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余子式与代数余子式的定义余子式与代数余子式的定义一、什么是余子式与代数余子式余子式和代数余子式是矩阵理论中常见的概念，它们与行列式密切相关。
我们来明确一下余子式和代数余子式的定义。
余子式：对于一个n阶矩阵A，若去掉其中的第i行和第j列后得到的（n-1）阶矩阵记作A(i, j)，则A(i, j)的行列式称为矩阵A的余子式，记作M(i, j)。
代数余子式：对于一个n阶矩阵A，矩阵A的任一元素a(i, j)与其对应的余子式M(i, j)的乘积记作A(i, j)，即A(i, j) = a(i, j)·M(i, j)。
其中，正负号由元素的位置(i, j)决定，根据“剪切法则”确定。
总结起来，余子式就是一个矩阵中去掉某行某列后得到的子矩阵的行列式，而代数余子式则是某个元素与其对应的余子式的乘积。
二、深入探讨余子式与代数余子式的性质与作用接下来，我们将从深度和广度两个维度分别探讨余子式和代数余子式的性质与作用。
1. 深度探讨：余子式的性质和作用余子式在矩阵理论和线性代数中有着重要的地位和作用，具体表现在以下几个方面：1.1. 行列式的计算：余子式是行列式计算中的关键环节。
通过递归地计算余子式，可以得到行列式的值。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，我们可以选择任意一行或一列，计算该行（列）中每个元素与其对应的余子式的乘积，并按照正负号相加得到行列式的值。
1.2. 矩阵的逆与伴随矩阵：通过余子式的概念，可以定义矩阵的逆和伴随矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，其逆矩阵A^(-1)的第i行第j列的元素可以表示为A^(-1)(i, j) = M(j, i) / |A|，其中M(j, i)为A的余子式，|A|为A的行列式。
1.3. 特殊矩阵的性质：余子式在研究特殊矩阵的性质时发挥了重要作用。
如果一个方阵A的所有余子式都为零，则A必定是奇异矩阵，即不可逆；又如，一个上（下）三角矩阵A的对角线上所有元素的余子式都为1，则A是一个单位上（下）三角矩阵。
余子式和代数余子式的转换余子式和代数余子式是线性代数中常见的两个概念，它们经常出现在矩阵的求逆过程中。
在学习线性代数的过程中，我们常常会遇到需要将一个矩阵的余子式转化成代数余子式，或者反过来。
下面，我们就来详细地介绍一下如何进行这样的转化。
1. 什么是余子式首先，我们需要知道什么是余子式。
对于一个矩阵$A$，其中第$i$行第$j$列的元素为$a_{ij}$，那么我们将$a_{ij}$所在的行和列分别去掉，得到的新矩阵为$A_{ij}$，这个新矩阵的行数和列数均比原矩阵少$1$。
那么，$A_{ij}$的行列式就是矩阵$A$的第$i$行第$j$列的余子式，记作$M_{ij}$，即：$$M_{ij}=(-1)^{i+j}det A_{ij}$$2. 什么是代数余子式接下来，我们来了解一下什么是代数余子式。
在同一个矩阵$A$中，与$i$和$j$异号的余子式的和就是矩阵$A$的第$i$行第$j$列的代数余子式，记作$A_{ij}$，即：$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$所以，我们可以将代数余子式看成余子式的一种特殊形式，它们的计算方式也很相似。
3. 怎么将余子式转化成代数余子式那么，如何将矩阵$A$的余子式转化成代数余子式呢？我们需要按照以下步骤来进行操作：（1）首先，将矩阵$A$的第$i$行第$j$列的余子式$M_{ij}$求出来。
（2）判断$i+j$的奇偶性。
如果是偶数，那么代数余子式$A_{ij}$就等于$M_{ij}$；如果是奇数，$A_{ij}$就等于$-M_{ij}$。
（3）将$A_{ij}$填入矩阵$B$的第$i$行第$j$列，得到矩阵$B$。
4. 怎么将代数余子式转化成余子式反之，如果我们需要将矩阵$A$的代数余子式转化成余子式，我们需要按照以下步骤来进行操作：（1）首先，将矩阵$A$的第$i$行第$j$列的代数余子式$A_{ij}$求出来。
（2）判断$i+j$的奇偶性。
行列式的余子式和代数余子式行列式是线性代数中的重要概念，它有许多重要的性质和应用，其中余子式和代数余子式是行列式的重要组成部分。
本文将生动地介绍余子式和代数余子式，并解释它们的意义和应用。
首先，我们来了解余子式。
余子式是行列式中划去某一行和某一列后所得到的新的行列式。
具体而言，对于一个n阶行列式A，划去第i行和第j列后所得到的新行列式，记作Mij。
例如，对于3阶行列式A，划去第2行和第3列所得到的新行列式M23就是一个2阶行列式。
余子式与原行列式有着密切的关系，它们可以在求行列式的值以及解线性方程组等问题中发挥重要作用。
接下来，我们来探讨代数余子式的概念。
代数余子式是在余子式的基础上进行符号的变换。
具体而言，对于余子式Mij，我们将其乘以(-1)^(i+j)，得到的新的数称为代数余子式，记作Aij。
例如，对于3阶行列式A，其代数余子式A23就是余子式M23乘以(-1)^(2+3)=-1。
代数余子式的符号变换是与原行列式的位置相关的，这也体现了行列式的性质和规律。
余子式和代数余子式在行列式的计算中起着重要的作用。
首先，根据余子式和代数余子式的定义，我们可以将n阶行列式的计算分解为多个小的行列式的计算，从而简化计算的复杂性。
其次，余子式和代数余子式可以用于求解线性方程组。
通过将线性方程组转化为行列式，我们可以利用余子式和代数余子式求解出未知量的值。
此外，余子式和代数余子式还具有非常重要的性质，如行列式与其对应的余子式和代数余子式之间的关系等。
总结起来，余子式和代数余子式是行列式中的重要概念，它们在行列式的计算以及线性方程组的求解中有着重要的作用。
通过了解余子式和代数余子式的定义和性质，我们可以更好地理解行列式的规律，并应用它们解决实际问题。
因此，在学习线性代数和矩阵理论时，我们应该重视余子式和代数余子式的学习和理解。
只有掌握了它们的相关知识，我们才能更好地应用行列式解决实际问题，并在更高层次的数学和工程领域中发展。
代数余子式定理
代数余子式定理主要指的是关于行列式的拉普拉斯定理，也被称为按k行展开定理。
该定理表述如下：
在n阶行列式D中，任意取定k行（列），k为小于n的正整数，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。
其中，k阶子式是在行列式中任取k行k列，位于这些行和列的交点上的元素按照原来的次序组成的一个k阶行列式。
而代数余子式则是由余子式衍生出的概念，余子式是在n阶行列式中，把元素所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式。
代数余子式是在此基础上再乘以-1的o+e次幂得到的。
请注意，该定理在理论方面的应用较为广泛，而在实际计算行列式时可能并不方便。
同时，该定理也是线性代数中的重要内容，对于理解行列式的性质和计算方法具有重要意义。
3.4 子式和代数余子式 行列开的依行依列展开教学目的：1. 掌握计算行列 式的能力2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧 教学内容:1. 子式和余子式: 定义1 在一n 阶行列式D 中任意取定k 行k 列.位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D 的一个k 阶子式. 例1 在四阶行列式D=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D 的一个二阶子式M=34312421a a a a定义2 n(n>1)阶行列式D=nnnjn in ij i n j a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111111 的某一元素ij a 余子式ijM指的是在D 中划去ij a 所在的行和列后所余下的n-1阶子式.例2 例子的四阶行列式的元素23M = 444241343231141211a a a a a a a a a定义 3 n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ijM 附以符号ji +-)1(后,叫做元素ij a 的代数余子式.元素ij a 的代数余子式用符号ij A 来表示:ij A =j i +-)1(ijM.例3 例1中的四阶行列式D 的元素23a 的余子式是23M=2332)1(M+-=-23M=- 444241343231141211a a a a a a a a a现在先看一个特殊的情形，就是一个n 阶行列式的某一行（列）的元素最多有一个不是零的情形。
定理3.4.1若在一个n 阶行列式D= nnnjn in ij i nj a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111111中，第I 行（或第j 列）的元素除a ij 外都是零，那么这个行列式等于a ij 与它代数余子式A ij的乘积：D= a ij A ij证 我们只对行来证明这个定理。
1）先假定D 的第一行的元素除a ij 外都是零。
这时D=nnn n n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21222211100我们要证明， D=a 11A 11= a 11（-1）11+M 11= a 11M 11，也就是说，D= a 11nnn n n n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯323333222322（1）子式M 11的每一项都可以写作a 22j a 33j ……a n nj ，此处j 2，j 3，…，j n 是2，3，…n 这n-1个数码的一个排列。
我们看项（1）与元素a 11的乘积a 11 a 22j a 33j ……a n nj ，这一乘积的元素位在D 的不同的行与不同的列上，因此它是D 的一项。
反过来，由于行列式D 的每一项都含有第一列的一 个元素，而第一行的元素除a 11外都零，因此D 的每一项都可以写成（2）的形式，这就是说，D 的每一项都是a 11与它的子式M 11的某一项的乘积，因此D 与a 11M 11有相同的项，乘积（2）在D 的符号是（-1）21j （πnj ⋯）=（-1）2j （πnj ⋯）另一方面，乘积（2）在a 11M 11中的符号就是（1）在M 11中的符号。
乘积（1）的元素既然位在D 的第2，3，…，n 行与第j 2，j 3，…j n 列，因此它位在M 11的第1，2，…，n-1行与j 2-1，j 3-1，…，j n -1列，所以（1）在M 11中的符号应该是（-1）)1(2-j （π)1(-⋯nj ）。
显然，л（j 2…j n ）=л（（j 2-1）…（j n -1））。
这样，乘积这（2）在a 11M 11中的符号与D 中的符号一致。
所以D= a 11M 11现在我们来看一般的情形。
设D=nnj n njj n n j n j j j a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+-+-1,1,1111,111,1110000我们变动行列式D 的行列，使a ij 位于第一行与第一列，并且保持a ij 的余子式不变。
为了达到这一目的，我们把D 的第I 行依次与第I-1，I-2，…2，1行变换，这样，一共经过了I-1次交换两行步骤，我们就把D 的第I 行换到第一行的位置。
然后在把第j 列依次与j-1，j-2，…，2，1列交换，一共经过j-1次交换两列的步骤，a ij 就被换到第一行与第一列的位置上，这时，D 变为下面形式的行列式：D 1=nnj n j n n njr i j i j i i j i n i j i j i i j i n j j j ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ............................................................................................................0...00 (01),1,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,111,11,1111+-+++-+++-+-----++1D 是由D 经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而得到的.由命题3.3.3,交换行列式的两行或两列,行列式改变符号.因此 D=)1()1()1(-+--j i 1D =ji +-)1(1D .在1D 中,ija 位在第一行与第一列,并且第一行的其余元素都是零;由1),D=ij a nnj n j n n n i j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+-+++-++-+----+-1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111 =ij a ijM因此D=ji +-)1(1D =ji +-)1(ij a ijM=ij a j i +-)1(ijM=ij a ijA .这样,定理得到证明.定理 3.4.2 行列式D 等于它任意一行(列)的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的和.换句话说,行列式有依行或依列的展开式:D=inin i i i i A a A a A a ⋯++2211(I=1,2,…，n)， （ 3） D=⋯++j j j j A a A a 2211njnj A a (j=1,2,…，n)。
（4）在证明这一定理这前，我们先注意以下事实： 设1D = nnn n in i i n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212111211 ，2D = nnn n in i i n a a a b b b a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212111211是两个N 阶行列式，在这两个行列式中除去第I 行外，其余的相应行都不得相同。
那么，1D 的第I 行的对应元素有相同的代数余子式。
事实上，ija 的子式是划去1D 的第I 行第J 列后所得的N-1阶行列式。
由于1D 与2D 只有第I 行不同，所以划去这两个行列式的第I 行和第J列，我们得到同一的行列式。
因此ija 与ijb 的子式相同，而它们的代数余子式也相同。
显然对列来说，也有同样的事实。
现在我们来证明定理3.4.2.我们只对行来证明,换句话说,只证明公式(3).公式(4)的证明是完全类似的.先把行列式D 写成以下形式:D= nnn n ini i n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯++⋯+⋯+⋯++++⋯++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212111211000000也就是说,D 的第I 行的每一元素写成N 项的和.根据命题3.3.9,D 等于个行列式的和:D=nnn n i n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2111121100 +nnn n i n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2121121100+…+ nnn n in n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯211121100 .在这N 个行列式的每一个中,除了第I 行外,其余的行都不得与D的相应行相同。
因此，每一行列式的第i 行的元素代数余子式与D 的第i 行的对应元素的代数余子式相同。
这样，由定理3.4.1，in i i i i Aa A a A a D +++= 2211 以下定理在某种意义下和定理3.4.2平行。
定理3.4.3 行列式nnn n jn j j in i i n a a a a a a a a a a a a D21212111211=的某一行（列）的元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。
换句话说：),(02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ （5）).(02211t s A a A a A a nt ns t s ts ≠=+++ （6）证 我们只证明等式（5）。
看行列式)(.)(21212111211j i a a a a a a a a a a a a D nnn n jn j j in i i n= 1D 的第i 行与第j 行完全相同，所以01=D 。
另一方面，1D 与D 仅有第j 行不同，因此1D 的第j 行的元素的代数余子式与D 的第j 行的对应元素的代数余子式相同。
把1D 依第j 行展开，得jnin j i j i A a A a A a D +++= 22111 因而2211=+++jn in j i j i A a A a A a例4 计算四阶行列式335111243152113------=D在这个行列式里，第三行已有一个元素是零。
由第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得3550100131111115-----=D根据定理3.4.1551111115)1(133-----⨯=+D 把所得三阶行列式的第一行加到第二行，得.405526)1(105502611531=----⨯=---+所以D=40。
例5 计算阶行列式123211000000000100001a x a a a a x x x x n n n n +---=∆---按第一列展开，得()1000001000111000000000100001112321----++---=∆+---xx xa a x a a a a x x x x xn n n n n n这里的第一个1-n 阶行列式和n ∆有相同的形式，把它记作1-∆n ；第二个1-n 阶行列式等于()11--n 。
