相似矩阵和矩阵

【注】 逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.
反例1 A 1 0 0 1
B 1 1 0 1
（3）相似矩阵有相同的秩
【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.——反例1
推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩阵也相似.
（4）如果 A～B，则 Ak ~ Bk（k 为非负整数）
【注】逆命题不成立.
1
1 0 2
例2 判断 A 1 2 1 是否可以相似对角化.
1
3
0
解： 解出A的特征值为 1 1 ，2 1(二重)
属于特征值-1的特征向量为
3
1 1
0
属于特征值 1 的特征向量为
1
2 0
1
因为仅有2个线性无关的特征向量
所以，A不能相似于对角阵.
定理2 矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1
P(B) P1.
若A～B , 则 ( A) ~ (B)
特别地,若可逆矩阵P使 P1 AP 为对角矩阵,
Ak P k P1, ( A) P() P1. 对于对角矩阵,有
k
1
( )
1
k
k 2
,
()
( ) 2
,
定理3 设 是矩阵 A 的 k 重特征值，则A 的属于的
线性无关的特征向量最多 k 个.
即 设 A 的不同的特征值：
1，2，… m
重数分别为：
k1，k2，… km
线性无关特征向量的个数： s1，s2，… sm
则有 si ki ， i=1,2,…,m，及
s1＋ s2＋ … ＋ sm k1＋ k2＋ … ＋ km n

这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵பைடு நூலகம்运算．
6.2.1、 相似矩阵的性质
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.对A进 行运算 P1 AP称为对A进行相似变换 ,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 .
注 P1AP表示对n阶方阵A作一系列的初等行变换与 初等列变换，只是对初等变换的要求更高，即A右乘与 左乘的矩阵是互逆的。因此，相似变换是一种特殊的初 等变换，矩阵之间相似是矩阵之间等价的特殊情形.
从而也有 tr ( A) tr (B) 性质二、 见教材 P133 定理 5
性质3的一个推论 ：
若n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1,2,,n即是A的n个特征值.
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，相似矩阵的性质
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 A P，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
矩阵之间的相似关系具有如下等价关系
(1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
则A与C相似.
性质一：若 n阶方阵 A与 B相似，则有 1、 | A || B | 2、 R( A) R(B) 3、 A与 B有相同的特征多项式和 特征值 ;

相似矩阵的例子
1. 嘿，你看那两个矩阵，就像一对双胞胎一样，比如说一个 2x2 的矩阵[1 2; 3 4]和另一个[1 2; 3 4]，这多明显是相似矩阵呀！这就好像是两个长得一模一样的人站在你面前，你能不觉得神奇吗？
2. 哇哦，再想想，像[2 4; 6 8]和[1 2; 3 4]这样的矩阵也是相似矩阵呢！可以类比成两个人穿着不同的衣服，但本质上还是很相似的呀，这是不是很有意思？
3. 嘿呀，还有那种有旋转变化的矩阵，就如同一个人在跳舞转身，比如[0 1; -1 0]经过某种变换后与另外一个矩阵相似，这难道不是很奇妙吗？
4. 你瞧，矩阵[3 0; 0 3]和矩阵[1 0; 0 1]也是相似矩阵哦，就好像两个不同性格的人其实有着相似的内心，这多特别呀！
5. 哎呀呀，再看看[0 1; 1 0]和[1 0; 0 1]这两个矩阵呀，是不是很像两片对称的树叶呀，可它们也是相似矩阵呢！
6. 还有啊，[2 0 0; 0 3 0; 0 0 4]和经过一些变换后的另一个矩阵也是相似矩阵呢，这就如同在一个大舞台上，虽然表现形式不同，但内在是相似的呀！
总之，相似矩阵有着各种各样神奇有趣的例子，就像生活中充满了各种奇妙的相似之处一样，真的是太让人大开眼界啦！。

矩阵矩阵的运算例：设,A B 为n 阶方阵，且22, A A BB==，2()A B A B+=+，证A BO=注意：不可222()2A B A A B BA B A B O+=++=+⇒=证：222()A B A A B B A B A A B B A B A B+=+++=+++=+，A B B A O∴+= ①，用A 左、右乘上式得：22, A B A B A A B A B A O A B A B A A B A B A O+=+=+=+=两式相减得A B B A O -= ②， 由①②式可得：A B O =例：设J 为所有元为1的n 阶方阵，X 为n 阶方阵，证：矩阵方程XX J JX=+仅有零解。

当1n =时，由x x x =+，得0x =。

当1n>时，用J左、右乘原方程，（注意2J nJ=）得：222 JX J JX J J X J nJX J JX J O=+=⇒= 用J 左乘原方程，得2JX JX J J X nJX JX O =+=⇒= 用J 右乘原方程，得2X J X JJX J nX J X J O=+=⇒=将X JJX O==代入原方程，得X O=。

例：设,A B 为n 阶正交方阵，且1A B=-，证：0A B +=因为,A B 为n 阶正交方阵()''''''A B A A A B A E B A B B B A +=+=+=+()'BB A B B A=+=+又 ()'A B A A B A +=+，A A B B B A B A B A A B∴+=+=+=-+，所以，A B +=例：设A 为3阶正交阵，0A <，B 为3阶方阵，且4B A -=，求'E A B -'''''E A B A A A B A A B A B -=-=-=--()()()3114B A B A =---=---=例：设()ij n nAa ⨯=是行列式为1-的正交矩阵，()*ij A b =为A 的伴随矩阵，求, 1,ijij a b i j n+≤≤因为1**1A A AA-==-，又1'A A-=，所以()'**'A A A A =-⇒=-即得()'*A A O+=， 0ij ij a b ⇒+=例：05104 设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B,**,BA 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B-.(D) 交换*A 的第1行与第2行得*B-.[ C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得BA E =12，于是12*11212*12***12*)(E A E E A EA A EB -=⋅===-，即*12*BE A -=,可见应选(C).例： 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1A --⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，求6A242624, 1664, 2561024A A A A A A A A=-==-==-例：设121P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，()2,1,2Q =-，AP Q=，求100A 。