2015高考数学(理)一轮题组训练：13-1随机事件的概率

第十三篇概率、随机变量及其分布
第1讲随机事件的概率
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n 的逐渐增加，下列结论正确的是________．
①f(n)与某个常数相等②f(n)与某个常数的差逐渐减小③f(n)与某个常数
差的绝对值逐渐减小④f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定
解析随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．
答案④
2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是________．
①至少有一个红球与都是红球②至少有一个红球与都是白球③至少有一
个红球与至少有一个白球④恰有一个红球与恰有二个红球
解析对于①中的两个事件不互斥，对于②中两个事件互斥且对立，对于③中两个事件不互斥，对于④中的两个互斥而不对立．
答案④
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为________．
解析由题意知该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3.
答案0.3
4．(2014·沈阳模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是________．
解析从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1
个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－110＝9
10. 答案 9
10
5．(2013·陕西卷)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是________．
解析 由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45.用频率估计概率可得其为二等品的概率为0.45. 答案 0.45
6．(2014·郑州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝1
6，则出现奇数点或2点的概率为________．
解析 因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋1
6＝23. 答案 2
3
7．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)． 解析 ∵P (A )＝152，P (B )＝1352，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1
52＋
13
52＝
14
52＝
7
26.
答案7 26
8．(2014·成都模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．
解析记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋
C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
答案0.96
二、解答题
9．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红
球的概率是1
3，黑球或黄球的概率是
5
12，绿球或黄球的概率也是
5
12，求从中任
取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？
解从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥，所以有
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝5 12，
P(D＋C)＝P(D)＋P(C)＝5
12，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1
－1
3＝
2
3，解得P(B)＝
1
4，P(C)＝
1
6，P(D)＝
1
4.
故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是1
4，
1
6，
1
4.
10．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系
式为y ＝⎩⎨⎧
－2，t <94，2，94≤t <102，
4，t ≥102.
从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为
X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)．
解 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8
100＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10
100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此P (X ＝－2)＝0.04，P (X ＝2)＝0.54，P (X ＝4)＝0.42， 即X 的分布列为
X 的数学期望E (X ) 2.68.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014·大连模拟)某城市2013年的空气质量状况如下表：
其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50＜T ≤100时，空气质量为良；100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2013年空气质量达到良或优的概率为________．
解析 由题意可知2013年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝3
5. 答案 3
5
2．(2014·漳州调研)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么下列概率是7
10的事件是________．
①至多有一张移动卡 ②恰有一张移动卡 ③都不是移动卡 ④至少有一张移动卡
解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件． 答案 ①
3．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．
解析 由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为14
32＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5. 答案 32 0.437 5
二、解答题
4. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火
车站的人进行调查，调查结果如下：
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大
可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：
，B2 12121
分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.。