黄昆固体物理ppt

∂ 2U N ∂r ∂ mα nβ 1 = [( m+1 − n +1 ) ] 2 2 ∂V 2 ∂V ∂r r r 3NAr
例题与习题 —— 固体物理 黄昆
∂ 2U ) ⋅ V0 体弹性模量 K = ( 2 V0 ∂V
∂ 2U N 1 m 2α n 2 β mα nβ = [− m + n − m + n ] 2 2 ∂V V =V 2 9V0 r0 r0 r0 r0
根据题意 U ( r0 ) = U ' ( r0 )
∂U ' ∂U ( ) ) =0 =( ∂r r =r0 ∂r r =r0
β
r
n 0nβ c = e n +1 r0 ρ
−
r0
ρ
例题与习题 —— 固体物理 黄昆
β
r
n 0
= ce
−
r0
ρ
两式相比
− r0
r0 = nρ
nβ c = e n +1 r0 ρ
(2π ) 1.4 证明倒格子原胞体积 其中v0为正格子原胞体积 v0 v v v a2 × a3 b1 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3 v v v a3 × a1 倒格子体积 倒格子基矢 b2 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3 v v v * v0 = b1 ⋅ (b2 × b3 ) v v v a1 × a2 b3 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3 3 3 (2 π ) (2π ) v v v v v v * * v × ⋅ × × × v0 = ( a a ) ( a a ) ( a a ) 0 = 2 3 3 1 1 2 3 v0 v0
v v v a1 × a2 b3 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3
例题与习题 —— 固体物理 黄昆
v 2π v v 2π v v 2π v 倒格子基矢 b1 = i , b2 = j , b3 = k a b c
v v v v 2π v 2π v 2π v i +k j +l k 倒格子矢量 G = hb1 + kb2 + lb3 = h a b c
n1 + n2 + n3
( −1) n α = −∑ ' n n
—— 一维一价离子
当 N →∞
1 1 1 1 1 1 ( −1) N α = −2[ − + − + − + L + ] 1 2 3 4 5 6 N
例题与习题 —— 固体物理 黄昆
α = 2 ln 2
2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为
例题与习题 —— 固体物理 黄昆
∂ 2U 3) 体弹性模量 K = ( 2 )V0 ⋅ V0 ∂V
晶体的体积 V = NAr 3 —— A为常数，N为原胞数目
α β N 晶体内能 U ( r ) = ( − m + n ) 2 r r
∂U ∂U ∂r N mα nβ 1 = = ( m+1 − n +1 ) ∂r ∂V ∂V 2 r r 3NAr 2
《固体物理学》例题与习题 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方 面心立方晶格的倒格子是体心立方 由倒格子定义
v v v a 2 × a3 b1 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3
v v v a3 × a1 b2 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3
v v v a1 × a2 b3 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3
∂U U ( r ) = U ( r0 ) + ( ) ( r − r0 ) + L ∂r r =r0
例题与习题 —— 固体物理 黄昆
以 ce
−
r
ρ
代替
β
r0
n
后
N αe U ' (r) = − ( + ce 2 4πε 0 r
2
−
r
ρ
)
∂U ' 结合能 U ' ( r ) = U ' ( r0 ) + ( ) ( r − r0 ) + L ∂r r =r0
v v v 2π v v 2π a 2 v v v ( j +k) = ⋅ (i − j + k ) × (i + j − k ) = a v0 4
v v v a3 × a1 2π v v 同理 b2 = 2π r r r = (i + k ) a1 ⋅ a 2 × a 3 a
v 2π v v b3 = (i + j ) a
(111)面与(110)面的交线的晶向
uuu r v v AB = − ai + aj
—— 晶向指数 [110]
例题与习题 —— 固体物理 黄昆
补充习题 01 做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心 立方晶格的维格纳 — 塞茨原胞 (Wingner-Seitz) 维格纳 — 塞茨原胞：选取某一个格点为中心，做出最近各 点和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间
v v v —— 可见由 b1 , b2 , b3 为基矢构成的格子为面心立方格子
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面心立方格 子原胞基矢
v v v a1 = a ( j + k ) / 2 v v v a2 = a ( k + i ) / 2 v v v a3 = a (i + j ) / 2
v v v a2 × a3 b1 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3
v v v B点位矢 RB = − aj + ak
(111)面与(100)面的交线的晶向
uuu r v v AB = − aj + ak
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—— 晶向指数 [0 11]
(111)面与(110)面的交线的AB —— 将AB平移，A与原点O重合，B点位矢
v v v RB = − ai + aj
倒格子基矢
v 2π v v v b1 = ( −i + j + k ) a
v 2π v v v v 2π v v v 同理 b2 = b3 = (i − j + k ) (i − j + k ) a a v v v —— 可见由 b1 , b2 , b3 为基矢构成的格子为体心立方格子
例题与习题 —— 固体物理 黄昆
例题与习题 —— 固体物理 黄昆
2.1 证明两种一价离子组成一维晶格的马德隆常数 α = 2 ln 2
( −1) 马德隆常数 α = − ∑ ' 2 2 2 1/ 2 ( n + n + n n1 , n2 , n3 1 2 3)
—— 对一维一价离子，选定某一个离子为参考离子，假定 离子数目很大，参考离子左右两边各有一个异号离子
3
例题与习题 —— 固体物理 黄昆
v v v v 1.5 证明：倒格子矢量 G = h1b1 + h2 b2 + h3b3 垂直于
密勒指数为 ( h1h2 h3 ) 的晶面系
v v v v a2 a3 a1 a 3 CA = − , CB = − h1 h3 h2 h3
v v a i ⋅ b j = 2πδ ij
dU dr =0
r = r0
mα nβ − m+1 + n +1 = 0 r0 r0
nβ n −m ) r0 = ( mα
1
1 2) 单个原子的结合能 W = − u ( r0 ) 2
u( r0 ) = ( −
α
rm
+
β
r
) n
r = r0
1 m nβ W = α (1 − )( ) 2 n mα
−m n −m
∂ 2U 体弹性模量 K = ( 2 )V0 ⋅ V0 ∂V
N α β U0 = (− m + n ) r0 r0 2
∂ 2U N 1 m 2α n 2 β = [− m + n ] 2 2 ∂V V =V 2 9V0 r0 r0
0
∂ 2U N 1 mα nβ = [−m m + n n ] 2 2 ∂V V =V 2 9V0 r0 r0
例题与习题 —— 固体物理 黄昆
*2.01 已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为
N α e2 β + n) U (r) = (− 2 4πε 0 r r
现以 ce 时，
− r
ρ
来代替排斥项
β
r
n
，且当晶体处于平衡
这两者对互作用势能的贡献相同，试求n和ρ的关系。 将结合能在平衡位置处展开
二维格子 维格纳 — 塞茨原胞
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简单立方晶格 维格纳 —— 塞茨原胞 原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体
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面心立方格子 维格纳 —— 塞茨原胞 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
例题与习题 —— 固体物理 黄昆
说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理
v v v 简单正交系 a ⊥ b ⊥ c
倒格子基矢
v v v v v v a1 = ai , a 2 = bj , a 3 = ck
v v v a 2 × a3 b1 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3
v v v a3 × a1 b2 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3
0
N m α nβ ∂U 1 = ( m +1 − n +1 ) =0 由平衡条件 2 r0 3NAr0 ∂V V =V0 2 r0
mα nβ = n m r0 r0 N 1 m 2α n 2 β ∂ 2U = [− m + n ] 2 2 r0 r0 2 9V0 ∂V V =V