考研数学三1990真题
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1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)
(1) 极限
_________.n →∞
=(2) 设函数有连续的导函数,,若函数
()f x (0)0,(0)f f b '==()sin ,0,(),0f x a x x F x x A x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
在处连续,则常数=___________.
0x =A (3) 曲线与直线所围成的平面图形的面积为_________.2
y x =2y x =+(4) 若线性方程组有解,则常数应满足条件________.
121232343414
,,,
x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩1234,,,a a a a (5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为________.8081
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数,则是 ( )
sin ()tan x f x x x e =⋅⋅()f x (A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数
(2) 设函数对任意均满足等式,且有其中为非零常
()f x x (1)()f x af x +=(0),f b '=,a b 数,则 ( )
(A) 在处不可导 (B) 在处可导,且()f x 1x =()f x 1x =(1)f a
'=(C) 在处可导,且 (D) 在处可导,且()f x 1x =(1)f b '=()f x 1x =(1)f ab
'=(3) 向量组线性无关的充分条件是 ( )
12,,,s ααα (A) 均不为零向量
12,,,s ααα (B) 中任意两个向量的分量不成比例
12,,,s ααα (C) 中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示
12,,,s ααα 1s -(D) 中有一部分向量线性无关
12,,,s ααα (4) 设为两随机事件,且,则下列式子正确的是 ( )
,A B B A ⊂(A) (B) ()()P A B P A +=()()
P AB P A =
(C) (D) ()
()P B A P B =()()
()P B A P B P A -=-(5) 设随机变量和相互独立,其概率分布为X Y m -1 1
{}P X m = 1212则下列式子正确的是 ( )
(A) (B) (C) (D) X Y ={}0P X Y =={}12
P X Y =={}1P X Y ==三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)
(1) 求函数在区间上的最大值.2ln ()21x e t I x dt t t =
-+⎰2[,]e e (2) 计算二重积分
,其中是曲线和在第一象限所围成的区域.2y D xe dxdy -⎰⎰D 24y x =29y x =(3) 求级数的收敛域.21
(3)n
n x n ∞=-∑(4) 求微分方程的通解.sin cos (ln )x y y x x e
-'+=四、(本题满分9分)
某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用R (万元)及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下经验公式:
1x 2x 221212121514328210.
R x x x x x x =++---(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；
(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.
五、(本题满分6分)
设在闭区间上连续,其导数在开区间内存在且单调减少；,试应用拉格朗日中()f x [0,]c ()f x '(0,)c (0)0f =值定理证明不等式:,其中常数满足条件.
()()()f a b f a f b +≤+a b 、0a b a b c ≤≤≤+≤六、(本题满分8分)
已知线性方程组
1234512345234512345,3230,226,
54332,
x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩(1) 为何值时,方程组有解?
a b 、(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；
(3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.
七、(本题满分5分)m -1 1{}P Y m = 1212
已知对于阶方阵,存在自然数,使得,试证明矩阵可逆,并写出其逆矩阵的表达式(为阶n A k 0k
A =E A -E n 单位阵).八、(本题满分6分)
设是阶矩阵,和是的两个不同的特征值,是分别属于和的特征向量.试证明不A n 1λ2λA 12,X X 1λ2λ12X X +是的特征向量.
A 九、(本题满分4分)
从十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：
0,1,2,,9 {三个数字中不含0和5}；{三个数字中不含0或5}.
1A =2A =十、(本题满分5分)
一电子仪器由两个部件构成,以和分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知和的联合分布函数X Y X Y 为:
0.50.50.5(),0,0,(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+⎧-+≥≥=⎨⎩
1-若其他.(1) 问和是否独立?
X Y (2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率.
α十一、(本题满分7分)
某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72
分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.
[附表]x
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ()x Φ0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999
表中是标准正态分布函数.()x Φ。
