河南省南阳市2018届高三上学期期末考试数学(文)---精校解析 Word版

河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第八次考试数学试题（文）一、选择题1. 设，，则( )A. B. C. D.2. 已知集合，，则( )A. B. C. D.3. 设等差数列的前项和为，且，则( )A. 8B. 12C. 16D. 204. 抛物线的焦点到准线的距离是( )A. B. 1 C. D.5. 设集合，函数，在中任取一个元素，则函数一定有意义的概率为( )A. B. C. D.6. 函数的大致图象是( )A. B. C. D.7. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A. B. C. D.8. 已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则在下列区间中使是减函数的是( )A. B. C. D.9. 下图是求样本平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容是( )A. B. C. D.10. 若函数满足且的最小值为4，则实数的值为( )A. 1B. 2C. 3D.11. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，与抛物线准线交于点，若是的中点，则( )A. 8B. 9C. 10D. 1212. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题13. 已知向量，，若，则的最小值为____________.14. 在中，能使成立的的取值集合是____________.15. 给出下列四个命题：①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；②“平面向量，的夹角是钝角”的充分不必要条件是；③若命题，则；④函数在点处的切线方程为.其中真命题的序号是________.16. 已知为数列的前项和，且，若，，给定四个命题①；②；③；④.则上述四个命题中真命题的序号为____.三、解答题17. 设函数.(1)求的对称轴方程；(2)已知中，角的对边分别是，若，，求的最小值. 18. 某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；(2)估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值)；(3)若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差小于10分的概率.19. 如图，在四棱椎中，，平面，平面，，，.(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20. 已知椭圆，，为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，且，构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3.(1)求椭圆的方程；(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，求出该圆的方程.21. 已知函数(其中为常数且)在处取得极值.(1)当时，求的极大值点和极小值点；(2)若在上的最大值为1，求的值.22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数)，.(1)求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？(2)设曲线与曲线的交点为，，当时，求的值.23. 已知函数的最小值为.(1)求的值；(2)设实数满足，证明：.【参考答案】一、选择题1. 【答案】A【解析】，故选A.2. 【答案】C【解析】.故选C.3.【答案】B【解析】由题，等差数列中，则故选B.4. 【答案】D【解析】，，所以抛物线的焦点到其准线的距离是，故选D.5. 【答案】D【解析】函数的定义域为，故一定有意义的概率为，选D.6. 【答案】C【解析】，则函数在上单调递增，在和上单调递减，且故选C7. 【答案】A【解析】三视图复原的几何体是底面为直角梯形，是直角梯形，，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即平面所以几何体的体积为：故选A．8. 【答案】B【解析】∵函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，函数f（x）=sin4x﹣cos4x=2sin（4x﹣）；若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）=2sin（4x+）的图象．令2kπ+≤4x+≤2kπ+，可得k∈Z，当k=0时，故函数g（x）的减区间为。

河南省南阳市2018届高三数学第六次考试试题文（扫描版）南阳一中2015级高三第六次考试文数试题参考答案1、 D M ＝{x|2x <1}＝{x|2－xx <0}＝{x|x(x －2)>0}＝{x|x>2或x<0}，N ＝{y|y ＝x －1}＝{y|y≥0}，∴ M C R ＝{x|0≤x≤2}，∴N M C R )(＝{x|0≤x≤2}，故选D 。

2．D 因为(1)111(1)(1)22i i i i x yi i i i -==+=+++-，所以12x y ==，所以11||||22x yi i -=-=，故选D ． 3、 B10770=，间隔应为10。

考查系统抽样概念，容易题。

4、 C 设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质并结合已知条件可得a 25＝4·a 25·q 4，∴q 4＝14，q 2＝12.∴a 3＝a 1q 2＝4×12＝2. 故选C 。

5． C 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数x y z 2-=经过点(4,3)A 时取得最大值，所以使得x y z 2-=取得最大值的最优解为)3,4(，故选C ．6． B 由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图： O 为BD 的中点，由正视图、侧视图和俯视图可知OA OB OC OD ===∴，几何体的外接球的半径为1，故外接球的面积2414.S ππ=⨯= 故答案为B ． 7． D2127sin ,cos 212sin 33339πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=∴-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为227cos 2cos 2=cos 23339πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=----=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D.8． A 由(0)00(1)00f b f a b >>⎧⎧⇒⎨⎨>>⎩⎩，，＋，所以20a b +>成立，而仅有20a b +>，无法推出(0)0f >和(1)0f >同时成立，所以()0f x >恒成立是20a b +>成立的充分不必要条件，故选A ．9． C 由题意，知函数的最小正周期，故选A 正确；令，得，所以函数图象关于点对称，故选B 正确；由，得，所以函数的在区间上是减函数，故C 错；令，得，所以函数的图象关于直线对称，故选D 正确，故选C ．10．B 由题意，f （﹣x ）=（﹣x ）3+ln +x ）=﹣f （x ），函数是奇函数， f （1）＞0，排除ACD.故选B ．12．B13、4 由1244)2(22=+⋅+=+→→→→→b b a b a 解得|→b |=4。

河南省南阳市第一中学2018届高三第六次考试数学试题（文）【参考答案】一、选择题 1. D【解析】M ＝{x |2x <1}＝{x |2－x x <0}＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x >2或x <0}，N ＝{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}，∴ C R M ＝{x |0≤x ≤2}，∴(C R )M N I ＝{x |0≤x ≤2}，故选D. 2．D 【解析】因为i i(1-i)11i i 1+i (1+i)(1-i)22x y ==+=+，所以12x y ==，所以11|i ||i |22x y -=-2=，故选D ． 3.B 【解析】10770=，间隔应为10. 4.C【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质并结合已知条件可得a 25＝4·a 25·q 4，∴q 4＝14，q 2＝12.∴a 3＝a 1q 2＝4×12＝2. 故选C.5． C【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数x y z 2-=经过点(4,3)A 时取得最大值，所以使得x y z 2-=取得最大值的最优解为)3,4(，故选C ．6． B【解析】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图： O 为BD 的中点，由正视图、侧视图和俯视图可知OA OB OC OD ===∴， 几何体的外接球的半径为1，故外接球的面积24π14π.S =⨯= 故答案为B ．7． D【解析】2π12ππ7sin ,cos 212sin 33339ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=∴-=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 又因为π2π2π7cos 2cos π2=cos 23339ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=----=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D.8． A【解析】由(0)00(1)00f b f a b >>⎧⎧⇒⎨⎨>>⎩⎩，，＋，所以20a b +>成立，而仅有20a b +>，无法推出(0)0f >和(1)0f >同时成立，所以()0f x >恒成立是20a b +>成立的充分不必要条件，故选A ． 9． C【解析】由题意，知函数的最小正周期，故选A 正确；令，得，所以函数图象关于点对称，故选B 正确；由，得，所以函数的在区间上是减函数，故C 错；令，得，所以函数的图象关于直线对称，故选D 正确，故选C ．10．B【解析】由题意，f （﹣x ）=（﹣x ）3+ln+x ）=﹣f （x ），函数是奇函数，f （1）＞0，排除A,C,D.故选B ．12．B二、填空题 13.4【解析】由1244)2(22=+⋅+=+→→→→→b b a b a 解得|→b |=4. 14. 1【解析】(1,1)A ，∴1111404m n m n+-=⇒+=， ∴11()()2144m nm n m n n m m n +++++==≥，当且仅当12m n ==等号成立，即最小值是1. 15． (5/2，5] 16．【解析】AC 1通过球O 的直径，点P 的轨迹是过点B 且与AC 1垂直的平面与球O的截面的. 三、解答题17．解：（1）根据正弦定理得：B C A B B A B cos sin 3)cos sin cos (sin sin =+，B C B A B cos sin 3)sin(sin =+∴，B C C B cos sin 3sin sin =∴．(0,π)∈C Q ，0sin >∴C ，B B cos 3sin =∴即3tan =B ．(0,π)∈B Q ，π3∴=B ． （2）3243sin 21===∆ac B ac S ABC ，8=∴ac 根据余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，81222-+=∴c a ，即2022=+c a ，62)(222=++=+=+∴c ac a c a c a ，ABC ∆∴的周长为：326+.18.解：（1）当1n =时，2111111111(1)333a S a a a a ==-=-，∵10a ≠，∴14a =. ∵4(1)3n n S a =-，∴当2n ≥时，114(1)3n n S a --=-，两式相减得14n n a a -=， ∴数列{}n a 是首项为4，公比为4的等比数列，∴4nn a =. （2）∵2log 2n n n a b a n ==，∴24n n nb =， ∴12324624444n n n T =++++ ，234112462+++44444n n n T +=+ ， 两式相减得234132222224444444n n n n T +=+++++- 23411111122()444444n n n +=+++++- 111(1)2244214314n n n +-=-=-- 1122268344334n n n n n +++-=- .∴86889949n n n T +=-< .19．（Ⅰ）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ， FG ，则//FG BC ，且12F G B C =，∵//DE BC 且12DE BC =，∴//DE FG 且DE FG =， ∴四边形DEGF 为平行四边形，∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ． 利用等体积法： D PBE P BDE V V --=，即1133PBE BDE S d S PD ∆∆⋅=⋅， 112BDE S DE AB ∆=⨯⨯=，∵PE BE ==，PB =PBE S ∆，∴d =． 20．解：（Ⅰ）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线．∴ ∴ 曲线方程是 （Ⅱ）设圆心为，∵圆过，∴圆的方程为 令得：P F (0,1)P 1y =-C F (0,1)2p =C 24x y =(,)M a b M A (0,2)2222()()(2)x a y b a b -+-=+-0y =22440x ax b -+-=∵点在抛物线上，∴，又∵∴圆与轴必相交设圆M与轴的两交点分别为E ，G=∵，∴．即截得的弦长为定值．(,)M a b24x y=24a b=22(2)4(44)41616160a b a b∆=--=-+=>M xx1(,0)x2(,0)x122x x a+=1244x x b⋅=-2||EG=22121212()()4x x x x x x-=+-⋅22(2)4(44)41616a b a b=--=-+11。

2017年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】或，，，故选A.2.已知（为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，故选C.3.已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可设双曲线的方程为：，将点代入，可得，整理即可得双曲线的方程为.故选D.4.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，故选B.5. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B ．考点：古典概型及其概率的计算．6.已知实数满足，则目标函数（ ）A. ，B. ，C. ，无最小值D. ，无最小值【答案】C 【解析】画出约束条件表示的可行域，如图所示的开发区域， 变形为 ，平移直线，由图知，到直线经过时，因为可行域是开发区域，所以无最小值，无最小值，故选C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，图中正方体的棱长为，该多面体如图所示，外接球的半径为为，外接圆的半径，由可得，，故该多面体的外接球的表面积，故选C.8.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A. 2017B. 2016C. 1009D. 1008【答案】D【解析】输出结果为，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.为得到的图象，只需要将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向左平移个单位；故选D．考点：1.诱导公式；2.三角函数的图像变换．10.函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 当时，，由，得，由，得，在上递增，在上递减，，即时，，只有选项C 符合题意，故选C.11.设数列的通项公式，若数列的前项积为，则使成立的最小正整数为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12 【答案】C 【解析】因为，所以，该数列的前项积为，使成立的最小正整数为，故选C.12.抛物线的焦点为，过且倾斜角为60°的直线为，，若抛物线上存在一点，使关于直线对称，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】A 【解析】关于过倾斜角为的直线对称，，由抛物线定义知，等于点 到准线的距离，即，由于 ，，，代入抛物线方程可得，，解得，故选A.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及点关于直线对称问题，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】，切线的斜率，又过所求切线方程为，即，故答案为.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.14.已知点，，，若，则实数的值为_______．【答案】【解析】点，，，，又，，两边平方得，解得，经检验是原方程的解，实数的值为，故答案为.15.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理得.考点：解三角形，三角形外接圆.16.若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围为_____．【答案】【解析】不等式对任意正数恒成立，，，当且仅当时取等号，，实数的取值范围为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列的，且，，构成等比数列，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得的通项公式；（2）由（1）可得，利用错误相减法求和后即可得结果.试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由已知∴又解得或（舍去）∴，∴又，∴，∴（2）∴两式相减得则.【易错点晴】本题主要等差数列、等比数列的通项公式、“错位相减法”求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18.经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数（0＜≤10）与销售价格（单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：（Ⅰ）试求关于的回归直线方程；（附：回归方程中，（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,预测为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.【答案】（I）；（II）预测当时,销售利润取得最大值．【解析】试题分析：（1）由表中数据利用平均数公式计算，根据公式求出将样本中心点坐标代入回归方程求得，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数，利用二次函数的图象与性质求出时取得最大值. 试题解析：（1）由已知：,,,，；所以回归直线的方程为（2），所以预测当时,销售利润取得最大值．19.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面.（1）证明：；（2）若，求三棱柱的高.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）在矩形中，根据相似三角形的性质可知，由平面，可得平面平面，∴；（2）设三棱柱的高为，即三棱锥的高为.又，由得,∴.试题解析：（1）在矩形中，由平面几何知识可知又平面，∴，平面平面平面，∴.（2）在矩形中，由平面几何知识可知，∵，∴，∴，设三棱柱的高为，即三棱锥的高为.又，由得,∴.20.平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同两点、，求面积的最大值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合的关系列出关于、、的方程组，求出、，可得椭圆的方程；（2）讨论直线的斜率为和不为，设方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理与弦长公式求得弦长，求出点到直线的距离运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到面积的最大值.试题解析：（1）由题意可得，令，可得，即有，又，所以，．所以椭圆的标准方程为；（2）设，，直线方程为，代入椭圆方程，整理得，则，所以．∴当且仅当，即．（此时适合的条件）取得等号．则面积的最大值是．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.21.已知函数（其中，为常数且）在处取得极值．（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若在上的最大值为1，求的值．【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，；单调递减区间为; （Ⅱ）或.【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间；（Ⅱ）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，因为函数在处取得极值，当时，，，由，得或；由，得，即函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．（Ⅱ）因为，令，，，因为在处取得极值，所以，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为，令，解得，当，，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能的在或处取得，而，所以，解得；当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，所以，解得，与矛盾．当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所最大值1可能在处取得，而，矛盾．综上所述，或．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由得，由，从而得解；（2）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，，。

已知集合，，则（B. C. D.，故，故选项为B. C. D.【答案】，有减有增且为偶函数．．为奇函数且为增函数，满足．的值域是（B. C. D.【解析】故函数的值域是故选C．三个数，的大小顺序为（B. C. D.【解析】试题分析：,,故、指数及其指数函数的性质；2、对数及其对数函数的性质.的零点所在的区间都是（B. C. D.【答案】【解析】由于在区间是增函数，接近时，所以，的零点所在的区间是，故选.考点：指数函数、对数函数的性质，函数零点存在定理已知函数，则不等式B. C. D................时，，即，解得∴不等式的解集为，“函数有零点”是“函数在考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.8. 函数的图像大致为（）B.D.【解析】为偶函数，则图象关于代入得若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（B. C. D.【答案】C，由于在区间上单调递减，则有在恒成立，即，也即在上恒成立，因为在增，所以．考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数，则A. B. C. D.是定义在，等价为，即．∵函数是定义在单调递增，∴）等价为．即，，解得，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化设函数是奇函数的导函数，时，，则使得的取值范围是（B. C. D.【解析】构造新函数，当时上单减，又，即.可得,，为偶函数，所以在上的解集为：.例如想到构造）条件含有，就构造,）若，就构造，（3），就构造）就构造，等便于给出导数时联想构造是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若方程恰有两解，则的取值范围是（A. B. C. D.【答案】D【解析】时斜率为的斜率为，过点的斜率为经过原点作函数图像的切线，则切线方程为【解析】由题可得．设切线的斜率为）当切点是原点时所以所求曲线的切线方程为则有由①②得方程组无解，故曲线的切线方程是故答案为已知，则【答案】【解析】故答案为：函数的图像为，如下结论中正确的是关于直线对称；关于对称；在区间内是增函数；的图像向右平移个单位可得图像.，是对称轴；②当所以是对称中心；③时，函数是增函数；④将向右平移个单位可得考点：三角函数对称性单调性及图像平移若函数满足，且在上单调递增，则实数可知函数的图像关于直线对称，可知，从而在上是增函数，从而有，故的最小值等于已知的值；的值【答案】（1）-3（2）1）原式18. 求值：（1）；【解析】试题分析：=（2）原式=已知函数.）若函数的定义域和值域均为，求实数在区间且对任意的，求实数3的定义域和值域均是）可以根据函数的范围，利用函数的图象求出上的最值问题，对任意的，从而求出实数在在上单调递减，即===1，所以）因为上是减函数，所以≥2.所以][==5-=max{，}又=6-2）=（-2==6-22+1], -4-13，又 3.【点睛】本题考查二次函数的最值问题，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键，第二问难度比较）求函数的解析式；图像向左平移个单位后，得到函数的图像，若，求(1) (2)【解析】试题分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的图象变换规律，求得质，求得试题解析： (1)由图像可知，函数图像过点，则(2)21. 已知函数.）若曲线在处的切线方程为，求实数的单调性）在上是增函数，在求导得时，（舍负），上是增函数，在设函数，时，上恒成立，求实数时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数；(在（，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数（2）当的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转构造关于）当得，，∴，∴有在，由得，在上为减函数，在上为增函数，，∴实数的取值范围为；2）当时，函数，在上恰有两个不同的零点，即，则；当，，上单减，在上单增，，如图所示，所以实数的取值范围为(。

河南省南阳市2018届上学期期末高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合M={1，2，3，4}，则集合P={x|x∈M，且2x∉M}的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．82．己知复数z=cosθ+isinθ（i是虚数单位），则=（）A．cosθ+isinθB．2cosθC．2sinθD．isin2θ3．直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣4．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣35．五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）A．B．C．D．6．若如图框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框（1）中应填入的是（）A．i＞6？B．i≤6？C．i＞5？D．i＜5？7．已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为（）A．B．C．D．8．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递减，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称9．已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]10．已知函数，则关于x的不等式f（3x+1）+f （x）＞1的解集为（）A．B．C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）11．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．1912．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）=x•e x，且，则的最大值为（）A．1 B．﹣ C．﹣1 D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是…14．已知，则二项式的展开式中x﹣3的系数为．15．已知△ABC中，，D为边BC的中点，则=．16．在正三棱锥V﹣ABC内，有一个半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积的最小时，其底面边长为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）设，令a1=1，a n=f（a n），又．+1（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．18．（12分）已知△ABC的面积为S，且•=S，|﹣|=3．（Ⅰ）若f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻两个交点间的最短距离为2，且f（）=1，求△ABC的面积S；（Ⅱ）求S+3cosBcosC的最大值．19．（12分）某校高三学生有两部分组成，应届生与复读生共2000学生，期末考试数学成绩换算为100分的成绩如图所示，从高三的学生中，利用分层抽样，抽取100名学生的成绩绘制成频率分布直方图：（1）若抽取的学生中，应届生与复读生的比为9﹕1，确定高三应届生与复读生的人数；（2）计算此次数学成绩的平均分；（3）若抽取的[80，90），[90，100]的学生中，应届生与复读生的比例关系也是9﹕1，从抽取的[80，90），[90，100]两段的复读生中，选两人进行座谈，设抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望值．20．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA⊥底面ABCD，△ABM是边长为2的等边三角形，．（Ⅰ）求证：平面PAM⊥平面PDM；（Ⅱ）若点E为PC中点，求二面角P﹣MD﹣E的余弦值．21．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），过椭圆的上顶点与右顶点的直线l，与圆x2+y2=相切，且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合；（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．22．（12分）已知f（x）=xlnx+mx，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．（1）求实数m的值；（2）设在定义域内有两个不同的极值点x1，x2，求a的取值范围；（3）已知λ＞0，在（2）的条件下，若不等式恒成立，求λ的取值范围．河南省南阳市2018届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合M={1，2，3，4}，则集合P={x|x∈M，且2x∉M}的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】集合中元素个数的最值．【分析】根据题意，写出集合P即可．【解答】解：根据题意，若1∈P，则2×1=2∈M，故不满足题意；若2∈P，则2×2=4∈M，故不满足题意；若3∈P，则2×3=6∉M，故满足题意；若4∈P，则2×4=8∉M，故满足题意；综上，P={3，4}，所以集合P的子集有：∅，{3}，{4}，{3，4}，故选：C．【点评】本题考查集合的定义及子集，属于基础题．2．己知复数z=cosθ+isinθ（i是虚数单位），则=（）A．cosθ+isinθB．2cosθC．2sinθD．isin2θ【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】z=cosθ+isinθ代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=cosθ+isinθ，∴====．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了三角函数的化简求值，是基础题．3．直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线平行可得1×2﹣（1+m）m=0，解方程排除重合可得．【解答】解：∵直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，∴1×2﹣（1+m）m=0，解得m=1或﹣2，当m=﹣2时，两直线重合．故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．4．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．所以==2，故选：A．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．5．五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】五位同学站成一排照相留念，且甲乙相邻，先求出基本事件种数，再求出甲丙也相邻包含的基本事件个数，由此能求出甲丙也相邻的概率．【解答】解：五位同学站成一排照相留念，且甲乙相邻，基本事件种数n==48，其中甲丙也相邻包含的基本事件个数m==12，∴甲丙也相邻的概率p=．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．6．若如图框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框（1）中应填入的是（）A．i＞6？B．i≤6？C．i＞5？D．i＜5？【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，当k=5时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【解答】解：模拟执行程序，可得i=10，S=1满足条件，执行循环体，第1次循环，S=11，K=9，满足条件，执行循环体，第2次循环，S=20，K=8，满足条件，执行循环体，第3次循环，S=28，K=7，满足条件，执行循环体，第4次循环，S=35，K=6，满足条件，执行循环体，第5次循环，S=41，K=5，此时S不满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k＞5．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．7．已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，即可得出结论．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下所示：从而该三棱锥的主视图可能为，故选A．【点评】本题考查的知识点是三视图，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递减，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】有条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数周期性、单调性，以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x的图象，当x=时，求得g（x）=0，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x=对称，故排除A．在（0，）上，2x∈（0，），sin2x单调递增，故g（x）单调递减，且g（x）为奇函数，故B满足条件，C不满足条件．当x=时，g（x）=﹣≠0，故g（x）的图象不关于点（，0）对称，故选：B．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数周期性、单调性，以及它的图象的对称性，属于基础题．9．已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]【考点】简单线性规划的应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z=﹣mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z=﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，确定目标函数的斜率是解决本题的关键，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．已知函数，则关于x的不等式f（3x+1）+f （x）＞1的解集为（）A．B．C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】指、对数不等式的解法．【分析】设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，判断g（x）的奇偶性及其单调性，求出g（﹣x）=﹣g（x），通过求g′（x），并判断其符号可判断其单调性，从而原不等式可变成，g（3x+1）＞g（﹣x），而根据g（x）的单调性即可得到关于x的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解集．【解答】解：设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）=2016﹣x﹣log2016（+x）﹣2016x=﹣g（x）．g′（x）=2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增，∴由f（3x+1）+f（x）＞1，得g（3x+1）+2+g（x）+2＞4．则g（3x+1）＞g（﹣x）．∴3x+1＞﹣x，解得x＞﹣．∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：A．【点评】本题考查对数的运算性质，考查奇函数的判断方法，训练了利用导数研究函数的单调性，体现了数学转化思想方法，是中档题．11．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•8﹣3=13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选B．【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．12．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）=x•e x，且，则的最大值为（）A．1 B．﹣ C．﹣1 D．0【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根据基本不等式即可求出最大值．【解答】解：令F（x）=，则F′（x）==x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=e x（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=e x（x2+），∴=，x＞0，==≤1，∴的最大值为1，故选：A．【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用基本不等式求函数的值域，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是…【考点】特称命题；复合命题的真假．【分析】由于命题P：“”为假命题，可得￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，因此△≤0，解出即可．【解答】解：∵命题P：“”为假命题，∴￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，∴△≤0，即m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m ≤6．∴实数m的取值范围是[2，6]．故答案为：[2，6]．【点评】本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系，属于基础题．14．已知，则二项式的展开式中x﹣3的系数为﹣160．【考点】二项式定理的应用．【分析】求定积分得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣3，求出r的值，即可求得展开式中x﹣3的系数．【解答】解：=﹣cosx=2，=•（﹣2）r•x﹣r，则二项式=的展开式的通项公式为T r+1令﹣r=﹣3，可得r=3，故展开式中x﹣3的系数为•（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160．【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知△ABC中，，D为边BC的中点，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积的性质和向量的平行四边形法则即可得出．【解答】解：如图，=，∴．∴==．∴=．故答案为：．【点评】本题考查了数量积的性质和向量的平行四边形法则，属于中档题．16．在正三棱锥V﹣ABC内，有一个半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积的最小时，其底面边长为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由于正三棱锥的侧面为全等的等腰三角形，故侧面与球的切点在棱锥的斜高上，利用等积法得出棱锥的高与棱锥底面边长的关系，得出棱锥的体积关于高h的函数V（h），利用导数与函数的最值得关系计算V（h）的极小值点，然后转化为底面边长得答案．【解答】解：设△ABC的中心为O，取AB中点D，连结OD，VD，VO，设OD=a，VO=h，则VD==．AB=2AD=2a．过O作OE⊥VD，则OE=2，=OD•VO=VD•OE，∴S△VOD∴ah=2，整理得a2=（h＞2）．•h=××a2h=a2h=．∴V（h）=S△ABC∴V′（h）=4×=4×．令V′（h）=0，得h2﹣12=0，解得h=2．当2＜h＜2时，V′（h）＜0，当h＞2时，V′（h）＞0，∴当h=2，即a=，也就是AB=时，V（h）取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查了球与外切多面体的关系，棱锥的体积计算，导数与函数的最值，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.=f（a n），又17．（10分）（2016秋•南阳期末）设，令a1=1，a n+1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．=．将其变形可得﹣=，由等差数列的定义进而【分析】（1）由题意可得：a n+1得到答案，进而求得数列{a n}的通项公式；（2）设S n是数列{b n}的前n项和．由（1）可得b n=a n•a n+1=a2（﹣）．利用“裂项求和”的方法求出答案即可．=f（a n）=，【解答】解：（1）证明：∵a n+1∴﹣=．∴是首项为1，公差为的等差数列，∴=1+（n﹣1）．整理得a n=；（2）b n=a n•a n+1=•=a2（﹣）．设数列{b n}的前n项和为T n，则T n=a2（﹣+﹣+…﹣）=a2（﹣）=a2（﹣）=a2•=．∴数列{b n}的前n项和为．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016•贵阳校级模拟）已知△ABC的面积为S，且•=S，|﹣|=3．（Ⅰ）若f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻两个交点间的最短距离为2，且f（）=1，求△ABC的面积S；（Ⅱ）求S+3cosBcosC的最大值．【考点】余弦函数的图象；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由条件利用余弦函数的图象特征求出ω，可得f（x）的解析式，再根据f（）=1求得B，再利用条件求得A，从而△ABC是直角三角形，从而计算△ABC的面积S．（Ⅱ）利用正弦定理求得△ABC的外接圆半径R，再化减S+3cosBcosC为3cos（B﹣C），从而求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻两个交点间的最短距离为T，∴T=2，即：，解得ω=π，故f（x）=2cos（πx+B）．又，即：，∵B是△ABC的内角，∴，设△ABC的三个内角的对边分别为a，b，c，∵，∴，解得，，从而△ABC是直角三角形，由已知得，，从而，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设△ABC的外接圆半径为R，则2R===2，解得R=，∴S+3cosBcosC=bcsinA+3cosBcosC=bc+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B﹣C），故的最大值为．【点评】本题主要考查余弦函数的图象特征，正弦定理，两个向量的数量积的运算，属于中档题．19．（12分）（2016•衡阳校级模拟）某校高三学生有两部分组成，应届生与复读生共2000学生，期末考试数学成绩换算为100分的成绩如图所示，从高三的学生中，利用分层抽样，抽取100名学生的成绩绘制成频率分布直方图：（1）若抽取的学生中，应届生与复读生的比为9﹕1，确定高三应届生与复读生的人数；（2）计算此次数学成绩的平均分；（3）若抽取的[80，90），[90，100]的学生中，应届生与复读生的比例关系也是9﹕1，从抽取的[80，90），[90，100]两段的复读生中，选两人进行座谈，设抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）因为抽取的应届生与复读生的比为9﹕1，求出应届生抽取90人，复读生抽取10人，由此能确定确定高三应届生与复读生的人数．（2）由频率分布图中小矩形面积之和为1，得a=0.04，由此能求出此次数学成绩的平均分．（3）根据频率分布直方图可知抽取的复读生的人数分别为2，3人抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，可知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与期望值．【解答】解：（1）∵抽取的应届生与复读生的比为9﹕1，∴应届生抽取90人，复读生抽取10人，应届生的人数为90×20=1800，复读生的人数为2000﹣1800=200．（2）10×（0.01+a+0.02+0.03）=1，∴a=0.04，平均分为10×（0.01×65+0.04×75+0.02×85+0.03×95）=82（3）根据频率分布直方图可知，抽取的[80，90），[90，100]的学生分别为100×0.2=20，100×0.3=30，抽取的复读生的人数分别为2，3人抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，可知ξ=0，1，2，可知，，，∴ξ的分布列为：∴．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．（12分）（2016秋•南阳期末）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA⊥底面ABCD，△ABM是边长为2的等边三角形，．（Ⅰ）求证：平面PAM⊥平面PDM；（Ⅱ）若点E为PC中点，求二面角P﹣MD﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明DM⊥AM．DM⊥PA，推出DM⊥平面PAM，即可证明平面PAM⊥平面PDM．（Ⅱ）以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，过D且与PA平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面PMD的法向量，平面MDE的法向量，利用向量的数量积求解二面角P﹣MD﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵△ABM是边长为2的等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∴，又，∴CM=3，∴AD=3+1=4，∴AD2=DM2+AM2，∴DM⊥AM．又PA⊥底面ABCD，∴DM⊥PA，∴DM⊥平面PAM，∵DM⊂平面PDM，∴平面PAM⊥平面PDM．（Ⅱ）以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，过D且与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则，，，设平面PMD的法向量为，则，取x1=3，∴．（8分）∵E为PC中点，则，设平面MDE的法向量为，则，取x2=3，∴．（10分）由．∴二面角P﹣MD﹣E的余弦值为．（12分）【点评】本题考查二面角的平面镜的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．21．（12分）（2016•衡阳校级模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），过椭圆的上顶点与右顶点的直线l，与圆x2+y2=相切，且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合；（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）写出过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程，由的到直线的距离得到关于a，b 的等式，由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆的半焦距长，结合隐含条件联立可得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）当两射线与坐标轴重合时，直接求出△OAB面积，不重合时，设直线AB方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，结合OA⊥OB得到k与m的关系，进一步由点到直线的距离得到O到AB的距离，再利用基本不等式求得AB的最小距离，代入三角形面积公式求得最小值．【解答】解：（1）过椭圆的上顶点与右顶点的直线l为，即bx+ay﹣ab=0，由直线与相切，得，①∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴c=1．即a2﹣b2=1，代入①得7a4﹣31a2+12=0，即（7a2﹣3）（a2﹣4）=0，得（舍去），∴b2=a2﹣1=3．故椭圆C的方程为；（2）当两射线与坐标轴重合时，；当两射线不与坐标轴重合时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆联立消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．．∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．即，把代入，得，整理得7m2=12（k2+1），∴O到直线AB的距离．∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，当且仅当OA=OB时取“=”号．由d•AB=OA•OB，得，∴，即弦AB的长度的最小值是．∴三角形的最小面积为．综上，△OAB面积的最小值为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查推理论证能力与计算能力，考查三角形面积最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．22．（12分）（2016秋•南阳期末）已知f（x）=xlnx+mx，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．（1）求实数m的值；（2）设在定义域内有两个不同的极值点x1，x2，求a的取值范围；（3）已知λ＞0，在（2）的条件下，若不等式恒成立，求λ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），由f′（1）=1求得m值；（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可；（3）求出g（x），求其导函数，可得lnx1=ax1，lnx2=ax2，原式等价于ln＜恒成立．令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令h（t）=lnt﹣，根据函数的单调性求出λ的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=1+lnx+m，由题意知，f′（1）=1，即：m+1=1，解得m=0；（2）因为g（x）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x2，所以g′（x）=f′（x）﹣ax﹣1=lnx﹣ax=0有两个不同的根x1，x2，设ω（x）=g′（x）=lnx﹣ax，则φ′（x）=（x＞0），显然当a≤0时ω′（x）＞0，ω（x）单调递增，不符合题意，所以a＞0，由ω′（x）=0，得：x=，当0＜x＜时，ω′（x）＞0，ω（x）单调递增，当x＞时，ω′（x）＜0，ω（x）单调递减，所以ω（）＞0，从而得0＜a＜，…又当x→0时，ω（x）→﹣∞，所以ω（x）在（0，）上有一根；∵＞e，∴＞，取x=，ω（）=﹣2lna﹣，设r（a）=﹣2lna﹣，则r′（a）=＞0，r（a）在（0，）上单调递增，r（a）＜r（）=2﹣e＜0，所以ω（x）在（，）上有一根；综上可知，当0＜a＜时，g′（x）=0有两个不同的根所以a的取值范围为（0，）．（3）∵e1+λ＜x1•x2λ 等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．g（x）=f（x）﹣x2﹣x+a=xlnx﹣x2﹣x+a，由题意可知x1，x2分别是方程g′（x）=0，即：lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2．∴原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），∵λ＞0，0＜x1＜x2，∴原式等价于a＞，又由lnx1=ax1，lnx2=ax2．作差得，ln =a（x1﹣x2），即a=，∴原式等价于＞，∵0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln＜恒成立．令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，又h′（t）=，当λ2≥1时，可得t∈（0，1）时，h′（t）＞0，∴h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可得t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时，h′（t）＜0，∴h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，∴h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ 恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，∴λ≥1．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，训练了学生的灵活变形能力和应用求解能力，属压轴题．。

2017年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】或，，，故选A.2.已知（为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，故选C.3.已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可设双曲线的方程为：，将点代入，可得，整理即可得双曲线的方程为. 故选D.4.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，故选B.5. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．考点：古典概型及其概率的计算．6.已知实数满足，则目标函数（）A. ，B. ，C. ，无最小值D. ，无最小值【答案】C【解析】画出约束条件表示的可行域，如图所示的开发区域，变形为，平移直线，由图知，到直线经过时，因为可行域是开发区域，所以无最小值，无最小值，故选C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，图中正方体的棱长为，该多面体如图所示，外接球的半径为为，外接圆的半径，由可得，，故该多面体的外接球的表面积，故选C.8.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A. 2017B. 2016C. 1009D. 1008【答案】D【解析】输出结果为，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.为得到的图象，只需要将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向左平移个单位；故选D．考点：1.诱导公式；2.三角函数的图像变换．10.函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，由，得，由，得，在上递增，在上递减，，即时，，只有选项C符合题意，故选C.11.设数列的通项公式，若数列的前项积为，则使成立的最小正整数为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】因为，所以，该数列的前项积为，使成立的最小正整数为，故选C.12.抛物线的焦点为，过且倾斜角为60°的直线为，，若抛物线上存在一点，使关于直线对称，则（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】关于过倾斜角为的直线对称，，由抛物线定义知，等于点到准线的距离，即，由于，，，代入抛物线方程可得，，解得，故选A.【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及点关于直线对称问题，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】，切线的斜率，又过所求切线方程为，即，故答案为.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.14.已知点，，，若，则实数的值为_______．【答案】【解析】点，，，，又，，两边平方得，解得，经检验是原方程的解，实数的值为，故答案为.15.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理得.考点：解三角形，三角形外接圆.16.若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围为_____．【答案】【解析】不等式对任意正数恒成立，，，当且仅当时取等号，，实数的取值范围为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列的，且，，构成等比数列，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得的通项公式；（2）由（1）可得，利用错误相减法求和后即可得结果.试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由已知∴又解得或（舍去）∴，∴又，∴，∴（2）∴两式相减得则.【易错点晴】本题主要等差数列、等比数列的通项公式、“错位相减法”求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18.经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数（0＜≤10）与销售价格（单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：（Ⅰ）试求关于的回归直线方程；（附：回归方程中，（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,预测为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.【答案】（I）；（II）预测当时,销售利润取得最大值．【解析】试题分析：（1）由表中数据利用平均数公式计算，根据公式求出将样本中心点坐标代入回归方程求得，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数，利用二次函数的图象与性质求出时取得最大值.试题解析：（1）由已知：,,,，；所以回归直线的方程为（2），所以预测当时,销售利润取得最大值．19.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面.（1）证明：；（2）若，求三棱柱的高.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）在矩形中，根据相似三角形的性质可知，由平面，可得平面平面，∴；（2）设三棱柱的高为，即三棱锥的高为.又，由得,∴.试题解析：（1）在矩形中，由平面几何知识可知又平面，∴，平面平面平面，∴.（2）在矩形中，由平面几何知识可知，∵，∴，∴，设三棱柱的高为，即三棱锥的高为.又，由得,∴.20.平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同两点、，求面积的最大值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合的关系列出关于、、的方程组，求出、，可得椭圆的方程；（2）讨论直线的斜率为和不为，设方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理与弦长公式求得弦长，求出点到直线的距离运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到面积的最大值.试题解析：（1）由题意可得，令，可得，即有，又，所以，．所以椭圆的标准方程为；（2）设，，直线方程为，代入椭圆方程，整理得，则，所以．∴当且仅当，即．（此时适合的条件）取得等号．则面积的最大值是．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.21.已知函数（其中，为常数且）在处取得极值．（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若在上的最大值为1，求的值．【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，；单调递减区间为; （Ⅱ）或.【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间；（Ⅱ）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，因为函数在处取得极值，当时，，，由，得或；由，得，即函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．（Ⅱ）因为，令，，，因为在处取得极值，所以，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为，令，解得，当，，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能的在或处取得，而，所以，解得；当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，所以，解得，与矛盾．当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所最大值1可能在处取得，而，矛盾．综上所述，或．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由得，由，从而得解；（2）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，，。

2018-2018学年南阳市秋期期末质量评估高三数学试卷（文）（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，中有一个是符合题目要求的．1. 已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,2,3P Q ==，则()U PQ ð等于A {}1B {}1,4C {}1,2D {}2,3 2. 设p:2lo g 0;:10x q x <-<，则p 是q 的A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件 3. 若奇函数f(x)的定义域为{||2|,0}x x a a a +-<>，则a 的值为A 1B 2C 3D 4 4. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若359,5a a ==，则95S S 的值是A1 B-1 C12D25.若F 为抛物线24y x =的焦点，()()112233,,(,),,A x y B x y C x y 是抛物线上不同的三点，若1233x x x ++=，则||||||F A F B F C ++=A3 B4 C6 D8 6.已知向量a 与b 的夹角为θ，若(2,1)a=且3(5,4)b a +=，则A 13B 10C 10D457.平面上有A(-2,1),B(1,4)两点，点C 在直线AB 上，且12A CBC =，则点C 的坐标为A(-1,2) B(-1,2)或(-5,-2) C(0,3) D(-5,-2) 8.正三棱柱111A B C A B C -中，若二面角111A B C A --的大小为α，且ta n 3α=，则1A C 与平面11B BC C 所成的角的正弦值为A 2B 4C 5D 39.在等比数列{}n a 中，首项13a =，公比q=2，则22212n a a a +++=A14113n ++ B 121n +- C 3(41)n- D14233n ++10.对于函数2s i n (s i nc o s y x x x =+，以下结论：①f(x)的最小正周期为π②3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，有最小值1-1+(,0)8π④将f(x)的图像按(,1)8a π=--平移，可得到函数in 2y x =的图像，其中正确的有A ②④B ①④C ③④D ①③④ 11.双曲线221169xy-=的右焦点为F ，点A(6,1)，M 是双曲线的右支上动点，则4|M A |+||5M F 最小值为A 6- B215C145D16512.定义在R 上的周期函数f(x)，其周期T=2，直线x=2是它的图像上的一条对称轴，且f(x)在[]3,2--上是减函数，如果A,B 是锐角三角形的两个内角，则Af(sinA)>f(cosB) Bf(sinA)<f(cosB) Cf(sinA)>f(sinB) Df(cosA)>f(cosB) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共16分．请将答案填在横线上． 13.设集合{}{},,,0,1M a b c N ==，映射:f M N →满足f(a)+f(b)=f(c)，则映射:f M N →的个数为___________.14.一个三棱锥S A B C -的三条侧棱SA,SB,SC 两两垂直，且长度均为1，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为__________. 15.已知,,,l A B αβαβαβ⊥⋂=∈∈，AB 与,αβ所成角分别为,46ππ，若|AB|=12，则AB 与l 所成角的正弦值为__________. 16给出以下命题①若f(x)是奇函数，则f(x-1)的图像关于A(1,0)对称 ②若直线l 的倾斜角为α，则其斜率为tan α③0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数2s in s in y x x=+的最小值是④若函数223()lo g (236)f x x m x m =-+-+在区间[3,2)-上是减函数，则43m -≤≤-⑤已知函数25()3x f x x +=-，若函数y=g(x)的图像与1(1)y fx -=+的图像关于直线y=x 对称，则g(4)=13其中正确命题序号是____________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在A B C 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且1c o s 3A =（1） 求2s in c o s 22B C A ++的值（2） 若a =bc 的最大值18.设函数3215()3(0)33f x x a x a x a =--->（1） 若a=1，求f(x)的单调区间和极值；（2） 若方程f(x)=0有且只有一个解，求实数a 的取值范围。