数学分析不定积分习题课课件

解
x 1 x(1 xex
)
dx
令
=
dt t(1
t
)
=
dt t
t
dt 1
= ln t ln t 1 C
= ln xex ln xex 1 C
例6
思索题：P97 6、（2）
解
原式 =
x9dx = 1 x10 (2 x10 ) 10
d ( x10 ) x10 (2 x10 )
= 1 ( 1 1 )d (x10 ) 20 x10 2 x10
dt ,
t2 4 3
t2 t2 22
9
dx
=3
dt ,
x2 9x2 4
t2 t2 22
上式右端积分旳被积函数中有 t 2 22 , 在积分表 (六)类中，查到公式 41，当 a = 2(x 相当于 t)时，
得 教材第185页
t2
dt t2 Βιβλιοθήκη 2=t2 4 C = 4t
9x2 4 C. 12 x
代入原积分中，得
dx
=3
dt = 9x2 4 C.
x2 9x2 4
t2 t2 22
4x
3.用递推公式
例4
查表求
dx sin4
x
.
解 被积函数中含三角函数，在积分表(十一)类
中查到公式 97，递推公式为 教材第187页
dx
sinn x
=
1 n
1
cos x sinn1 x
n n
2 1
f
( x)dx=
f
(x)
d[ f ( x)dx] = f ( x)dx
F ( x)dx = F ( x) C
dF ( x) = F ( x) C

x11 x11
dx
x 1 t,
则
x1 t
2
,
d x 2 td t
2 t1
,

x11 x11

dx

t1 t1
4t t1
2 td t
(1
)2 td t
4
(2t
2
)d t
(2t 4
t1
)d t
t 4 t 4 ln | t 1 | C 1
101
(1 x )
102
C

(1 x ) 102

(1 x ) 101
C
解二


x (1 x )
100
dx
(1 x 1)(1 x )
(1
101
100
dx

x)
dx
(1
101
100
x)
dx

(1 x ) 102
102

(1 x ) 101
ln
t 1 t 1
C

1 2(ln 3 ln 2)
ln
3 2
x
x x
3 2
x
C.
例2 解一

ln x ln( x 1) x ( x 1)
dx
1 x ( x 1)
注意到 [ln x ln( x 1 ) ]
ln x ln( x 1 ) x ( x 1) dx
dx
1 co s x
dx


dx 2 co s
2
d x 2

【例 5-6】求不定积分 3x e xdx
解： 3x exdx (3e)x dx
(3e) x
C
ln(3e)
3x ex
C
1 ln 3
【例 5-7】求不定积分 x 4 dx
1 x2
解： x4 dx x4 1 1 dx
1 x2
1 x2
(x2 1)( x2 1) 1dx
1 x2
解：
sin 2
x 2
dx 1 2
1
cosx dx 2
dx cos
xdx
1 (x sin x) C
2
【例 5-10】求不定积分 cos2x dx sin x cosx
解： cos2x dx cos2 x sin 2 x dx
sin x cosx
sin x cos x
cos(ex )d(ex ) sin(ex ) C
注： cos(3x)dx sin(3x) C
现在我们计算 cos(3x)dx
cos(3x)dx
cos3x
1 3
1 sin u C
d (3x) 3x u
1 sin 3x
1 3
cos
C
u
du
3
3
此法就是第一类换元积分法．
定理 设 f (u)du F(u) C ， u (x) ，且u (x) 有连续导函数，则 f (x)(x)dx F(x) C ．
其中， 1 (x) 是 x (t) 的反函数．
这种方法称为第二类换元法．
注（1）第二类换元法即是：
f (x)dx 令 x (t) f (t) (t)dt
(t) C
[ 1 (x)] C
（2）选择合适的函数 x (t) 是第二类换元法

dx
( n 为自然数)
n (x a)n1(x b)n1
解: I 令 则( xttn a)xx(xxxdxbabab, )nnt xxbad t (a( xannbt)dbtb)tdtdtx1 ((xxaabdb))(xxdxb) n (说(通注(通注说计 一一一一计一通二特使(一注注使注注二说 二通二一(使说一通一使计 一(说注一注(一注特使一(((通通注一二通(说计一P通 注使(通二计一计使二计二(注PP二通代代代代代代代代代代22112222)))))明过意过意明算、、般般算般过、别用、意意用意意、明般过、、用明般过般用算、明意般意、意别用、过过意般过明算般过意用、过、算、般算用、算、意、过000换换换换换换换换换换初初一一初555:简 常 简 常 :格经 经 格 经 简 几 :各 常 常 各 常 常 几 :几 经 简 几 各 :经 简 经 各 格:常 经 常 常 :各 简 简 常 经 几 简 :格 经 简常 各 简 几 格 经 格 各 几 格 几 常 几 简～ ～ ～求求求求求求求求求::::::::::等等般般等此此当此 此此当此单见单见式 验验式验单种种见见种见见种种验单种种验单验种式 见验见见种单单见验种单式验单 见种单种式验式种种式种见单PPP不不不不不不不不不函函方方函法技法技 技法法222uu变的变的:::::变特基的的基的的特特:变特基:变:基:的:的的基变变的:特变::变 的基变特:::基特特的特变000定定定定定定定定定数数法法数特巧为特巧 巧特为特666列 按按列按按按按列 按按列按列按列列形换形换形殊本换换本换换殊殊形殊本形本换换换本形形换殊形形 换本形殊本殊殊换殊形积积积积积积积积积公公公的的不不的别适别适 适别别表 ““表“n“““表 “n“表“表“表表元元类积元元积元元类类类积积元元元积元类元积类积类类元类,,,,,,,,,,,))))))))))分分分分分分分分分式式式原原一一原利利利利利利利利利 利利适用适用 用适适次次计 反反计反反反反计 反反计反计反计计积积型分积积分积积型型型分分积积积分积型积分型分型型积型的的的的的的的的的(((函函定定函用用用用用用用用用 用用用于用于 于用用多多111,,,,,,,,,,算 算算 算算算算分分的法分分法分分的的的法法分分分法分的分法的法的的分的666基基基基基基基基基对对对对对对对对对对数数是是数基基基基基基基基基 基基于形于形 形于于项项)))类类积类类类类积积积类类类类积类积积积类积,,,,,,,本本本本本本本本本~~~,,,,,,,,,,不 不 最 最 不简简简简简简简本本本本本本本本本本本为为 为式式幂幂幂幂幂幂幂幂幂幂(((型型分型型型型分分分型型型型分型分分分型分222方方方方方方方方方一一简简一便便便便便便便积积积积积积积积积 积积时时444,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,)))法法法法法法法法法指指指指指指指指指指定定便便定的的的如如计如如计如如计计如如如计如如计计如分分分分分分分分分 分分,, 是是的的是推推推掌掌算掌掌算掌掌算算掌掌掌算掌掌算算掌公公公公公公公公公 公公,,,,,,,,,, 三三三三三三三三三三初初方方初导导导握握握握握握握握握握握握式式式式式式式式式 式式.......””””””””””等等法法等方方方和和和和和和和和和 和和的的的的的的的的的的函函函,,法法法运运运运运运运运运 运运顺顺顺顺顺顺顺顺顺顺数数数算算算算算算算算算 算算序序序序序序序序序序法法法法法法法法法 法法,,, ,,,,,,,,,,则则则则则则则则则 则则

1)9
C
；
（Hale Waihona Puke ）1 36(4x1
1)11
C
.
17
二、求下列不定积分：
1、
1 x2
cos
1 x
dx
;
2、
x2
dx 2x
;
5
3、
ln( x 1 x2 ) 5 dx; 1 x2
4、
(1
x2 x
2
)2
dx
;
5、
1
dx ; 1 x2
6、
x2
x
1 x2
1
dx
;
7、
e
x
dx (1 e
2
x
;
)
1 x2
tan 1 x2 d 1 x2 ln cos 1 x2 C
4
第四章 不定积分 习题课
例3
x2 1
x4
dx 1
分子分母同除以 x2
解 原式
1
1 x2
dx
x2
1 x2
d( x 1 ) x
(x 1 )2 2 x
1
x 1 arctan x C
2
2
1 2
arctan
x
2 1 2x
C
5
第四章 不定积分 习题课
例4
xe x (1 x)2 dx
解
xe x
(1 x)2 dx
(1
x x
)2
de
x
v
u
原式
xe
x
d( 1
1
) x
xe 1
x
x
( xe x ) dx
1 x

证 (i) 由 (F( x) C) F ( x) f ( x), 知 F( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数.
(ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
(F ( x) G( x)) F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0.
又如, 已知曲线在每一点处的切线斜率 k( x), 求 f ( x), 使 y f ( x) 的图象正是该曲线, 即使得
f ( x) k( x).
定义1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义,若 F ( x) f ( x)， x I ,
则称 f 为 F 在区间 I 上的一个原函数.
例1 (i) 路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的一个原函
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x)C
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
y F(x) ( x0 , y0 )
O
x
满足条件 F ( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
§1 不定积分概念与 基本积分公式
不定积分是求导运算的逆运算.
一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 四、基本积分表
一、原函数
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 使
F ( x) f ( x). 例如 已知速度函数 v(t ), 求路程函数 s(t ). 即求
s(t), 使 s(t) v(t).

1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )

不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。

2 x 1 1 d x 1 2 2 x 1 1 2 d x 1 2 2 x 1 1 d (2 x 1 )
1 2
1 u
du
1 ln | u | C 2
1ln| 2x1| C. 2
注意换回原变量
精品课件
5
例2 求 xsin x2dx.
解： ux2,du2xdx 则
想到公式
sin u du
解sin2xcosxdx sinx2dsinx
1 sin3 x C.
3
u2du u3 C 3
一般地, 有
s in x f( c o s x ) d x f( c o s x ) d c o s x ;
c o s x f( s in x ) d x f( s in x ) d s in x .
1
解 3x2 1x3dx (1x3)2 3x2dx
1 u2du
2u32
C
3
1
(1x3)2 dx3
1
(1x3)2d1x3
2
(1
3
x3)2
C.
3
精品课件
19
例14
求
dx x2 a2 .
解 dx
x2a2
(xad)(xxa)
21a(x 1ax 1a)dx
21a(x 1adxx 1adx)
2 1 a[x 1ad(xa )x 1ad(xa )]
1(lnxalnxa)C 2a
1 ln xa C. 2a xa
精品课件
20
例15 求 sin2 xdx.
解sin2xdx1c2 os2xdx
12(dxcos2xdx) 12dx12cos2xdx
12dx14cos2xd(2x)

启示
能否根据求导公式得出积分公式？ 结论
既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 本 积 分 表
(1) kdx kx C (k是常数); (2) xdx x1 C ( 1);
1
(3)

dx x

ln
x

C;
说明： x
x


0,

2 )dx
1 x2

3
1
1 x
2
dx

2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例6
求积分
1 x x2 x(1 x2 )dx.
解

1 x x2 x(1 x2 )
dx


x (1 x2 x(1 x2 )
)dx



1
x2 1
三、一曲线通过点( e 2 , 3 )，且在任一点处的切线的 斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
练习题答案
一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数；
3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续；
6、
2
x
5 2
C；
7、

2
x
3 2
C；
5
3
8、 x3 3 x2 2x C ； 32
(7) sin xdx cos x C;
(8)

dx cos2
x

sec2 xdx tan x C;
(9)

dx sin 2
x