高二数学新人教版选修A版选修44课件：第1章坐标系1.1平面直角坐标系.ppt

一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的三步骤：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题； 第三步：把代数运算结果翻译成几何结论． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[例1] |2)．[思路点拨] 首先在平行四边形ABCD 所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A ，B ，C ，D 的坐标，再依据两点间的距离公式即可证得结论．[证明] 如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设B (a,0)，C (b ，c )，则AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )， 所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， |AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， 所以|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则 (1)如果图形有对称中心，选对称中心为原点； (2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，求证：|AC |＝|BD |.证明：取BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设A (－a ，h )，B (－b,0)， 则D (a ，h )，C (b,0)． ∴|AC |＝(b ＋a )2＋h 2， |BD |＝(a ＋b )2＋h 2.∴|AC |＝|BD |，即等腰梯形ABCD 中，|AC |＝|BD |.2．在△ABC 中，D 是BC 边上的任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |， 求证：△ABC 为等腰三角形．证明：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)， 因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由距离公式得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )， 即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．因为d －b ≠0，所以－b －d ＝c －d ，即－b ＝c ， 所以O 为线段BC 的中点． 又因为OA ⊥BC ，所以|AB |＝|AC |. 所以△ABC 为等腰三角形．[例2] AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少；(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长．[解] (1)设平行四边形的另两个顶点为C ，D ，由围墙总长为8 km ，得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点)．以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ACBD 的面积最大，则C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝12×23×2＝2 3 km 2.(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图所示． 由⎩⎨⎧y ＝33(x ＋1)，x 24＋y 23＝1得13x 2＋8x －32＝0，则x 1＋x 2＝－813，x 1x 2＝－3213，那么弦长L ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋⎝⎛⎭⎫332·⎝⎛⎭⎫－8132－4×⎝⎛⎭⎫－3213＝4813，故暂不加固的部分长为4813km.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程． (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．3．已知B 村位于A 村的正西方向1 km 处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线l ，但在A 村的西北方向400 m 处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100 m 范围划为禁区．试问：埋设地下管线l 的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (－1 000,0)，由W 位于A 的西北方向及 |AW |＝400，得W (－2002，2002)．由直线l 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线l 的方程是x －3y ＋1 000＝0. 于是点W 到直线l 的距离为 |－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100. 所以埋设地下管线l 的计划可以不修改．4.如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x ，y )， 则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．因为|PB |＝|PC |，所以点P 在BC 的中垂线上． 因为k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)， 所以直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．① 又因为|PB |－|PA |＝4，所以点P 必在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②，解得x ＝8或x ＝－3211(舍去)，所以y ＝5 3.所以点P 的坐标为(8,53)．[例3] 伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1，求曲线C 的方程．[解] 设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点．把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.5．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后的图形所对应的方程．解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，将其代入4x 2－9y 2＝1，得4·⎝⎛⎭⎫12x ′2－9·⎝⎛⎭⎫13y ′2＝1. 整理得x ′2－y ′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x ′2－y ′2＝1.6．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入方程y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：选D 由伸缩变换的意义可得．2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝0B ．25x 2＋9y 2＝1C ．9x 2＋25y 2＝0D ．9x 2＋25y 2＝1解析：选B 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入方程x ′2＋y ′2＝1，得25x 2＋9y 2＝1，∴曲线C 的方程为25x 2＋9y 2＝1.3．圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后所得图形的焦距为( )A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析：选C 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3，代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1，该方程表示椭圆，∴椭圆的焦距为29－4＝2 5.4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝12sin 3x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3xy ′＝2y 解析：选D 设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则μy ＝ sin λx ，即y ＝1μsin λx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝2，∴伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ′＝3cos x ′2. 答案：y ′＝3cos x ′26．将点P (－2，2)变换为P ′(－6,1)的伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝－2λ，1＝2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝12.所以伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y 7．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝cos ωx (ω>0)，f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)而得到的，则ω为________．解析：函数f 2(x )＝cos ωx ，x ∈R(ω>0，ω≠1)的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω(纵坐标不变)而得到的，所以13＝1ω，即ω＝3.答案：3 三、解答题8．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.解：由伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.①(1)将①代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0，表示一条直线．(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1，表示焦点在x轴上的椭圆．9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．设B (b,0)，C (0，c )， 则M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，c 2. 由于|BC |＝b 2＋c 2，|AM |＝b 24＋c 24＝12b 2＋c 2，故|AM |＝12|BC |.10．在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换，并叙述变换过程．(1)曲线y ＝2sin x4变换为曲线y ＝sin 2x ；(2)圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.解：(1)将变换后的曲线方程 y ＝sin 2x 改写为y ′＝sin 2x ′，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入y ′＝sin 2x ′得μy ＝sin 2λx ， 即y ＝1μ sin 2λx ，与原曲线方程比较系数得⎩⎨⎧2λ＝14，1μ＝2，所以⎩⎨⎧λ＝18，μ＝12，所以伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝18x ，y ′＝12y .即先使曲线y ＝2sin x4上的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的18，得到曲线y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤14(8x )＝2sin 2x ，再将其纵坐标缩短到原来的12，得到曲线y ＝sin 2x . (2)将变换后的椭圆方程x 29＋y 24＝1改写为x ′29＋y ′24＝1，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′29＋y ′24＝1得λ2x 29＋μ2y 24＝1，即⎝⎛⎭⎫λ32x 2＋⎝⎛⎭⎫μ22y 2＝1，与x 2＋y 2＝1比较系数得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ32＝1，⎝⎛⎭⎫μ22＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长为原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的纵坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.。