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空间几何体外接球和内切球(1)

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方法技巧专题3空间几何体外接球和内切球【一】高过外心空间几何体（以ABCD P -为例）的高过底面的外心（即顶点的投影在底面外心上）：（1）先求底面ABCD 的外接圆半径r ，确定底面ABCD 外接圆圆心位置O ';（2）把O '垂直上移到点O ，使得点O 到顶点P 的距离等于到D C B A 、、、的距离相等，此时点O 是几何体外接球球心；（3）连接OA ，那么OA R =,由勾股定理得：222O O r R '+=.1、已知正四棱锥ABCD P -的所有顶点都在球O 的球面上，2==AB PA ，则球O 的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π2、在三棱锥P ABC -中.2PA PB PC ===.1AB AC ==，BC =，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．8πB．163πC．43πD．32327【二】高不过外心高不过心—顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例：题设：已知四棱锥ABCD P -，ABCDPA 底面⊥（1）先求底面ABCD 的外接圆半径r ，确定底面ABCD 外接圆圆心位置O ';（2）把O '垂直上移到点O ，使得PA O O 21='，此时点O 是几何体外接球球心；（3）连接OA ，那么OA R =,由勾股定理得：22222）（PA r O O r R +='+=.1、长方体 ꆸ䎑ꮘΐ ꆸ 䎑 ꮘ 的8个顶点在同一个球面上，且 ꆸ ⺁， ꮘ ， ，则球的表面积为______．2、已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（）A.334B.332C.934D.9323、已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（）A．6423πB．1623πC．162πD．16π4、已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，12,4AA BC BAC π==∠=，则三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（）A．123πB．83πC．63πD．43π5、四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，则PA 的长为（）A．3B．2C．1D．126、四棱锥A BCDE -的各顶点都在同一球面上，AB ⊥底面BCDE ，底面BCDE 为梯形，60BCD ∠= ，且2AB CB BE ED ＝＝＝＝，则此球的表面积等于（）A．25πB．24πC．20πD．16π【三】长（正）方体外接球1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点；2、正方体的外接球半径：a R 23=（a 为正方体棱长）；3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为c b a ,,，外接球的半径：2222c b a R ++=1、若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为________2、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______3、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.4、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A ．22B．1C．212+【四】棱柱的外接球直棱柱外接球的求法—汉堡模型1.补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同2.作图：构造直角三角形，利用勾股定理1）第一步：求底面外接圆的半径：Aar sin 21=（a 为角A 的对边）；2）第二步：由勾股定理得外接球半径：22)2(hr R +=（h 为直棱柱侧棱高度）1、直三棱柱111C B A ABC -中，已知 ꆸ ꆸ䎑， ꆸ ，ꆸ䎑 ， ，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．2、直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为⺁ ，则此三棱柱的外接球的表面积为（）A．π12B．π16C．π28D．π363、设直三棱柱111C B A ABC -的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是π40，1AA AC AB ==，o 120=∠BAC ，则此直三棱柱的高是________.【五】棱锥的外接球类型一：正棱锥型（如下图1，以正三棱锥为例，顶点P 的投影落在ABC ∆的外心上）1)求底面外接圆半径：Aar sin 21=（a 为角A 的对边）；2)求出r AH 32=，求出棱锥高度22AHPA PH h -==;3)由勾股定理得外接球半径:()2222)32(r R h AHOH R +-=+=.类型二：侧棱垂直底面型（如上图2）1）求底面外接圆半径：A aHD r sin 21==（a 为角A 的对边）；2）棱锥高度PA h =;3）由勾股定理得外接球半径:222）（h r R +=.类型三：侧面垂直于底面---切瓜模型类型四：棱长即为直径（两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径）题设：2π=∠=∠AQB APB ,且ABQ ABP 面面⊥则外接球半径：2AB R =类型五：折叠模型1、已知正四棱锥P ABCD -的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为（）A.1243π B.62581π C.50081π D.2569π2、在三棱锥P ABC -中，2AP =，33AB =，PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有()cos 2cos c B a b C =-，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.40πB.20πC.12πD.203π3、已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，3AB =，3AC =，23BC CD BD ===，则球O 的表面积为()A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π4、三棱锥P ABC -的底面是等腰三角形，120C ∠=︒，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为()A ．12πB ．20πC ．32πD ．100π5、已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径．若平面PCA ⊥平面PCB ，PA AC =，PB BC =，三棱锥P ABC -的体积为a ，则球O 的体积为()A．2a πB．4aπC．23aπD．43aπ6、在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．7πB．8πC．163πD．283π7、已知正四棱锥P ABCD -的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为()A.4πB.6πC.8πD.16π8、如图，正三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为23，则球O 的表面积是()A．4πB．323πC．16πD．36π9、已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A.π3214B.π3127C.π3115D.π312410、已知三棱锥S ABC －中，SA ⊥平面ABC ，且30ACB ∠=︒，22 3.1AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为()A.13138π B.13πC.136π D.13136π11、已知四棱锥 ΐ ꆸ䎑ꮘ的三视图如图所示，则四棱锥 ΐ ꆸ䎑ꮘ外接球的表面积是（）A.π20 B.π5101C.π25D.π2212、《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.13、已知底面边长为⺁，各侧面均为直角三角形的正三棱锥 ΐ ꆸ䎑的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A.B.⺁C.D.14、如图所示，三棱锥S 一ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为1的正三角形，二面角A ﹣BC ﹣S 的大小为23π，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A．73πB．133πC．43πD．3π15、四面体SABC 中，AC BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，SA =，AC =，BC =，则该四面体外接球的表面积为（）A．323πB．163πC．16πD．32π【六】墙角型题设：墙角型（三条线两两垂直）方法：找到3条两两互相垂直的线段途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．墙角型外接球半径：2222c b a R ++=（c b a ,,分别是长方体同一顶点出发的三条棱的长度）1、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）A．23πB．32πC．3πD．43π2、已知四面体 ꆸ䎑ꮘ的四个面都为直角三角形，且 ꆸ 平面ꆸ䎑ꮘ， ꆸ ꆸꮘ 䎑ꮘ ⺁，若该四面体的四个顶点都在球 的表面上，则球 的表面积为（）A．B．⺁C．D． ⺁3、已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是()A．24πB．20πC．16πD．12π4、在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为()A．12πB．6πC．4πD．3π【七】空间几何体内切球1、正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．2、若三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，其余各棱长均为5，则三棱锥内切球的表面积为．3、一个几何体的三视图如图所示，三视图都为腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为()A ．3332+B 3C ．332D ．132+4、球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是()A ．1:1B ．2:1C ．3:2D ．4:3【八】球与几何体各棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解1、已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的半径为2、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A.310cmB.10cmC.210cmD.30cm。

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高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。

具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。

例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。

第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。

在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。

例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。

除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。

需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。

设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。

例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。

3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。

空间几何外接球和内切球含详解

空间几何外接球和内切球含详解


A.
B.
C.
D. ⺁
2．已知如图所示的三棱锥 D ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上， ABC 和 DBC 所在平面相互垂直， AB 3 ， AC 3 ， BC CD BD 2 3 ，则球 O 的表面积为 ( )
A ． 4
B ．12
C ．16
D ． 36
3．三棱锥 P ABC 的底面是等腰三角形，C 120 ，侧面是等边三角形且与底面 ABC 垂直，AC 2 ，
ᒺ ，若三棱柱的所有顶点都在同一
考向三 棱锥的外接球
类型一：正棱锥型
【例 3-1】已知正四棱锥 P ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 2 ，若该正四棱锥的
体积为 2，则此球的体积为 （ ）
A. 124 3
B. 625 81
C. 500 81
D. 256 9
【套路总结】
【举一反三】
【举一反三】 1. 设直三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是 40π，AB=AC=AA1，∠BAC=120°， 则此直三棱柱的高是________.
2.直三棱柱 홨᫏ 홨 ᫏ 中，已知 홨 홨᫏， 홨 ᒺ ，홨᫏ ᒺ ⺁， 球面上，则该球的表面积为__________．
B. 20
C. 12
D. 20 3
【套路总结】 侧棱垂直与底面---垂面型
【举一反三】 1.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. ⺁π
B. ᒺπ
C. π
D. ⺁π
2.已知三棱锥 S－ABC 中， SA 平面 ABC ，且 ACB 30 ， AC 2AB 2 3.SA 1 .则该三棱锥
【举一反三】
几何体的外接球与内切球的有关问题

几何体的外接球与内切球的有关问题

几何体的外接球与内切球的有关问题一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心O 的位置问题，其中球心的确定是关键． （一） 由球的定义确定球心球的定义：在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论． 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOO Rt ∆中，21212OO BO BO +=，即222)2(hr R +=.） 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得． （以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面△ABC 的边长为a ，高为h ，外接球球心为O ，半径为R . 在1AOO Rt ∆中，21212OO AO AO +=，即222)(33R h a R -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.） 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜3R a=222a b c R ++=BC边的一半就是其外接球的半径．（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处． 1.可构造正方体的类型：①正四面体：棱长对应正方体的面对角线.① ② ③②三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长. ③四个面都是是直角三角形的三棱锥：最长的棱长对应正方体的体对角线. 2.可构造长方体和正方体的类型①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体；②三个侧面两两垂直的三棱锥；③有三个面是直角三角形的三棱锥；①与②与③ ④④相对的棱相等的三棱锥：设对应长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则BC 2=a 2+b 2，AC 2=a 2+c 2，AB 2=b 2+c 2.所以对应长方体的体对角线为2222222AB AC BC c b a ++=++.⑤含有其它线面垂直关系的棱锥. （三） 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O’的连线垂直于截面圆，确定球心． 记球的半径为R ，截面圆的半径为r ，球心O 与截面圆圆心O’A BC DA BCPABCP的距离为d，则有R2=r2+d 2.（四） 圆柱外接球模型计算球的半径一个底面半径为r ，高为h 的圆柱，求它的外接球半径. 222)2(h r R +=（1） （2） （3）变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图（1）所示.我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型. 在这里棱柱的高就是公式中的h ，而棱柱底面△ABC 外接圆的半径则是公式中的r .变形二：如果把三棱柱上面的C 1去掉，如图（2）所示，我们得到有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥，其中r 为垂直底面的侧面△ABC 的外接圆半径，h 为垂直于那个侧面的底面边长AA 1.变形三：如果把上面的那个三棱柱上面的B 1,C 1两点去掉，如图（3）所示，我们得到一根侧棱⊥底面的三棱锥，其中r 为底面△ABC 外接圆半径，h 为垂直于底面的那条侧棱AA 1.二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.结论1：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. 结论2：正多面体的内切球和外接球的球心重合.结论3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合. 结论4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理. 结论5：体积分割是求内切球半径的通用做法. （一）正方体的的内切球设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径.Rr2h A BC1A 1B 1C A BC1A 1B A BC1A（1）内切球：截面图为正方形的内切圆，得2a R =. （2）棱切球：切点为正方体各棱的中点，截面图为为正方形的外接圆，得22a R =. （二）棱锥的内切球(分割法)将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径的方程.设三棱锥的棱长为a ，内切球半径为r.V V V V VPAB O PBC O PAC O ABC O ABCP -----+++=r S r S r S r S PAB PBC PAC ABC 31313131+++= r S S S S PAB PBC PAC ABC )(31+++= 内切球r S ABC P -=31所以ABCP ABCP S V r --=3内切球一般地，记棱锥的体积为V ，表面积为S ，则内切球的半径为SV r 3=. （三）圆柱、圆锥的内切球(截面法)（1）圆柱的内切球：圆柱的轴截面为正方形，记圆柱的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，则R =r . （2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为三角形的内切圆，记圆锥的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，由于在△ABC 中，所以CS R 2=.备注：1.三角形内切圆的半径S S S S AO BAO C BO C ABC ∆∆∆∆++=r c b a cr br ar )(21212121++=++= 内切圆r C ABC ∆=21所以三角形内切圆的半径为CSr 2=，其中S 为△ABC 的面积，C 为△ABC 的周长. 2. 三角形外接圆的半径利用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===，CcB b A a R sin 2sin 2sin 2===. ①正三角形：a a R 3360sin 2=︒=，其中a 为正三角形的边长.②直角三角形：290sin 2cc R =︒=，其中c 为直角三角形的斜边.3. 正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”. 设正三角形的边长为a ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R.由于a a R 3360sin 2=︒=，a a a a a a C S r 6360sin 2122=++︒⋅⋅⋅⨯==， 所以1:2:=r R ，即圆心O 为正三角形高h 的三等分点.4. 正四面体的内切球与外接球的半径之比正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”. 设正四面体A-BCD 的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球 半径为R ，则OA=OB=R ，OE=r.∵底面△BCD 为正三角形，∴BE=a 33 在BEO Rt ∆中，222OE BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得a R 46= ∴1:3:=r R ，即球心O 为正四面体高h 的四等分点. 5.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的，过侧棱1AA 和它们的球心O 作截面如下图所示：设正三棱柱底面边长为a . 由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆，所以a R 632=，从而正三棱柱的高为a R h 3322==. 在O D A Rt 11∆中，得22222211211256333a a a R D A R =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=，a R 1251=∴因此1:5:21=R R .。

高考数学一轮复习第六章专题六几何体的外接球与内切球问题课件

高考数学一轮复习第六章专题六几何体的外接球与内切球问题课件


)
A.4 3π
B.8π
C.12π
D.20π
解析：在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 外接圆的
半径为
r＝2sin B∠CBAC＝2sin2
3π＝ 4
2.
直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径 R＝ ( 2)2＋12＝ 3，
r2＋A2A12＝
则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的体积为43πR3＝4 3π.
当
λ＝12时，cos〈E→B，E→G〉＝2
3
2 .
∴cos〈E→B，E→G〉的最大值为2
3
2 .
∵A→C＝(－1，1，0)，A→F＝(0，1，1)， ∴E→B·A→C＝E→B·A→F＝0. ∴EB⊥AC，EB⊥AF. ∵AC∩AF＝A，∴EB⊥平面 AFC. ∵E→B·E→G>0，∴cos〈E→B，E→G〉即为 EG 与平面 AFC 所成角
如图 6-7 所示，把四面体 S-ABC 补全为长方体 ABCD-SPMN， 其中 SA，AB，BC 为长方体中首尾相连且两两相互垂直的三条棱， 点 H 为 PM 中点.
图 6-7
∵GH∥AP，∴G，H 两点到平面 AEF 的距离相等.
设点 H 到平面 AEF 的距离为 d.
∵△APF 是边长为 2 2的等边三角形，
[例 1]已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内
切球的表面积为( )
A.π
B.32π
C.2π
D.3π
解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图
6-1 所示.设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB
上的高为 2 2，因为△SOD∽△SBE，所以SSOB＝OBED，
即2 32－r＝1r，解得 r＝ 22.所以圆锥内切球的表面