沪教版八年级下册第二十二章四边形单元测试卷

第二十二章四边形单元测试一、单选题1．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（）．①单位向量都相等；①单位向量都平行；①平行的单位向量必相等．A．1个B．2个C．3个D．0个2．下列命题中，错误的是（）A．一组对边平行的四边形是梯形；B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；C．对角线相等的平行四边形是矩形；D．一组邻边相等的平行四边形是菱形．3．一个多边形的每个内角都是135°，则其内角和为（）A．900°B．1080°C．1260°D．1440°4．在平行四边形ABCD中，设AB a=，AD b=，点O是对角线AC与BD的交点，那么向量OC可以表示为（）A．1122a b+；B．1122a b-；C．1122a b-+；D．1122a b--．5．如图所示，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中12∠+∠的度数为（）A．180︒B．220︒C．240︒D．300︒6．如图，在梯形ABCD中，AD①BC，对角线AC①BD，且AC＝12，BD＝9，则此梯形的中位线的长是( )A ．10B ．212C ．152D ．127．如图，平行四边形ABCD 中，AC AB ⊥，点E 为BC 边中点，8AD =，则AE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，过对角线交点O 作EFAC ⊥交AD 于点E ，交BC 于点F ，四边形OCDE 的周长为（ ）A．7+B ．7+C ．8+D ．8+9．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ①AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则OH 的长为（ ）A ．.2B ．3CD 10．如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，且满足BE BC =．连接CE 并延长交AD 于点F ，连接AE ，过B 点作BG AE ⊥于点G ，延长BG 交AD 于点H ．在下列结论中：①AH DF =；①45AEF ∠=︒；①AH DE =；①DEF AGH EFHG S S S =+四边形，其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 11．已知一个多边形的每一个内角都等于140︒，则这个多边形的边数是_______． 12．在菱形ABCD 中，已知AB =a ，AC =b ，那么AD =__________（结果用向量a ，b 的式子表示）． 13．已知一个正多边形的内角和为1260°，则这个正多边形的每个外角比每个内角小__度． 14．等腰梯形的周长为30cm ，中位线长为8cm ，则腰长为____cm ．15．梯形ABCD 中，//AD BC ，6AB AD DC ===，BD DC ⊥，那么BD =____． 16．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 边于点E ，且2AE =，则AB 的长为__．17．如图，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（2，3），则AC ＝_____．18．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，若①OED 的面积是5，则四边形OECB 的面积是______19．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝8，①B ＝60°，点E 在边AD 上，且AE ＝3．若过点E 的直线l，将该菱形的面积平分，且与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为_____．20．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，①DCE为直角三角形，①CED＝90°，①DCE ＝30°，若正方形的边长为2，则OE的长为__________．三、解答题21．一个多边形的内角和是它外角和的3倍，它是几边形？22．根据图中所给的向量，分别画出下列向量.（1）2a b+；（2）1 22 a b-.23．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．24．如图，四边形ABCD中，AB//DC，AC平分①BAD，CE//DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．25．已知：在Rt ①ABC 中，90BAC ∠=，DE 是直角边AB 的垂直平分线，DBA ABC ∠=∠，连接AD ．求证：（1）四边形ADBC 是梯形；（2）12AD BC =． 26．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ①AC ，AE ①BD ．（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）若AB ＝13，DE ＝5，求四边形AODE 的面积．27．（1）如图1，在正方形ABCD 中，AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图2，在Rt ABD △中，90,BAD AB AD ∠=︒=．点M 、N 是BD 边上的两点，且45MAN ∠=︒，点H 为ABD △外一点，连结NH 、AH 、HD ．若90MAH ∠=︒，AM AH =，探素2MN 、2ND 、2DH 的关系．（3）在（2）的条件下，若AB =4BM =，求线段MN 的长度是多少？参考答案1．D2．A3．B4．A5．C6．C7．C8．A9．B10．C11．912．b a-13．10014．7．15．16．21718．15．19．2021．这个多边形是八边形22．解：根据三角形法则进行解题,图形见下图,23．证明：①平行四边形ABCD 中，①AB//CD 且AB=CD ，①BAE DCF ∠=∠，①AE ＝CF ，①①ABE ①①CDF （SAS ）①BE=DF同理可证①AED ①①CFB①BF=ED①四边形BEDF 是平行四边形．24．①//AB DC ，//CE DA ，①四边形ADCE 是平行四边形，①AC 平分BAD ∠，①CAD CAE ∠=∠，又①//CE DA ，①ACE CAD ∠=∠，①ACE CAE ∠=∠，①AE CE =．又①四边形ADCE 是平行四边形，①四边形ADCE 是菱形．25．证明：（1）如图，①DE 是AB 的垂直平分线，①AD=BD ，①①DBA=①DAB ，①①DBA=①ABC ，①①ABC=DAB ，①AD①BC ，①AC 与BD 不平行，①四边形ADBC 是梯形，（2）如图，延长DE 交BC 于F ，①①DBA=①ABC ，BE=BE ，①DEB=①BEF=90°， ①①BDE①①BFE ，①BF=BD=AD ，①①BAC=①BEF=90°，①DF①AC ，①AD①BC ，①四边形ACFD 是平行四边形，①AD=FC ，FC=BF=AD ， ①12AD BC =． 26．（1）证明：//DE AC ，//AE BD ， ∴四边形AODE 是平行四边形，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，90AOD ∴∠=︒，∴四边形AODE 是矩形；（2）解：四边形AODE 是矩形，5OA DE ∴==，四边形ABCD 是菱形，OB OD ∴=，AC BD ⊥，12OB ∴===， 12OD ∴=，∴四边形AODE 的面积12560OD OA =⨯=⨯=． 27．解：（1）①四边形ABCD 是正方形， ①,90AB AD B BAD D =∠=∠=∠=︒，①,AG EF AG AB AD ⊥==， ①AE AE =，①Rt ABE Rt AGE ≌（HL ）， ①BAE GAE ∠=∠，同理可得DAF GAF ∠=∠，①90BAE EAG DAF GAF ∠+∠+∠+∠=︒， ①45EAG GAF∠+∠=︒， ①45EAF ∠=︒；（2）222MN ND DH =+，理由如下： ①90,BAD AB AD ∠=︒=，①45∠=∠=︒B ADB ，①90MAH∠=︒，MAD MAD ∠=∠， ①BAMHAD ∠=∠， ①AMAH =， ①BAM DAH ≌（SAS ）， ①45B ADH∠=∠=︒， ①90HDNADB ADH ∠=∠+∠=︒， ①45MAN∠=︒， ①45HAN MAN ∠=∠=︒，①AN =AN ，①MAN HAN ≌（SAS ）， ①MN HN =，①在Rt ①HDN 中，222ND H HN D =+， ①222MN ND DH =+； （3）由（2）得MN HN =，222MN ND DH =+，BM HD =，①AB =①12BD ==， ①4BM HD ==，①设MN NH x ==，则有8ND x =-，①()22284x x =-+，解得：5x =， ①5MN =．。

第二十二章四边形专题22.2 平行四边形（重点练）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角互补D．四个角相等【答案】A【分析】根据正方形的性质，余角和补角，矩形的性质逐一进行判断即可．【解答】解：A．因为对角线互相垂直，正方形具有而矩形不具有，所以A选项符合题意；B．因为对角线相等，正方形具有而矩形也具有，所以B选项不符合题意；C．因为对角互补，正方形具有而矩形也具有，所以C选项不符合题意；D．因为四个角相等，正方形具有而矩形也具有，所以D选项不符合题意．故选：A．【知识点】正方形的性质、余角和补角、矩形的性质2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为（）A．24 B．30 C．36 D．18【答案】A【分析】根据菱形的邻角互补求出∠B＝60°，再根据菱形的四条边都相等可得AB＝BC，然后求出△ABC 是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB，然后利用菱形的周长公式计算即可得解．【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，又∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝6，∴菱形ABCD的周长＝6×4＝24．故选：A．【知识点】菱形的性质、等边三角形的判定与性质3.如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则▱ABCD的周长是（）A．60 B．30 C．20 D．16【答案】C【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2，∴AD＝BC＝6，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，∴CD＝AB＝4，∴▱ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．故选：C．【知识点】平行四边形的性质4.已知，如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8 cm2C．10 cm2D．12 cm2【答案】A【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知：AB2+AE2＝BE2．∴32+AE2＝（9﹣AE）2．解得：AE＝4cm．∴△ABE的面积为：×3×4＝6（cm2）．故选：A．【知识点】翻折变换（折叠问题）、矩形的性质5.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝，BC＝，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F，下列说法：①在旋转过程中，AF＝CE．②OB＝AC，③在旋转过程中，四边形ABEF的面积为，④当直线AC绕点O顺时针旋转30°时，连接BF，DE，则四边形BEDF是菱形，其中正确的是（）A．①②④B．①②C．①②③④D．②③④【答案】A【分析】证明△AOF≌△COE（ASA），可得出AF＝CE，求出AC和OB的长，可得出结论，根据四边形ABEF 的面积＝S四边形ABEO+S△AOF＝S四边形ABEO+S△COE＝S△ABC，可求出四边形ABEF的面积＝，证明EF ⊥BD，OF＝OE，则四边形ABEF为菱形．根据结论得出答案即可．【解答】解：①∵四边形ABEF是平行四边形，∴AO＝CO，AF∥EC，∴∠F AO＝∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE．故①正确，②∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵AB＝，BC＝，∴AC＝＝＝2，∴OA＝AC＝1，∴OB＝＝＝2，∴OB＝AC；故②正确，③∵△AOF≌△COE，∴S△AOF＝S△COE，∴四边形ABEF的面积＝S四边形ABEO+S△AOF＝S四边形ABEO+S△COE＝S△ABC，∵S△ABC＝AB×AC＝×2＝，∴四边形ABEF的面积为，故③不正确，④当旋转角为30°时，∠AOF＝30°，∵AB⊥AC，OA＝1，OB＝2，∴∠ABO＝30°，∵∠AOB＝60°，∴∠BOF＝90°，∴EF⊥BD，∵△AOF≌△COE，∴OF＝OE，∴四边形ABEF为菱形．故④正确．故选：A．【知识点】全等三角形的判定与性质、菱形的性质、菱形的判定、平行四边形的性质、旋转的性质二、填空题（共5小题）6.在▱ABCD中，若∠A+∠C＝342°，则∠B＝度．【答案】9【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝342°，∴∠A＝171°，∴∠B＝180°﹣171°＝9°，故答案为：9．【知识点】平行四边形的性质7.在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，BD＝2，则平行四边形ABCD的面积等于．【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB＝2，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝，AE＝AD＝3，在Rt△BDE中，∵BD＝2，∴BE＝＝＝2，如图1，∴AB＝4，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4，如图2，AB＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝2，如图3，过B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，设AE＝x，则DE＝2﹣x，∵∠A＝30°，BE＝x，在Rt△BDE中，∵BD＝4，∴42＝（x）2+（2﹣x）2，∴x＝，x＝2（不合题意舍去），∴BE＝1，∴平行四边形ABCD的面积＝AD•BE＝1×2＝2，如图4，当AD⊥BD时，平行四边形ABCD的面积＝AD•BD＝4，故答案为：2或4．【知识点】三角形的面积、平行四边形的性质8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为．【答案】4【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．【解答】解：∵OA＝1，OB＝2，∴AC＝2，BD＝4，∴菱形ABCD的面积为×2×4＝4．故答案为：4．【知识点】菱形的性质9.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．【答案】135【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2+∠BCP＝45°＝∠1+∠BCP，由三角形内角和定理可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠2+∠BCP＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BCP＝45°，∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，∴∠BPC＝135°，故答案为：135．【知识点】正方形的性质10.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为．【分析】连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，由三角形中位线定理可求QH＝BC ＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，由平行线分线段成比例可得MO＝OS＝SH＝NH，由勾股定理可求OH的长，即可求解．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，∵四边形ABCD是矩形，∴AH＝HC，又∵Q是AB中点，∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，∴PO∥AD∥BC∥EF∥∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，∵OT⊥QH，∴四边形POTQ是矩形，∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，∴TH＝2，∴OH＝＝＝2，∴MN＝2OH＝4，故答案为：4．【知识点】正方形的性质、矩形的性质三、解答题（共5小题）11.如图平行四边形，试用两种方法将它分成面积相等的四个部分（要求用文字简述你设计两种方法，并在所给的两个平行四边形中正确画图）．【分析】直接利用平行四边形的性质分析得出答案．【解答】解：如图所示：连接对角线即可将平行四边形分成面积相等的四个部分；或者连接平行四边形对边中点即可将平行四边形分成面积相等的四个部分．【知识点】中心对称、平行四边形的性质12.如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE＝∠DGF．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC＝AB＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝DF，∵∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DEG≌△DFG（SAS），∴∠DGE＝∠DGF．【知识点】全等三角形的判定与性质、菱形的性质13.如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA＝2，OC＝3，E是AB中点，反比例函数图象过点E且和BC相交点F．（1）直接写出点B和点E的坐标；（2）求直线AB与反比例函数的解析式；（3）连接OE、OF，求四边形OEBF的面积．【分析】（1）根据OA＝2，OC＝3，得到点B的坐标；（2）运用待定系数法求直线OB的解析式，根据E是AB的中点，求得点E的坐标，再进一步运用待定系数法求得反比例函数的解析式；（3）根据反比例函数的解析式求得点F的横坐标，再进一步根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算．【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝3，E是AB中点，∴B（2，3），E（2，）；（2）设直线OB的解析式是y＝k1x，把B点坐标代入，得k1＝，则直线OB的解析式是y＝x．设反比例函数解析式是y＝，把E点坐标代入，得k2＝3，则反比例函数的解析式是y＝；（2）由题意得F y＝3，代入，得F x＝1，即F（1，3）．则四边形OEBF的面积＝矩形OABC的面积﹣△OAE的面积﹣△OCF的面积＝2×3﹣1×3﹣2×＝3．【知识点】反比例函数系数k的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式14.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF 的值．【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，再证出AC＝BD，即可得出结论；（2）由勾股定理可求AC＝BD＝13，由面积法可求解．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，连接OP，∵AD＝12，AB＝5，∴BD＝＝＝13，∴BO＝OD＝AO＝CO＝，∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，∴S△AOP+S△POD＝15，∴××FP+××EP＝15，∴PE+PF＝．【知识点】平行四边形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质15.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，分别过点C、D作CE∥BD、DE∥AC，CE、DE交于点E．（1）求证：四边形OCED是菱形．（2）将矩形ABCD改为菱形ABCD，其余条件不变，连结OE．若AC＝10，BD＝24，则OE的长为．【答案】13【分析】（1）根据矩形性质和已知条件即可判断四边形OCED是菱形；（2）根据菱形的性质和勾股定理可得CD＝13，再根据矩形的判定和性质即可得OE的长．【解答】（1）证明：∵DE∥AC、CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，，．∴OC＝OD．∴四边形OCED是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，＝5，＝12．∴CD ＝＝13，∵DE∥AC、CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∴OE＝CD＝13．故答案为：13．【知识点】菱形的判定与性质、矩形的性质。

第二十二章 四边形 第3节 梯形 同步测试题一.选择题1.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 平分∠BAD ，∠B ＝60°，CD ＝2，则梯形ABCD 的面积是( )A.33B.6C.36D.122．等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝8，AB ＝10，CD ＝6，则梯形ABCD 的面积是( )A.516B.1516C.1716D.15323．如图，平行四边形ABCD 是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是( )．A. 1∶2B. 2∶3C. 3∶5D. 4∶74．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若对角线AC ⊥BD ，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，则梯形的面积等于( )A.302cmB.60c 2cmC.902cmD.169c 2cm5.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则下列结论：①EF∥AD；②ABO DCO S S △△；③△OGH 是等腰三角形；④BG＝DG ；⑤EG＝HF ． 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.12二.填空题7. 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ＝CD ，且AC⊥BD，AC ＝6，则梯形的高为________.8. 如图，G 是△ABC 的重心，DGC S △＝4，S △ABC ＝________.9. 如图，DE 是△ABC 的中位线，M 、N 分别是BD 、CE 的中点，MN ＝6，则BC ＝_____.10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝1，∠B ＝60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC ＋PD 的最小值为______．11.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝7，若E 为DC 的中点，射线AE 交BC 的延长线于F 点，则BF ＝______．12.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝4AD ＝42，∠B ＝45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于_________.三.解答题13．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，且∠C ＝2∠E.(1)求证：梯形ABCD 是等腰梯形；(2)若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．14．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD ，BC 的中点，E ，F 分别是BM ，CM的中点．(1)求证：四边形MENF 是菱形；(2)若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系，并证明你的结论．15．(1)探究新知：如图，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．(2)结论应用：①如图，点M ，N 在反比例函数)0(>=k xk y 的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．试证明：MN ∥EF ．②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置，如图所示．请判断MN与EF是否平行．【答案与解析】一.选择题1.【答案】A；【解析】作DE⊥AC于E，由题意，∠DAC＝∠DCA＝30°，DE＝1，AE＝CE3，AD＝DC ＝2，作双高，在Rt△ADF中，DF3，AF＝1＝BG，所以下底AB＝1＋2＋1＝4，面积＝1(24)333 2+=2.【答案】B ；【解析】作双高，解得高＝2282215-=，所以面积为()161021516152⨯+⨯=. 3.【答案】A ；【解析】等腰梯形的上底长等于腰长，可推算出底角＝60°，上底长与下底长的比是1:2.4．【答案】A ；【解析】平移对角线，所得三角形面积就是梯形的面积，三角形面积1125302=⨯⨯=. 5.【答案】D ；【解析】根据梯形的中位线推出①，求出△ABD 和△ACD 的面积，都减去△AOD 的面积，即可判断②；只有等腰梯形ABCD ，才能得出∠OBC＝∠OCB，再根据平行线性质即可判断③；根据三角形中位线推论可得出G 、H 分别为BD 和AC 中点，即可判断④；根据三角形的中位线得出EH ＝FG ，即可得出EG ＝FH ，即可判断⑤．6.【答案】B ；【解析】连接AE ，延长交CD 于H ，可证AB ＝DH ，CH ＝两底的差，EF 是△AHC 的中位线，EF ＝12两底的差，EG ＋FG ＝12两腰的和，故△EFG 的周长是9.二.填空题7.【答案】32；【解析】过D 点作DE ∥AC ，交BC 于E ，作DF ⊥BE 于F ，则∠BDE ＝90°，BD ＝DE ＝AC ＝6，所以DF ＝BF ＝EF ＝6232=.8.【答案】24；【解析】由于G 是△ABC 的重心，可得AG ＝2GD ，BD ＝CD ，根据等高三角形的面积比等于底之比，可求出S △ABD ＝12；同理D 是BC 中点，可得出S △ABC ＝2S △ABD ＝24．9.【答案】8；【解析】∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，DE ∥BC ∵M 、N 分别是BD 、CE 的中点，∴由梯形的中位线定理得：MN ＝12（DE+BC ）＝12×32BC ＝6，∴BC ＝8． 10．【答案】3；【解析】连接BD ，过D 作DE ⊥BC ，在Rt △DCE 中，CE ＝12，DE ＝3，BE ＝1＋12＝32，所以BD ＝2233()()322+=，因为B 是C 关于MN 的对称点，所以BD 就是PC ＋PD 的最小值.11．【答案】12；【解析】△ADE ≌△FCE ，AD ＝CF ，所以BF ＝5＋7＝12.12.【答案】52或2或423； 【解析】当AB ＝AE 时，CF ＝423-，当AE ＝BE 时，CF ＝52，当AB ＝AE 时，CF ＝2. 三.解答题13．【解析】解：（1）∵AE∥BD，∴∠E＝∠BDC．∵DB 平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠BDC．∵∠C＝2∠E，∴∠ADC＝∠BCD．∴梯形ABCD 是等腰梯形（同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）．（2）由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC ＝AD ＝5，∵在△BCD 中，∠C＝60°，∠BDC＝30°，∴∠DBC＝90°．∴DC＝2BC ＝10．14．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AB＝CD ，∠A＝∠D．∵M 为AD 的中点，∴AM＝DM ．∴△ABM≌△D CM ．∴BM＝CM ．∵E、F 、N 分别是MB 、CM 、BC 的中点，∴EN、FN 分别为△BMC 的中位线，∴EN＝12MC ，FN ＝12MB ，且ME ＝BE ＝12MB ，MF ＝FC ＝12MC ． ∴EN＝FN ＝FM ＝EM ．∴四边形ENFM 是菱形．（2）解：结论：等腰梯形ABCD 的高是底边BC 的一半．理由：连接MN ，∵BM ＝CM ，BN ＝CN ，∴MN⊥BC．∵AD∥BC，∴MN⊥AD．∴MN 是梯形ABCD 的高．又∵四边形MENF 是正方形，∴△BMC 为直角三角形．又∵N 是BC 的中点，∴MN＝12BC ． 15．【解析】(1)证明：分别过点C ，D 作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ．垂足为G ，H ，如图1，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．图1∴CG ∥DH∵△ABC 与△ABD 的面积相等∴CG ＝DH∴四边形CGHD 为平行四边形∴AB ∥CD.(2)①证明：连结MF ，NE ，如图2，设点M 的坐标为(11,x y )，点N 的坐标为(22,x y )，∵点M ，N 在反比例函数)0(>=k xk y 的图象上，图2∴1122,x y k x y k ==．∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴OE ＝1y ，OF ＝2x ．∴EFM S △＝111122x y k =；EFN S △＝221122x y k =. ∴EFM EFN S S =△△．由(1)中的结论可知：MN ∥EF ．②如图3所示，MN ∥EF ．图3。