解圆锥曲线问题常用方法

圆锥曲线的解题方法(精选4篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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FAP HBQ 圆锥曲线常用方法与结论（收藏）1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。

如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。

〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。

〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

圆锥曲线解题技巧归纳圆锥曲线是数学中的重要主题之一、它涉及到许多重要的概念和技巧，可以用于解决各种问题。

本文将归纳总结圆锥曲线解题的一些常用技巧，帮助读者更好地理解和应用这一主题。

1.判别式法：对于给定的二次方程，可以根据判别式的符号来判断它表示的曲线类型。

当判别式大于零时，曲线是一个椭圆；当判别式小于零时，曲线是一个双曲线；当判别式等于零时，曲线是一个抛物线。

2.参数方程法：对于给定的圆锥曲线，可以使用参数方程来表示。

通过选取合适的参数，可以将曲线表示为一系列点的集合。

这种方法可以简化问题，使得求解过程更加直观和方便。

3.极坐标方程法：对于给定的圆锥曲线，可以使用极坐标方程来表示。

通过将直角坐标系转换为极坐标系，可以更好地描述和分析曲线的特性。

这种方法在求解对称性等问题时非常有用。

4.曲线拟合法：对于给定的一组数据点，可以使用曲线拟合的方法来找到一个最适合的圆锥曲线。

通过将数据点与曲线进行比较，可以得出曲线的参数和特性。

这种方法在实际应用中非常常见，例如地图估算、经济预测等领域。

5.曲线平移法：对于给定的圆锥曲线，可以通过平移坐标系来使其简化。

通过选取合适的平移距离，可以将曲线的对称轴对准到坐标原点，从而更方便地进行分析和求解。

6.曲线旋转法：对于给定的圆锥曲线，可以通过旋转坐标系来改变其方向和形状。

通过选取合适的旋转角度，可以使曲线变得更简单和易于处理。

这种方法在求解对称性、求交点等问题时非常有用。

7.曲线对称性法：对于给定的圆锥曲线，可以通过研究其对称性来简化问题。

根据曲线的对称轴、对称中心等特性，可以快速得到曲线的一些重要参数和结论。

8.曲线的几何性质法：对于给定的圆锥曲线，可以通过研究其几何性质来解决问题。

例如，对于椭圆可以利用焦点、半长轴、半短轴等参数来求解问题；对于双曲线可以利用渐近线、渐近点等参数来求解问题。

9.曲线的微积分法：对于给定的圆锥曲线，可以通过微积分的方法来求解其一些重要特性。

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

解圆锥曲线问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1, r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为___________.(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 为 。

分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 距离和最小。

解：（1）（2，2）连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+)1(13024---=x y 即 y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为(2,2-)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去）（2）（1,41） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x=41，∴Q(1,41) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例2、F 是椭圆13422=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，上一动点。

（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '解：（1）4-5设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。

《圆锥曲线解题十招全归纳》招式一：弦的垂直平分线问题 (2)招式二：动弦过定点的问题 (4)招式四：共线向量问题 (6)招式五：面积问题 (13)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (16)招式七：直线问题 (20)招式八：轨迹问题 (24)招式九：对称问题 (30)招式十、存在性问题 (33)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。

由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。

则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。

线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。

AB =21k =+2d k=21k +=k =053x =。

【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它包括了椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

解决圆锥曲线问题的方法有很多种，本文将从几何、代数和解析几何三个角度进行深入探讨，希望能够为读者提供一些启发和帮助。

一、几何方法1. 利用焦点性质椭圆和双曲线的焦点性质是非常重要的，利用焦点性质可以简化问题的求解过程。

在求解椭圆的焦点时，我们可以利用椭圆的定义式和焦距的定义式进行计算，从而求得椭圆的焦点坐标。

对于双曲线也是一样的道理，只不过其定义式和焦距定义式稍有不同而已。

2. 利用直线方程通过直线的方程式可以求解圆锥曲线的焦点、渐近线等特性。

对于椭圆和双曲线来说，它们都有两条渐近线，我们可以通过计算其中一条渐近线的方程来得到其斜率和截距，然后再进行求解另一条渐近线的方程，从而得到全部的渐近线方程。

3. 利用对称性圆锥曲线具有一定的对称性，例如抛物线具有对称轴的对称性，利用这种对称性可以简化问题的求解。

在求解抛物线的焦点时，我们可以利用抛物线的对称性进行求解，这样可以减少计算的复杂度。

二、代数方法1. 利用方程组通过建立方程组，可以求解圆锥曲线的各种特性。

在求解椭圆的焦点时，我们可以建立一个包含椭圆方程和焦距定义的方程组，然后通过对这个方程组进行求解，从而得到椭圆的焦点坐标。

2. 利用参数方程对于双曲线和抛物线来说，我们可以利用参数方程进行求解。

通过引入参数，可以将原本复杂的曲线方程化简为一组简单的函数方程，从而简化问题的求解过程。

3. 利用极坐标方程极坐标方程是一种非常有效的求解圆锥曲线问题的方法。

通过将曲线用极坐标方程表示，可以将原本复杂的曲线问题转化为极坐标函数的求解问题，这样就可以简化问题的求解过程。

三、解析几何方法1. 利用向量向量是解析几何中一个非常重要的工具，通过引入向量，可以简化圆锥曲线的求解过程。

在求解椭圆的焦点时，我们可以引入椭圆的向心度和离心率的概念，然后利用向量的性质进行求解。

解题宝典在解答圆锥曲线问题时，我们经常会遇到定点问题、定值问题、定直线问题.这三类问题往往较为复杂，需在动点、动直线、动曲线的运动变化中找出一些不变的元素，据此建立关系式，求得问题的答案.下面结合实例，谈一谈这三类问题的解法.一、定点问题圆锥曲线中的定点问题一般是指根据题意判定某条曲线、直线恒过定点.在解题时，要先根据题意求出含有参数的曲线（直线）方程；然后将参数视为主元，将问题看作方程有无数个解的问题；再令方程中含有x 、y 的项的系数为零，建立方程（组），即可通过解方程（组），求得定点的坐标.例1.如图1，已知椭圆C 1:x2a2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F 2与抛物线C 2:y 2=4x 的焦点重合，椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，且|PF 2|=53.圆C 3的圆心T 是抛物线C 2上的动点，圆C 3与y 轴交于M ,N 两点，|MN |=4．(1)求椭圆C 1的方程；(2)证明：无论点T 运动到何处，圆C 3恒过椭圆C 1上的一个定点．解：（1）椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1；（过程略）（2）设点T 的坐标为(x 0,y 0)，圆C 3的半径为r ，∵圆C 3与y 轴交于M ,N 两点，且|MN |=4，∴|MN |=2r 2-x 20=4，∴r =4+x 20．∴圆C 3的方程为(x -x 0)2+(y -y 0)2=4+x 20，()∗∵点T 是抛物线C 2:y 2=4x 上的动点，∴y 20=4x 0(x 0≥0)，∴x 0=14y 20，将上式代入()∗中，消去x 0得：(1-x 2)y 20-2yy 0+(x 2+y 2-4)=0，()∗∗由题意可知方程()∗∗对任意实数y 0恒成立，∴ìíîïïïï1-x 2=0，-2y =0，x 2+y 2-4=0，解得{x =2，y =0，∴圆(x -x 0)2+(y -y 0)2=4+x 20过定点(2,0)，∵点(2,0)在椭圆C 1:x 24+y23=1上，∴无论点T 运动到何处，圆C 3恒过椭圆C 1上的一个定点()2,0．我们先设出T 点的坐标；然后将其代入抛物线C 2和圆C 3的方程，建立关于x 、y 的方程：(1-x 2)y 20-2yy 0+(x 2+y 2-4)=0；再将其看作方程有无数个解的问题，据此建立方程组，求得x 、y 的值，即可求出定点的坐标.二、定值问题解答圆锥曲线中的定值问题主要有两种思路：(1)从特殊情形入手，先根据特殊位置、数值求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)根据题设条件建立关系式，直接进行推理、计算，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值．例2.如图2，已知抛物线C 1:y 2=2px (p >0)的焦点和椭圆C 2:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F 重合，过点F 作直线l 交抛物线C 1于M ,N ，交椭圆C 2于P ,Q .当l 垂直于x 轴时，||MN =4，||PQ =3.(1)求C 1和C 2的方程；(2)问是否存在常数m ，使1||MN +m||PQ 为定值？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线C 1的方程为y 2=4x ，椭圆C 2的方程为x 24+y 23=1；（过程略）（2）假设存在常数m ，使1||MN +m ||PQ 为定值.设直线l 的方程为：x =ny +1，M ()x 1,y 1，N ()x 2,y 2，联立方程可得{x =ny +1，y 2=4x ，消去x 得y 2-4ny -4=0，则Δ=16n 2+16>0，且{y 1+y 2=4n ，y 1y 2=-4，费美能夏建跃图1图240解题宝典故||MN =1+n 2||y 1-y 2=1+n 2()y1+y 22-4y 1y 2=1+n 216n 2+16=4()n 2+1.设P ()x 3,y 3，Q ()x 4,y 4，联立方程可得ìíîïïx =ny +1，x 24+y 23=1，消去x 得()3n 2+4y 2+6ny -9=0.则Δ=144()n 2+1>0，且ìíîïïy 3+y 4=-6n 3n 2+4，y 3y 4=-93n 2+4，故||PQ =1+n 2||y 3-y 4=1+n 2()y3+y 42-4y 3y 4=12()n 2+13n 2+4.所以1||MN +m ||PQ =14()n 2+1+m ()3n 2+412()n 2+1=3m 12×n 2n 2+1+4m +312×1n 2+1.要使1||MN +m ||PQ 为定值，需使3m 12=4m +312，解得m =-3，故存在常数m =-3，使1||MN +m ||PQ 为定值-34.先根据韦达定理，将所求的表达式1||MN +m ||PQ 用m 、n 表示出来；然后对其化简，消去变量n ，即可断定1||MN +m ||PQ 为定值．三、定直线问题求解圆锥曲线中的定直线问题有两种思路：(1)从特殊情形入手，如特殊位置、特殊点等，求出定直线的方程；再证明这条直线与变量无关；(2)先根据解题需求引入参数k ，并建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(直线)中的常数k 当成变量，将变量x 、y 当成常数，将原方程转化为kf (x ，y )+g (x ，y )=0的形式；然后根据曲线(直线)过定点时与参数没有关系，即方程对参数的任意值都成立，得到关于x 、y 的式子，则该式就是曲线恒过的定直线.例3.如图3，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0过点Q æèöø1,32，且离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P ()1,2的直线l 交C 于A 、B 两点时，在线段AB 上取点M ，满足||AP ∙||MB =||AM ∙||PB ，证明：点M 总在某定直线上．解：（1）椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（过程略）（2）设点A ()x 1,y 1，B ()x 2,y 2，M ()x ,y ，因为||AP ∙||MB =||AM ∙||PB ，记λ=||AP ||PB =||AM ||MB ，则λ>0且λ≠1，因为点P 在椭圆外，且P ，A ，M ，B 四点共线，所以 AP =-λ PB ， AM =λ MB ，所以()1-x 1,2-y 1=λ()1-x 2,2-y 2，即()x -x 1,y -y 1=λ()x 2-x ,y 2-y ，所以ìíî1-x 1=λ()1-x 2，2-y 1=λ()2-y 2，ìíîx -x 1=λ()x 2-x ，y -y 1=λ()y 2-y ，所以ìíîïïïïx 1-λx 21-λ=1，y 1-λy 21-λ=2，ìíîïïïïx =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ，又因为ìíîïïïïx 214+y 213=1，x 224+y 223=1，则ìíîïïïïx 214+y 213=1，λ2x 224+λ2y 223=λ2，将上述两式作差可得x 21-λ2x 224+y 21-λ2y 223=1-λ2，即()x 1-λx 2()x 1+λx 24()1-λ()1+λ+()y 1-λy 2()y 1+λy 23()1-λ()1+λ=1，即x 4+2y 3=1，即3x +8y -12=0，故点M 总在定直线3x +8y -12=0上.我们需先引入参数λ，根据线段长之比相等，利用点差法来建立关系式，求出点M 的轨迹方程：()x 1-λx 2()x 1+λx 24()1-λ()1+λ+()y 1-λy 2()y 1+λy 23()1-λ()1+λ=1；然后根据方程对任意参数值都成立，来建立方程，从而求得定直线的方程.同学们在解答定点、定值、定直线问题时，要注意三点：（1）灵活运用数形结合思想、方程思想来建立关系式；（2）采用设而不求法和整体代换法，对关系式进行化简、变形；（3）注意培养直观想象、逻辑推理和数学运算能力.（作者单位：费美能，江苏省淮安中学；夏建跃，江苏省淮安市楚州中学）图341。

解圆锥曲线问题常用方法汇总【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线。

解决圆锥曲线问题的方法有很多种，下面将对其中的几种常用方法进行浅谈。

一、几何法几何法是最直观的解决圆锥曲线问题的方法之一。

通过画图、几何推理等方法，可以找到圆锥曲线的性质和特点，从而解决问题。

对于椭圆，可以通过绘制几个焦点和几个点，找到它的长短轴、离心率等特征；对于抛物线，可以通过绘制几个焦点和几个点，找到它的焦点坐标、对称轴等特征。

几何法的优点是直观易懂，可以帮助我们更好地理解圆锥曲线的性质，但是在解决复杂问题时可能不够高效。

二、代数法代数法是解决圆锥曲线问题的一种常用方法。

它通过建立相关方程，并运用代数工具来研究和解决问题。

代数方法可以通过变量的具体取值来求解未知数，可以精确地描述圆锥曲线的性质和特点。

对于椭圆，可以通过椭圆的标准方程来求解椭圆的焦点坐标、离心率等特征；对于双曲线，可以通过双曲线的标准方程来求解双曲线的焦点坐标、离心率等特征。

代数法的优点是精确性高，可以进行复杂计算，但是需要掌握一定的代数知识和技巧。

三、参数法参数法是解决圆锥曲线问题的一种特殊方法。

它通过引入参数，将圆锥曲线的方程转化为参数方程，从而简化问题的求解过程。

参数法可以将复杂的曲线问题转化为常规的直线或简单的函数关系的求解问题，能够帮助我们更好地理解和掌握圆锥曲线的性质。

对于椭圆，可以引入参数来将其转化为单位圆的参数方程，从而简化问题的求解过程；对于双曲线，可以引入参数来将其转化为双曲线的标准参数方程，从而简化问题的求解过程。

参数法的优点是简化问题、减少计算量，但是需要掌握参数方程的求解方法和技巧。

四、向量法向量法是解决圆锥曲线问题的一种常用方法。

它通过引入向量的概念和运算，将曲线的运动和性质转化为向量的运算问题，从而求解曲线的方程和特征。

向量法可以通过线性代数的知识来分析和解决问题，可以从向量的几何特征出发，发现和掌握曲线的几何性质。

圆锥曲线最值问题侧重于考查圆锥曲线的定义、几何性质、方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系.圆锥曲线问题的命题形式较多，常见的有求某条线段的最值、图形面积的最值、参数的最值、离心率的最值、点到曲线的最小距离等.下面结合几道例题，来谈一谈解答此类问题的“妙招”.一、利用几何图形的性质圆锥曲线中的圆、直线、椭圆、双曲线、抛物线均为平面几何图形.在解答圆锥曲线最值问题时，可根据题意画出几何图形，并添加合适的辅助线，将问题看作平面几何问题，利用平面几何图形的性质，如圆锥曲线的几何性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，以及正余弦定理、勾股定理等来解题.例1.设F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，若椭圆上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=120°，求椭圆离心率e 的最小值.解：设P (x 1,y 1),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),由椭圆的焦点弦公式得，|PF 1|=a +ex 1,|PF 2|=a -ex 1，在ΔPF 1F 2中，由余弦定理可得：cos 120°=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2|PF 1|∙|PF 2|=(a +ex 1)2+(a -ex 1)2-4c 22(a +ex 1)∙(a -ex 1)=-12，可得：x 1=4c 2-3a 2e 2，由椭圆的范围可知-a ≤x 1≤a ，可得0≤4c 2-3a 2e2≤a 2，解得e =c a≥，即椭圆离心率的最小值为.解答本题，关键要抓住椭圆的几何性质：椭圆的范围为-a ≤x ≤a ，-b ≤y ≤b .在根据余弦定理和焦点弦公式求得x 1后，根据椭圆的范围建立关系式0≤4c 2-3a 2e2≤a 2，即可求得椭圆离心率的取值范围.例2.椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F ，直线x =m与椭圆相交于A ,B 两点，当ΔFAB 的周长最大时，求ΔFAB 的面积.解：设椭圆的右焦点为E ，连接BE ，AE，如图所示.由椭圆的定义得：AF +AE =BF +BE =2a ，则C ΔFAB =AB +AF +BF =AB +(2a -AE )+(2a -BE )=4a +AB -AE -BE .在ΔAEB 中，AE +BE ≥AB ，所以AB -AE -BE ≤0，当AB 过点E 时取等号.所以AB +BF +AF =4a +AB -BE ≤4a ，即直线x =m 过椭圆的右焦点E 时，ΔFAB 的周长最大.将x =1代入椭圆x 24+y 23=1得y =±32，即AB =3.因此，当ΔFAB 的周长最大时，S ΔFAB =3.我们首先根据题意作图，并添加合适的辅助线，即可根据椭圆的定义建立线段AF 、AE 、BF 、BE 之间的几何关系；然后根据三角形的性质：两边之和大45。

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型一、解圆锥曲线问题常用的八种方法：1.直线的交点法：利用直线与圆锥曲线的交点来解题，求出直线与曲线的交点坐标，从而得到问题的解。

该方法适用于直线与圆锥曲线有交点的情况。

2.过顶点的直线法：通过过顶点的直线与圆锥曲线的交点性质来解题。

一般情况下，过顶点的直线与圆锥曲线有两个交点，利用这两个交点可以得到问题的解。

3.平行线法：对于平行线与圆锥曲线的交点性质进行分析，可以得到问题的解。

一般情况下，平行线与圆锥曲线有两个交点，通过求解这两个交点可以得到问题的解。

4.切线法：利用切线与圆锥曲线的交点性质来解题。

一般情况下，切线与圆锥曲线有一个交点，通过求解这个交点可以得到问题的解。

5.对称法：通过对称性质，将圆锥曲线转化为标准形式或特殊形式，从而简化问题的求解过程。

6.几何平均法：利用几何平均的性质，将圆锥曲线的方程进行变换，从而得到问题的解。

7.参数方程法：通过给定的参数方程，求解参数，从而得到与曲线相关的问题的解。

8.解析几何法：通过解析几何的方法，将问题抽象为代数方程，从而求解问题。

二、解圆锥曲线问题常规题型：1.已知曲线方程，求曲线的性质：如给定椭圆的方程，求椭圆的长短轴、焦点、离心率等。

2.已知曲线性质，求曲线方程：如给定一个椭圆的长短轴、焦点、离心率等，求椭圆的方程。

3.已知曲线方程和一个点，判断该点是否在曲线上：如给定一个椭圆的方程和一个点P，判断点P是否在椭圆上。

4.已知曲线方程和一个直线，判断该直线是否与曲线有交点：如给定一个椭圆的方程和一条直线L，判断直线L是否与椭圆有交点。

5.已知曲线方程和一个点，求该点到曲线的距离：如给定一个椭圆的方程和一个点P，求点P到椭圆的距离。

6.已知曲线方程和一个点，求该点在曲线上的切线方程：如给定一个椭圆的方程和一个点P，求点P在椭圆上的切线方程。

7.已知曲线方程和两个点，求该曲线上两点之间的弧长：如给定一个椭圆的方程和两个点A、B，求椭圆上从点A到点B的弧长。

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
一、几何方法
1. 求解圆锥曲线方程
求解圆锥曲线方程是解决圆锥曲线问题的基础。

在已知圆锥曲线焦点、直线方程等条
件下，可以通过求解圆锥曲线标准方程来解决问题。

2. 利用焦点性质
圆锥曲线的焦点是曲线的一个重要属性。

在一些问题中，可以利用焦点性质解决问题。

比如，已知椭圆的一个焦点和对应的直线方程，求另一个焦点的坐标。

二、代数方法
解方程是代数解决圆锥曲线问题的一种常见方法。

利用圆锥曲线方程，我们可以列出
一系列方程。

根据问题的条件，我们可以通过解方程来求解circumstances answers。

2. 矩阵法
矩阵法是一种较为高级和复杂的代数方法，它利用矩阵的运算来解决问题。

对于一个
标准的圆锥曲线方程，可以将它转化为矩阵形式，从而通过矩阵的运算，快速求得问题的
答案。

3. 极坐标法
极坐标法是解决圆锥曲线问题的另一种代数方法。

将圆锥曲线表示为极坐标方程，我
们可以通过极坐标方程的性质快速求解问题。

总之，圆锥曲线问题的解决方法多种多样，既有基于几何的方法，也有基于代数的方法。

不同的问题需要根据不同的条件选择不同的方法，从而得到最优的解决方案。

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法〔点参数、K 参数、角参数〕7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型〔1〕中点弦问题 〔2〕焦点三角形问题〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题 〔4〕圆锥曲线的有关最值〔围〕问题 〔5〕求曲线的方程问题1．曲线的形状--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程〔6〕存在两点关于直线对称问题 〔7〕两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法〔1〕椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

〔2〕双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离〞互相转化。

〔3〕抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用。

3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法〞。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法〞，即设弦的两个端点A(*1,y 1),B(*2,y 2),弦AB 中点为M(*0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求〞法，具体有：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有02020=+k by a x 。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线问题是高中数学中比较重要的一种问题。

解决圆锥曲线问题需要掌握一定的数学知识和技巧。

本文将从几种不同的角度介绍解决圆锥曲线问题的几种方法。

一、代数法代数法是解决圆锥曲线问题较为基础的一种方法。

对于给定的圆锥曲线，我们可以采用代数方式将其表示出来，然后通过对代数式进行化简、拆分等运算来求解问题。

以椭圆为例，设椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

若已知椭圆的长半轴和短半轴分别为5和3，求椭圆的周长和面积。

解题思路：首先，根据椭圆的方程，可以得到：周长：$C=4aE(\frac{b^2}{a^2})$面积：$S=\pi ab$其中，E是椭圆的第二类完全椭圆积分。

代入已知数据，可以得到：周长：$C=4\times 5E(\frac{9}{25})\approx 20.0124$面积：$S=\pi\times 5\times 3\approx 47.1239$二、几何法解题思路：首先，根据双曲线的性质，可以得到：离心率：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$其次，根据题意，双曲线的长轴长度为6，所以有：$2a=6$即：$a=3$又因为焦点为(-3,0)，(3,0)，所以有：$2c=6$即：$c=3$将已知数据代入公式，可以得到：$b^2=c^2-a^2=9-9=0$所以：离心率：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+0}=1$三、投影法以抛物线为例，设抛物线的方程为：$y^2=4px$其中，p为抛物线焦点到抛物线的顶点的距离。

若已知抛物线焦点为(0,2)，顶点为(0,0)，求抛物线的焦距和面积。

其次，根据题意，抛物线的焦点为(0,2)，顶点为(0,0)，所以有：$p=2$四、向量法以圆为例，设圆的方程为：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$其中，(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。