湖北省襄阳市第四十七中学九年级数学《22.2.3因式分解法》教案1 人教新课标版【精品教案】

21.2.3 用因式分解法解一元二次方程教案一、学习目标1、知识与技能：会使用因式分解的方法解某些一元二次方程2、过程与方法：经历分解因式法把一元二次方程化为两个一元一次方程的过程，体会“降次”思想“、转化”思想。

3、情感态度与价值观：体验方法的优劣，激发探索的欲望，感受数学学习的乐趣，增加学习数学的兴趣。

二、教学重点难点教学重点：用因式分解法解某些一元二次方程教学难点：根据方程特点选择合适的因式分解的方法三、教法、学法：本节课我主要采用启发式、类比法、探究式的教学方法。

教学中力求体现“类比---探究归纳”的模式。

有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。

同时学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性、活动性和创造性。

四、教学过程：（一）温故而知新1、我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?2、什么叫分解因式?因式分解的方法有哪些？学生回答，教师用字母表示。

（二）问题导入一个数的平方与这个数的3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？小颖、小明、小亮分别是这样解的：（略）小颖用的什么法？——公式法小明的解法对吗？为什么？——违背了等式的性质，x 可能是零。

小亮的解法对吗？其依据是什么——两个数相乘，如果积等于零，那么这两个数中至少有一个为零。

［出问题学生探讨哪种方法对，哪种方法错；错的原因？你会用哪种方法简便］师引导学生得出结论如果A B=0 A=0 或B=0（如果两个因式的积为零，则至少有一个因式为零，反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零。

）“或”有下列三层含义①A = 0且B和②A和且B = 0③A = 0且B = 0（三）探究新知1、概念因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解。

这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法。

人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计1一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册第21章第2节的内容，它是解决一元二次方程的一种重要方法。

因式分解法不仅可以帮助学生更好地理解一元二次方程的解法，还可以提高他们解决实际问题的能力。

本节课的内容包括因式分解法的概念、方法和步骤，以及如何应用因式分解法解决实际问题。

通过本节课的学习，学生应该能够掌握因式分解法的原理，并能够灵活运用它来解决一元二次方程。

二. 学情分析在开始本节课的学习之前，学生已经学习了一元二次方程的基本概念和解法，他们对一元二次方程有一定的了解。

然而，因式分解法作为一种特殊的解法，学生可能还没有完全理解和掌握。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答他们的疑问，并引导他们积极参与课堂讨论。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解因式分解法的概念，掌握因式分解法的步骤，并能够运用因式分解法解决一元二次方程。

2.过程与方法目标：学生通过自主学习和合作交流，培养解决问题的能力和团队合作精神。

3.情感态度与价值观目标：学生通过对因式分解法的学习，增强对数学的兴趣和自信心，培养良好的学习习惯。

四. 教学重难点1.重点：因式分解法的概念、方法和步骤。

2.难点：如何灵活运用因式分解法解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。

2.案例分析法：教师通过分析典型例题，引导学生理解和掌握因式分解法。

3.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。

六. 教学准备1.教材：人教版九年级数学上册。

2.教学多媒体设备：电脑、投影仪、黑板等。

3.练习题：针对本节课内容的练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生回顾一元二次方程的基本概念和解法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，介绍因式分解法的概念、方法和步骤，让学生初步了解因式分解法。

课题：22.2.3 因式分解法教学过程一、情境引入：1、我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？2、解下列一元二次方程：（1）142-=+t t （2）0922=-+x x 3、式子ab=0说明了什么？4、把下列各式因式分解.（1）x 2－x （2） x 2－4x （3）x ＋3－x （x ＋3） （4）（2x －1）2－x 2二、探究学习：1．尝试：（1）、若在上面的多项式后面添上=0，你怎样来解这些方程？（1）x 2－x =0 （2） x 2－4x=0（3）x ＋3－x （x ＋3）=0 （4）（2x －1）2－x 2=02．概括总结．你能用几种方法解方程x 2－x = 0？本题既可以用配方法解，也可以用公式法来解，但由于公式法比配方法简单，一般选用公式法来解。

还有其他方法可以解吗？另解：x2-x＝0，x(x-1)＝0，于是x＝0或x-3＝0．∴x1=0，x2=3归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．可见，能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么样的条件？（1）方程的一边为0（2）另一边能分解成两个一次因式的积3.典型例题：例 1 用因式分解法解下列方程：（1）2（x+3）-x（x+3）=0 （2）（2x-5）2-2x+5=0用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）通过移项把一元二次方程右边化为0（2）将方程左边分解为两个一次因式的积（3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解(可以试着用多种方法解本例中的2个方程)如何选用解一元二次方程的方法？（学生总结）首选因式分解法和直接开平方，其次选公式法，最后选配方法4.巩固练习：练习1 用因式分解法解下列方程：（1）x2+x =0 （2）x2-3x =0(3)3x2-6x=-3 (4) 3x（2x+1）=4x+25.探究：思考：在解方程（x＋2）（x+5）= 4（x＋2）时，在方程两边都除以（x＋2），得x＋5=4，于是解得x=-1，这样解正确吗？为什么？（机动）6.练习2 顶尖课课练（机动）三、归纳总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）通过移项把一元二次方程右边化为0（2）将方程左边分解为两个一次因式的积（3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解一元二次方程有哪几种方法?如何选用？四、总结反思，拓展提高反思自己是否达到本科时学习目标要求，没达标的同学解决前面疑难问题，达到目标的同学五、课后作业1 书本P43 : 6,102 顶尖课课练。

21.2.3因式分解法一、教学目标1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.二、教学重难点重点：会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.；难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程．三、教学过程【新课导入】[复习导入]我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x-1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求(x+3)(x-5)=0的解吗？问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10xx2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(结果保留小数点后两位)?设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10xx2=0 ①[思考]配方法解方程：10xx2=0.公式法解方程：10xx2=0.[课件展示]解：x2−10049x=0x2−10049x+(−5049)2=0+(−5049)2 (x−5049)2=(−5049)2x−5049=±5049x1=10049,x2=0解：10xx2=0.∵a=,b=-10,c=0.∴b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0=100.x=−b±√b2−4ac2a=−(−10)±102×4.9x1=10049,x2=0[思考]除配方法和公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？[思考]这种解法是不是很简单？【新知探究】1.因式分解法的概念这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. [归纳总结]2.因式分解法的基本步骤一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;[归纳总结]简记歌诀：右化零左分解两因式各求解[思考]下列各方程的根分别是多少？(1) x(x+1)=0；(1) x1=0, x2=-1；(2) (y+2)(y-3)=0；(2) y1=-2, y2=3 ；(3) (3x-6)(2x-4)=0；(3) x1=-x2=2；(4) x2=x. (4) x1=0, x2=1.【新知应用】例1解下列方程：(1)x(x−2)+x−2=0;(2)5x2−2x−14=x2−2x+34.解：(1)因式分解，得(x－2)(x＋1)=0.于是得x－2＝0或x＋1=0,x1=2，x2=－1.(2)移项、合并同类项，得4x2−1=0.因式分解，得( 2x＋1)( 2x－1 )=0.2x＋1=0或2x－1=0,x1=−12,x2=12.例2用适当的方法解方程：(1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）；解：化简(3x-5) (x+5)=0.即3x - 5= 0 或x + 5= 0.∴x1=53,x2=−5.(2)（5x + 12 = 1；解：直接开平方,得5x + 1 = ±1.解得, x 1= 0 , x2=−25.（3）x2- 12x = 4 ;解：配方,得x2 - 12x + 62 = 4 + 62,即(x - 6)2 = 40.开平方,得x−6=±2√10解得x1=6+√10, x2= 6−√10（4）3x2 = 4x + 1；解：化为一般形式3x2 - 4x + 1 = 0.∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,x=−(−4)±√282×3=2±√73x1=2+√73,x2=2−√73.一元二次方程解法选择基本思路1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；2.若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.【课堂小结】【课堂训练】1.填空：下列一元二次方程中①x2-3x+1=0；②3x2-1=0 ；③-3t2+t=0；④x2-4x=2 ；⑤2x2-x=0；⑥5(m+2)2=8；⑦3y2-y-1=0；⑧2x2+4x-1=0；⑨(x-2)2=2(x-2).适合运用直接开平方法解的是⑥；适合运用因式分解法解的是②③⑤⑨；适合运用公式法解的是①⑦⑧；适合运用配方法解的是④.2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程:(x-5)(x+2)=18.解: 原方程化为：(x-5)(x+2)=18 . ①由x-5=3, 得x=8; ②由x+2=6, 得x=4; ③所以原方程的解为x1=8或x2=4.解: 原方程化为x2－3x－28= 0，(x－7)(x+4)=0，x1=7，x2=－4.3.解方程：(1)3x2−6x=−3；(2)4x2−121=0.解：(1)化为一般式为x2－2x+1 = 0.因式分解，得( x－1 ) 2= 0.x－1 = 0 ，x1=x2=1.(2)因式分解，得( 2x + 11 )( 2x－11 ) = 0.有2x + 11 = 0 或2x－11= 0，x1=−112,x2=112.4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为r，根据题意( r + 5 )2×π=2πr2.因式分解，得(r+5−√2r)(r+5+√2r)=0.于是得r+5−√2r=0,或r+5+√2r=0解得r1=√2−1r2=1+√2舍去).答：小圆形场地的半径是√2−1m.【布置作业】【教学反思】利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.。

22.2.3降次----解一元二次方程（因式分解法） 9月24日3.合作学习：（1）问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地面的高度（单位：m ）为210 4.9x x -． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？（2）已知关于x 的方程()()x m x m 222120+++-=，m 取何值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根，并求出这两个等根；（3）方程没有实数根．1.应用分解因式法解一些一元二次方程．2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法． 能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．时间1.导言阅读：对于某些一元二次方程，虽然用配方法或公式法可以解，但是用因式分解的方法解起来更简便。

因式分解法解一元二次方程02=++c bx ax 时，如果方程左边可以因式分解，可将方程先分解为两个一次因式，分别令每个因式等于0，得到两个一次方程，解这两个方程，得到一元二次方程的两个根。

这种化二次方程为一次方程的降次方法，不同于配方法的开平方，而是依据两个实数的积等于0的充要条件，即这两个实数中必有等于0 的。

2.自学指导：解下列方程，从中你能发现什么新的方法？（1）2x 2-4x ＝0；（2）x 2-4＝0．通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？ （1）(2)20x x x -+-=； （2）221352244x x x x --=-+；（3）3(21)42x x x +=+； （4）22(4)(52)x x -=-．预设精讲：1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）方程右边化为0；（2）将方程的左边分解为两个因式的积；（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

2.学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．归纳总结：利用因式分解法可以方便快捷地解一些一元二次方程． 因式分解的步骤（1）方程右边化为0； （2）将方程的左边分解为两个因式的积； （3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

22.2.3 因式分解法解一元二次方程教课目的：1.经过学生自学研究掌握运用因式分解法及其基本思想；2.能用因式分解法解一些一元二次方程。

教课要点：因式分解法解一些一元二次方程.教课难点：可以正确选择因式分解的方法.教课过程：一、出示学习目标：1.经过自学理解因式分解法及其基本思想；2.能用因式分解法解一些一元二次方程。

二、自学指导：（阅读课本P38-39 页，思虑以下问题）1.经过阅读问题掌握因式分解法；2.阅读 P39 例题思虑能用因式分解法的题目有多少种类型及解题步骤；3.模拟例题解答P40 练习 1。

三、成效检测：1、由中基层学生试试剖析10x-4.9x 2=0 的解题过程，进而总结出因式分解法的基本思想：把方程化为两个一次式的积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，进而实现降次。

3.由上层学生小结：因式分解的方法主要有哪几种？(1) 提公因式法；(注意整体思想）(2) 公式法 :a2－ b2=(a+b)(a－ b)、 a2± 2ab+b2=(a± b)2(3) 十字相乘法： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)4.概括因式分解法解一元二次方程的解题步骤：（由中基层学生概括）（1）将方程右侧为零的形式；（2）将方程的左侧分解因式；（3）令每个因式为 0，获得两个一元一次方程；（4）解每个一元一次方程，即获得一元二次方程的解。

四、当堂训练：1.填空：（1）方程 x2 +x=0 的根是____；x1=0，x2=-1（ 2 ） x2－ 25=0的根是____；x1，2=5x =-5（ 3 ） x2－ 6x=－ 9的根是____。

x12=x =32.解以下方程：（当堂在暗线本中达成并实时赐予评论）。

人教版数学九年级上册22.2.3《用十字相乘法因式分解》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.3《用十字相乘法因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握用十字相乘法分解因式的方法。

教材通过实例引入，让学生理解并掌握十字相乘法的步骤和规律。

本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的练习来巩固。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多项式的乘法、因式分解的基本方法，但对于用十字相乘法因式分解可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解并掌握十字相乘法的原理，通过大量的练习让学生熟练运用。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用十字相乘法因式分解的方法，能够独立完成简单的题目。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生在解决数学问题的过程中，体验到数学的乐趣，增强对数学学习的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握用十字相乘法因式分解的方法。

2.教学难点：如何引导学生理解并掌握十字相乘法的原理，以及如何运用到实际问题中。

五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，让学生理解十字相乘法的原理和方法。

2.案例分析法：教师通过分析具体案例，让学生掌握十字相乘法的运用。

3.小组合作法：学生通过小组合作、讨论，共同解决问题，培养合作意识。

4.练习法：学生通过大量练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.课件：教师准备相关的课件，帮助学生直观地理解十字相乘法。

2.练习题：教师准备适量的练习题，用于课堂练习和课后作业。

3.小组合作学习材料：教师准备小组合作学习所需的材料，促进学生互动交流。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的例子，引导学生思考如何将一个多项式因式分解。

让学生尝试用已学的因式分解方法解决问题，从而引出本节课的内容。

2.呈现（10分钟）教师通过课件展示十字相乘法因式分解的步骤和规律，让学生初步了解并感知十字相乘法。

人教版九年级上册22.2.3因式分解法-解一元二次方程二课时课程设计课程目标本课程旨在让学生了解因式分解法解一元二次方程的方法，掌握一些常见的特殊公式，并能在实际问题中应用此方法解决问题。

适用对象本课程适用于九年级数学教学，主要面向有一定数学基础及初步学习解一元二次方程的学生群体。

教学内容第一课时一、导入以简单的一元二次方程为例，解释一元二次方程的概念、方程的形式和一次方程解法的原理，并引出本节课的主题：因式分解法解一元二次方程。

二、因式分解法解一元二次方程1.完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2和a2−2ab+b2=(a−b)2；2.一元二次方程求解的完全平方公式应用；3.若一个一元二次方程的左边ax2+bx+c可以表示成(mx+n)(px+q)的形式，那么这个方程的解为$x_1=\\frac{-n}{m}$，$x_2=\\frac{-q}{p}$。

三、练习以练习题的形式，让学生巩固本节课所学的知识和技能。

第二课时一、导入复习上节课所学的因式分解法解一元二次方程的方法，并以实际例子进一步讲解。

二、实际问题的解决1.利用一元二次方程求解实际问题，如求解最大面积、最小花费、最大或最小值等；2.通过让学生在实际问题中应用因式分解法解决问题，提高学生的应用能力。

三、解决问题的练习以课堂案例和小组协作的形式，让学生思考并解决一些实际问题，同时考验学生运用所学知识的能力。

教学方法本课程将采用讲授、练习和实际问题解决等多种教学方法，旨在提高学生的综合应用能力和解决实际问题的能力。

教学评估通过小测验和家庭作业等方式，对学生的掌握程度进行评估，以检测学生是否掌握了因式分解法解一元二次方程的方法，并能在实际问题中进行应用。

总结本课程通过介绍因式分解法解一元二次方程的方法，让学生掌握了一种新的解题方法，并通过实际问题的演示和练习，让学生深入理解了这种方法的应用。

同时，本课程也进一步提高了学生的运用能力和综合应用能力。