l 与椭圆C 交于两点M ，N ，且以线段MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）存在满足条件的直线l ，方程为23224y x =+或23224y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）由12PF F △的面积得cb =121cos 3F PF ∠=-得33b a =，结合,,a b c 关系即可求得椭圆C 的标准方程；公众号：全元高考（Ⅱ）可设直线l 的方程代入椭圆方程求得两根关系，以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，代入坐标化简求取m 值，即可求得直线方程．【详解】解：（Ⅰ）设122F F c =，则12PF F △的面积等于1212F F OP cb =，所以cb =．①由2121cos 2cos 3OPF F PF ∠=∠=-，即2212cos 13OPF ∠-=-，得23cos 3OPF ∠=．因为在直角2OPF 中，OP b =，2OF c =，2PF a ===，所以2cos b OPF a ∠=，所以33b a =．②由①②及222a b c =+，得a =1b =，c =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）因为直线2PF 的斜率为22-，所以可设直线l 的方程为22y x m =+，代入2213x y +=，整理得225106x m +-=．由)()2254106m ∆=-⨯->，得252m <．设112,2M x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，222,2N x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则12625x x +=，()212615m x x -=．若以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，即121222022x x x m x m ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得()212123022x x m x x m -++=，所以()2261326202525m m m -⨯-⨯+=，得298m =．因为9582<，所以324m =±．公众号：全元高考所以存在满足条件的直线l，方程为24y x=+或24y x=-．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()ln1f x a x ax=-+，Ra∈.（1）若经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，求实数a的值；（2）设()()2112g x f x x=+-，若()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，且不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）11ln2a=-（2）[2ln23,)-+∞【解析】【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）将()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，转化为方程20x ax a-+=在(0,)+∞上有两个不同的根，根据根的判别式求出a的取值范围，将不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，转化为()()1212g x g xx xλ+>+恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.【小问1详解】公众号：全元高考()f x的定义域为(0,)+∞，由()ln1f x a x ax=-+，得()af x ax'=-，则()222a af a'=-=-，因为经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，所以(2)22f ak==-，所以ln 221a a a -+=-，解得11ln 2a =-，【小问2详解】()()22111ln 22g x f x x a x ax x =+-=-+，则()2(0)a x ax a g x a x x x x-+'=-+=>，因为()g x 有两个极值点为1x ，()212x x x ≠，所以()20x ax a g x x-+'==在(0,)+∞上有两个不同的根，此时方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，则240a a ∆=->，且12120,0x x a x x a +=>=>，解得4a >，若不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()1212g x g x x x λ+>+恒成立，因为221211122211()()(ln )(ln )22g x g x a x x x a x x x +=-++-+221212121ln()()()2a x x a x x x x =-+++2121212121ln()()()22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦21ln 2a a a a =--不妨设()()212121ln 12()ln 1(4)2a a a a g x g x h a a a a x x a --+===-->+，则112()22a h a a a-'=-=，因为4a >，所以()0h a '<，所以()h a 在(4,)+∞上递减，所以()(4)2ln 23h a h <=-，所以2ln 23λ≥-，即实数λ的取值范围为[2ln 23,)-+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，求出a 的范围，再将不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()12121ln 1(4)2g x g x a a a x x λ+>=-->+恒成立，然后构造关于a的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。

四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________． ．． ．．已知实数,x y 满足x a ，则下列关系式恒成立的是（．221111x y >++ln 2(1)x +＞ln 2(yA ．14B ．128．已知函数()sin(4)(0f x A x ϕ=+<于直线π24x =-对称，将()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间A ．12B ．1二、填空题三、解答题(1)求证：AP CP ⊥；(2)求三棱锥P ADE -的体积．19．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数其中24y =，71()()70i i i x x y y =--=∑(1)运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合参考答案：8．C【分析】根据已知条件求得求法求得正确答案.sin πA ϕ⎧=⎪因为M 为双曲线右支上一点，设12,MF m MF n ==，则m -故222224,m n mn a m +-=∴+在12F MF △中，2121|||F F MF =15．0【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程可得积的坐标运算公式求MA MB ⋅的值【详解】解：如图，设()11,,A x y B y y -317．（1）见解析（2）n T =【详解】试题分析：(1)题中所给的递推关系整理可得：{}n a n -是首项为2，公比为19．(1)可以用线性回归方程模型拟合(2)5722ˆyx =-，种子的发芽颗数为【分析】（1）根据已知数据代入相关系数公式计算即可作出判断；。

2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．“13m =”是“直线(1)230m x my +++=与直线(1)(1)10m x m y -++-=垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若直线(1)230m x my +++=与直线(1)(1)10m x m y -++-=相互垂直， 则()()()11210m m m m +-++=，即()()1310m m +-=， 解得1m =-或13m =，则“13m =”是“直线(1)230m x my +++=与直线(1)(1)10m x m y -++-=相互垂直”的充分不必要条件， 故选：B . 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件建立方程关系求出m 的值是解决本题的关键，属于中档题.3．设复数z 满足||2z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ）A ．22(1)2x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y +-=D ．22(1)2x y ++=【答案】C【解析】由z 在复平面内对应的点为(,)x y ，可得z x yi =+，然后根据复数模长的概念即可得解. 【详解】∵z 在复平面内对应的点为(,)x y ， ∴z x yi =+，||2z i -=，2=，即22(1)4x y +-=. 故选：C . 【点睛】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属于基础题.4．已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ）A ．3-B ．1-C ．3D ．1【答案】C【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为3 5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093【答案】D【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 6．函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（ ） A ．1(,)3+∞ B ．1(,)3-∞C ．1[,)?3+∞D ．1(,]3-∞【答案】C【解析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R 上恒成立即可． 【详解】若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，只需2320y x x m '=++≥ 恒成立，即141203m m =-≤∴≥V ，． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．7．《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+ D ．0,0)2a b a b +≤>>【答案】D【解析】令,AC a BC b ==，可得圆O 的半径2a br +=，又22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，则()2222222()442a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2a b +≤Ｄ． 8．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【答案】C【解析】试题分析：由已知得，sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得，sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以sin cos cos sin cos ,sin()cos sin()2παβαβααβαα-=-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，选C【考点】同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．二、多选题9．关于函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，下列命题正确的是（ ）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成5()3cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()y f x =的图象关于直线12x π=-对称【答案】BD【解析】举出反例16x π=，223x π=可判断A ；通过诱导公式可判断B ；根据正弦型函数的对称中心在曲线上可判断C ；根据正弦型函数在对称轴处取得最值可判断D . 【详解】函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭， 周期22T ππ==， 对于A ：当16x π=，223x π=时，满足()()121f x f x ==，但是不满足12x x -是π的整数倍，故A 错误； 对于B ：由诱导公式，53sin 213cos 213cos 213623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎡⎤⎢⎝⎥⎭⎣⎦⎭，故B 正确； 对于C ：令34x π=，可得33153213144322f sin πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ：当12x π=-时，可得3sin 113121263f πππ⎛⎫⎛⎫-=--+=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的图象关于直线12x π=-对称；故选：BD . 【点睛】本题主要考查利用()sin y A ωx φ=+的信息特征，判断各选项的正误，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.10．甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B ．甲的不同的选法种数为15C ．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是16D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949【答案】BD【解析】根据对立事件的概念可判断A ；直接根据组合的意义可判断B ；乙同学选技术的概率是13可判断 C ；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D . 【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A 错误；由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即2615C =种选法，故B 正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是2163=，故C 错误； 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为37，故乙、丙两名同学都选物理的概率是3397749⨯=，故D 正确； 故选BD . 【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.11．三棱锥P−ABC 的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，则下列说法正确的是（ ）A ．PAB ∆是钝角三角形 B ．此球的表面积等于5πC ．BC ⊥平面PACD ．三棱锥A−PBC 的体积为2【答案】BC【解析】根据余弦定理可得底面为直角三角形，计算出三棱锥的棱长即可判断A ，找到外接球的球心求出半径即可判断B ，根据线面垂直判定定理可判断C ，根据椎体的体积计算公式可判断D . 【详解】 如图，在底面三角形ABC 中，由1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒， 利用余弦定理可得：2211221232BC =+-⨯⨯⨯= ∴222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，由于PC ⊥底面ABC ，∴PC AC ⊥，PC BC ⊥， ∵PC AC C =I ，∴BC ⊥平面P AC ，故C 正确； ∴222PB PC BC AB +==，由于2220PB AB PA +->，即PBA ∠为锐角， ∴PAB ∆是顶角为锐角的等腰三角形，故A 错误；取D 为AB 中点，则D 为BAC V 的外心，可得三角形ABC 外接圆的半径为1，设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，连接OP ，则21512OP ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭即三棱锥P ABC -的外接球的半径为52R =， ∴三棱锥球的外接球的表面积等于2545ππ⨯=⎝⎭，故B 正确；113131326P ABC V -=⨯⨯=，故D 错误； 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，椎体的体积计算以及三棱锥外接球体积的计算等等，属于中档题.12．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的方程是22x y =B ．抛物线的准线是1y =-C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p ，进而得到抛物线方程和准线方程；求得()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得线段AB 的最小值，可得圆Q 的半径，由中点坐标公式可得Q 的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求sin QMN ∠的最小值.【详解】抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2p y =-， 点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确； 由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由21 4y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，， 221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+，在等腰QMN V 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++， 当且仅当0k =时取等号， 所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确， 故选：BC. 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，课程中心方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题.三、填空题13．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21f x x x=+，则()1f -=______． 【答案】－2【解析】f(－1)＝－f(1)＝－2.14．甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_____________. 【答案】乙 【解析】【详解】假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲， 则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意； 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙， 则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意； 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙， 则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意。

2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）02
数学
本试卷共22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
故选：D.
【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程。