2020届高考数学一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 9 Word版含解析

第一节函数及其表示．函数的概念()定义：设，是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，记为＝都有，∈.()()函数的定义域、值域：()在函数＝，定义域∈；与的值相对应的值叫中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的∈做函数值，函数值的集合{()}叫做函数的显然，值域是集合的子集．值域．定义域、函数的三要素：()值域对应关系．和相等函数：如果两个函数的()定义域对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判和断两函数相等的依据．()函数的表示法解析法表示函数的常用方法有：、图象法列表法．、．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的，这样的函对应关系数通常叫做分段函数．[小题体验]．(·无锡一中期中测试)函数()＝(－)的定义域为．解析：由题意知，－＞，即＜或＞.则函数的定义域为(－∞，)∪(，＋∞)．答案：(－∞，)∪(，＋∞)．已知()＝－，则()＝.解析：令＝，则＝，所以()＝.答案：．(·海头高级中学高三期中)若函数()＝(\\(＋，＞，－－，＜，))则()＋(－)＝.答案：．已知函数()＝(\\(，≤，,－，＞.))若()＝，则＝.解析：依题意得当≤时，＝，所以＝；当＞时，－＝，＝－(舍去)．故＝.答案：．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]．(·常州一中检测)若函数()＝(\\(－，≤，－，＞，))则＝.解析：因为＞，所以＝，又因为＜，所以＝－＝－.答案：－．(·苏州中学测试)已知()的定义域为{≠}，满足()＋＝＋，则函数()的解析式为．解析：用代替()＋＝＋中的，得＋()＝＋，所以②×－①×得()＝－＋(≠)．答案：()＝－＋(≠)函数的定义域)[题组练透]．(·常州期末)函数＝＋(＋)的定义域为．解析：由题意可得(\\(－≥，＋＞，))解得－＜≤，故所求函数的定义域为(－]．答案：(－]．(·南通中学高三测试)函数＝的定义域为．解析：由函数＝得(\\(－≥，－－≠，))解得(\\(－≤≤，≠且≠－()，))即－≤≤且≠－，所以所求函数的定义域为∪.答案：∪．若函数＝()的定义域是[ ]，则函数()＝的定义域是．解析：令＝＋，由已知函数的定义域为[ ]，可知≤≤ .要使函数(＋)有意义，则有≤＋≤ ，解得≤≤ ，故函数(＋)的定义域为[，]．所以使函数()有意义的条件是(\\(≤≤ ，－≠，))解得≤＜或＜≤ .故函数()的定义域为[)∪(， ]．答案：[)∪( ]．(·南京师范大学附中模拟)函数()＝的定义域是．解析：由题意得 (－)≥⇒＜－≤⇒＜≤，即函数()的定义域是.答案：[谨记通法]函数定义域的求解策略()已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．()实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．()抽象函数：①若已知函数()的定义域为[，]，其复合函数(())的定义域由不等式≤()≤求出；②若已知函数(())的定义域为[，]，则()的定义域为()在∈[，]时的值域．求函数的解析式)[典例引领]()已知()是二次函数，且()＝，(＋)＝()＋＋，求()；()已知＝＋，求()的解析式；()已知＝，求()的解析式；()已知函数()满足(－)＋()＝，求()的解析式；()已知()＝，对任意的实数，都有(－)＝()－(－＋)，求()的解析式．解：()(待定系数法)设()＝＋＋(≠)，由()＝，知＝，()＝＋，又由(＋)＝()＋＋，得(＋)＋(＋)＝＋＋＋，即＋(＋)＋＋＝＋(＋)＋，所以(\\(＋＝＋，＋＝，))解得＝＝.所以()＝＋，∈.()(配凑法)由于＝＋＝－，所以()＝－，≥或≤－，故()的解析式是()＝－，≥或≤－.()(换元法)令＋＝得＝，代入得()＝，又＞，所以＞，故()的解析式是()＝，＞.()(解方程组法)由(－)＋()＝，①得()＋(－)＝－，②①×－②，得，()＝＋－－.即()＝.所以()的解析式是()＝.()(赋值法)令＝，得(－)＝()－(－＋)＝＋－，所以()＝＋＋，即()＝＋＋.[由题悟法]求函数解析式的种方法．(·如皋测试)已知()是一次函数，且(())＝＋，则()＝.解析：设()＝＋，由(())＝＋，可得(＋)＋＝＋，即＋＋＝＋，所以＝，＋＝，解得＝，＝，即()＝＋.答案：＋．已知(＋)＝＋，求()的解析式．解：法一：(换元法)设＝＋，则＝(－)，≥，代入原式有()＝(－)＋(－)＝－＋＋－＝－.故()＝－，≥.法二：(配凑法)因为＋＝()＋＋－＝(＋)－，所以(＋)＝(＋)－，＋≥，即()＝－，≥.分段函数)[锁定考向]分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透着分类讨论的数学思想，高考对分段函数的常见的命题角度有：()分段函数的求值问题；()求参数或自变量的值与范围；()分段函数与不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的求值问题．设函数()＝(\\(＋，－＜≤， (π)，＜＜，))则＝.解析：因为－＜－≤，所以＝＝，则＝＝＝.答案：角度二：求参数或自变量的值与范围．已知()＝若()＝，则＝.解析：若≥，由()＝得，＝，解得＝；若＜，则＝，∈，解得＝－.综上可知，＝或－.答案：或－角度三：分段函数与不等式问题．(·如东期末)设函数()＝(\\(，≥，,()，＜，))则使得(＋)＞(－)成立的的取值范围是．解析：当＞时，(－)＝＝()，且为增函数，同理当＜时，(－)＝＝()，且为减函数，所以()关于轴对称，且左减右增．要使(＋)＞(－)，则需＋＞－，两边平方化简得＋＞，解得＜－或＞，故所求的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．答案：(－∞，－)∪(，＋∞)[通法在握]．分段函数的求值问题的解题思路()求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())的形式时，应从内到外依次求值．()求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．．分段函数与不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]．(·姜堰中学测试)已知函数()的定义域为实数集，∀∈，(－)＝(\\( ，＞，,－，≤，))则()－(－)的值为．解析：因为()＝(－)＝＝，(－)＝(－－)＝－(－)＝，所以()－(－)＝－＝－.答案：－．(·无锡高三第一学期期末)已知函数()＝≤－()，(＋)，＞－()，))()＝－－－.若存在∈，使得()＋()＝，则实数的取值范围是．解析：当≤－时，()＝＋＜，此时()＝＋＝＋－在上单调递减，易求得()∈[－)；当＞－时，()＝，此时()在上单调递减，易求得()∈(－∞，)，∴()的值域为(－∞，)．故存在∈，使得()＋()＝⇒－()＝()∈(－∞，)⇒＋＋＜⇒∈(－)．答案：(－)．(·南通期末)已知函数()＝(\\(＋，＞，，＝，－，＜，))则不等式(－)＋()＜的解集为．解析：函数()＝(\\(＋，＞，，＝，－，＜))的图象如图所示，所以()是定义域为的奇函数也是增函数，所以不等式(－)＋()＜⇔(－)＜(－)⇔－＜－，解得－＜＜，所以原不等式的解集为(－)．答案：(－)一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·淮安调研)函数()＝的定义域是．解析：由(－)≥，得－≥，即≤，解得－≤≤.∴函数()＝的定义域是[－]．答案：[－]．(·苏州高三期中调研)函数＝的定义域为．解析：由(\\(＞，－，))解得＞，且≠，所以函数的定义域为()∪(，＋∞)．答案：()∪(，＋∞)．已知＝－，且()＝，则＝.解析：令＝－，则＝＋，()＝(＋)－＝－，则－＝，解得＝.答案：．已知()是一次函数，满足(＋)＝＋，则()＝.解析：设()＝＋(≠)，则(＋)＝(＋)＋＝＋＋，依题设，＋＋＝＋，∴(\\(＝，＋＝，))∴(\\(＝，＝－()，))则()＝－.答案：－．(·盐城模考)已知函数()＝(\\(＋－，≤，－，＞，))若()＝，则()＝.解析：因为()＝，所以－＝，即＝，所以()＝()＝.答案：．设函数()＝(\\(()，＞，,－－，≤，))则(())＝，函数()的值域是．解析：因为()＝，所以(())＝＝－.当＞时，()∈()，当≤时，()∈[－，＋∞)，所以()∈[－，＋∞)．答案：－[－，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标．(·如东高级中学高三学情调研)设函数()＝(\\(＋－，＜，－，≥，))则(－)＋()＝.解析：因为(－)＝＋＝，()＝－＝，所以(－)＋()＝.答案：．(·苏州期末)函数()＝(\\(，≤，,－＋，＞))的值域为．解析：画出()的图象如图所示，可看出函数的值域为(－∞，]．答案：(－∞，]．(·南京名校联考)()＝(\\(\(\)(\\(()))，≤，，＞，))则＝.解析：因为＝＝－，所以＝(－)＝－＝.答案：．(·南通调研)函数()＝＋(＋)的定义域是．解析：由题意得(\\(－≠，＋＞))⇒＞－且≠，所以函数()的定义域是(－)∪(，＋∞)．答案：(－)∪(，＋∞)．(·启东中学检测)已知函数＝(－)的定义域为[－，]，则函数＝()的定义域为．解析：因为＝(－)的定义域为[－，]，所以∈[－，]，－∈[－]，所以＝()的定义域为[－，]．答案：[－]．已知具有性质：＝－()的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①＝－；②＝＋；③＝(\\(，＜＜，，＝，,－()，＞.))其中满足“倒负”变换的函数的序号是．解析：对于①，()＝－，＝－＝－()，满足；对于②，＝＋＝()，不满足；对于③，＝\\(()，＜()＜，，()＝，,－，()＞，))即＝(\\(()，＞，，＝，,－，＜＜，))故＝－()，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：①③．(·扬州一模)若函数()＝(\\(－－，＜，，＞))为奇函数，则(())＝.解析：因为函数()＝(\\(－－，＜，，＞))为奇函数，所以当＞时，－＜，则(－)＝－＝－()，所以()＝－＋，即()＝－＋.所以()＝－＋＝－，(())＝(－)＝－＝.答案：．已知函数()＝(\\(－＋，≤，－，＞，))若()＝，则()＝.解析：由()＝，可得＝，所以()＝＝.答案：．(·泰州一调)设函数()＝(\\(－，≥，－－，＜，))若()＞，则的取值范围是．解析：不等式()＞可化为(\\(≥，－＞))或(\\(＜，－－＞，))解得＞或＜－.答案：(－∞，－)∪．(·无锡一中月考) 已知函数()的图象如图所示，则函数()＝()的定义域是．解析：要使函数()有意义，需()＞，由()的图象可知，当∈(]时，()＞.答案：(]．(·南京金陵中学月考)二次函数()满足(＋)－()＝，且()＝.()求()的解析式；()若在区间[－]上，函数＝()的图象恒在直线＝＋的上方，试确定实数的取值范围．解：()由()＝，可设()＝＋＋(≠)，故(＋)－()＝(＋)＋(＋)＋－(＋＋)＝＋＋，由题意得(\\(＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝－，))故()＝－＋.()由题意，得－＋＞＋，即－＋＞，对∈[－]恒成立．令()＝－＋，则问题可转化为()＞，又因为()在[－]上递减，所以()＝()＝－，故＜－，即实数的取值范围为(－∞，－)．．(·南京期末)已知二次函数()满足()＝，(－)＝，且图象过原点．()求二次函数()的解析式；()已知集合＝[]，＝错误!，求∁.解：()设()＝＋＋(≠)，因为()＝，(－)＝，且图象过原点，所以(\\(＋＋＝，－＋＝，＝，))解得＝，＝－，所以()＝－.()＝＝－，当∈[]时，函数＝－是增函数，当＝时，取得最小值；当＝时，取得最大值，所以＝，又集合＝[]，故∁＝.三上台阶，自主选做志在冲刺名校．已知实数≠，函数()＝(\\(＋，＜，,－－，≥，))若(－)＝(＋)，则＝.解析：当＞时，－＜＋＞.由(－)＝(＋)得－＋＝－－－，解得＝－，不合题意；当＜时，－＞＋＜，由(－)＝(＋)得－＋－＝＋＋，解得＝－，所以的值为－.答案：－．定义在上的函数()满足(＋)＝()，若当≤≤时，()＝(－)，则当－≤≤－时，()＝.解析：由题意知(＋)＝(＋)＝()，当－≤≤－时，≤＋≤，所以()＝(＋)＝(＋)[－(＋)]＝－(＋)(＋)，所以当－≤≤－时，()＝－(＋)(＋)．答案：－(＋)(＋)．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离(米)与汽车的车速(千米时)满足下列关系：＝＋＋(，是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离(米)与汽车的车速(千米时)的关系图．()求出关于的函数表达式；()如果要求刹车距离不超过米，求行驶的最大速度．解：()由题意及函数图象，得(\\(()＋＋＝，,()＋＋＝，))解得＝，＝，所以＝＋(≥)．()令＋≤，得－≤≤.因为≥，所以≤≤.故行驶的最大速度是千米时．。

奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增

１－２
函数 ｆ(ｘ) 的定义域为(０ꎬ１]ꎬ则函数 ｆ
ｌｇ ｘ２ ＋ｘ ２
的定
义域为
( )
Ａ.[ －５ꎬ４]
Ｂ.[ －５ꎬ－２)
Ｃ.[ －５ꎬ－２] ∪[１ꎬ４]
Ｄ.[ －５ꎬ－２) ∪(１ꎬ４]Leabharlann １－２ 答案 Ｄ解析
∵
函数
ｆ( ｘ) 的定义域为(０ꎬ１] ꎬ∴
０<ｌｇ
ｘ２ ＋ｘ≤１ꎬ即 ２
对应学生用书起始页码 Ｐ１４
一、函数定义域的求解方法
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２.( １) 函数的定义域、值域 在函数 ｙ ＝ｆ(ｘ)ꎬｘ∈Ａ 中ꎬｘ 叫做自变量ꎬｘ 的取值范围 Ａ 叫做函 数的定义域ꎻ与 ｘ 的值相对应的 ｙ 值叫做函数值ꎬ函数值的集合
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对应学生用书起始页码 Ｐ１３
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１ ８ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版( 教师用书)
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§2.6对数与对数函数考纲展示►1。

理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数（a〉0，且a≠1)．考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．答案:x＝log a N a N2．对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M〉0，N>0,那么①log a（MN）＝____________；②log a错误!＝____________；③log a M n＝________（n∈R）；④log a m M n＝错误!log a M。

（2)对数的性质：①a log a N＝________；②log a a N＝________(a>0且a≠1）．(3）对数的重要公式：①换底公式：log b N＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；②log a b＝错误!，推广log a b·log b c·log c d＝________。

答案:（1)①log a M＋log a N②log a M－log a N③n log a M (2）①N②N(3)②log a d（1）[教材习题改编］lg错误!＋lg错误!的值是（)A。

错误!B．1C．10 D．100答案:B(2）［教材习题改编］(log29)·(log34）＝（)A.错误!B．错误!C．2 D．4答案:D(3）[教材习题改编］已知log53＝a，log54＝b，lg 2＝m，求错误!＋lg 4b的值（用m表示）．解:错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2lg 5＝2(1－lg 2)＝2(1－m）．误用对数运算法则．(1）log3错误!－log3错误!＋错误!－1＝________.（2）(log29)·(log34)＝________.答案：(1)2 （2)4解析：（1)原式＝log3错误!＋31＝log3错误!＋3＝－1＋3＝2。